Exercícios Resolvidos de Relações, Equivalência e Isomorfismo em Grupos

01 Represente geometricamente A x B e B x A nos seguintes casos a A x 2 x 5 e B y 1 y 6 b A x 1 x 5 e B y 1 y 5 c A x 2 x 5 e B y 1 y 6 d A x 3 x 3 e B y 1 y 1 27Seja S a relação de equivalência definida por x yS t z xy tz em ℝ 2 Descreva AS 05Seja o conjunto dos números complexos e sejam x abi e y cdi dois elementos de 𝐶 Considere a relação R sobre definida por xRy a c ou a c e b d 𝐶 𝐶 aVerifique se R é uma relação de ordem parcial sobre 𝐶 bVerifique se R é uma relação de ordem total sobre 𝐶 39 Demonstre que em ℤm o produto de classes é associativo comutativa e possui elemento neutro para todo m natural 15 Verifique se o grupo ℤ é isomorfo ao grupo ℚ 20 Resolva o sistema de equações 𝟐𝒙 𝟑𝒚 𝟔 no anel ℤ10 𝟖𝒙 𝟐𝒚 𝟒 01 A B a b a A b B B A b a b B a A a A x ℝ 2 x 5 2 5 B y ℝ 1 y 6 1 6 B A A B b A x ℝ 1 x 5 1 5 B y ℝ 1 y 5 1 5 A B B A c A x ℝ 2 x 5 2 5 B y ℝ 1 y 6 1 6 A B B A d A x ℝ 3 x 3 3 3 B y ℝ 1 y 1 1 1 A B B A 27 Dado x y ℝ² sua classe de equivalência x y é o conjunto que contem todos os elementos de ℝ² que se relacionam a x y por S ou seja x y a b ℝ² a b S x y a b ℝ² ab xy n ℝ x y n Podemos chamar x y n ou seja a classe de x y contem todos os vetores de ℝ² em que o produto de suas entradas resulta um n ℝ² S contém todas as classes de equivalência de ℝ² por S ℝ² S x y x y ℝ² seja m ℝ m1 m α β ℝ² α β m já que m2 1 m Assim ℝ² S x y x y ℝ² mn n ℝ é isomorfo a ℝ a Para ser relação de ordem parcial R deve ser reflexiva antissimétrica e transitiva DP1 Reflexividade seja z a bi C a a b b a a b b z R z DP2 Antissimetria Sejam z1 a1 b1i z2 a2 b2i C tais que z1 R z2 z2 R z1 z1 R z2 a1 a2 a1 a2 b1 b2 z2 R z1 a2 a1 a2 a1 b2 b1 a1 a2 a2 a1 z2 R z1 Absurdo a2 a1 a1 a2 z1 R z2 Absurdo a1 a2 a1 a2 z1 R z2 b1 b2 b1 b2 z1 z2 a2 a1 z2 R z1 b2 b1 5 DP3 Transitividade Sejam z1 z2 z3 C zk ak bk i k 123 tais que z1 R z2 z2 R z3 z1 R z2 a1 a2 a1 a2 b1 b2 z2 R z3 a2 a3 a2 a3 b2 b3 1 a1 a2 a2 a3 a1 a3 z1 R z3 2 a1 a2 a2 a3 b2 b3 a1 a3 z1 R z3 3 a1 a2 b1 b2 a2 a3 a1 a3 z1 R z3 4 a1 a2 b1 b2 a2 a3 b2 b3 a1 a2 a3 a1 a3 b1 b3 z1 R z3 b1 b2 b3 Portanto R é relação de ordem parcial sobre C 6 b Como R é relação de ordem parcial basta mostrar a totalidade de R para provar que é relação de ordem total OT4 Totalidade z1 z2 C z1 R z2 z2 R z1 Sejam z1 z2 C zk ak bk i k 12 z1 R z2 a1 a2 a1 a2 b1 b2 z1 R z2 a1 a2 a1 a2 b1 b2 a1 a2 a1 a2 b1 b2 a1 a2 a1 a2 b1 b2 a1 a2 a1 a2 b1 b2 a1 a2 a1 a2 a1 a2 b1 b2 a1 a2 a1 a2 b1 b2 1 a1 a2 a2 a1 z2 R z1 2 a1 a2 b1 b2 Analisando a1 a2 2a a1 a2 a2 a1 z2 R z1 2b a1 a2 a1 a2 b1 b2 a1 a2 b1 b2 z2 R z1 a1 a2 b1 b2 Como z1 R z2 z2 R z1 R é total 39 1 Associatividade Sejam α β γ Zm α β γ α β γ α β γ α β γ α β γ 2 Comutatividade Sejam α β Zm α β α β βα β α 7 3 Existência de elemento neutro x y Z y x mod m qm x q Z 1 0m 1 1 Ī Ī ø Sejam α Zm α Ī αI α Ī é elemento neutro de Zm com relação a 15 Z é cíclico Z 1 Q não é cíclico ou seja não há um racional que gere Q pela soma Se f fosse isomórfico f Z Q f1 geraria Q o que não ocorre Logo Z Q 20 Sistema de equações no anel Z10 2 x 3 y 6 8 x 2 y 4 2x 3y 10 6 8x 2y 10 4 0 x y 10 I 2x 3y 10 6 7y 2x 10y 10 6 7y múltiplo de 10 0 2x 10 6 7y Substituindo um II 4 10 8x 2y 4 2x 2y 10 10 46 7y 2y 24 28y 2y 24 30 y 10 0404 múltiplo 204 múltiplo de 10 ou seja o sistema é possível e indeterminado 2x 10 6 7y 4 2x 4 10 7y 2x 4 7 10 y já que mdc7101 9 Testando valores de 0 a 9 em x e selecionando os divisíveis por 7 i x0 2044 não comum ii x1 214246 não comum iii x2 2248 não comum iv x3 2346410 10 0 y 10 070 v x4 24412 não comum vi x5 25414 y 10 1472 vii x6 26416 não comum viii x7 27418 não comum ix x8 28420 10 0 y 10 070 x x9 29422 não comum S 30 52 80 10