Integrais Cálculo

b Cada primitiva de uma função polinomial de grau n é uma função polinomial de grau n1 c A constante C da última primitiva é tão geral que na verdade poderia assumir qualquer valor d Se f x gxdx f x dx g x dx QUESTÃO 05 Em um determinado mês o dono de uma loja de material de construção vendeu x unidades de um produto cujo lucro marginal é dado pela função Lx 1000x22 Entusiasmado o lojista deseja saber qual será o lucro total no intervalo de três meses ou seja 03 Contratou então um Engenheiro que lhe deu um resultado satisfatório Podese dizer que o resultado apresentado pelo engenheiro é a 3260000 reais b 4166667 reais c 4350000 reais d 3900000 reais e nda QUESTÃO 06 Em um determinado experimento um pesquisador constatou que uma colônia de bactérias cresce à taxa de Pt 3000 et onde t é o tempo em dias Considerando que tal experimento durou 3 dias podese dizer que a população de bactérias no período de 3 dias ou seja 03 era a aproximadamente 90000 bactérias b aproximadamente 9600 bactérias c aproximadamente 9006 bactérias d aproximadamente 9019 bactérias e nda QUESTÃO 07 Um Agricultor pretende gramar uma pequena região como a da figura a seguir que tem uma área em hectares ha delimitada pelos gráficos de gx x2 e fx x2 no intervalo de 12 Para saber o quanto irá gastar precisará calcular a tal área Usando integral definida chegouse a uma conclusão e irá plantar a seguinte área Uma das aplicações de integrais definidas é o cálculo de área Um engenheiro de produção viuse diante da necessidade de calcular a área aproximada de um banner onde a região é limitada pelas curvas f x x² 4 x e g x x² no intervalo de 02 Sem dúvida alguma ele aplicou integral definida e obteve I A área de tal região é A 7 ua II A área de tal região é A 83 ua III A área de tal região é A 163 ua ou A 533 ua IV nda QUESTÃO 03 Um foguete atravessa o firmamento numa jornada diretamente além da Terra Num certo dia à tarde o navegador lê o velocímetro do foguete como função do tempo e conclui que ele é dado por Vt 100t³ 400t² 800t onde t é o tempo em horas Se a função V fornece a velocidade em kmh podese dizer que a distância percorrida pelo foguete em km entre uma e 4 horas da tarde é QUESTÃO 04 Usando os conceitos adquiridos em cálculo classifique em verdadeiro ou falso a Primitiva para uma função f fx é uma outra função F Fx cuja derivada coincide com f b Cada primitiva de uma função polinomial de grau n é uma função polinomial de grau n1 c A constante C da última primitiva é tão geral que na verdade poderia assumir qualquer valor d Se f x gxdx f x dx g x dx QUESTÃO 05 Em um determinado mês o dono de uma loja de material de construção vendeu x unidades de um produto cujo lucro marginal é dado pela função Lx 1000x22 Entusiasmado o lojista deseja saber qual será o lucro total no intervalo de três meses ou seja 03 Contratou então um Engenheiro que lhe deu um resultado satisfatório Podese dizer que o resultado apresentado pelo engenheiro é a 3260000 reais b 4166667 reais c 4350000 reais d 3900000 reais QUESTÃO 10 Use integral dupla para calcular a área anterior QUESTÃO 11 Boilers são armazenadores térmicos para aquecimento solar de água Uma empresa fabrica um boiler na forma cilíndrica O volume de um cilindro reto de altura h e cuja base é um círculo de raio r pode ser calculado usando a integral V πr² dx Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro temos Diante de tais informações podese dizer que a O volume de um boiler de r 05m e h 2m é V2πm³ b O volume de um boiler de r 05m e h 2m é Vπ2 m³ c O volume de um boiler de r 05m e h 2m é V4π3 m³ d O volume de um boiler de r 05m e h 2m é Vπ4 m³ e O volume de um boiler de r 05m e h 2m é V3π4 m³ QUESTÃO 12 Um sistema de gerenciamento de energia para um edifício inteligente monitora o consumo de energia em função do tempo O engenheiro eletricista responsável pelo sistema quer determinar a quantidade total de energia consumida por um dispositivo ao longo de um período específico Supondo que a taxa de consumo de energia de tal dispositivo possa ser modelada pela função Pt 20 15 sent Calcule a energia total consumida pelo dispositivo ao longo de 24 horas Aplicando integral definida temse A 01 x2 dx x3 3 13 3 03 3 13 ua VT 01 PARTE 2 FAZER AS APLICAÇÕES E ENTREGAR DIA DA N1 APLICAÇÕES QUESTÃO 01 Achar a área limitada pela curva y senx o eixo X em 0 2π Solução Tomando como base o gráfico da função Temos A 02π sen xdx 0π sen xdx π2π sen xdx cos x0π cos xπ2π A cos π cos0 cos 2 π cos π 2 2 4ua QUESTÃO 02 Área de regiões entre curvas A área da região é limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x a e x b As funções f e g são definidas e contínuas em a b e f x gx xab i f x 0 gx 0 e f x gx xab Neste caso a área é dada por A ab f xdx ab gxdx ab f x gxdx Aplique os conceitos acima para resolver a QUESTÃO 02 a seguir c aproximadamente 9006bactérias QUESTÃO 07 Um Agricultor pretende gramar uma pequena região como a da figura a seguir que tem uma área em hectares ha delimitada pelos gráficos de gx x2 e fx x2 no intervalo de 12 Para saber o quanto irá gastar precisará calcular a tal área Usando integral definida chegouse a uma conclusão e irá plantar a seguinte área a A 12 x 2 x2dx 35ha b A 12 x 2 x2dx 45ha c A 12 x 2 x2dx 55ha d A 12 x 2 x2dx 25ha e nda QUESTÃO 08 Determinar a área limitada pela curva y 5x x2 e pelo eixo x QUESTÃO 09 Um aluno de engenharia ao cursar a disciplina de cálculo II se deparou com o seguinte problema Dadas as funções fx x2 e gx 3x temse uma área delimitada pelos gráficos destas funções no intervalo de 03 Podese dizer que tal área é a A 45ua b A 35ua c A 525ua d A 63ua e nda QUESTÃO 10 Use integral dupla para calcular a área anterior Questão 01 Achar a área limitada pela curva y senx o eixo X em 0 2π Solução Sabese que a função fx senx no intervalo 0 2π apresenta a configuração ilustrada a seguir Perceba que o gráfico apresenta uma região acima do eixo horizontal no intervalo 0 π e outra região equivalente mas com imagens negativas Então podemos separar o cálculo da área procurada em duas partes diferentes conforme cálculos dispostas na sequência A 0π senxdx π2π 0 senxdx 0π senxdx π2π senxdx cosx0π cosxπ2π A cosπ cos0 cos2π cosπ 1 1 1 1 2 2 4 ua Portanto A 4 ua Questão 02 Uma das aplicações de integrais definidas é o cálculo de área Um engenheiro de produção viuse diante da necessidade de calcular a área aproximada de um banner onde a região é limitada pelas curvas fx x2 4x e gx x2 no intervalo de 02 Sem dúvida alguma ele aplicou integral definida e obteve I A área de tal região é A 7 ua II A área de tal região é A 83 ua III A área de tal região é A 163 ua ou A 533 IV nda Solução Observe que graficamente no intervalo 0 2 a função fx x2 4x se encontra sobre a função gx x2 ou seja fx gx quando x 0 2 Desta forma a área procurada é dada por A 02 fx gxdx 02 x2 4x x2dx 02 2x2 4xdx 2x33 4x2220 A 2x33 2x220 2233 222 2033 202 163 8 0 16 243 83 ua Logo a resposta procurada é II A área de tal região é A 83 ua Questão 03 Um foguete atravessa o firmamento numa jornada diretamente além da Terra Num certo dia à tarde o navegador lê o velocimetro do foguete como função do tempo e conclui que ele é dado por Vt 100t3 400t2 800t onde t é o tempo em horas Se a função V fornece a velocidade em kmh podese dizer que a distância percorrida pelo foguete em km entre uma e 4 horas da tarde é Solução Para obter a distância percorrida D basta calcular a integral da função velocidade em função do tempo no intervalo de tempo de interesse ou seja D t0tf Vt dt 14 100t3 400t2 800t dt D 100t44 400t33 800t2241 25t4 400t33 400t241 D 2544 400433 40042 2514 400133 40012 D 6400 256003 6400 25 4003 400 D 12375 252003 12375 8400 3975 km Portanto a distância percorrida pelo foguete doi de 3975 km Questão 04 Usando os conceitos adquiridos em cálculo classifique em verdadeiro ou falso a Primitiva para uma função f fx é uma outra função F Fx cuja derivada coincide com f b Cada primitiva de uma função polinomial de grau n é uma função polinomial de grau n 1 c A cada constante C da última primitiva é tão geral que na verdade poderia assumir qualquer valor d fxgxdx fxdx gxdx Solução a Verdadeiro O conceito de primitiva está diretamente relacionado ao conceito de antiderivada Dessa forma se Fx é primitiva de fx então Fx fx Exemplo Se fx 2x então Fx x2 é uma primitiva de fx Por sua vez Fx 2x fx b Verdadeiro Ao integrar um polinômio de grau genérico n o monômio de maior grau do polinômio produzirá um fator com parte literal xn1n1 o que resulta no aumento do grau do polinômio em uma unidade c Verdadeiro Ao calcular uma primitiva há sempre uma constante C adicionada que pode assumir qualquer valor real Isso ocorre porque a derivada de uma constante é zero então várias funções diferem apenas por uma constante têm a mesma derivada d Falso A integral do produto de duas funções fxgx não é em geral o produto das integrais separadas fxdx gxdx Contraexemplo Seja fx x e gx x Então fxgxdx x2 dx x33 C fxdx gxdx x22 C1x22 C2 fxgxdx Questão 05 Em um determinado mês o dono de uma loja de material de construção vendeu x unidades de um produto cujo lucro marginal é dado pela função Lx1000x2² Entusiasmado o lojista deseja saber qual será o lucro total no intervalo de três meses ou seja 03 Contratou então um Engenheiro que lhe deu um resultado satisfatório Podese dizer que o resultado apresentado pelo engenheiro é a 3260000 reais b 4166667 reais c 4350000 reais d 3900000 reais e nda Solução O lucro total no intervalo de três meses pode ser obtido integrando a função de lucro marginal no intervalo de x0 até x3 Assim temos que ₀³ Lx dx ₀³ 1000x2² dx 1000 ₀³ x2² dx Desenvolvendo o produto notável do integrando e calculando a integral definida do polinômio resultante obtemos ₀³ Lx dx 1000 ₀³ x²4x4 dx 1000 x³3 4x²2 4x ₀³ ₀³ Lx dx 1000 3³3 43²2 43 1000 0³3 40²2 40 ₀³ Lx dx 1000 9 18 12 100039 39000 Portanto o resultado apresentado pelo engenheiro é R 3900000 Resposta final d 3900000 reais Questão 06 Em um determinado experimento um pesquisador constatou que uma colônia de bactérias cresce à taxa de Pt3000 et onde t é o tempo em dias Considerando que tal experimento durou 3 dias podese dizer que a população de bactérias no período de 3 dias ou seja 03 era a aproximadamente 90000 bactérias b aproximadamente 9600 bactérias c aproximadamente 9006 bactérias d aproximadamente 9019 bactérias e nda Solução Como temos a taxa de crescimento podemos obter populações através da integral da taxa conhecida no intevalo de tempo desejado Dessa forma temos que ₀³ Pt dt ₀³ 3000 et dt ₀³ 3000 dt ₀³ et dt ₀³ Pt dt 3000t et₀³ 30003 e³ 30000 e⁰ 9000 e³ 1 ₀³ Pt dt 90190855 Logo a população de bactérias no período de 3 dias era aproximadamente 9019 bactérias Resposta final d aproximadamente 9019 bactérias Questão 07 Um agricultor pretende gramar ua pequena região como a da figura a seguir que tem uma área em hectares ha delimitada pelos gráficos de gxx² e fxx2 no intervalo 12 Para saber o quanto irá gastar precisará calcular a tal área Usando integral definida chegouse a uma conclusão e irá plantar a seguinte área a A ₁² x 2 x² dx 35 ha b A ₁² x 2 x² dx 45 ha c A ₁² x 2 x² dx 55 ha d A ₁² x 2 x² dx 25 ha e nda Solução Observamos que fx gx quando x 12 Então a área entre essas duas funções nesse intervalo pode ser calculada como a integral de fx gx A ₁² fx gx dx ₁² x 2 x² dx x²2 2x x³3₁² A 2²2 22 2³3 1²2 21 1³3 A 2 4 83 12 2 13 8 3 12 92 45 ha Logo a área será de 45 ha Resposta final b A ₁² x 2 x² dx 45 ha Questão 08 Determinar a área limitada pela curva y 5x x2 e pelo eixo x Solução Inicialmente confirmamos o intervalo de integração pelo cálculo dos zeros da equação dada 5x x2 0 x5 x 0 x 0 ou x 5 Então o intervalo de integração que será utilizado é de fato 0 5 Como a parte da curva limitada pelo eixo x possui imagens positivas podemos obter a área pelo cálculo direto da integral A 05 5x x2 dx 5x22 x3305 5522 533 5022 033 A 1252 1253 3125 21256 1256 2083 ua Logo a área procurada é dada por A 1256 ua 2083 ua Questão 09 Um aluno de engenharia ao cursar a disciplina de cálculo II se deparou com o seguinte problema Dadas as funções fx x2 e gx 3x temse uma área delimitada pelos gráficos destas funções no intervalo 03 Podese dizer que tal área é a A 45 ua b A 35 ua c A 525 ua d A 63 ua e nda Solução Pela representação gráfica fornecida observase que gx fx quando x 03 Então a área entre essas duas funções nesse intervalo pode ser calculada como a integral de gx fx A 03 gx fx dx 03 3x x2 dx 3x22 x3303 A 3322 333 3022 033 A 272 9 92 45 ua Logo a área será de 45 ua Resposta final a A 45 ua Questão 10 Use integral dupla para calcular a área anterior Solução Como gx fx quando x 03 podemos definir o intervalo de integração para y na forma fx y gx Dessa forma a região de integração pode ser definida como R 0 x 3 x2 y 3x Portanto a área procurada pode ser calculada como segue A R dydx 03 x23x dydx 03 x23x dy dx 03 yx23x dx A 03 3x x2 dx 3x22 x3303 A 3322 333 3022 033 A 272 9 92 45 ua Logo a área será de 45 ua Questão 11 Boilers são armazenamentos térmicos para aquecimento solar de água Uma empresa fabrica um boiler na forma cilíndrica O volume de um cilindro reto de altura h e cuja base e um círculo de raio r pode ser calculado usando a integral V ₀ʰ πr²dx Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro temos Diante de tais informações podese dizer que a O volume de um boiler de r 05m e h 2m é V 2πm³ b O volume de um boiler de r 05m e h 2m é V π2 m³ c O volume de um boiler de r 05m e h 2m é V 4π3 m³ d O volume de um boiler de r 05m e h 2m é V π4 m³ e O volume de um boiler de r 05m e h 2m é V 3π4 m³ Solução Considerando r 05 m e h 2 m obtemos que o valume do boiler em estudo é dado por V ₀ʰ πr² dx ₀² π05² dx ₀² 025π dx 025π ₀² dx 025πx₀² V 025π20 05π π2 m³ Resposta final b O volume de um boiler de r 05m e h 2m é V π2 m³ Questão 12 Um sistema de gerenciamento de energia para um edifício inteligente monitora o consumo de energia em função do tempo O engenheiro eletricista responsável pelo sistema quer determinar a quantidade total de energia de tal dispositivo possa ser modelada pela função Pt 20 15sent Calcule a energia total consumida pelo dispositivo ao longo de 24 horas Solução Para calcular a energia total consumida pelo dispositivo ao longo de 24 horas modelada pela função de potência Pt devemos integrar essa função ao longo do tempo ou seja E ₀²⁴ 20 15sent dt 20 ₀²⁴ dt 15 ₀²⁴ sint dt 20t₀²⁴ 15cost₀²⁴ E 20240 15cos24 cos0 480 15cos24 15 495 15cos24 ue Se quisermos um resultado numérico aproximado podemos estimar o valor de cos24 obtendo assim E 495 1504242 48864 ue Portanto a energia total consumida pelo dispositivo ao longo de 24 horas é aproximadamente 48864 unidades de energia