Método do Fator Integrante em Equações Diferenciais Não Exatas

1 CURSOS DE ENGENHARIA E TECNOLOGIAS MODALIDADE PRESENCIAL COMPONENTE CÁLCULO INTEGRAL EDO EQUAÇÕES EXATAS Método do Fator Integrante Professor Dr Adriano Dawison de Lima Transformando Equação Não Exata em Equação Exata Pelo Fator de Integração 𝝁 Fator de Integração Algumas vezes é possível converter uma equação diferencial não exata em uma equação exata multiplicandoa por uma função 𝜇𝑥 𝑦 chamada fator de integração porém a equação exata resultante 𝜇𝑀𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝜇𝑁𝑥 𝑦𝑑𝑦 0 Pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução para a outra A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções OBS Nesse caso equação não é exata e conseguimos transformála em exata Lembrando que é exata quando 𝑀𝑑𝑥 𝑁𝑑𝑦 0 𝑀 𝑦 𝑁 𝑥 Exemplo Resolva 𝑥𝑦𝑑𝑥 2𝑥2 3𝑦2𝑑𝑦 0 Para resolver vamos verificar se a equação é exata 2 𝑀 𝑦 𝑁 𝑥 𝑀 𝑥𝑦 𝑀 𝑦 𝑥 𝑁 2𝑥2 3𝑦2 𝑁 𝑥 4𝑥 𝑀 𝑦 𝑥 𝑁 𝑥 4𝑥 OBS A equação diferencial não é exata Vamos transformar a equação não exata em equação exata Para isso vamos seguir os seguintes passos Primeiro passo Vamos calcular as razões Primeira razão Derivada parcial de M em relação a y menos a derivada parcial de N em relação a x dividido por N 𝑀𝑦 𝑁𝑥 𝑁 Substituindo temos 𝑥 4𝑥 2𝑥2 3𝑦2 Segunda razão Derivada parcial de N em relação a x menos a derivada parcial de M em relação a y dividido por N 3 𝑁𝑥 𝑀𝑦 𝑀 4𝑥 𝑥 𝑥𝑦 3𝑥 𝑥𝑦 3 𝑦 OBS Analisando as duas razões verificamos que a primeira razão não nos interessa pois ela não depende apenas de uma das variáveis Ou seja a primeira razão deverá depender somente da variável x caso contrário não nos interessa OBS A segunda razão depende apenas de uma das variáveis Ou seja a segunda razão depende apenas da variável y nesse caso nos interessa Por que realizar essa análise Resposta Porque o fator de integração vai utilizar a razão escolhida 𝜇𝑦 𝑒𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑙ℎ𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑐𝑟𝑖𝑡é𝑟𝑖𝑜 𝜇𝑦 𝑒 3 𝑦𝑑𝑦 𝜇𝑦 𝑒 3 𝑑𝑦 𝑦 𝜇𝑦 𝑒3𝐿𝑛𝑦 𝜇𝑦 𝑒𝐿𝑛𝑦3 𝜇𝑦 𝑦3 O próximo passo é multiplicar toda a equação por 𝜇 4 𝜇𝑀𝑥 𝑦𝑑𝑥 𝜇𝑁𝑥 𝑦𝑑𝑦 0 𝜇𝑥𝑦𝑑𝑥 𝜇2𝑥2 3𝑦2𝑑𝑦 0 5 𝑦3𝑥𝑦𝑑𝑥 𝑦32𝑥2 3𝑦2𝑑𝑦 0 𝑥𝑦4𝑑𝑥 2𝑥2𝑦3 3𝑦5𝑑𝑦 0 OBS Acabamos de transformar uma EDO não Exata em uma EDO Exata Vamos tirar a prova 𝑀 𝑥𝑦4 𝑀 𝑦 4𝑥𝑦3 𝑁 2𝑥2𝑦3 3𝑦5 𝑁 𝑥 4𝑥𝑦3 𝑀 𝑦 4𝑥𝑦3 𝑁 𝑥 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑎 𝑥𝑦4𝑑𝑥 2𝑥2𝑦3 3𝑦5𝑑𝑦 0 𝐹 𝑥 𝑥𝑦4𝑑𝑥 𝐹 𝑥 𝑥𝑦4 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑦4 𝑥 𝑑𝑥 𝐹𝑥 𝑦4 𝑥2 2 𝐶𝑦 𝐹𝑥 𝑥2𝑦4 2 𝐶𝑦 6 𝐹 𝑦 2𝑥2𝑦3 3𝑦5 𝑑𝑦 𝐹 𝑦 2𝑥2𝑦3 𝑑𝑦 3𝑦5𝑑𝑦 𝐹𝑦 2𝑥2 𝑦3 𝑑𝑦 3 𝑦5𝑑𝑦 𝐹𝑦 2𝑥2 𝑦4 4 𝑦6 6 𝐶𝑥 𝐹𝑦 𝑥2𝑦4 2 𝑦6 6 𝐶𝑥 𝐹𝑥 𝑦 𝑥2𝑦4 2 𝑥2𝑦4 2 𝑦6 6 𝐶 𝒙𝟐𝒚𝟒 𝟐 𝒚𝟔 𝟔 𝑪 𝟎