Calculo 4

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV 1 2 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação homogênea y² xy dx x²dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto y1 2 pertence a esta função então podese afirmar que o valor mais próximo de y3 é 2 5 3 1 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Questão 1 Seja a equação diferencial xx2 dydx 2y 0 Reescrevendo a equação diferencial acima temos xx2 dydx 2y 0 x² 2x dydx 2y 0 x² 2x dydx 2y dydx 2yx² 2x 1y dy 2x² 2x dx Integrando o lado esquerdo da equação temos 1y dy lny Integrando o lado direito da equação temos 2x² 2x dx 2 1x² 2x 1 1 dx 2 1x1² 1 dx Seja u x 1 então dudx 1 du dx Logo temos que 2 1u 1² 1 dx 2 1u² 1 du 2 1u 1u 1 du Realizando a Decomposição em Frações Parciais temos 1u 1u 1 Au 1 Bu 1 1u 1u 1 Au 1 Bu 1u 1u 1 1u 1u 1 Au A Bu Bu² 1 1u 1u 1 A Bu A Bu² 1 Comparando os numeradores temos A B 0 A B 1 Somando as duas equações temos 2A 1 A 12 Substituindo o valor de A na primeira equação temos 12 B 0 B 12 Logo temos que 2 1u 1u 1 du 2 12u 1 12u 1 du 1u 1 du 1u 1 du Sejam v u 1 e w u 1 então dvdu 1 dv du dwdu 1 dw du Logo temos que 1v dv 1w dw 1v dv 1w dw lnv lnw C Como v u 1 e u x 1 temos que v x 1 1 x 2 Como w u 1 e u x 1 temos que w x 1 1 x Logo temos que lnv lnw C lnx 2 lnx C Desse modo temos que lny lnx 2 lnx C elny elnx 2 lnx C y x eCx 2 Cₓx 2 Logo a solução da equação diferencial é y Cxx2 Aplicando a condição inicial y3 6 temos 6 C332 6 3C C 2 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é y 2xx2 Portanto a alternativa correta é e y 2xx2 Questão 2 Uma equação diferencial de forma Mxydx Nxydy 0 é dita homogênea se as funções coeficientes Mxy e Nxy são funções homogêneas de mesmo grau Seja a equação diferencial 2y² 3xy dx 3x² dy 0 Ambas as funções Mxy e Nxy são homogêneas de grau 2 Seja y ux então dydx dudx x u dxdx dydx u x dudx dy u dx x du Realizando a substituição acima na equação diferencial temos 2ux² 3xux dx 3x² u dx x du 0 2u²x² 3ux² dx 3ux² dx 3x³ du 0 2u²x² dx 3ux² dx 3ux² dx 3x³ du 0 2u²x² dx 3x³ du 0 2u² dx 3x du 0 2u² dx 3x du 1u² du 23x dx Integrando o lado esquerdo da equação temos 1u² du u² du u¹ 1u Integrando o lado direito da equação temos 23x dx 23 1x dx 2 lnx3 C Desse modo temos que 1u 2 lnx3 C 1u 2 lnx3 C 1u 2 lnx C₂3 Como u yx temos que xy 32 lnx C₂ yx 32 lnx C₂ y 3x2 lnx C₂ Logo a solução da equação diferencial é y 3x2 lnx C Aplique a condição inicial y1 12 temos 12 312 ln1 C 12 3C C 6 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é y 3x2 lnx 6 Para x 3 temos y3 332 ln3 6 92 ln3 6 1 Portanto a alternativa correta é c 1 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação diferencial exata cos x lny dx xy⁴ 2e²ʸ dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto y0 ln 2 pertence a esta função então podese afirmar que essa função no ponto dado é sen x x lny 2e²ʸ 8 x lny sen x e²ʸ e² sen x x y² 2e²ʸ 2e sen x x lny 2e²ʸ 2 sen x x lny e²ʸ 4 Questão 3 Uma equação diferencial de forma Mxydx Nxydy 0 é dita homogênea se as funções coeficientes Mxy e Nxy são funções homogêneas de mesmo grau Seja a equação diferencial y²xy dx x² dy 0 Ambas as funções Mxy e Nxy são homogêneas de grau 2 Seja y ux então dydx dudx x u dxdx dydx u x dudx dy u dx x du Realizando a substituição acima na equação diferencial temos ux² xux dx x² u dx x du 0 u²x² ux² dx x²u dx x³ du 0 u²x² dx ux² dx ux² dx x³ du 0 u²x² dx x³ du 0 u² dx x du 0 u² dx x du 1u² du 1x dx Integrando o lado esquerdo da equação temos 1u² du u² du u¹ 1u Integrando o lado direito da equação temos 1x dx lnx C Desse modo temos que 1u lnx C 1u C₂ lnx Como u yx temos que xy C₂ lnx yx 1C₂ lnx y xC₂ lnx Logo a solução da equação diferencial é y xC lnx Aplicando a condição inicial y1 2 temos 2 1C ln1 2 1C C 12 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é y x 12 lnx Para x 3 temos y3 3 12 ln3 5 Portanto a alternativa correta é b 5 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação diferencial exata x 3y dx 3x 1 dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto y2 1 pertence a esta função então podese afirmar que o valor de y0 é 3 1 5 1 7 Questão 4 Uma equação diferencial de forma Mxydx Nxydy 0 é dita exata se My Nx Para a equação diferencial cosx lny dx xy¹ 2e²ʸ dy 0 temos que Mxy cosx lny e Nxy xy¹ 2e²ʸ My y cosx lny 1y Nx x xy¹ 2e²ʸ y¹ 1y Logo a equação diferencial é exata Queremos determinar uma função φxy tal que φx Mxy e φy Nxy Integrando a primeira equação em relação a x temos φxy Mxy dx cosx lny dx senx x lny gy Derivando a equação acima em relação a y temos φy y senx x lny gy x 1y gy xy¹ gy Igualando a derivada acima a Nxy temos xy¹ gy xy¹ 2e²ʸ gy 2e²ʸ Logo temos gy 2e²ʸ dy 2 e²ʸ dy Seja u 2y então dudy 2 du 2 dy 12 du dy Logo temos 2 e²ʸ dy 2 eᵘ2 du eᵘ du e²ʸ Desse modo temos φxy senx x lny e²ʸ Logo a solução geral da equação diferencial é senx x lny e²ʸ C Aplicando a condição inicial y0 ln2 temos sen0 0 lnln2 e² ln2 C 0 0 4 C C 4 Logo a solução da equação diferencial é com a condição inicial dada é senx x lny e²ʸ 4 Portanto a alternativa correta é e senx x lny e²ʸ 4 Questão 5 Uma equação diferencial de forma Mxydx Nxydy 0 é dita exata se My Nx Para a equação diferencial x 3y dx 3x 1 dy 0 temos que Mxy x 3y e Nxy 3x 1 My y x 3y 3 Nx x 3x 1 3 Logo a equação diferencial é exata Queremos determinar uma função φxy tal que φx Mxy e φy Nxy Integrando a primeira equação em relação a x temos φxy Mxy dx x 3y dx x²2 3xy gy Derivando a equação acima em relação a y temos φy y x²2 3xy gy 3x gy Igualando a derivada acima a Nxy temos 3x gy 3x 1 gy 1 Logo temos gy 1 dy y Desse modo temos φxy x²2 3xy y Logo a solução geral da equação diferencial é x²2 3xy y C Aplicando a condição inicial y2 1 temos 2²2 321 1 C 2 6 1 C C 7 Logo a solução da equação diferencial com a condição inicial dada é x²2 3xy y 7 Para x 0 temos 0²2 30y y 7 0 y 7 y 7 Portanto a alternativa correta é e 7