Limites de Funções de Várias Variáveis - Cálculos Detalhados e Resoluções

Calcule resolvendo passo a passo cada limite de funções de mais de uma variável a seguir a lim x3 y1 xy 5x 3y 15 xy3 2xy2 x 3y3 6y2 3 b lim x2 y2 x2 y2 2xy2 3y 2x2 y 4xy 6 xy 2x 4y 8 LISTA 1 Calcule resolvendo passo a passo cada limite de funções de mais de uma variável a seguir a lim xy31 xy 5x 3y 15 xy³ 2xy² x 3y³ 6y² 3 b lim xy22 x²y² 2xy² 3y 2x²y 4xy 6 xy 2x 4y 8 RESOLUÇÃO a Vamos calcular o seguinte limite La lim xy31 xy 5x 3y 15 xy³ 2xy² x 3y³ 6y² 3 A primeira coisa a se fazer no cálculo de qualquer limite é substituir a variável e verificar se chegamos a uma indeterminação Para o numerador temos Na31 3 1 53 3 1 15 3 15 3 15 0 Para o denominador temos Da31 3 13 23 12 3 13 6 12 3 3 6 3 3 6 3 0 Tanto o numerador quanto o denominador são nuloso que nos leva a uma indeterminação Vamos então fatorar ambos de forma a conseguir simplificar a expressão Vamos começar pelo numerador Naxy xy 5x 3y 15 Pondo x em evidência para os dois primeiros termos temos Naxy xy 5 3y 15 Pondo 3 em evidência para os dois últimos termos temos Naxy xy 5 3y 5 Pondo y 5 em evidência temos Naxy x 3y 5 Vamos agora fatorar o denominador Daxy xy³ 2xy² x 3y³ 6y² 3 Pondo x em evidência para os três primeiros termos temos Daxy x y³ 2y² 1 3y³ 6y² 3 Pondo 3 em evidência para os três últimos termos temos Daxy x y³ 2y² 1 3 y³ 2y² 1 Pondo y³ 2y² 1 em evidência temos Daxy x 3 y³ 2y² 1 Voltando ao limite temos La lim xy31 x 3y 5 x 3 y³ 2y² 1 Simplificando x 3 presentes tanto no numerador quanto no denominador temos La lim xy31 y 5 y³ 2y² 1 Substituindo novamente os valores temos La 1 5 1³ 2 1² 1 4 1 2 1 lim xy31 xy 5x 3y 15 xy³ 2xy² x 3y³ 6y² 3 1 b Vamos calcular o seguinte limite Lb lim xy22 x²y² 2xy² 3y 2x²y 4xy 6 xy 2x 4y 8 A primeira coisa a se fazer no cálculo de qualquer limite é substituir a variável e verificar se chegamos a uma indeterminação Para o numerador temos Nb22 2² 2² 2 2 2² 3 2 2 2² 2 4 2 2 6 16 16 6 16 16 6 0 Para o denominador temos Db22 2 2 2 2 4 2 8 4 4 8 8 0 Tanto o numerador quanto o denominador são nulos o que nos leva a uma indeterminação Vamos então fatorar ambos de forma a conseguir simplificar a expressão Vamos começar pelo numerador Nbxy x² y² 2xy² 3y 2x² y 4xy 6 Pondo y em evidência para os três primeiros termos temos Nbxy y x² y 2xy 3 2x² y 4xy 6 Pondo 2 em evidência para os três últimos termos temos Nbxy y x² y 2xy 3 2 x² y 2xy 3 Pondo x² y 2xy 3 em evidência temos Nbxy y 2 x² y 2xy 3 Vamos agora fatorar o denominador Dbxy xy 2x 4y 8 Pondo x em evidência para os dois primeiros termos temos Dbxy xy 2 4y 8 Pondo 4 em evidência para os dois últimos termos temos Dbxy xy 2 4y 2 Pondo y 2 em evidência temos Dbxy x 4y 2 Voltando ao limite temos Lb lim xy22 y 2 x² y 2xy 3 x 4y 2 Simplificando y 2 presentes tanto no numerador quanto no denominador temos Lb limxy22 x2 y 2xy 3x 4 Substituindo novamente os valores temos Lb 22 2 2 2 2 32 4 8 8 32 limxy22 x2 y2 2xy2 3y 2x2 y 4xy 6 xy 2x 4y 8 32