Lista de Exercícios Resolvidos: Equações Diferenciais e Termodinâmica

Questão 22 Um vinho tinto é trazido da adega que está fria com 10C e deixado em uma sala com temperatura de 23C Se forem necessários 10 minutos para o vinho alcançar 15C quando sua temperatura atingirá 18C Dado dTdt kT Tm O 226min O 20min O 67 min O 84min O 132min Salvar Responder depois Questão 12 A solução do problema de valor inicial y e2y sen x com y0 0 é uma função fx A solução particular para essa função é igual a O y lncosx 12 O y lncosx 22 O y ln2senx 32 O y ln2cosx 12 O y ln2cosx 22 Salvar Questão 22 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação diferencial exata cos x lny dx xy1 2e2y dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto y0 ln 2 pertence a esta função então podese afirmar que essa função no ponto dado é O x lny sen x e2y e2 O sen x x lny 2e2y 8 O sen x x y2 2e2y 2e O sen x x lny e2y 4 O sen x x lny 2e2y 2 Salvar esta questão Responder depois A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação homogênea 2y² 3xy dx 3x² dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto y1 12 pertence a esta função então podese afirmar que o valor aproximado de y3 é 3 6 8 1 5 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação diferencial exata lnx y² dx 2xy dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto y1 2 pertence a esta função então podese afirmar que essa função no ponto dado é 1x 2y xy² 0 x lnx x xy² 3 1x 2y x²y 5 lnx y³3 xy² 1 lnx 2xy xy² 2 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação homogênea x² 2y² dx 4xy dy obtémse uma função yx Se o ponto y3 1 pertence a esta função então podese afirmar que o módulo do valor aproximado de y5 é 5 8 3 6 2 Questão 1 Temos a equação x 22 y 2dx4 xydy 12 y 2 x 2 4 y x y Seja yux y u xu Logo temos 12u 24u u xu 12u 24uu x4u 2 16u 24u du dx x dx x 4u du 16u 2 Integrando obtemos ln x 2 6 ln 16u 2C ln x1 3 ln16 y x 2 C Mas temos y 31 logo ln 31 3 ln16 1 3 2 C ln 31 3 ln16 9C ln 31 3 ln 1 3C ln 31 3 ln 3C 2 3 ln 3C Logo temos ln x1 3 ln16 y x 2 2 3 ln3 Assim para x5 temos ln 51 3 ln16 y 5 2 2 3 ln 3 ln 52 3 ln 31 3 ln16 y 5 2 3ln 52 3 ln3ln16 y 5 2 16 y 5 2 e 3ln52 3 ln 3 6 25 y 21e3ln 52ln 3 y 225 6 1eln125ln 9 y 5 6 1e ln 125 9 y 5 6 1e ln 9 125 y 5 61 9 125 y 5 6 116 125 y1966 y2 Questão 2 Temos a equação 2 y 23 xydx3 x 2dy 2 y 2 x 2 3 y x 3 y Seja yux y u xu Logo temos 2u 23u3 u xu 2u 23u3u x3u 2u 23u x 2u 23 du dx x 2 dx x 3 du u 2 Integrando obtemos 2ln x3 uC 2ln x3x y C Mas temos y 11 2 logo 2ln 1 3 1 2 C 06C C6 Logo temos 2ln x3x y 6 Assim para x3 temos 2ln 3 9 y 6 ln 96 9 y y 9 ln96 y10979 y1 Questão 3 Note que temos dT dt k TT m Resolvendo obtemos dT TTm k dt T 0 T dT TT m 0 t kdt ln TT mlnT 0T mkt ln TT m T0T m kt Pelos dados temos ln 1523 1023k 10 ln 1823 1023k t Dividindo as equações temos ln 1523 1023k 10 kt k 10 ln 1823 1023 ln 1523 1023 t10 ln 5 13 ln 8 13 t1968 t20 Questão 4 Temos dy dx e 2 ysin x e 2 y dysin x dx Integrando temos e 2 y 2 cos xc Mas y 00 logo e 0 2cos0c 1 2 1c c1 2 Assim a soluçaõ fica e 2 y 2 cos x 1 2 e 2 y2cos x1 2 yln2cos x1 y1 2 ln 2cos x1 Questão 5 Temos a equação cos xln y dxx y 12e 2 ydy0 Esta equação é exata pois y cos xln y x x y 12e 2 y 1 y Logo a solução é dada por uc Onde u xcos xln y u y x y 12e 2 y Integrando obtemos usin xx ln ye 2 yc Mas temos y 0ln 2 logo sin00ln ln 2e 2ln2c 0e ln 4c c4 Logo temos sin xx ln ye 2 y4 Questão 6 Temos a equação ln x y 2dx2 xydy0 Esta equação é exata pois y ln x y 2 x 2xy 2 y Logo a solução é dada por uc Onde u xln x y 2 u y 2xy Integrando obtemos ux ln xxx y 2c Mas temos y 12 logo 1ln 1112 2c 14c c3 Logo temos x ln xxx y 23 Lubricant metal complex greases are specialty performances where liquor metal s complex is entry bottle protect the no and metal surfaces and result superior corrosion protection lubrication create bountiful cushioning and improve water resistance Questão 1 Temos a equação 𝑥2 2𝑦2𝑑𝑥 4𝑥𝑦𝑑𝑦 1 2𝑦2 𝑥2 4𝑦 𝑥 𝑦 Seja 𝑦 𝑢𝑥 𝑦 𝑢𝑥 𝑢 Logo temos 1 2𝑢2 4𝑢𝑢𝑥 𝑢 1 2𝑢2 4𝑢𝑢𝑥 4𝑢2 1 6𝑢2 4𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 4𝑢 𝑑𝑢 1 6𝑢2 Integrando obtemos ln 𝑥 2 6 ln1 6𝑢2 𝐶 ln 𝑥 1 3 ln 1 6 𝑦 𝑥 2 𝐶 Mas temos 𝑦3 1 logo ln 3 1 3 ln 1 6 1 3 2 𝐶 ln 3 1 3 ln 1 6 9 𝐶 ln 3 1 3 ln 1 3 𝐶 ln 3 1 3 ln 3 𝐶 2 3 ln 3 𝐶 Logo temos ln 𝑥 1 3 ln 1 6 𝑦 𝑥 2 2 3 ln 3 Assim para 𝑥 5 temos ln 5 1 3 ln 1 6 𝑦 5 2 2 3 ln 3 ln 5 2 3 ln 3 1 3 ln 1 6 𝑦 5 2 3 ln 5 2 3 ln 3 ln 1 6 𝑦 5 2 1 6 𝑦 5 2 𝑒3ln 52 3 ln 3 6 25 𝑦2 1 𝑒3 ln 52 ln 3 𝑦2 25 6 1 𝑒ln 125ln 9 𝑦 5 6 1 𝑒ln125 9 𝑦 5 6 1 𝑒ln 9 125 𝑦 5 6 1 9 125 𝑦 5 6 116 125 𝑦 1966 𝑦 2 Questão 2 Temos a equação 2𝑦2 3𝑥𝑦𝑑𝑥 3𝑥2𝑑𝑦 2𝑦2 𝑥2 3𝑦 𝑥 3𝑦 Seja 𝑦 𝑢𝑥 𝑦 𝑢𝑥 𝑢 Logo temos 2𝑢2 3𝑢 3𝑢𝑥 𝑢 2𝑢2 3𝑢 3𝑢𝑥 3𝑢 2𝑢2 3𝑢𝑥 2𝑢2 3 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 3 𝑑𝑢 𝑢2 Integrando obtemos 2 ln 𝑥 3 𝑢 𝐶 2 ln 𝑥 3𝑥 𝑦 𝐶 Mas temos 𝑦1 1 2 logo 2 ln 1 3 1 2 𝐶 0 6 𝐶 𝐶 6 Logo temos 2 ln 𝑥 3𝑥 𝑦 6 Assim para 𝑥 3 temos 2 ln 3 9 𝑦 6 ln 9 6 9 𝑦 𝑦 9 ln 9 6 𝑦 10979 𝑦 1 Questão 3 Note que temos 𝑑𝑇 𝑑𝑡 𝑘𝑇 𝑇𝑚 Resolvendo obtemos 𝑑𝑇 𝑇 𝑇𝑚 𝑘𝑑𝑡 𝑑𝑇 𝑇 𝑇𝑚 𝑇 𝑇0 𝑘𝑑𝑡 𝑡 0 ln𝑇 𝑇𝑚 ln𝑇0 𝑇𝑚 𝑘𝑡 ln 𝑇 𝑇𝑚 𝑇0 𝑇𝑚 𝑘𝑡 Pelos dados temos ln 15 23 10 23 𝑘10 ln 18 23 10 23 𝑘𝑡 Dividindo as equações temos ln 15 23 10 23 𝑘10 𝑘𝑡 𝑘10 ln 18 23 10 23 ln 15 23 10 23 𝑡 10 ln 5 13 ln 8 13 𝑡 1968 𝑡 20 Questão 4 Temos 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒2𝑦 sin𝑥 𝑒2𝑦𝑑𝑦 sin 𝑥 𝑑𝑥 Integrando temos 𝑒2𝑦 2 cos 𝑥 𝑐 Mas 𝑦0 0 logo 𝑒0 2 cos 0 𝑐 1 2 1 𝑐 𝑐 1 2 Assim a soluçaõ fica 𝑒2𝑦 2 cos 𝑥 1 2 𝑒2𝑦 2 cos 𝑥 1 2𝑦 ln2 cos 𝑥 1 𝑦 1 2 ln2 cos 𝑥 1 Questão 5 Temos a equação cos 𝑥 ln 𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑦1 2𝑒2𝑦𝑑𝑦 0 Esta equação é exata pois 𝑦 cos 𝑥 ln 𝑦 𝑥 𝑥𝑦1 2𝑒2𝑦 1 𝑦 Logo a solução é dada por 𝑢 𝑐 Onde 𝑢 𝑥 cos 𝑥 ln 𝑦 𝑢 𝑦 𝑥𝑦1 2𝑒2𝑦 Integrando obtemos 𝑢 sin 𝑥 𝑥 ln 𝑦 𝑒2𝑦 𝑐 Mas temos 𝑦0 ln 2 logo sin 0 0 ln ln 2 𝑒2 ln 2 𝑐 0 𝑒ln 4 𝑐 𝑐 4 Logo temos sin 𝑥 𝑥 ln 𝑦 𝑒2𝑦 4 Questão 6 Temos a equação ln 𝑥 𝑦2𝑑𝑥 2𝑥𝑦𝑑𝑦 0 Esta equação é exata pois 𝑦 ln 𝑥 𝑦2 𝑥 2𝑥𝑦 2𝑦 Logo a solução é dada por 𝑢 𝑐 Onde 𝑢 𝑥 ln 𝑥 𝑦2 𝑢 𝑦 2𝑥𝑦 Integrando obtemos 𝑢 𝑥 ln 𝑥 𝑥 𝑥𝑦2 𝑐 Mas temos 𝑦1 2 logo 1 ln 1 1 1 22 𝑐 1 4 𝑐 𝑐 3 Logo temos 𝑥 ln 𝑥 𝑥 𝑥𝑦2 3 Fully synthetic Easier Clean Oil nonmineral based Fully synthetic Easier Clean Oil nonmineral based Better Cleaner Fully synthetic Easily Cleanable Fully for compressor oil synthetic nonmineral based Translube Premium specialty compressor oil Better dimensional stability and lighter colour easier cleaning easier to exchange better to manage oil circuit than mineral based oil Soft TPU sealed bearing keeping rotation membrane stable and long life High technology fluid based on polyol ester additives for better cleanliness and lower friction coefficient Copy right Tranlub PM 21 Version 5 in 2017 wwwtranlubcom Subject to technical change without notice 77