Convergência e Divergência de Séries - Teste da Razão e Potências

m1 1m1 1m 1 12 13 14 A série é convergente série alternada Para x 32 m1 1m1 2m 32m m3m m1 12m1 2m 3m 2m m3m m1 1 1 m 1 12 13 A série é harmônica é divergente A série de potências converge 32 x 32 diverge 32 x e x 32 b m0 m xm teste da razão lim m m1 xn1 m xm lim nm1m xm x m xm lim n m1 x Para x 0 lim m m10 lim m 0 1 logo converge lim m m1x que diverge teste da razão lim m 1m2 2m1 xm1 m1 3m1 1m1 2m xm m 3m lim m 2m1 2 xm x m 3m m1 3m 3 2m xm lim m 2 x m 3 m1 lim m 2 x 3 m m1 1 23 x 1 x 32 32 x 32 Para x 32 a série de potência é absolutamente convergente pelo teste da razão 23 x 1 x 32 a série é divergente Para 23 x 1 o teste da razão falha x 32 x 32 e x 32 m1 1m1 2m xm m 3m Para x 32 m1 1m1 2m 32m m 3m m1 1m1 2m 3m 2m m 3m e m1 m 23m um m 23m um1 m1 23m1 lim m m1 23m1 m 23m lim m m1 23m1 m 23m lim m m1 23m 23 1m 23m lim m m1 m 23 lim m 1 1 23 lim m 1 23 23 1 logo é abs convergente Série de potências Def Uma série de potências em xa é uma série da forma C0 C1 xa C2 xa2 Cm xan 1 ou seja m0 Cm xam 2 Além das séries de potências em xa e x existem vários de potências da forma m0 Cm Φxm C0 C1 Φx C2 Φx2 Cm Φxm onde Φ é uma função de x A forma mais geral 1 pode ser obtida de 2 através da trans lação x x a Ex Ache os valores de x para os quais a série de potência é convergente m1 1m1 2m xm m 3m Teste da razão Seja un uma série infinita para qual un é diferente de zero I Se lim n ⁿun L 1 a série dada é absolutamente convergente e portanto ela é convergente II Se lim n ⁿun L 1 ou lim n ⁿun a série é divergente III Se lim n ⁿun 1 nenhuma conclusão pode ser tirada de teste Ex Determinar se a série é convergente ou divergente 1lnm1m lim n ⁿun lim n ⁿ1lnm1m lim n 1lnm1 0 1 logo pelo tests da razão é absolutamente convergente logo é convergente b 23m d 1m 2mm c 1m 2mm3 e m 23m b 23m lim n un1un lim n 23m123m lim n 23m 2323m lim n 23 23 1 Pelo teste da razão a série é absolutamente convergente Teste da razão Seja un uma série infinita dada para a qual todo un é não nulo Então I se lim n un1un L 1 a série dada é absolutamente convergente II se lim n un1un L 1 ou se lim n un1un a série é divergente III se lim n un1un L 1 nenhuma conclusão quanto à convergência pode ser tirada do teste Ex Determinar se a série é convergente ou divergente 1m1 m2m un 1m1 m2m un1 1m11 m12m1 Usando o teste da razão lim n un1un lim n m12m1 2mm lim n m12m lim n m1m m2 lim n 12 12 1 Como lim n un1un 1 pelo teste da razão a série é absolutamente convergente logo é convergente c m1 1m 2m m3 um 2m m3 um1 2m1 m13 lim n um1um lim n 2m1 m13 m3 2m lim n 2 m3 m13 lim n 2 m3 m3 3m2 3m 1 lim n 2 lim n m3 m31 3m 3m2 1m3 lim n 2 1 2 1 Logo a série é divergente d m1 1m1 2m m um 2m m um1 2m1 m1 lim n um1um lim n 2m1m1 m 2m lim n 2 m1 0 1 Pelo teste da razão é absolutamente convergente logo é convergente Consequência absoluta e condicional o teste da razão e o teste da razão Def Dizemos que a série infinita m1 a um é série absolutamente convergente se a série m1 a um for convergente Def Uma série que é convergente mas não absolutamente convergente é denominada condicionalmente convergente Teo Se a série infinita m1 a um for absolutamente convergente ela será convergente m1 a um m1 a um Obs Então é possível que uma série seja convergente mas não absolutamente convergente Por outro lado se uma série for absolutamente convergente ela deverá ser convergente Ex Determinar se a série é convergente ou divergente m1 a cos 13 mπ m² 12 18 19 132 150 136 198 Podemos provar que tal série é convergente se pudermos mostrar que ela é absolutamente convergente m1 a um m1 a cos 13 mπ m² Como cos 13 mπ 1 cos 13 mπm² 1m² A série m1 a 1m² é uma série p com p2 1 portanto é convergente assim pelo teste da comparação m1 a um é convergente Logo a série m1 a um é absolutamente convergente a série é converg d m1 a 1m 3m² 1 am1 1 am 3m1²1 m²1 1 m² 1 m1² 1 m² 1 m² 1 1 2m 3 m² 1 limm 3 m² 1 0 logo a série é convergente e m1 a 1m1 43m2 limm 43m2 0 logo é convergente b m1 a 1m1 12m am1 1 am am 12m am1 12m1 1 2m1 1 2m1 12m m m1 limm 1 2m 12 limm 12m0 12 0 0 logo a série é convergente c m1 a 1m 1m² A série é alternada am é positivo 1m² 0 am1 1 am am 1 m² am1 1 m1² 1 m1² 1 m² 2m 1 limm 1 m² 0 logo a série é convergente 11 Ex Determine se a série é convergente ou divergente de m1 a 1m m2mm1 am1 1 am m2mm1 am1 m12m1m11 am m3m1m2 m23m2m23m2 m2mm2 m3m23m23mm32m23m26m2m4 m34m23mm35m28m4 1 lim m m2mm1 lim m 1 2mm1 lim m 1 2m1 0 logo a série é convergente b de m1 a 1m1 12m c de m1 a 1m 1m2 d de m1 a 1m 3m21 e de m1 a 1m1 43m2 20 081024 Sérias alternadas Sérias cujos termos são alternadamente positivos e negativos Def Se am 0 para todo m intíro positivo então a série de m1 a 1n1 am a1 a2 a3 a4 1n1 am e a série de m1 a 1m am a1 a2 a3 a4 1n am são chamadas séries alternadas Ex Tipo 1 de m1 a 1m1 1m 1 12 13 14 tipo 2 de m1 a 1m 1m 1 12 13 14 Teo teste de séries alternadas Considere a série alternada de m1 a 1m1 am ou de m1 a 1m am onde am 0 e am1 am para todo m inteiro positivo Se lim m am 0 a alternada converge Ex Prove que a série alternada de m1 a 1m1 1mam é convergente de m1 a 1m1 1m 1 12 13 14 cond 1 a série é alternada cond 2 am 0 cond 3 am1 am lim m 1m 0 logo é convergente 11 Ex Use o teste da integral para determinamos se a série dada é convergente ou divergente ① de n1 a 12m1 ② de m1 a 23m52 ③ de n1 a 1m232 ④ de n1 a mm22 b Σ m2 to 1 m ln m fx 1 x ln x a fc é continua x 2 a fc é positiva para x 2 a fc é decrescente para x 2 Atendo o Teste da integral para x 2 2 to 1 x ln x dx lim b 2 to b 1 x ln x dx lim b 2 to b 1 x ln x12 dx 1 x ln x12 dx u ln x du 1x dx 1 u12 du u12 du u12 12 2 u 2 ln x lim b 2 ln x 2 to b lim b 2 ln b 2 ln 2 A série é divergente pelo Teste da integral Ex Determine se a série é convergente ou divergente Σ m1 to m em Seja fx x ex x ex É continua em todos os pontos É positiva para x 1 É decrescente para x 1 Atendo as condições do Teste da integral Temos que 1 to fx dx 1 to x ex dx lim b 1 to b x ex dx x ex dx ex x1 c lim b ex x1 1 to b lim b eb b1 e1 11 lim b b1eb 2e 2e A série é convergente pelo Teste da integral Se p1 a integral é 1 to 1 xp dx lim b 1 to b 1x dx lim b ln x 1 to b lim b ln b Se p1 a integral é 1 to 1 xp dx lim b 1 to b 1 xp dx lim b 1 to b xp dx lim b xp1p1 1 to b lim b bp1 1p1 Se p1 lim b b1p 11p lim b b1p 11p como p1 lim b b1p 11p 0 11p 1p1 Se p1 lim b b1p 11p Logo mostramos que a psérie converge quando p1 e diverge quando p1 2 m1 12n1 4 m1 m 3m 3 m1 m² 4n³ 1 D teste da integral Seja f uma Fç continua decrescente e com valores positivos para todo x 1 Então a série infinita m1 fm f1 f2 fm será convergente se a integral imprópria 1 ƒxdx lim b 1 b fxdx existir e será divergente se lim b 1 b fxdx EX Use o teste da integral para mostra que a série p diverge se p 1 e converge se p 1 A série p é m1 1 mn p Se fx 1x p continua para x 1 é positiva Além disso se 1 x₁ x₂ então 1x₁ p 1x₂ p e assim f é decrescente para todo x 1 Portanto estão verificadas as condições do Teste da integral para essa fk f Consideremos agora a integral imprópria I termas para 1 dx x c p lim b 1 b dx x c p Para m3 elevado 1m²2 ¹³ seja máximo 1km²¹³ 1m²³ a série m1 1 m n orto é divergente pois é uma série p com p 23 1 Aplicando o teste de comparação com limite a um 1m² 2¹³ a um 1 m 23 lim m u m v m lim m m²2 ¹³ 1 m ²³ lim m m ²³ m²2 ¹³ lim m m ²³ ¹³ m²2¹³ lim m m² m²2 ¹³ lim m m²m² 1 2m² ¹³ lim m 1¹³ 11 Logo é divergente utilizando o ítem 2 do teste de comp com limite Rio 031024 Ex Determine se a série dada é convergente ou divergente m1 1 m 2n u m m1 1 a n v m 1m 2n 1 2ⁿ m1 m4 1 2 n é uma série geométrica com n 12 1 logo converge e a série é de termos positivos Geométrica m0 r m r 1 converg r 1 diver Usando o teste de comparação lim m u mv m lim m 1m 2 n 1 m 2 n lim m 1m 2 n 2ⁿ 1 lim m 2 n m 2 n lim m 1 m 0 Pelo ítem ① do teste temos que m1 1m a n é convergente Série geométrica m0 r m 1 r r m r 1 converge r 13 m1 1 3 n 4 4 m1 1 3 n r 1 diverge 13 19 127 Como n 13 1 a série é convergente e m1 4 3 m1 m1 4 3 n Utilizando o teste de comparação temos que como m1 4 3 m converge a série m1 4 3 m1 também converge u m v m converge teste de comparação com limite Segam m1 u m e m1 v m duas séries de termos positivos I Se lim m u m v m c 0 então ambas as séries convergem ou divergem II Se lim m u m v m 0 e se m1 v m converge então m1 u m converge III Se lim m u m v m e se m1 v m diverge então m1 u m diverge Ex Determine se a série infinita é convergente ou divergente m1 1 m² 2 ¹³ Série P É uma série da seguinte forma m1 1 m p converge se p 1 diverge se p 1 Se p 1 a série 1n é a série harmônica Teste de comparação Seja Σ m1 um uma série de termos positivos I Se Σ m1 um for uma série de termos positivos que sabemos ser convergente e se um vm para todo n inteiro positivo então Σ m1 un será convergente II Se Σ m1 um for uma série de termos positivos que sabemos ser divergente e se um vm para todo n inteiro positivo então Σ m1 un será divergente um vm convergente Σ m1 vm convergente um vm diverge Σ m1 vm diverge Ex Determina se a série infinita é convergente ou divergente Σ m1 4 3m1 Σ m1 4 3m1 4 Σ m1 1 3m1 m1 4 1 3¹ 1 44 m2 4 1 3² 1 410 m3 4 1 3³ 1 428 m4 4 1 3⁴ 1 482 A série dada é 44 410 428 482 43ⁿ1 uk 1 kk1 usando frações parciais uk 1k 1k1 uk1 1 12 uk2 12 13 uk3 13 14 Sm u1 u2 u3 Sm 1 12 12 13 13 14 1m 1m1 Sm 1 1m1 mm1 Série convergente divergente Lim m Sm tem Lim m Sm não tem que existir Teo Se a série infinita Σ um for convergente então lim m um 0 O inverso do teo acima é falso Série harmônica É a série infinita definida como Σ k1 1k 1 12 13 Série geométrica É a série que se obtém qdo se toma soma os infinitos termos de uma PG Σ n0 rn 1 r r² Esta série é convergente se r 1 e neste caso a soma vale Σ n0 rn 1 1r e diverge se r 1 a1 a1 a2 a1 r a3 a2 r a1 r r a1 r² am a1 rn n1 uk 1 kk1 usando frações parciais uk 1k 1k1 uk1 1 12 uk2 12 13 uk3 13 14 Sm u1 u2 u3 Sm 1 12 12 13 13 14 1m 1m1 Sm 1 1m1 mm1 Série convergente divergente Lim m Sm tem Lim m Sm não tem que existir Teo Se a série infinita Σ um for convergente então lim m um 0 O inverso do teo acima é falso Série harmônica É a série infinita definida como Σ k1 1k 1 12 13 Série geométrica É a série que se obtém qdo se toma soma os infinitos termos de uma PG Σ n0 rn 1 r r² Esta série é convergente se r 1 e neste caso a soma vale Σ n0 rn 1 1r e diverge se r 1 a1 a1 a2 a1 r a3 a2 r a1 r r a1 r² am a1 rn n1 Sequência Crescente decrescente não ser crec decres an an1 am am1 Monotona uma seq que seja decrescente ou crescente estritamente crescente decrescente am am1 am am1 Teo de existência uma seq monotona limitada é convergente Séries infinitas Def Se tiver t for uma sequência e Sm u1 u2 u3 um então a sequência Sm será chamada de série infinita a qual é denotada por um m1 um u1 u2 u3 um Ex um m1 1mm1 m1 S1 u1 112 12 S2 S1 u2 12 16 23 S3 S2 u3 23 134 34 Sm Sm1 um 011024 1 24110 2 10112 3 12112 4 17112 Sequência Ex fm m2m 1 lim x fx 1 f0 020 1 01 0 lim x x2x 1 f1 121 1 13 0333 lim x x2x 1 f2 25 04 lim x 12 0 12 lim ts existe convergente Sequência não tem limite divergente Sequência limitada existe limite superior e inferior Sequência convergente am e bm lim m cam c lim m am lim m am bm lim m am lim m bm lim m am bm lim m am lim m bm lim m am bm