Equações Exatas e Diferenciais: Teoria e Exemplos

1 CURSOS DE ENGENHARIA E TECNOLOGIAS MODALIDADE PRESENCIAL COMPONENTE CÁLCULO INTEGRAL EDO EQUAÇÕES EXATAS Professor Dr Adriano Dawison de Lima EQUAÇÕES EXATAS Embora a equação 𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑦 0 Seja separável e homogênea podemos ver que ela é também equivalente à diferenciável do produto de x e y isto é 𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 0 Por integração obtemos imediatamente a solução implícita 𝑥𝑦 𝑐 Você deve se lembrar do cálculo que se 𝑧 𝑓𝑥 𝑦 é uma função com derivadas parciais contínuas em uma região R do plano 𝑥𝑦 então sua diferenciável total é 𝑑𝑧 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 Agora se fxy c segue se 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑓 𝑦 𝑑𝑦 0 Em outras palavras dada uma família de curvas fxy c podemos gerar uma equação diferencial de primeira ordem calculando a diferencial total EQUAÇÃO EXATA Uma expressão diferencial 𝑀𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑁𝑥 𝑦𝑑𝑦 É uma equação diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função fxy Uma equação diferencial de forma 𝑀𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑁𝑥 𝑦𝑑𝑦 0 É chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata Exemplo 𝑥2𝑦3𝑑𝑥 𝑥3𝑦2𝑑𝑦 0 é exata pois 𝑑 1 3 𝑥3𝑦3 𝑥2𝑦3𝑑𝑥 𝑥3𝑑𝑦 O teorema seguinte é um teste para uma diferencial exata 3 CRITÉRIO PARA UMA DIFERENCIAL EXATA Sejam 𝑀𝑥 𝑦 𝑒 𝑁𝑥 𝑦 funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região retangular definida 𝑎 𝑥 𝑏 e 𝑐 𝑦 𝑑 Então uma condição necessária e sufiente para que 𝑀𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝑁𝑥 𝑦𝑑𝑦 Seja um diferencial exata é 𝑀 𝑦 𝑁 𝑥 O que eu preciso saber 1 𝑀𝑑𝑥 𝑁𝑑𝑦 0 2 𝑀 𝑦 𝑁 𝑥 Qual o objetivo Chegar na função 𝐹𝑥 𝑦 𝐶 4 Exemplo Calcule 𝑥2 𝑦𝑑𝑥 𝑥 2𝑦𝑑𝑦 0 Primeiro passo Declarar Mdx e Ndy 𝑀𝑑𝑥 𝑥2 𝑦 𝑀𝑑𝑦 𝑥 2𝑦 Segundo passo calcular 𝑀 𝑦 1 𝑁 𝑥 1 𝑀 𝑦 1 𝑁 𝑥 5 Terceiro passo Integrar 𝐹 𝑥 𝑥2 𝑦 𝐹 𝑥 𝑥2 𝑦 𝐹𝑥 𝑥3 3 𝑥𝑦 𝐶𝑦 𝐹 𝑦 𝑥 2𝑦 𝐹𝑦 𝑥𝑦 2 𝑦2 2 𝐶𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑥3 3 𝑦2 𝑥𝑦 𝐶 Exemplo Resolva 2𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑥2 1𝑑𝑦 0 Primeiro passo Verificar pela condição se a equação é homogênea 6 2𝑥𝑦 𝑀 𝑑𝑥 𝑥2 1 𝑁 𝑑𝑦 0 𝑀 2𝑥𝑦 𝑀 𝑦 2𝑥 𝑁 𝑥2 1 𝑁 𝑥 2𝑥 𝑀 𝑦 2𝑥 𝑁 𝑥 𝐹 𝑥 2𝑥𝑦 𝐹 𝑦 𝑥2 1 Integra ambas 𝐹 𝑥 2𝑥𝑦 7 𝐹 2𝑦 𝑥2 2 𝐹𝑥 𝑥2𝑦 𝐶𝑦 𝐹 𝑦 𝑥2 1 𝐹𝑦 𝑥2𝑦 𝑦 𝐶𝑥 Juntar o termos comuns e não comuns 𝐹𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑦 𝐶1 𝐹𝑥 𝑦 𝐶2 Ou 𝐹𝑥 𝑦 0 𝑥2𝑦 𝑦 𝐶1 𝐶2 𝑥2𝑦 𝑦 𝐶2 𝐶1 𝑥2𝑦 𝑦 𝐶 8 Resolva 𝑒2𝑦 𝑦 cos𝑥𝑦𝑑𝑥 2𝑥𝑒2𝑦 𝑥 cos𝑥𝑦 2𝑦𝑑𝑦 0 Solução Para resolver a equação exata precisamos analisar três critérios 1 𝑀𝑑𝑥 𝑒 𝑁𝑑𝑦 2 𝑀 𝑦 𝑁 𝑥 3 𝐹𝑥 𝑦 𝐶 Primeiro critério 𝑀 𝑒2𝑦 𝑦 cos𝑥𝑦 𝑁 2𝑥𝑒2𝑦 𝑥 cos𝑥𝑦 2𝑦 9 Segundo critério 𝑴 𝒆𝟐𝒚 𝑰 𝒚 𝐜𝐨𝐬𝒙𝒚 𝑰𝑰 𝑀 𝑦 I e2y 𝒖 𝟐𝒚 𝒖 𝟐 I eu u I e2y 2 I 2e2y Primeira parcela parte II II ycosxy uy uy 1 v cosxy vy xsenxy II u v v u II 1 cosxy xsenxyy II cosxy xysenxy 𝑀 𝑦 𝒆𝟐𝒚 𝐜𝐨𝐬𝐱𝐲 𝐱𝐲𝐬𝐞𝐧𝐱𝐲 10 𝑁 2𝑥𝑒2𝑦 𝑥 cos𝑥𝑦 2𝑦 𝑁 𝑥 I 2xe2y I 21e2y I 2 e2y II xcosxy ux ux 1 v cosxy vx ysenxy II u v v u II 1 cosxy ysenxyx II cosxy xysenxy III 2y IIIx 0 𝑁 𝑥 2𝑒2𝑦 𝐜𝐨𝐬𝐱𝐲 𝐱𝐲𝐬𝐞𝐧𝐱𝐲 11 𝑀 𝑦 𝑁 𝑥 Integrar 𝐹 𝑥 𝑒2𝑦 𝑦 cos𝑥𝑦 𝐹𝑥 𝑒2𝑦𝑑𝑥 𝑦 cos𝑥𝑦𝑑𝑥 Método da substituição 𝑢 𝑥𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑦 𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑦 𝐹𝑥 𝑒2𝑦 𝑑𝑥 𝑦 cos𝑢 𝑑𝑢 𝑦 𝑭𝒙 𝒙𝒆𝟐𝒚 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒚 𝑪𝒚 𝐹 𝑦 2𝑥𝑒2𝑦 𝑥 cos𝑥𝑦 2𝑦 𝑑𝑦 12 𝐹 𝑦 2𝑥𝑒2𝑦𝑑𝑦 𝑥 cos𝑥𝑦𝑑𝑦 2𝑦 𝑑𝑦 𝐹𝑦 2𝑥 𝑒2𝑦𝑑𝑦 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 dy 2 𝑦 𝑑𝑦 𝐹𝑦 2𝑥 1 2 𝑒2𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 𝑦2 𝐶𝑥 𝐹𝑥 𝑦 2𝑥𝑒2𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 𝑦2 Critério 3 𝐹𝑥 𝑦 𝐶 2𝑥𝑒2𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑦 𝑦2 𝐶 0