Resolucao Passo a Passo de Equacoes Diferenciais Lineares e Separaveis

Determine resolvendo passo a passo cada equação diferencial nas alíneas a e b e na alínea c resolva a equação que satisfaça a condição inicial dada a xy 3y x4 senx b dydx y e4x c dydt 4tey y0 2 𝒂 𝒙𝒚 𝟑𝒚 𝒙𝟒𝒔𝒆𝒏𝒙 Primeiramente vamos reorganizála para a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑃𝑥𝑦 𝑄𝑥 dividindo todos os termos por x 𝑦 3 𝑥 𝑦 𝑥3𝑠𝑒𝑛𝑥 Aqui 𝑃𝑥 3 𝑥 𝑒 𝑄𝑥 𝑥3 𝑠𝑒𝑛𝑥 O fator integrante µx é dado por 𝑒 𝑃𝑥𝑑𝑥 que neste caso é 𝑒3 𝑥𝑑𝑥 𝑒3𝑙𝑛𝑥 1 𝑥3 Multiplicamos agora toda a equação pelo fator integrante 1 𝑥3 𝑦 3 𝑥4 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 Agora o lado esquerdo da equação é a derivada de 1 𝑥3 𝑦 em relação a x Portanto podemos escrever a equação como 𝑑 𝑑𝑥 1 𝑥3 𝑦 𝑠𝑒𝑛𝑥 Integrando ambos os lados com respeito a x obtemos 1 𝑥3 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶 Finalmente multiplicando ambos os lados por 𝑥3 obtemos a solução geral da equação diferencial 𝑦 𝑥3𝑐𝑜𝑠𝑥 𝐶𝑥3 b 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝒚 𝒆𝟒𝒙 Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem Ela pode ser resolvida usando o fator integrante Multiplicamos ambos os lados da equação pelo fator integrante 𝑒𝑥 para obter 𝑒𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑒𝑥𝑦 𝑒5𝑥 Agora o lado esquerdo da equação é a derivada do produto 𝑒𝑥𝑦 então podemos integrar ambos os lados 𝑑𝑒𝑥𝑦 𝑒5𝑥𝑑𝑥 Integrando obtemos 𝑒𝑥𝑦 1 5 𝑒5𝑥 𝐶 Resolvendo para y temos 𝑦 1 5 𝑒4𝑥 𝐶𝑒𝑥 c 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4𝑡 𝑒𝑦 𝑦0 2 Esta é uma equação diferencial separável Como 𝑒𝑦 0 para todo y então não precisamos fazer avaliações Para resolver separamos as variáveis e integramos Primeiro reescrevemos a equação como 𝑒𝑦𝑑𝑦 4𝑡𝑑𝑡 Agora integramos ambos os lados da equação 𝑒𝑦𝑑𝑦 4𝑡𝑑𝑡 Isso resulta em 𝑒𝑦 2𝑡2 𝐶 Para achar C utilizamos a condição inicial y0 2 Substituindo na equação obtemos 𝑒2 2 02 𝐶 Logo C e² Portanto a solução final para a equação diferencial é 𝑒𝑦 2𝑡2 𝑒² Ou reescrevendo em termos de y 𝑦 𝑙𝑛2𝑡² 𝑒²