Lista de Exercicios Resolvidos Teorema de Green e Integrais de Linha

O teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região D limitada pela curva C Como foi visto é possível utilizar qualquer uma das duas formas deste teorema para se determinar uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C Sendo assim o valor aproximado da integral de linha onde C é o triângulo de vértices e é Solução Pelo teorema de Green temos que Para determinação da área D calculamos a integral que compreende a região limitada pelo triângulo de vértices e representado na figura a seguir Observe que o segmento que ligam os vértices e tem como reta suporte a função Então a região D pode ser escrita da seguinte forma Por sua vez pela função dada no integrando extraímos que Dessa forma a integral de interesse definida em 1 é dada por Questão 12 Valor da questão 100 Estou com dúvida De acordo como o que foi estudado nos teoremas para campos vetoriais conservativos podese determinar a integral de linha Uma vez que para esses campos vetoriais Assim o valor aproximado da para é a curva C pode ser representada pela função vetorial com 0 é 97 37 67 47 57 Salvar esta questão Questão 22 Valor da questão 100 Estou com dúvida A integral de linha tal que c é a curva x 15t y 2t 1 com 0 t 1 vale 200 250 075 300 125 Salvar esta questão Questão 12 Valor da questão 100 Estou com dúvida O teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região D limitada pela curva C Como foi visto é possível utilizar qualquer uma das duas formas deste teorema para se determinar uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C Sendo assim o valor aproximado da integral de linha onde C é o triângulo de vértices e é 12 07 03 24 10 Salvar esta questão Questão 22 Valor da questão 100 Estou com dúvida Questão 22 O teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região D limitada pela curva C Como foi visto na videoaula da semana 8 temse duas formas para este teorema a forma normal fluxodivergência e a forma tangencial circulaçãorotacional Sendo assim Utilize o teorema de Green para determinar a circulaçãorotacional do campo vetorial Fxy xyî x2 y2ĵ sobre a região limitada pelo triângulo de vértices 00 30 e 33 Solução Pelo teorema de Green temos que C F dr D Qx Py dxdy 2 Para determinação da área D calculamos a integral que compreende a região limitada pelo triângulo de vértices 00 30 e 33 representado na figura a seguir Figura triângulo com vértices em 00 30 e 33 região D sombreada Observe que o segmento que ligam os vértices 00 e 33 tem como reta suporte a função y x Então a região D pode ser escrita da seguinte forma D xy R2 0 x 3 0 y x Por sua vez o campo dado pode ser escrito como Fxy xyî x2 y2ĵ Pxyî Qxyĵ Portanto as funções Pxy e Qxy são Pxy xy Qxy x2 y2 x2 y2 Questão 22 Valor da questão 100 Estou com dúvida O teorema de Green relaciona uma integral de linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral dupla sobre a região D limitada pela curva C Como foi visto na videoaula da semana 8 temse duas formas para este teorema a forma normal fluxo divergência e a forma tangencial circulação rotacional Sendo assim Utilize o teorema de Green para determinar a circulação rotacional do campo vetorial sobre a região limitada pelo triângulo de vértices e 80 10 15 225 125 Salvar esta questão D Qx Py dxdy 01 02x x2 y3x xyy dydx 01 02x 2xy3 x dydx 01 xy42 xy02x dx 01 x2x42 x2x dx 01 8x5 2x2 dx 8x66 2x3301 4163 2133 43 23 23 06667 07 Resposta final Opção 2 07 Dessa forma a integral de interesse definida em 2 é dada por D Qx Py dxdy 03 0x x2 y2x xyy dydx 03 0x 2x1 dydx 03 2xy y0x dx 03 2xxx dx 03 2x2 x dx 2x33 x2203 2333 322 543 92 452 225 Resposta final Opção 4 225 Questão 12 De acordo como o que foi estudado nos teoremas para campos vetoriais conservativos podese determinar a 𝒞 𝐅 d𝐫 pelo teorema fundamental da integral de linha 𝒞 f d𝐫 f𝐫 b f𝐫 a Uma vez que para esses campos vetoriais f 𝐅 Assim o valor aproximado da 𝒞 𝐅 d𝐫 para 𝐅 xyz y²z³ 4x³ 𝐢 2xyz³ 𝐣 3xy²z² ez 𝐤 e a curva C pode ser representada pela função vetorial 𝐫 t t1 𝐢 t³ 𝐣 t² 1 𝐤 com 0 t 1 é Solução Como 𝐅 fxyz temos que 𝐅 F₁F₂F₃ fx fy fz Dessa forma temos que fx y²z³ 4x³ Integrando a equação obtida com relação a x obtemos fxyz xy²z³ x⁴ gyz Derivando a última igualdade com relação a y chegase em fy 2xyz³ gy Mas fy F₂ 2xyz³ Então gy 2xyz³ 2xyz³ gy 0 Ou seja gyz hz Assim chegamos em fxyz xy²z³ x⁴ hz Derivando f com relação a z obtémse fz 3xy²z² hz 3xy²z² ez hz ez hz ez c c ℝ Portanto fxyz xy²z³ x⁴ ez c Então f𝐫 t t1t³²t² 1³ t1⁴ et²1 c t1t²1³ t⁶ t1⁴ et²1 c Logo f𝐫 1 111²1³1⁶ 11⁴ e1²1 c e² c f𝐫 0 010²1³0⁶ 01⁴ e0²1 c e¹ c Pelo teorema fundamental da integral de linha obtemos 𝒞 𝐅 d𝐫 𝒞 f d𝐫 f𝐫 1 f𝐫 0 e² c e c e² e 47 Resposta final Opção 4 47 Questão 22 A integral de linha 𝒞 2xy² ds tal que c é a curva x 15t y 2t 1 com 0 t 1 vale Solução A parametrização fornecida pode ser resumida na forma do vetor 𝐫 t 15t 2t 1 Então a derivação da parametrização obtida é 𝐫 t 15 2 dt Portanto ds 𝐫 t 15² 2² dt 625 dt 25 dt Portanto 𝒞 2xy² ds ₀¹ 215t2t1²25 dt 75 ₀¹ t4t² 4t 1 dt 75 ₀¹ 4t³ 4t² t dt 75 t⁴ 4t³3 t²2₀¹ 75 1⁴ 41³3 1²2 75 1 43 12 75 1 43 12 125 Resposta final Opção 5 125