Introdução às Equações Diferenciais Ordinárias: Definições e Exemplos

1 CURSOS DE ENGENHARIA E TECNOLOGIAS MODALIDADE PRESENCIAL COMPONENTE CÁLCULO INTEGRAL Roteiro Equações Diferenciais Ordinárias Professor Dr Adriano Dawison de Lima EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 11 Introdução Muitas vezes em física engenharia e outros ramos técnicos há necessidade de encontrar uma função incógnita Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equação envolvendo derivadas ou diferenciais da função incógnita Tais equações envolvendo derivadas ou diferenciais são chamadas equações diferenciais em que a incógnita não é um número mas uma função Nos próximos tópicos veremos métodos de resolver equações diferenciais Isto é veremos as vias pelas quais podemos com sucesso usar equações diferenciais para determinar uma função desconhecida Simbolicamente uma equação diferencial pode ser escrita como 2 Fx y y y y n 0 ou Fx y dx dy 2 2 dx d y n n dx d y 0 Se a função incógnita depende apenas de uma variável temos uma equação diferencial ordinária Se depender de mais de uma variável temos uma equação diferencial parcial As expressões seguintes são alguns exemplos de equações diferenciais A 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥2𝑦 D 𝑥2 𝑑3𝑦 𝑑𝑥3 2𝑦 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4 3 0 B 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 E 𝑒𝑥𝑑𝑦 𝑥2𝑦 𝑑𝑥 2 C 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 0 F 2𝑢 𝑥2 2𝑢 𝑡2 0 onde u x t OBS1 A ordem de uma equação diferencial é o número n que corresponde à ordem máxima das derivadas da equação Exemplo Na expressão A acima a equação tem ordem 1 e na expressão C ordem 2 OBS2 O grau de uma equação diferencial é a maior 3 potência da derivada de maior ordem Exemplos Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais a 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 7 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3 0 b 𝑑𝑦 𝑑𝑥 2 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 0 A Equação a é uma equação diferencial de primeiro grau de ordem 2 porque d2ydx2 é a derivada de maior ordem na equação e está elevada à primeira potência Notar que a terceira potência de dydx não tem influência no grau da Equação a porque dydx é de menor ordem que d2ydx2 A Equação b por outro lado é uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem dydx é a derivada de maior ordem ordem 1 e 2 é a maior potência de dydx aparecendo na equação Uma solução de uma equação diferencial é uma função y f x a qual juntamente com as suas derivadas satisfaz a equação diferencial dada Exemplo Verificar que y 4ex 5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e primeiro grau 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0 4 Observando que 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4 𝑒𝑥 e 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 4 𝑒𝑥 e substituindo na equação diferencial dada temos 4ex 4ex 0 0 0 A solução y 4ex 5 no Exemplo acima é um exemplo de uma solução particular de uma equação diferencial Podemos verificar que y 4ex 3 é também uma solução particular da equação diferencial no exemplo Deste modo uma equação diferencial pode ter mais do que uma solução particular Uma solução y fx de uma equação diferencial de ordem n contendo n constantes arbitrárias é chamada uma solução geral Geometricamente a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem representa uma família de curvas conhecidas como curvassolução uma para cada valor da constante arbitrária Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais Uma condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular de y y0 correspondente a um valor particular de x x0 Isto é se y fx pode ser uma solução da equação diferencial então a função deve satisfazer a condição y0 5 fx0 O problema de ser dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor inicial Um estudo completo de equações diferenciais incluiria um estudo de equações diferenciais de todos os graus e equações diferenciais parciais e ordinárias Limitamos deste modo as nossas considerações às equações diferenciais ordinárias do primeiro grau Exemplo Verificar que y C1cosx C2senx é uma solução geral da equação diferencial 𝑦 𝑦 0 Solução Primeiro determinar as derivadas da função dada y C1cosx C2senx y C1senx C2cosx y C1cosx C2senx Substituindo na equação diferencial temos y y 0 C1cosx C2senx C1cosx C2senx 0 6 C1cosx C2senx C1cosx C2senx 0 0 0 Portanto y C1cosx C2senx é uma solução geral da equação diferencial dada com duas constantes arbitrárias distintas b Mostre que y Ce2x é uma solução para a equação diferencial y 2y 0 e encontre a solução particular determinada pela condição inicial y0 3 Sabemos que y Ce2x é solução por que y 2Ce2x e y 2y 2Ce2x 2 Ce2x 0 Usando a condição inicial y0 3 ou seja y 3 e x 0 obtêm y Ce2x 3 C e20 C 3 e concluímos que a solução particular é y 3e2x 7 EDO LINEAR Dizse que uma equação diferencial é linear quando satisfaz as características 1 A variável dependente no caso y e suas derivadas são de primeiro grau ou seja potência igual a um 2 Cada coeficiente 𝑎𝑛 só depende da variável independente no caso x caso contrário é não linear 3 Para encontrar a ordem basta verificar o maior grau da derivada ou seja a maior derivada representa a ordem quantas vezes foi derivada a função y y 4 A generalização é 𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 𝑎𝑛1𝑥 𝑑𝑛1𝑦 𝑑𝑥𝑛1 𝑎1𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑎0𝑥 𝑦 𝑔𝑥 8 Exercícios Nos problemas 1 10 classifique as equações diferenciais dizendo se elas são lineares ou não lineares Dê também a ordem de cada equação 1 𝟏 𝒙𝒚 𝟒𝒙𝒚 𝟓𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒙 Solução Primeiro passo Verificar se a variável dependente y e suas derivadas estão na primeira potência Verificando 𝒚 está na primeira potência ok 𝒚 está na primeira potência ok 𝒚 está na primeira potência ok Segundo passo Verificar se cada coeficiente 𝑎𝑛 só depende da variável independente no caso x caso contrário é não linear O coeficiente 𝟏 𝒙 depende somente de x OK O coeficiente 𝟒𝒙 depende somente de x OK O coeficiente 𝟓 depende somente de x OK O coeficiente 𝟏𝐜𝐨𝐬 𝒙 depende somente de x OK Terceiro passo Verificar a ordem Para isso basta verificar o maior grau da derivada ou seja a maior derivada 𝟏 𝒙𝒚 é uma derivada de ordem 2 Derivada de segunda ordem 9 Resposta Equação diferencial de segunda ordem Linear Atividade 2 𝒙 𝒅𝟑𝒚 𝒅𝒙𝟑 𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟒 𝒚 𝟎 Solução Primeiro passo Verificar se a variável dependente y e suas derivadas estão na primeira potência Verificando 𝒅𝟑𝒚 𝒅𝒙𝟑 terceira derivada está na primeira potência 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟒 primeira derivada está na quarta potência não linear 𝒚 está na primeira potência ok Segundo passo Verificar se cada coeficiente 𝑎𝑛 só depende da variável independente no caso x caso contrário é não linear O coeficiente 𝟏 depende somente de x OK O coeficiente 𝟐 depende somente de x OK O coeficiente 𝟏 depende somente de x OK O coeficiente 0 depende somente de x OK Terceiro passo Verificar a ordem Para isso basta verificar o maior grau da derivada ou seja a maior derivada 𝒙 𝒅𝟑𝒚 𝒅𝒙𝟑 é uma derivada de ordem 3 Derivada de terceira ordem 10 Resposta Equação diferencial de terceira ordem não Linear Por causa de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4 Atividade 3 𝒚𝒚 𝟐𝒚 𝟏 𝒙𝟐 Solução Primeiro passo Verificar se a variável dependente y e suas derivadas estão na primeira potência Verificando 𝒚 Primeira derivada está na primeira potência ok 𝒚 está na primeira potência ok Segundo passo Verificar se cada coeficiente 𝑎𝑛 só depende da variável independente no caso x caso contrário é não linear O coeficiente 𝟏 depende de y ou seja não depende de x Não linear Terceiro passo Verificar a ordem Para isso basta verificar o maior grau da derivada ou seja a maior derivada 𝒚𝒚 é uma derivada de ordem 1 Derivada de primeira ordem Resposta Equação diferencial de primeira ordem não Linear Por causa de 𝑦𝑦 11 Atividade 4 𝒙𝟐𝒅𝒚 𝒚 𝒙𝒚 𝒙𝒆𝒙𝒅𝒙 𝟎 Solução Veja que neste caso não temos as derivadas porque os diferenciais estão separados Vamos ter que reescrever esta equação para isso antes de iniciarmos a verificação vamos dividir toda a equação por dx 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒚 𝒙𝒚 𝒙𝒆𝒙 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝟎 𝒅𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒚 𝒙𝒚 𝒙𝒆𝒙 𝟎 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒚 𝒙𝒚 𝒙𝒆𝒙 𝟎 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒚𝟏 𝒙 𝒙𝒆𝒙 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟏 𝒙𝒚 𝒙𝒆𝒙 Primeiro passo Verificar se a variável dependente y e suas derivadas estão na primeira potência Verificando 𝒅𝒚 𝒅𝒙está na primeira potência ok 𝒚 está na primeira potência ok Segundo passo 12 Verificar se cada coeficiente 𝑎𝑛 só depende da variável independente no caso x caso contrário é não linear O coeficiente 𝟏𝒙𝟐 depende somente de x OK O coeficiente 𝟏 𝒙 depende somente de x OK O coeficiente 𝒙𝒆𝒙 depende somente de x OK Terceiro passo Verificar a ordem Para isso basta verificar o maior grau da derivada ou seja a maior derivada 𝒙𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒙 é uma derivada de ordem 1 Derivada de primeira ordem Resposta Equação diferencial de primeira ordem Linear 13 2 𝒙𝟑𝒚𝟒 𝒙𝟐𝒚 𝟒𝒙𝒚 𝟑𝒚 𝟎 Solução Primeiro passo Verificar se a variável dependente y e suas derivadas estão na primeira potência Verificando 𝒚𝟒 está na primeira potência ok 𝒚 está na primeira potência ok 𝒚 está na primeira potência ok 𝒚 está na primeira potência ok Segundo passo Verificar se cada coeficiente 𝑎𝑛 só depende da variável independente no caso x caso contrário é não linear O coeficiente 1𝒙𝟑 depende somente de x OK O coeficiente 𝟏𝒙𝟐 depende somente de x OK O coeficiente 𝟒𝒙 depende somente de x OK O coeficiente 𝟑 cte depende somente de x OK O coeficiente 𝟎 cte depende somente de x OK Terceiro passo Verificar a ordem Para isso basta verificar o maior grau da derivada ou seja a maior derivada 𝒚𝟒 é uma derivada de ordem 4 Derivada de quarta ordem Resposta Equação diferencial de quarta ordem Linear 14 3 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 𝟗 𝒚 𝒔𝒆𝒏𝐲 Primeiro passo Verificar se a variável dependente y e suas derivadas estão na primeira potência Verificando 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 está na primeira potência ok 𝒚 está na primeira potência ok Segundo passo Verificar se cada coeficiente 𝑎𝑛 só depende da variável independente no caso x caso contrário é não linear O coeficiente 1 depende somente de x OK O coeficiente 9 cte depende somente de x OK O coeficiente 𝒔𝒆𝒏𝐲 não depende somente de x não linear Terceiro passo Verificar a ordem Para isso basta verificar o maior grau da derivada ou seja a maior derivada 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 é uma derivada de ordem 2 Derivada de segunda ordem Resposta Equação diferencial de segunda ordem não Linear Por causa de 𝑠𝑒𝑛y 15 4 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟏 𝒅𝟐𝒚 𝒅𝒙𝟐 𝟐 Solução Equação diferencial de segunda ordem não Linear Por causa de 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 2 O primeiro critério não foi atendido 5 𝒅𝟐𝒓 𝒅𝒓𝟐 𝒌 𝒓𝟐 Solução Equação diferencial de segunda ordem não Linear Por causa de 1 𝑟2 O primeiro critério não foi atendido ou seja o r representa o y e está aparecendo no lugar de x 6 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒚 𝐜𝐨𝐬𝒙𝒚 𝟐 Solução Primeiro passo Verificar se a variável dependente y e suas derivadas estão na primeira potência Verificando 𝒚 terceira derivada está na primeira potência OK 𝒚 primeira derivada está na primeira potência OK Segundo passo 16 Verificar se cada coeficiente 𝑎𝑛 só depende da variável independente no caso x caso contrário é não linear O coeficiente 𝟏𝒔𝒆𝒏𝒙 depende somente de x OK O coeficiente 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝒙 depende somente de x OK O coeficiente 𝟐 constante depende somente de x OK Terceiro passo Verificar a ordem Para isso basta verificar o maior grau da derivada ou seja a maior derivada 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒚 é uma derivada de ordem 3 Derivada de terceira ordem Resposta Equação diferencial de terceira ordem Linear 7 𝟏 𝒚𝟐𝒅𝒙 𝒙𝒅𝒚 𝟎 Veja que neste caso não temos as derivadas porque os diferenciais estão separados Vamos ter que reescrever esta equação para isso antes de iniciarmos a verificação vamos dividir toda a equação por dx 𝟏 𝒚𝟐 𝒅𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟎 𝒅𝒙 𝟏 𝒚𝟐 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟎 A primeira derivada está na primeira potência 17 A variável independente 𝟏 𝒚𝟐 não está na primeira potência Solução Equação diferencial de primeira ordem não Linear Por causa de 𝑦2 18 Nos problemas de 11 40 verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial𝒄𝟏 𝐞 𝒄𝟐 𝐬ã𝐨 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞𝐬 1 𝟐𝒚 𝒚 𝟎 𝒚 𝒆𝒙 𝟐 Solução De 𝒚 𝒆𝒙 𝟐 derivando de primeira ordem obtemos Tabela 𝒚 𝒆𝒖 𝒚 𝒆𝒖 𝒖 Então 𝒖 𝒙 𝟐 𝒖 𝟏 𝟐 Agora temos 𝒚 𝟏 𝟐 𝒆𝒙 𝟐 Substituindo em 𝟐𝒚 𝒚 𝟎 e 𝒚 𝒆𝒙 𝟐 temos 𝟐 𝟏 𝟐 𝒆𝒙 𝟐 𝒆𝒙 𝟐 𝟎 𝒆𝒙 𝟐 𝒆𝒙 𝟐 𝟎 𝟎 𝟎 verdade 19 2 𝒚 𝟒𝒚 𝟑𝟐 𝒚 𝟖 Tabela 𝒚 𝒌 𝒚 𝟎 Então 𝟎 𝟒𝟖 𝟑𝟐 𝟑𝟐 𝟑𝟐 verdade 20 3 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 𝒚 𝒆𝟑𝒙 𝒚 𝒆 𝟑𝒙 𝟏𝟎𝒆𝟐𝒙 Solução De 𝒚 𝒆 𝟑𝒙 𝟏𝟎𝒆𝟐𝒙 derivando em primeira ordem temos 𝒚 𝟑𝒆 𝟑𝒙 𝟐𝟎𝒆𝟐𝒙 Substituindo em 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐𝒚 𝒆𝟑𝒙 temos 𝟑𝒆 𝟑𝒙 𝟐𝟎𝒆𝟐𝒙 𝟐𝒆 𝟑𝒙 𝟏𝟎𝒆𝟐𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝟑𝒆 𝟑𝒙 𝟐𝟎𝒆𝟐𝒙 𝟐𝒆 𝟑𝒙 𝟐𝟎𝒆𝟐𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝟑𝒆 𝟑𝒙 𝟐𝒆 𝟑𝒙 𝟐𝟎𝒆𝟐𝒙 𝟐𝟎𝒆𝟐𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒆 𝟑𝒙 𝒆𝟑𝒙 Verdadeiro 21 4 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝟐𝟎𝒚 𝟐𝟒 𝒚 𝟔 𝟓 𝟔 𝟓 𝒆𝟐𝟎𝒕 Solução De 𝒚 𝟔 𝟓 𝟔 𝟓 𝒆𝟐𝟎𝒕 derivando em primeira ordem temos 𝒚 𝟎 𝟔 𝟓 𝟐𝟎𝒆𝟐𝟎𝒕 𝒚 𝟐𝟒𝒆𝟐𝟎𝒕 𝟐𝟒𝒆𝟐𝟎𝒕 𝟐𝟎 𝟔 𝟓 𝟔 𝟓 𝒆𝟐𝟎𝒕 𝟐𝟒 𝟐𝟒𝒆𝟐𝟎𝒕 𝟏𝟐𝟎 𝟓 𝟏𝟐𝟎 𝟓 𝒆𝟐𝟎𝒕 𝟐𝟒 𝟐𝟒𝒆𝟐𝟎𝒕 𝟐𝟒 𝟐𝟒𝒆𝟐𝟎𝒕 𝟐𝟒 𝟐𝟒𝒆𝟐𝟎𝒕 𝟐𝟒𝒆𝟐𝟎𝒕 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟎 𝟎 Verdade Como encontramos um igualdade verdadeira vimos que a função dada é solução da equação diferencial 22 5 𝒚 𝟐𝟓 𝒚𝟐 𝒚 𝟓 𝒕𝒈𝟓𝒙 Tabela 𝒚 𝒕𝒈𝒖 𝒚 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒖 𝒖 𝒖 𝟓𝒙 𝒖 𝟓 𝒚 𝟓 𝒕𝒈𝟓𝒙 𝒚 𝟓𝒔𝒆𝒄𝟐𝟓𝒙 𝟓 𝒚 𝟓𝒕𝒈𝟓𝒙 𝒚 𝟐𝟓𝒔𝒆𝒄𝟐𝟓𝒙 𝟐𝟓𝒔𝒆𝒄𝟐𝟓𝒙 𝟐𝟓 𝟓𝒕𝒈𝟓𝒙 𝟐 𝟐𝟓𝒔𝒆𝒄𝟐𝟓𝒙 𝟐𝟓 𝟐𝟓𝒕𝒈𝟐𝟓𝒙 𝟐𝟓𝒔𝒆𝒄𝟐𝟓𝒙 𝟐𝟓 𝟏 𝒕𝒈𝟐𝟓𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐𝟓𝒙 𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟏 𝒕𝒈𝟐𝟓𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐𝟓𝒙 𝟏 𝒕𝒈𝟐𝟓𝒙 Opa Deu diferente Na verdade não Veja a identidade trigonométrica definida 𝒔𝒆𝒄𝟐𝒙 𝟏 𝒕𝒈𝟐𝒙 23 Portanto 𝒔𝒆𝒄𝟐𝟓𝒙 𝟏 𝒕𝒈𝟐𝟓𝒙 Verdadeira Como encontramos um igualdade verdadeira vimos que a função dada é solução da equação diferencial 24 6 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒙 𝒄𝟏 𝟐 𝒙 𝟎 𝒄𝟏 𝟎 Primeiro passo Queremos saber se 𝒚 𝒙 𝒄𝟏 𝟐 é solução da equação 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒚 𝒙 Para isso iremos resolver da derivada de primeira ordem da função 𝒚 𝒙 𝒄𝟏 𝟐 Tabela 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒖 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝒚 𝒖𝟐 𝒅𝒚 𝒅𝒖 𝟐𝒖 𝒖 𝒙 𝟏 𝟐 𝒄𝟏 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝒙𝟏 𝟐 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝟏 𝟐 𝟏 𝒙 𝟏 𝟐 𝒅𝒖 𝒅𝒙 𝟏 𝟐𝒙 25 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 𝒙 𝒄𝟏 𝟏 𝟐𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 𝒙 𝒄𝟏 𝟏 𝟐𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙 𝒄𝟏 𝒙 Segundo passo Queremos saber se 𝒚 𝒙 𝒄𝟏 𝟐 é solução da equação 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒚 𝒙 Para isso iremos substituir a derivada encontrada na equação 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒙 𝒄𝟏 𝒙 Substituindo o valor de y no segundo membro temos 𝒙 𝒄𝟏 𝒙 𝒙 𝒄𝟏 𝟐 𝒙 𝒙 𝒄𝟏 𝒙 𝒙 𝒄𝟏 𝟐 𝒙 𝒙 𝒄𝟏 𝒙 𝒙 𝒄𝟏 𝒙 Verdadeira Como encontramos um igualdade verdadeira vimos que a função dada é solução da equação diferencial