Lista de Exercícios Resolvidos - Equações Diferenciais e Problemas de Valor Inicial

Um problema de valor inicial é uma equação diferencial sujeita a condições iniciais que nada mais são do que pontos dados da funçãosolução e de sua derivada primeira Assim seja a equação diferencial 2y 7y 3y 0 com y0 5 e y0 5 Podese afirmar que o valor aproximado de y2 é 29 40 20 15 35 Um problema de valor inicial é uma equação diferencial sujeita a condições iniciais que nada mais são do que pontos dados da funçãosolução e de sua derivada primeira Assim seja a equação diferencial 225y 30y 100y 0 com y0 3 e y0 15 Podese afirmar que o valor da soma das constantes C₁ e C₂ é 8 9 3 6 10 A solução particular da equação diferencial y y 2y senx é yp 310 senx 110 cosx yp 310 senx 110 cosx yp 15 senx 35 cosx yp 35 senx yp 310 cosx A solução particular da equação diferencial y 5y 6y 2eˣ é exatamente y 2eˣ y c₁e²ˣ c₂e³ˣ eˣ y eˣ y e³ˣ y e²ˣ 2eˣ Uma equação diferencial acompanhada do valor da funçãosolução num determinado ponto é denominada problema de valor inicia PVI Assim a função que satisfaz o PVI y yx y1 e é y 2x 1 y xe y x y x y x 1 A função yx ke²ˣ onde k eᶜ verifica identicamente para todo x a equação A y y 0 B dydx 2y 0 C y 2y 0 D dydx y 0 E y y² 0 D B E A C Questão 1 Um problema de valor inicial é um a equação diferencial sujeita a condiçoes iniciais que nada mais são do que pontos dados da funçaosoluçao e de sua derivada primeira Assim seja a equaçao diferencial 2y 7y 3y 0 com y0 5 e y0 5 Podese afirmar que o valor aproximado de y2 é Solução Buscamos uma solução da forma yx erx onde r é um valor a determinar Com efeito temos na EDO que 2y 7y 3y 0 2erx 7erx 3erx 0 2r2 7r 3erx 0 2r2 7r 3 0 Logo temos que r12 7 49 4 2 3 4 7 25 4 Disso temos que r1 1 2 e r2 3 Então disso segue que a solução da EDO pelo princípio da superposição linear é yx Ae3x Be x 2 então suas derivadas são yx Ae3x Be x 2 yx 3Ae3x B 2 e x 2 Logo em x 0 nós temos que y0 5 A B por outro lado temos ainda que y0 5 3A B 2 Daí devemos resolver o sistema A B 5 3A B 2 5 daí temos multiplicando a primeira equação por 3 e subtraindo da primeira que 3B B 2 20 logo segue que 5B 2 20 logo B 8 por conseguinte segue que A 5 8 3 Então nossa solução é de fato dada por y 3e3x 8e x 2 Aqui em x 2 temos que yx 2 3e6 8e1 293 e a resposta é essa 29 1 Questão 2 Um problema de valor inicial é uma equação diferencial sujeita a condições iniciais que nada mais são do que pontos dados da funçãosolução e de sua derivada primeira Assim seja a equação diferencial 225y 30y 100y 0 com y0 3 e y0 15 Podese afirmar que o valor da soma das constantes C₁ e C₂ é Solução Buscamos uma solução da forma yx eʳˣ onde r é um valor a determinar Com efeito temos na EDO que 225y 30y 100y 0 225eʳˣ 30eʳˣ 100eʳˣ 0 225r² 30r 100eʳˣ 0 225r² 30r 100 0 Logo temos que r₁₂ 30 900 4 225 100 45 7 900 900 45 Disso temos apenas r₁ 30 45 203 Então disso segue que a solução da EDO é y₁x c₁e²⁰ᵗ₃ Ademais para coeficientes constantes uma segunda solução pode ser obtida simplesmente fazendo y₁t Desse modo bem como do princípio da superposição linear segue que ficamos com y₁x c₁e²⁰ᵗ₃ c₂e²⁰ᵗ₃t então suas derivadas são yt c₁e²⁰ᵗ₃ c₂e²⁰ᵗ₃t yt 203 c₁e²⁰ᵗ₃ 203 c₂e²⁰ᵗ₃t e²⁰ᵗ₃t c₂ Logo em t 0 nós temos que y0 3 c₁ por outro lado temos ainda que y0 15 203 c₁ c₂ Daí devemos resolver o sistema c₁ 3 203 c₁ 1 c₂ 15 daí veja que c₂ 15 20 5 logo c₁ 3 e c₂ 5 Daí a soma das constantes é 8 Questão 3 A solução particular da equação diferencial y y 2y sen x é Solução Uma solução particular da EDO é da seguinte forma yx a sinx b cosx onde a e b são coeficientes a determinar Note que suas derivadas são yx a sinx b cosx yx a cosx b sinx yx a sinx b cosx Então vamos ter que sinx y y 2y a sinx b cosx a cosx b sinx 2a sinx b cosx sinxa b 2a cosxb a 2b sinxb 3a cosxa 3b então temos que b 3a 1 e que a 3b 0 logo veja que a 3b e que por isso segue que 10b 1 b 1 10 logo segue ainda que a 3 10 Portanto nossa solução particular é ypx 3 10 sin x 1 10 cos x Questão 4 A solução particular da equação diferencial y 5y 6y 2ex é exatamente Solução A forma da solução particular dessa EDO é dada por yx aex onde a é um coeficiente a determinar Então temos que aex 5aex 6aex 2ex a 5a 6aex 2ex 2a 2 a 1 Com isso a solução particular fica identificada por yx ex 3 Questão 5 Uma equação diferencial acompanhada do valor da funçãosolução num determinado ponto é denominada problema de valor inicia PVI Assim a função que satisfaz o PVI y yx y1 e é Solução Aqui basta integrarmos direto Com efeito y yx 1y dy 1x 1y dy 1x lny lnx c1 yx elnxc1 C elnx Cx Logo a solução geral da EDO é yx Cx com C ec1 Do PVI nós temos que y1 e logo e yx1 C 1 C e Daí a solução da EDO fica dada por yx ex Questão 6 A função yx ke2x onde k ec verifica identicamente para todo x a equação Solução Com efeito aqui basta derivarmos a função De fato veja que y ddx ke2x 2ke2x 2ke2x 2y Logo a EDO associada a essa solução é dydx 2y dydx 2y ou y 2y ou equivalentemente y 2y 0