Resolução de Integrais Múltiplas - Cálculos Detalhados e Regiões de Integração

Resolva as integrais múltiplas e esboce a região de integração da integral da alínea a a ₁₂ᵉ ˡⁿˣ² 4x dy dx b ₀⁴ ₁⁵ 5xy 1 y² dy dx c ₂⁴ ₀ˣ² ₀²ʸ x⁴ y² z dz dy dx Apresente a resolução das alíneas a b c passo a passo até a resposta final Questão a Temos a integral I 1 2 e ln x 2 4 x dydx Calculando obtemos I4 1 2 e x ln x 2 dydx 4 1 2 e x 2ln x dx 4 1 2 e 2 xx ln x dx 4 1 2 e 2 x dx4 1 2 e x ln x dx Aqui seja uln x dvxdx Logo du1 x dx vx 2 2 E a integral fica I4 1 2 e 2 x dx4ln x x 2 2 12 e 1 2 e x 2 2 1 x dx I4 x 212 e 4ln x x 2 2 12 e 1 2 1 2 e x dx I4 x 212 e 2 x 2ln x12 e 1 2 e 2 xdx I4 x 212 e 2 x 2ln x12 e x 212 e I5 x 212 e 2 x 2ln x12 e I5e 2 1 2 22e 2ln e 1 2 2 ln 1 2 I5e 21 42e 21 4 ln 1 2 I5e 25 42e 2 1 2 ln 2 I3e 25 41 2 ln 2 A região de integração para este cálculo é dada por Questão b Temos a integral I 0 1 1 5 5 xy 1 y 2 dydx Calculando obtemos I 0 1 5 x 1 5 y 1 y 2 dydx Seja u1 y 2 du2 ydy logo temos I5 2 0 1 x 2 26 du u dx I5 2 0 1 x lnu 2 26 dx I5 2 ln 26ln 2 0 1 xdx I5 2 ln 26ln 2 x 2 2 0 1 I5 2 ln 26ln 2 1 2 2 I5 4ln 26 2 I5 4 ln 13 Questão c Temos a integral I 2 4 0 x2 0 2 y x 4 y 2 zdzdydx Calculando obtemos I 2 4 x 4 0 x2 y 2 0 2 y zdzdydx I 2 4 x 4 0 x2 y 2 z 2 2 0 2 y dydx I 2 4 x 4 0 x 2 y 2 2 2 y 2 2 dydx I 2 4 x 4 0 x 2 2dydx I2 2 4 x 4 0 x 2 dydx I2 2 4 x 4 x 2 dx I2 2 4 x 6 dx I2 x 7 7 2 4 I2 4 72 7 7 I2 16384128 7 I 32512 7 Questão a Temos a integral 𝐼 4𝑥𝑑𝑦 2 ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 1 2 Calculando obtemos 𝐼 4 𝑥 𝑑𝑦 2 ln 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 1 2 4 𝑥2 ln 𝑥𝑑𝑥 𝑒 1 2 4 2𝑥 𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 𝑒 1 2 4 2𝑥𝑑𝑥 𝑒 1 2 4 𝑥 ln 𝑥𝑑𝑥 𝑒 1 2 Aqui seja 𝑢 ln 𝑥 𝑑𝑣 𝑥𝑑𝑥 Logo 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑥2 2 E a integral fica 𝐼 4 2𝑥𝑑𝑥 𝑒 1 2 4 ln 𝑥 𝑥2 2 12 𝑒 𝑥2 2 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 1 2 𝐼 4𝑥212 𝑒 4 ln 𝑥 𝑥2 2 12 𝑒 1 2 𝑥𝑑𝑥 𝑒 1 2 𝐼 4𝑥212 𝑒 2𝑥2 ln 𝑥12 𝑒 2𝑥𝑑𝑥 𝑒 1 2 𝐼 4𝑥212 𝑒 2𝑥2 ln 𝑥12 𝑒 𝑥212 𝑒 𝐼 5𝑥212 𝑒 2𝑥2 ln 𝑥12 𝑒 𝐼 5 𝑒2 1 22 2 𝑒2 ln 𝑒 1 22 ln 1 2 𝐼 5 𝑒2 1 4 2 𝑒2 1 4 ln 1 2 𝐼 5𝑒2 5 4 2𝑒2 1 2 ln 2 𝑰 𝟑𝒆𝟐 𝟓 𝟒 𝟏 𝟐 𝐥𝐧 𝟐 A região de integração para este cálculo é dada por Questão b Temos a integral 𝐼 5𝑥𝑦 1 𝑦2 𝑑𝑦 5 1 𝑑𝑥 1 0 Calculando obtemos 𝐼 5𝑥 𝑦 1 𝑦2 𝑑𝑦 5 1 𝑑𝑥 1 0 Seja 𝑢 1 𝑦2 𝑑𝑢 2𝑦𝑑𝑦 logo temos 𝐼 5 2 𝑥 𝑑𝑢 𝑢 26 2 𝑑𝑥 1 0 𝐼 5 2 𝑥ln 𝑢2 26𝑑𝑥 1 0 𝐼 5 2 ln 26 ln 2 𝑥𝑑𝑥 1 0 𝐼 5 2 ln 26 ln 2 𝑥2 2 0 1 𝐼 5 2 ln 26 ln 2 12 2 𝐼 5 4 ln 26 2 𝑰 𝟓 𝟒 𝐥𝐧 𝟏𝟑 Questão c Temos a integral 𝐼 𝑥4𝑦2𝑧𝑑𝑧 2 𝑦 0 𝑑𝑦 𝑥2 0 𝑑𝑥 4 2 Calculando obtemos 𝐼 𝑥4 𝑦2 𝑧𝑑𝑧 2 𝑦 0 𝑑𝑦 𝑥2 0 𝑑𝑥 4 2 𝐼 𝑥4 𝑦2 𝑧2 2 0 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑥2 0 𝑑𝑥 4 2 𝐼 𝑥4 𝑦2 22 𝑦2 2 𝑑𝑦 𝑥2 0 𝑑𝑥 4 2 𝐼 𝑥4 2𝑑𝑦 𝑥2 0 𝑑𝑥 4 2 𝐼 2 𝑥4 𝑑𝑦 𝑥2 0 𝑑𝑥 4 2 𝐼 2 𝑥4𝑥2𝑑𝑥 4 2 𝐼 2 𝑥6𝑑𝑥 4 2 𝐼 2 𝑥7 7 2 4 𝐼 2 47 27 7 𝐼 2 16384 128 7 𝑰 𝟑𝟐𝟓𝟏𝟐 𝟕