Roteiro de Estudos sobre Cálculo Integral

1 CURSOS DE ENGENHARIA E TECNOLOGIAS MODALIDADE PRESENCIAL COMPONENTE CÁLCULO INTEGRAL Primeiro roteiro para estudos Professor Dr Adriano Dawison de Lima Agosto de 2023 Integral Indefinida Definição Uma função 𝐹𝑥 é chamada uma primitiva de 𝑓𝑥 em um intervalo I ou simplesmente uma primitiva de 𝑓𝑥 se para todo 𝑥 𝐼 temos Fx fx Observemos que de acordo com nossa definição as primitivas de uma função 𝑓𝑥 estão sempre definidas sobre algum intervalo Quando não explicitamos o intervalo e nos referimos a duas primitivas da mesma função entendemos que essas funções são primitivas de 𝑓 no mesmo intervalo 𝐼 2 Exemplos 𝐹𝑥 𝑥3 3 é um primitiva de 𝑓𝑥 𝑥2 pois 𝐹𝑥 3 𝑥31 3 𝑥2 𝑓𝑥 Propriedades da Integral Indefinida I 𝒌𝑓𝑥𝑑𝑥 𝒌 𝑓𝑥𝑑𝑥 II 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑔𝑥 𝑑𝑥 Tabela das integrais imediatas I 𝑑𝑢 𝑰 𝒖 𝒄 II 𝑑𝑢 𝑢 𝑰 𝒍𝒏𝒖 𝒄 III 𝑢𝑛 𝑰 𝒖𝒏𝟏 𝒏 𝟏 𝒄 3 Calcular as integrais indefinidas Atividade 1 3𝑥2 5 𝑥 𝑑𝑥 Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais temos I A integral da soma é a soma das integrais 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝑑𝑥 𝒇𝒙 𝒅𝒙 𝒈𝒙 𝒅𝒙 3𝑥2 𝒇𝒙 5 𝒈𝒙 𝑥 𝒉𝒙 𝑑𝑥 Solução 3𝑥2 5 𝑥 𝑑𝑥 3𝑥2 𝒇𝒙 𝑑𝑥 5 𝒈𝒙 𝑑𝑥 𝑥 𝒉𝒙 𝑑𝑥 I Segundo passo Verificar se há constante caso tenha utilizar a propriedade 𝒌𝑓𝑥𝑑𝑥 𝒌 𝑓𝑥𝑑𝑥 𝟑𝑥2𝑑𝑥 𝟓 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 4 𝟑 𝑥2𝑑𝑥 𝟓 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 Terceiro passo caso tenha raiz representála em forma de potência 𝑎𝑀 𝑁 𝑎 𝑀 𝑁 𝟑 𝑥2𝑑𝑥 𝟓 𝑑𝑥 𝑥 1 2 𝑑𝑥 Quarto passo Integrar funções de acordo com cada propriedade 𝟑 𝑥2𝑑𝑥 𝟓 𝑑𝑥 𝑥 1 2 𝑑𝑥 Tabela 𝒖𝒏𝒅𝒖 𝑰 𝒖𝒏𝟏 𝒏 𝟏 𝑪 𝒅𝒖 𝑰 𝒖 𝑪 𝟑 𝑥2𝑑𝑥 𝟓 𝑑𝑥 𝑥 1 2 𝑑𝑥 𝐼 3 𝑥21 2 1 5𝑥 𝑥 1 21 1 2 1 𝐶 5 𝐼 3 𝑥3 3 5𝑥 𝑥 3 2 3 2 𝐶 𝐼 𝑥3 5𝑥 𝑥3 2 3 𝐶 𝑰 𝒙𝟑 𝟓𝒙 𝟐 𝟑 𝒙𝟑 𝑪 6 Atividade 2 3 sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 Primeiro passo Integral da soma é a soma das integrais 3 sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 3 sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 Segundo passo Verificar se há constantes 𝟑sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 𝟑 sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 Terceiro passo Utilizar a tabela das integrais imediatas Obs Nas tabelas de derivadas e integrais apresentadas a seguir considere que u e v são funções deriváveis de variável x e ainda que c C K e a são constantes Tabela de integral número 11 sec 𝑢 𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 𝐼 sec 𝑢 𝐶 7 Tabela de integral número 15 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑢 𝑑𝑢 𝐼 cot 𝑢 𝐶 Integrando temos 𝟑 sec 𝑥 𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 𝐼 3 sec 𝑥 cot 𝑥 𝐶 8 Atividade 3 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 Multiplicação de fração conservase a primeira fração e multiplicase pelo inverso da segunda 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 Tabela de integrais imediatas Tabela de integral número 11 sec 𝑢 𝑡𝑔 𝑢 𝑑𝑢 𝐼 sec 𝑢 𝐶 Temos que 9 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 É igual a 𝐼 sec 𝑥 𝐶 10 Atividade 4 𝑥2 3 1 3𝑥 𝑑𝑥 Usando as propriedades da integral indefinida e a tabela de integrais temos A integral da soma é a soma das integrais 𝑥2 3 𝑑𝑥 1 3𝑥 𝑑𝑥 Verificar se há constante 𝑥2 3 𝑑𝑥 1 3 1 𝑥 𝑑𝑥 Transformar raiz em potência 𝑎𝑀 𝑁 𝑎 𝑀 𝑁 𝑥 2 3 𝑑𝑥 1 3 1 𝑥 𝑑𝑥 Usar a regra da potência para integrar Tabela número 3 𝒖𝒏𝒅𝒖 𝑰 𝒖𝒏𝟏 𝒏 𝟏 𝑪 11 Tabela número 2 𝒅𝒖 𝒖 𝑰 𝑳𝒏𝒖 𝑪 𝐼 𝑥 2 31 2 3 1 1 3 𝐿𝑛𝑥 𝐶 𝐼 𝑥 5 3 5 3 1 3 𝐿𝑛𝑥 𝐶 𝐶 𝑰 𝟑 𝟓 𝒙𝟓 𝟑 𝟏 𝟑 𝑳𝒏𝒙 𝑪 12 Atividade 5 𝑥4 3𝑥 1 2 4 𝑥 3 𝑑𝑥 𝑥4 𝑥 3 𝑑𝑥 3𝑥 1 2 𝑥 3 𝑑𝑥 4 𝑥 3 𝑑𝑥 Transformar raiz em potência 𝑎𝑀 𝑁 𝑎 𝑀 𝑁 𝑥4 𝑥 1 3 𝑑𝑥 3𝑥 1 2 𝑥 1 3 𝑑𝑥 4 𝑥 1 3 𝑑𝑥 Utilizar a regra da potência para inverter a fração 1 𝑎𝑚 𝑎𝑚 𝑥4 𝑥 1 3 𝑑𝑥 3𝑥 1 2 𝑥 1 3 𝑑𝑥 4 𝑥 1 3 𝑑𝑥 𝑥4 𝑥1 3 𝑑𝑥 3𝑥 1 2 𝑥1 3 𝑑𝑥 4𝑥1 3 𝑑𝑥 Multiplicação de potência de mesma base 13 𝑎𝑚 𝑎𝑛 𝑎𝑚𝑛 𝑥4 1 3 𝑑𝑥 3𝑥 1 2 1 3 𝑑𝑥 4𝑥 1 3 𝑑𝑥 𝑥 11 3 𝑑𝑥 3𝑥 5 6 𝑑𝑥 4𝑥 1 3 𝑑𝑥 Usar a regra da potência para integrar Tabela número 3 𝒖𝒏𝒅𝒖 𝑰 𝒖𝒏𝟏 𝒏 𝟏 𝑪 𝑥 11 3 𝑑𝑥 3𝑥 5 6 𝑑𝑥 4𝑥 1 3 𝑑𝑥 𝐼 𝑥 11 3 1 11 3 1 3 𝑥 5 61 5 6 1 4 𝑥 1 31 1 3 1 𝐶 𝐼 𝑥 113 3 11 3 3 3 𝑥 56 6 5 6 6 4 𝑥 13 3 1 3 3 𝐶 𝐼 𝑥 14 3 14 3 3 𝑥 1 6 1 6 4 𝑥 2 3 2 3 𝐶 𝐼 3 14 𝑥 14 3 3 6 1 𝑥 1 6 4 3 2 𝑥 2 3 𝐶 14 𝐼 3 14 𝑥 14 3 18𝑥 1 6 12𝑥 2 3 2 𝐶 𝐼 3 14 𝑥 14 3 18𝑥 1 6 6𝑥 2 3 𝐶 𝑰 𝟑 𝟏𝟒 𝒙𝟏𝟒 𝟑 𝟏𝟖𝒙 𝟔 𝟔𝒙𝟐 𝟑 𝑪 Referências FLEMMING Diva M GONÇALVES Mirian B Cálculo A 6 ed São Paulo Pearson 2012