Equações Diferenciais-Resolucao de Problemas e Exercicios

Determine resolvendo passo a passo cada equação diferencial nas alíneas a e b e na alínea c resolva a equação que satisfaça a condição inicial dada a xy 3y x⁴ sen x b dydx y e⁴ˣ c dydt 4teʸ y0 2 Dentre as alternativas a seguir indique a que corresponde à solução do problema de valor inicial x 1 dydx y lnx com y1 10 x 1 y xlnx x 11 x 1 y xlnx x 11 x 1 y xlnx x 21 x 1 y xlnx x 9 x 1 y xlnx x 21 Segundo Newton a taxa de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente que o resfria Lei do Resfriamento de Newton Esta lei pode ser indicada pela equação dθdt k θ θA onde θ é a temperatura do corpo em um instante qualquer θA é a temperatura do ambiente que resfria o corpo t é o tempo e k é a constante de proporcionalidade Use esta lei e resolva a situação descrita a seguir Uma jarra de suco a 30C foi colocada num freezer a 4C Após meia hora a temperatura do suco era de 8C Dentre os valores a seguir qual é o que indica o valor mais próximo da temperatura do suco 45 minutos depois de ter sido levado ao freezer 1 1 5 1 3 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação homogênea xy y² x² dx x² dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto ye 3 pertence a esta função então podese afirmar que o módulo do valor aproximado de y3 é Obs utilize a calculadora no modo radiano 11 9 6 4 2 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação homogênea dydx yx xy obtémse uma função yx Se o ponto y1 2 pertence a esta função então podese afirmar que o módulo do valor inteiro mais próximo de y2 é 7 9 11 3 5 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação diferencial exata cos x lny dx xy1 2e²ʸ dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto y0 ln 2 pertence a esta função então podese afirmar que essa função no ponto dado é sen x x lny 2e²ʸ 8 x lny sen x e²ʸ e² sen x x y2 2e²ʸ 2e sen x x lny e²ʸ 4 sen x x lny 2e²ʸ 2 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação diferencial exata 2xy e²ˣ dx x² y dy 0 obtémse uma função yx Se o ponto y0 2 pertence a esta função então podese afirmar que o valor positivo de y1 é aproximadamente 45 52 18 24 36 Question 12 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Se a condição inicial yπ 0 atende à solução da ED linear de primeira ordem x y y x² sen x Então o valor aproximado de yπ3 é 10 24 20 16 00 Questão 22 A solução de uma equação diferencial é uma função y ou yx se a equação for nestas variáveis Se a condição inicial y1 2 atende à solução da E D linear de primeira ordem x dydx y ln x Então o valor aproximado de y3 é 00 10 15 20 10 1 Determine resolvendo passo a passo cada equação diferencial nas alíneas a e b e na alínea c resolva a equação que satisfaça a condição inicial dada a 𝑥𝑦 3𝑦 𝑥4𝑠𝑒𝑛 𝑥 Resolução Organizando a EDO 𝑦 3 𝑥 𝑦 𝑥3𝑠𝑒𝑛 𝑥 Uma EDO linear de primeira ordem te a seguinte forma 𝑦𝑥 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 E o fator integrante é encontra pela fórmula a seguir 𝜇𝑥 𝑒𝑝𝑥𝑑𝑥 Encontrando o fator integrante 𝜇𝑥 𝑒 3 𝑥𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝑒3 ln𝑥 Simplificando 𝜇𝑥 1 𝑥3 Multiplicando todos os termos da EDO pelo fator integrante 1 𝑥3 𝑦 3 𝑥4 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 Usando a regra da cadeia onde 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓 1 𝑥3 𝑔 𝑦 𝑓 3 𝑥4 𝑔 𝑦 Aplicando a regra 1 𝑥3 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 1 𝑥3 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Integrando 1 𝑥3 𝑦 cos𝑥 𝑐1 Isolando 𝑦 𝑦 𝑥3 cos𝑥 𝑐1𝑥3 b 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑒4𝑥 Resolução Organizando a EDO 𝑦 𝑦 𝑒4𝑥 Uma EDO linear de primeira ordem te a seguinte forma 𝑦𝑥 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 E o fator integrante é encontra pela fórmula a seguir 𝜇𝑥 𝑒𝑝𝑥𝑑𝑥 Encontrando o fator integrante 𝜇𝑥 𝑒1 𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝑒𝑥 Multiplicando todos os termos pelo fator integrante 𝑒𝑥𝑦 𝑒𝑥𝑦 𝑒5𝑥 Usando a regra da cadeia onde 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓 𝑒𝑥 𝑔 𝑦 𝑓 𝑒𝑥 𝑔 𝑦 Aplicando a regra 𝑒𝑥𝑦 𝑒5𝑥 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 𝑒𝑥𝑦 𝑒5𝑥 𝑑𝑥 Integrando 𝑒𝑥𝑦 𝑒5𝑥 5 𝑐1 Isolando 𝑦 𝑦 𝑒4𝑥 5 𝑐1 𝑒𝑥 c 𝑑𝑦 𝑑𝑡 4𝑡 𝑒𝑦 𝑦0 2 Resolução Aqui temos uma EDO de variáveis separáveis 𝑑𝑦 𝑑𝑡 4𝑡 𝑒𝑦 Juntando as variáveis com os devidos diferenciais 𝑒𝑦 𝑑𝑦 4𝑡 𝑑𝑡 Integrando os dois lados 𝑒𝑦 𝑑𝑦 4𝑡 𝑑𝑡 𝑒𝑦 2𝑡2 𝑐1 Aplicando o ponto inicial dado 𝑦0 2 𝑒2 202 𝑐1 𝑐1 𝑒2 Sendo assim a solução é 𝑒𝑦 2𝑡2 𝑐1 Isolando 𝑦 ln𝑒𝑦 ln2𝑡2 𝑒2 𝑦 ln2𝑡2 𝑒2 2 Dentre as alternativas a seguir indique a que corresponde à solução do problema de valor inicial 𝑥 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 ln 𝑥 com 𝑦1 10 Resolução Organizando a EDO 𝑦 1 𝑥 1𝑦 ln𝑥 𝑥 1 Uma EDO linear de primeira ordem te a seguinte forma 𝑦𝑥 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 E o fator integrante é encontra pela fórmula a seguir 𝜇𝑥 𝑒𝑝𝑥𝑑𝑥 Encontrando o fator integrante 𝜇𝑥 𝑒 1 𝑥1 𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝑒ln𝑥1 𝜇𝑥 𝑥 1 Multiplicando todos os termos pelo fator integrante 𝑥 1𝑦 𝑥 1 1 𝑥 1𝑦 𝑥 1 ln𝑥 𝑥 1 Simplificando 𝑥 1𝑦 𝑦 ln𝑥 Usando a regra da cadeia onde 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓 𝑥 1 𝑔 𝑦 𝑓 1 𝑔 𝑦 Aplicando a regra 𝑥 1𝑦 ln𝑥 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 𝑥 1𝑦 ln𝑥 𝑑𝑥 Usando integral por partes 𝑥 1𝑦 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑐1 Aplicando o valor inicial dado 𝑦1 10 1 110 1 ln1 1 𝑐1 20 0 1 𝑐1 𝑐1 21 Sendo assim a solução final fica 𝑥 1𝑦 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑥 21 3 Segundo Newton a taxa de resfriamento de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente que o resfria Lei do Resfriamento de Newton Esta lei pode ser indicada pela equação 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑘𝜃 𝜃𝐴 onde 𝜃 é a temperatura do corpo em um instante qualquer 𝜃𝐴 é a temperatura do ambiente que resfria o corpo 𝑡 é o tempo e 𝑘 é a constante de proporcionalidade Use esta lei e resolva a situação descrita a seguir Uma jarra de suco de 30𝑜𝐶 foi colocada em um freezer a 4𝑜𝐶 Após meia hora a temperatura do suco era de 8𝑜𝐶 Dentre os valores a seguir qual é o que indica o valor mais próximo da temperatura do suco 45 minutos depois de ter sido levado ao freezer Resolução A EDO é dada por 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑘𝜃 𝜃𝐴 Agora vamos encontrar a solução da EDO por variáveis separáveis 𝑑𝜃 𝜃 𝜃𝐴 𝑘𝑑𝑡 Integrando os dois lados 1 𝜃 𝜃𝐴 𝑑𝜃 𝑘 𝑑𝑡 ln𝜃 𝜃𝐴 𝑘𝑡 𝑐1 Colocando exponencial dos dois lados para simplificar 𝜃 𝜃𝐴 𝑒𝑘𝑡𝑐1 Podemos simplificar 𝑒𝑐1 𝑐2 𝜃 𝑐2𝑒𝑘𝑡 𝜃𝐴 Em 𝑡 0 a temperatura da jarra é de 30𝑜𝐶 30 𝑐2𝑒𝑘0 4 𝑐2 34 Depois de 30 minutos a temperatura caiu para 8𝑜𝐶 𝜃 34𝑒𝑘𝑡 4 8 34𝑒30𝑘 4 34𝑒30𝑘 12 𝑒30𝑘 12 34 𝑒30𝑘 6 17 Colocando 𝑙𝑛 dos dois lados 30𝑘 ln 6 17 𝑘 1 30 ln 6 17 Por fim podemos descobrir qual é a temperatura em 45 minutos 𝜃 34𝑒 1 30 ln 6 17𝑡 4 𝜃 34 45 30ln 6 17 4 𝜃 34 3 2 ln 6 17 4 𝜃 34 3 21041 4 Usando a calculadora encontramos 𝜃 313 4 A solução de uma equação diferencial é uma função 𝑦 ou 𝑦𝑥 se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação homogênea 𝑥𝑦 𝑦2 𝑥2𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑦 0 obtémse uma função 𝑦𝑥 Se o ponto 𝑦𝑒 3 pertence a esta função então podese afirmar que o módulo do valor aproximado de 𝑦3 é Resolução Organizando a EDO 𝑥𝑦 𝑦2 𝑥2 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑦2 𝑥2 𝑥2 Vamos usar a substituição 𝑦 𝑢𝑥 Onde 𝑢 é uma função de 𝑥 𝑢𝑥 𝑥𝑢𝑥 𝑢𝑥2 𝑥2 𝑥2 𝑢𝑥 𝑢 𝑢2 1 Derivando 𝑢𝑥 𝑥𝑢 𝑢 𝑢2 𝑢 1 Agora temos uma EDO de variáveis separáveis 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑢2 1 1 𝑢2 1 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 Integrando os dois lados arctan𝑢 ln𝑥 𝑐1 Voltando a substituição arctan𝑦 𝑥 ln𝑥 𝑐1 Aplicando o ponto inicial 𝑦𝑒 3 arctan3 𝑒 ln𝑒 𝑐1 𝑐1 arctan3 𝑒 1 𝑐1 083 1 𝑐1 027 Sendo assim a solução da EDO no ponto inicial é arctan𝑦 𝑥 ln𝑥 027 Por fim aplicando 𝑦3 arctan𝑦 3 ln3 027 𝑦 3 tanln3 027 𝑦 3 tan10986 027 𝑦 3 tan08286 Usando a calculadora encontramos 𝑦 327 Observação essa fiquei um pouco em dúvida por não se aproximar tanto de 4 Porém revisei os cálculos inúmeras vezes e coloquei para rodar em softwares pagos sendo o mesmo resultado encontrado 5 A solução de uma equação diferencial é uma função 𝑦 ou 𝑦𝑥 se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação homogênea 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 obtémse uma função 𝑦𝑥 Se o ponto 𝑦1 2 pertence a esta função então podese afirmar que o módulo do valor inteiro mais próximo de 𝑦2 é Resolução Organizando a EDO 𝑑𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 Vamos usar a substituição 𝑦 𝑢𝑥 ou pode ser lida como 𝑢 𝑦𝑥 𝑑𝑦 𝑢𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 Substituindo 𝑢𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 𝑢 1 𝑢 𝑑𝑥 𝑢𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑢 𝑢𝑑𝑥 1 𝑢 𝑑𝑥 Cortando os iguais 𝑥𝑑𝑢 1 𝑢 𝑑𝑥 Temos uma EDO de variáveis separáveis 𝑢 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 Integrando os dois lados 𝑢 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑢2 2 ln𝑥 𝑐1 Voltando a substituição 𝑦2 2𝑥2 ln𝑥 𝑐1 Isolando 𝑦 𝑦2 2𝑥2ln𝑥 𝑐1 Aplicando o ponto inicial dado pelo enunciado 𝑦1 2 22 212ln1 𝑐1 4 20 𝑐1 𝑐1 2 Sendo assim a solução é dada por 𝑦2 2𝑥2ln𝑥 2 𝑦2 2𝑥2 ln𝑥 4𝑥2 Aplicando o ponto 𝑦2 𝑦2 222 ln2 422 𝑦2 8 ln2 16 𝑦2 806931 2 𝑦2 215448 𝑦 464163 6 A solução de uma equação diferencial é uma função 𝑦 ou 𝑦𝑥 se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação diferencial exata cos 𝑥 ln 𝑦𝑑𝑥 𝑥𝑦1 2𝑒2𝑦𝑑𝑦 0 obtémse uma função 𝑦𝑥 Se o ponto 𝑦0 ln 2 pertence a esta função então podese afirmar que essa função no ponto dado é Resolução Organizando a EDO cos 𝑥 ln 𝑦 𝑥 𝑦 2𝑒2𝑦𝑦 0 A EDO exata tem a seguinte forma Ψ𝑥 Ψ𝑦𝑦 0 Onde a solução é dada por Ψ𝑥 𝑦 𝐶 Nós podemos encontrar Ψ𝑥 𝑦 integrando a função que está com o diferencial em relação a 𝑦 Ψ𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 2𝑒2𝑦 𝑑𝑦 Integrando Ψ𝑥 𝑦 𝑥𝑙𝑛𝑦 𝑒2𝑦 𝑐1 Agora nós substituímos 𝑐1 por 𝑛𝑥 Ψ𝑥 𝑦 𝑥𝑙𝑛𝑦 𝑒2𝑦 𝑛𝑥 Onde 𝑛𝑥 é encontrado da seguinte forma 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑙𝑛𝑦 𝑒2𝑦 𝑛𝑥 cos𝑥 ln𝑦 Derivando a parte da esquerda ln𝑦 0 𝑛𝑥 cos𝑥 ln𝑦 𝑛𝑥 cos𝑥 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 𝑛𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑛𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2 Sendo assim a solução da EDO exata é 𝑥𝑙𝑛𝑦 𝑒2𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐2 𝑐3 Simplificando as constantes 𝑥𝑙𝑛𝑦 𝑒2𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐4 Aplicando o valor inicial dado pelo enunciado 𝑦0 ln 2 0 lnln2 𝑒2 ln2 𝑠𝑒𝑛0 𝑐4 0 22 0 𝑐4 𝑐4 4 Por fim a solução no ponto inicial é 𝑥𝑙𝑛𝑦 𝑒2𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 4 7 A solução de uma equação diferencial é uma função 𝑦 ou 𝑦𝑥 se a equação for nestas variáveis Resolvendo a equação diferencial exata 2𝑥𝑦 𝑒2𝑥𝑑𝑥 𝑥2 𝑦𝑑𝑦 0 obtémse uma função 𝑦𝑥 Se o ponto 𝑦0 2 pertence a esta função então podese afirmar que o valor positivo de 𝑦1 é aproximadamente Organizando a EDO 2𝑥𝑦 𝑒2𝑥 𝑥2 𝑦𝑦 0 A EDO exata tem a seguinte forma Ψ𝑥 Ψ𝑦𝑦 0 Onde a solução é dada por Ψ𝑥 𝑦 𝐶 Nós podemos encontrar Ψ𝑥 𝑦 integrando a função que está com o diferencial em relação a 𝑦 Ψ𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦 𝑑𝑦 Integrando Ψ𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑦2 2 𝑐1 Agora nós substituímos 𝑐1 por 𝑛𝑥 Ψ𝑥 𝑦 𝑥2𝑦 𝑦2 2 𝑛𝑥 Onde 𝑛𝑥 é encontrado da seguinte forma 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2𝑦 𝑦2 2 𝑛𝑥 2𝑥𝑦 𝑒2𝑥 Derivando a parte da esquerda 2𝑥𝑦 0 𝑛𝑥 2𝑥𝑦 𝑒2𝑥 𝑛𝑥 𝑒2𝑥 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 𝑛𝑥 𝑒2𝑥 𝑑𝑥 𝑛𝑥 1 2 𝑒2𝑥 𝑐2 Sendo assim a solução da EDO exata é 𝑥2𝑦 𝑦2 2 1 2 𝑒2𝑥 𝑐2 𝑐3 Simplificando as constantes 𝑥2𝑦 𝑦2 2 1 2 𝑒2𝑥 𝑐4 Multiplicando todos os termos por 2 2𝑥2𝑦 𝑦2 𝑒2𝑥 𝑐5 Aplicando o ponto inicial dado pelo enunciado 𝑦0 2 2022 22 𝑒0 𝑐5 𝑐5 3 Logo a solução no ponto inicial é 2𝑥2𝑦 𝑦2 𝑒2𝑥 3 Aplicando o ponto 𝑦1 2𝑦 𝑦2 𝑒2 3 0 𝑦2 2𝑦 7389 3 0 𝑦2 2𝑦 10389 0 Fazendo Bhaskara da função acima encontramos que o valor positivo é 𝑦 237 8 A solução uma equação diferencial é uma função 𝑦 ou 𝑦𝑥 se a equação for nestas variáveis Se a condição inicial 𝑦𝜋 0 atende à solução da E D linear de primeira ordem 𝑥𝑦 𝑦 𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥 Então o valor aproximado de 𝑦 𝜋 3 é Resolução Organizando a EDO 𝑦 1 𝑥 𝑦 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Uma EDO linear de primeira ordem te a seguinte forma 𝑦𝑥 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 E o fator integrante é encontra pela fórmula a seguir 𝜇𝑥 𝑒𝑝𝑥𝑑𝑥 Encontrando o fator integrante 𝜇𝑥 𝑒 1 𝑥 𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝑒 ln𝑥 𝜇𝑥 1 𝑥 Multiplicando todos os termos da EDO pelo fator integrante 1 𝑥 𝑦 1 𝑥2 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Usando a regra da cadeia onde 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓 1 𝑥 𝑔 𝑦 𝑓 1 𝑥2 𝑔 𝑦 Aplicando a regra 1 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 1 𝑥 𝑦 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Integrando 1 𝑥 𝑦 cos𝑥 𝑐1 Isolando 𝑦 𝑦 𝑥 cos𝑥 𝑥𝑐1 Aplicando o ponto inicial 𝑦𝜋 0 0 𝜋 cos𝜋 𝜋𝑐1 0 𝜋1 𝜋𝑐1 𝑐1 1 Sendo assim a solução no ponto inicial é 𝑦 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑥 Aplicando no ponto 𝑦 𝜋 3 𝑦 𝜋 3 cos 𝜋 3 𝜋 3 Nós temos que cos 𝜋 3 1 2 𝑦 𝜋 3 1 2 𝜋 3 𝑦 157 9 A solução uma equação diferencial é uma função 𝑦 ou 𝑦𝑥 se a equação for nestas variáveis Se a condição inicial 𝑦1 2 atende à solução da E D linear de primeira ordem 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 ln𝑥 Então o valor aproximado de 𝑦3 é Resolução Organizando a EDO 𝑦 1 𝑥 𝑦 ln𝑥 𝑥 Uma EDO linear de primeira ordem te a seguinte forma 𝑦𝑥 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 E o fator integrante é encontra pela fórmula a seguir 𝜇𝑥 𝑒𝑝𝑥𝑑𝑥 Encontrando o fator integrante 𝜇𝑥 𝑒1 𝑥 𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝑒ln𝑥 𝜇𝑥 𝑥 Multiplicando todos os termos pelo fator integrante 𝑥𝑦 𝑦 ln𝑥 Usando a regra da cadeia onde 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 𝑓 1 𝑔 𝑦 Aplicando a regra 𝑥𝑦 ln𝑥 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 𝑥𝑦 ln𝑥 𝑑𝑥 Usando integral por partes encontramos 𝑥𝑦 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑥 𝑐1 Isolando 𝑦 𝑦 ln𝑥 1 𝑐1 𝑥 Aplicando o ponto inicial dado pelo enunciado 𝑦1 2 2 ln1 1 𝑐1 1 2 0 1 𝑐1 𝑐1 3 Sendo assim a solução no ponto inicial é 𝑦 ln𝑥 1 3 𝑥 Aplicando o ponto 𝑦3 𝑦 ln3 1 3 3 𝑦 ln3 𝑦 1098