Lista 2 - Cálculo 4 2023-1

UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO IME - INSTITUTO DE MATEMATICA E ESTATISTICA Disciplina: IME 1 10828 - Calculo IV (2023/1) Turma: 1 Prof.* Cristiane Oliveira de Faria LISTA 2 - SERIES DE POTENCIAS E DE TAYLOR (Exercicios retirados do livro do Stewart) 1. A sequéncia de Fibonacci é definida da seguinte forma: fi =1, fe =1, fn = fn—-1 + fnr—2, n>=s Mostre que cada senteng¢a é verdade. ) 2 fn—-1fn+1 fn—-1f fp fnfn4i = 1 b —— =] ( ) 2 fn—-1fn41 co fr c ——— =2 ( ) 2 fn—-1fn41 2. Funcgao Zeta de Riemann Seja a funcao ¢ definida por gs)= 4 - n=1 né onde s é um ntmero complexo, é chamada de fungao zeta de Riemann. Leonard Euler foi habil de calcular a solucao exata desta soma considerando s = 2: “1 1 2 = —_—_- = — Use este fato para encontrar a soma de cada série. 1 (@) a n=2 = 1 b oe ) do Grp “1 ©) >) Gap n=1 3. Em torno de 1910, o matematico indiano Srinivasa Ramanujan descobriu a formula 1 2v2 > (4n)!(1103 + 26390n) nm 9801 oa (n!)43964” William Gosper usou esta série em 1985 para calcular os primeiros 17 milhoes de digitos do 7. (a) Verifique que esta série é convergente. (b) Quantas casas decimais corretas do valor do 7 teremos se usarmos apenas o primeiro termo desta série? E se usarmos dois termos? 4. Se k é um inteiro positivo, encontre o raio de convergéncia da série So Lan — (kn)! 5. Encontre a representacgao por série de poténcias para as seguintes funcgoes e determine o raio de convergéncia x a = ———_{ (9) f@) = Gp l+2 b = — (0) fle) = Gp (c) f(@) = In(5 — 2) 6. Avalie a integral indefinida como uma série de poténcias. Qual é 0 raio de convergéncia? (a) f asa a — 1-# (b) fa? In(1 + x)dax 7. Mostre que a funcao co a? f(x) = S° nl n=0 é a solugdo da equagaéo diferencial f’(a) = f(x). Mostre que f(x) = e”. 8. Use a definigao da série de Taylor para encontrar os primeiros quatro termos nao nulos da série para f(x) centrada em um dado valor de a. (a) f(w)=2e", a =0 1 b = — =2 ) f= —, 4 (c) f(a)= Vz, a=8 (d) f(x) =Ina, a=1 (e) f(x) =senz, a=7/6 9. Use as definigoes e*—e* ey +e* hr = he= sinha = 5 _, cosh x = ——~5—— e a série de McLaurin para e” para mostrar que co gent (a) sinh x = » Qn+D! co yen (b) cosh xz = S (2n)! 10. Use a formula 1 1 tanh”! «= —In +e ; -l<a<l 2 1-2 e a série de McLaurin para In(1 + x) para mostrar que co gent tanh! x = —— bem