Atividade de Álgebra 2

Para qualquer finm resolva somente DUAS questões de cada GRUPO GRUPOI 10 ponto1 Veritique se a relação R definida por xRyxye Qé uma relação de equivalência sobre F 10ponto2 Dado um conjunto AØe PA o conjunto das partes de A verifique se a relação R PA definida por XRY XcY é uma relação de ordem 10 ponto3 Seja Co coajunto dos números complexos e sejam x atbi e y ctdi dos elementos d Considere a relação R sobre C definida por xRy a c ou a c ebd Verifique se a relação Ré L o de ordem sobreC GRUPO II qualquer pontos4 Construa o diagrama simplificado da ordenação dos elementos do conjunto 2346812 por meio da ordem da divisibilidade 20 pontos5 Sejam A e Z s4 e a relação de equivalência R definida por xRy Ixyy Determine AR 20 pontos6 Seja R uma relação de ordem em um conjunto A Verifique se R é uma relação de orúcm em A GRUPO III 20 pontos 7 Seja R uma relação de ordem em um conjunto A e S uma relação em um conjunto B Verifique se a relação T definida em AxB por xyTzt xRz e ySt é uma relação de ordem em AxB 20 pontos 8 Sejam A eB conjuntos é válido afirmar que o conjunto ANB AB BA é uma partiçdo do conjunto AUB Por que 20 pontos 9 Seja P a b cdfeff uma partição do conjunto Aabcdeff Qual e reaçdo de equivalencia associada a partição P do conjunto A olva somente DUAS questões de cada GRUPO GRUPOO I 1Verifique se a relação R definida por xRyxyeQé uma relação de equivalência sobre R 2 Dado um conjunto AØ e PA o conjunto das partes de A verifique se a relação R se inida por XRY XCY é uma relação de ordem 3 Seja Co conjunto dos números complexos e sejam x atbi e y ctdi dos elementos de ea relação R sobre C definida por xRy a c ou a cebd Verifique se a relação R é u e ordem sobre C GRUPO II Los4 Construa o diagrama simplificado da ordenação dos elementos do conjunto 46812 por meio da ordem da divisibilidade cos5 Sejam A e Z s4 e a relação de equivalência R definida por Kxyy Determine AR os6 Seja R uma relação de ordem em um conjunto A Verifique se R é uma relação de order GRUPO III 10s 7 Seja R uma relação de ordem em um conjunto A e S uma relação em um conjunto B e se a relação T definida em AxB por xyTzt xRz e ySté uma relação de ordem em AxB cos 8Sejam A e B conjuntos é válido afirmar que o conjunto ANB AB BAé uma partição nto AvB Por que os 9 Seja P a b cdfefuma partição do conjunto Afabcde f Qual é relaçdo de ncia associada a partição P do conjunto A a somente DUAS questões de cada GRUPO GRUPOI Verifique se a relação R definida por xRyeryeQé uma relação de cquivalência sobre R Dado um conjunto AØ e PA o conjunto das partes de A verifique se a relação R sobre la por XRY XcY é uma relação de ordem Seja C o coajunto dos números complexos e sejam x atbi e y ctdi dois elementos de C relação R sobre C definida por xRy a c ou a ce bd Verifique se a relação Ré uma rdem sobre C GRUPOII 4 Construa o diagrama simplificado da ordenação dos elementos do conjunto 6812 por meio da ordem da divisibilidade S Sejam A e Z x s4 e a relação de equivalência R definida por x yy Determine AR 6 Seja R uma relação de ordem em um conjunto A Verifique se R é uma relação de ordem GRUPO II s 7Seja R uma relação de ordem em um conjunto Ae S uma relação em um conjunto B se a relaçãoT definida em AxB por xyTzt xRz e ySt é uma relação de ordem ire s 8 Sejam A e B conjuntos é válido afirmar que o conjuntoANB AB BA é uma partição to AUB Por que AxB S 9 Seja P a b ckdfefuma particão do conjunto Afabcdef Qual é relação de cia associada a partição P do conjunto A ofessor não me é possível ajudar o educando a superar sua ignorância se nào supcro 1emente a minha Não posso ensinar o que não sei babitoe Antissimetria Sejam X Y e PA tais que XRY e YRX X c Y e Y c X X Y Transitividade Sejam X Y Z e PA tais que XRY e YRZ X c Y e Y c Z X c Z XRZ Portanto R é relação de ordem não estrita Grupo II 5 A x e Z x 4 x e Z 4 x 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 4 Transitividade Sejam x y z e R tais que xRy yRz x y y z e Q Como v q1 q2 e Q q1 q2 e Q x z x 0 z x y y z x y y z e Q xRz Portanto R é relação de equivalência sobre R 2 Reflexividade v x e PA x c x 5 Grupo I 1 Reflexividade v x e R x x 0 e Q Simetria Sejam x y e R tais que xRy x y e Q Como v q e Q q e Q y x x y x y e Q y R x 1 y R1 x x R y Se R é relação de ordem nãoestrita Reflexividade x A x R x x R1 x Antissimetria Sejam x y A tais que x R1 y e y R1 x y x Transitividade Sejam x y z A tais que x R1 y e y R1 z x R1 z Portanto R1 é relação de ordem nãoestrita x x y y y y 2x Como x 0 2x 0 y y 0 y 0 y y y y 2y y y 2y 2x y x x x x x x 1 1 2 2 3 3 4 4 AR 0 1 2 3 4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Seja x Z 0 x x x x 0 Assim x y A 0 x x y y 0 x R y 4 3 2 1 0 0 Seja x 0 x x 0 x x x 0 0 4 3 2 1 0 0 4 3 2 1 0 Seja x Z 0 x x x x x x 2x Seja y Z tal que x R y Se R é relação de ordem estrita Reflexividade x A x R x x R¹ x Assimetria Sejam xy A tais que x R¹ y y R x R é assimetrica Transitividade Sejam xyz A tais que x R¹ y e y R¹ z y R x e z R y R é transitiva z R x x R¹ y Portanto R¹ é relação de ordem estrita Se R e S forem nãoestritas Reflexividade x A y B x R x e y S y xy T xy Antissimetria Sejam xy ab A B tais que xy T ab e ab T xy x Ra y Sb a R x b S y xa yb xy ab Transitividade Sejam x₁y₁ x₂y₂ x₃y₃ A B tais que x₁y₁ T x₂y₂ e x₂y₂ T x₃y₃ x₁ R x₂ e x₂ R x₃ y₁ S y₂ e y₂ S y₃ x₁ R x₃ y₁ S y₃ x₁y₁ T x₃y₃ Se R e S forem estritas Reflexividade xy A B x A y B x R x y S y xy xy Assimetria Sejam xy ab A B tais que xy T ab x R a y S b a R x b S y ab xy Transitividade x1y1 T x2y2 e x2y2 T x3y3 x1 R x2 e x2 R x3 y1 S y2 e y2 S y3 x1 R x3 y1 S y3 x1y1 T x3y3 8 Não é válido pois Se A ou B o conjunto não é partição Se A B o conjunto não é partição Se A B A B ou se B A B A e o conjunto não é partição