Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo Multivariável - Domínio de Funções e Aplicações

pela região interna de uma elipse cujo eixo maior mede 3 pela região externa de uma elipse cujo eixo maior mede 3 pela região externa de uma elipse cujo eixo maior mede 15 pela região interna de uma elipse cujo eixo maior mede 15 pela região interna de uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo y A função composta guxyvxy de gxyy senx²y onde uxy x²y³ e vxy πxy é guxyvxy πxy senπx²y⁴ guxyvxy πxy senx²y guxyvxy x²y³ senx²y guxyvxy x²y³ senπxy guxyvxy πxy senπx⁵y⁷ Para velocidades maiores que 3 milhash podese modelar a sensação térmica em ºF pela função W 3574 0 625T 04275T 35 75016 com T em ºF e v em milhash Para uma temperatura de 27ºF e sensação térmica de 18ºF a velocidade do vento deve ser aproximadamente igual a 9 milhash 5 milhash 6 milhash 8 milhash 7 milhash O domínio da função fxy sqrty² x²x² 2x 3 pode ser representado pelo conjunto Df xy R² x 0 e y x Df xy R² x 1 ou x 3 e y R Df xy R² x 0 ou y x Df xy R² 0 x 1 e y 1 Df xy R² x 0 e y R Solução Inicialmente observamos que toda a expressão algébrica que define fxy está dentro de um radical de índice par Logo o resultado da fração y² x²x² 2x 3 deve ser não negativo para x R Observe ainda que os valores do numerador são sempre não negativos para quaisquer xy R pois são constituídos da soma de potências pares Então o sinal da expressão é determinado pelo denominador este por sua vez que deve ser distinto de zero para que a divisão faça sentido Assim resumimos o domínio de fxy para valores de x e y que satisfaçam x² 2x 3 0 Como y não está presente na expressão de interesse concluímos que y R é variável livre Para obter o intervalo restritivo para x estudaremos os sinais de gx x² 2x 3 Para tal calculamos primeiro as raízes de gx x² 2x 3 0 x b sqrtb² 4ac2a 2 sqrt2² 41321 2 sqrt162 Logo x 2 42 3 ou x 2 42 1 Conhecidas as raízes de gx e percebendo que a concavidade da parábola que representa gx graficamente está voltada para cima já que a 1 0 podemos construir um esboço de gx conforme ilustração a seguir Note note que a curva está acima do eixo x para valores à direita de 3 e à esquerda de 1 Assim o conjunto solução da inequação de interesse é dado por S x Rx 1 ou x 3 Concluímos assim que o domínio de fxy é dado por D f xy R2x 1 ou x 3 e y R Resposta final Opção 2 Df xy R2x 1 ou x 3 e y R 2 Sobre o gráfico do domínio da função fxy sqrt9 4x² 9y² pode ser representado pela região interna de uma elipse cujo eixo maior mede 3 pela região externa de uma elipse cujo eixo maior mede 3 pela região externa de uma elipse cujo eixo maior mede 15 pela região interna de uma elipse cujo eixo maior mede 15 pela região interna de uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo y Solução Como no universo dos reais os valores dentro de radicais de índice par devem ser nãonegativos temos que 9 4x² 9y² 0 Ou seja 9 4x² 9y² 4x² 9y² 9 Dividindo a última inequação por nove 9 obtemos 49x² y² 1 x²94 y² 1 x²32² y²1² 1 Considerando o caso da igualdade x²32² y²1² 1 temos uma elipse com a 32 15 e b 1 Então o eixo maior mede 2a 215 3 Por fim como a última inequação em 1 traz que o lado esquerdo da equação reduzida da elipse é menor do que 1 concluímos que o domínio corresponde à região interna da elipse Portanto o gráfico do domínio da função fxy sqrt9 4x² 9y² pode ser representado pela região interna de uma elipse cujo eixo maior mede 3 Resposta final Opção 1 pela região interna de uma elipse cujo eixo maior mede 3 A função composta guxyvxy de gxy y senx2 y onde uxy x2 y3 e vxy πxy é guxyvxy πxy senπx2 y4 guxyvxy πxy senx2 y guxyvxy x2 y3 senx2 y guxyvxy x2 y3 senπxy guxyvxy πxy senπx5 y7 Solução Temos que gxy y senx2 y uxy x2 y3 e vxy πxy Dessa forma guxyvxy vxy senu2xy vxy πxy senx2 y32 πxy πxy senx4 y6 πxy πxy senπ x5 y7 Resposta final Opção 5 guxyvxy πxy senπ x5 y7 Para velocidades maiores que 3 milhash podese modelar a sensação térmica em ºF pela função W 3574 0625T 04275T 3575v016 com T em ºF e v em milhash Para uma temperatura de 27ºF e sensação térmica de 18ºF a velocidade do vento deve ser aproximadamente igual a 9 milhash 5 milhash 6 milhash 8 milhash 7 milhash Solução Temos que W 3574 0625T 04275T 3575v016 Considerando uma temperatura T 27ºF e sensação térmica W 18ºF obtemos 18 3574 062527 0427527 3575v016 18 3575 168750 242075v016 18 526250 242075v016 242075v016 526150 18 242075v016 346150 v016 346150 242075 Aplicando ln aos dois membros da última igualdade obtemos lnv016 ln346150 242075 016 lnv ln346150 242075 lnv 1 016 ln346150 242075 v e1 016 ln346150 242075 93479 9 Resposta final Opção 1 9 milhash