Slide - Dimensionamento à Flexão

Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Etapas de um projeto Dimensionamento Verificação Cálculo da armadura no ELU para reisistir aos esforços solicitantes, quando se sabe as dimensões dos elementos estruturais. Impedir que os ELS sejam ultrapassados. Estado limite último Associado a ruína da estrutura ou de elementos estruturais Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza 𝑆𝑑  𝑅𝑑 Base conceitual para o dimensionamento no ELU solicitação “de projeto” “de cálculo” resistência “de projeto” “de cálculo” Sd = f.Sk  Rd O dimensionamento de seções no ELU é baseado na seguinte condição de segurança: valores de cálculo. Solicitação de cálculo Coeficiente de MAJORAÇÃO das ações (1,4) Solicitação característica Resistência de cálculo 𝑓𝑐𝑑 = 𝑓𝑐𝑘 𝛾𝑐 Resistências de cálculo do concreto e do aço Coeficientes de MINORAÇÃO das resistências do concreto (1,4) e do aço (1,15) 𝑓𝑌𝑑 = 𝑓𝑌𝑘 𝛾𝑆 Conceito: Flexão de um elemento caracteriza-se pela atuação de momentos fletores, que produzem tensões normais à seção transversal do elemento e sua rotação em relação a eixos contidos na própria seção. Tipos de Flexão Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza A flexão pode ser classificade em: • Flexão pura: quando a única solicitação atuante na seção é o momento fletor (M), provocando apenas tensões normais; • Flexão simples: quando atuam concomitantemente momento fletor e força cortante (M e V), produzindo tensões normais e tangenciais na seção; • Flexão composta: quando atuam concomitantemente momento fletor e força normal (M e N), produzindo tensões normais na seção. Para entender melhor o comportamento de uma viga sob flexão, é comum a adoção do Ensaio de Stuttgart, realizado pelos pesquisadores Leonhardt e Walther. Nesse tipo de ensaio, uma viga de concreto armado, com comprimento l, seção retangular b.h e armadura de flexão, é submetida a uma força V normal ao eixo da viga, aplicada por meio de um atuador hidráulico, sendo dividida em duas forças simétricas iguais a V/2 por meio de um perfil metálico de distribuição. Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Comportamento à Flexão Nos vários estágios do ensaio são medidas (ou estimadas) diversas grandezas, como: deformações específicas no concreto e no aço da armadura, flechas (deslocamentos verticais) e rotações. Esse ensaio permite a observação, numa mesma peça, da flexão pura (sem a presença de cisalhamento) na região central entre as forças P/2 e da flexão simples entre cada força e o apoio mais próximo, onde o momento fletor tem variação linear e a força cortante é constante. Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Comportamento à Flexão A resposta à flexão da viga pode ser expressa em 3 Estádios de comportamento distintos, explicados a seguir. Considerando a viga mostrada no ensaio de Stuttgart é possível identificar três níveis de deformação, denominados Estádios, que determinam o comportamento da peça até sua ruptura. •Estádio I: peça não fissurada Essa é a fase inicial do ensaio, onde a carga gera momento fletor MI não muito elevado, surgindo tensões normais de baixa magnitude. Na região tracionada, a tensão máxima (t) é menor que a resistência à tração do concreto (fctd) e na região comprimida, a tensão máxima (c) é bem menor que a resistência à compressão do concreto (fcd). Nesse caso, tem-se um diagrama linear de tensões, ao longo da seção transversal da peça, sendo válida a lei de Hooke. Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Estádios de comportamento à flexão O dimensionamento neste estádio exige dimensões muito exageradas para as peças, pois leva em conta a resistência à tração do concreto, que é muito pequena. •Estádio II: peça fissurada A medida que o carregamento aumenta, o concreto esgota sua capacidade de resistir à tração, a seção começa a fissurar na região tracionada e a tensão de tração passa a ser absorvida apenas pela armadura longitudinal. No entanto, o nível de carga ainda é pequeno fazendo com que essa tensão na armadura seja menor que a sua resistência de escoamento (s < fyd), assim como a tensão no concreto é menor que a resistência à compressão do concreto (c < fcd), permanecendo a peça na fase elástica. Com esse comportamento linear de um elemento fletido, o Estádio II serve para a verificação da peça nos Estados-Limites de Serviço. Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Estádios de comportamento à flexão •Estádio III: peça na iminência da ruptura por flexão Com a carga seguindo aumentando, as fissuras vão em direção à borda comprimida, assim como a linha neutra, até que as tensões atuantes alcancem as capacidades resistentes dos materiais (s = fyd e c = 0,85.fcd), havendo um aproveitamento integral da peça. Nesse caso, a viga atingiu o Estado-Limite Último (ELU) e a sua ruptura deve ocorrer com o esmagamento do concreto à compressão e escoamento do aço à tração. Dessa forma, o dimensionamento de um elemento à flexão no ELU é feito no Estádio III, mas precisa-se estabelecer margem de segurança no projeto para que não ocorra ruptura da estrutura. Em outras palavras, o momento fletor solicitante de cálculo (ou de projeto) deve ser no mínimo igual ao momento fletor solicitante característico majorado por um coeficiente de ponderação f (MIII = Msd ≥ f.Mk). Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Estádios de comportamento à flexão A ruptua por flexão de uma viga de concreto armado depende, além da intensidade do momento fletor solicitante, das dimensões da seção transversal, das resistências dos materiais concreto e aço e da taxa de armadura longitudinal de tração. Assim, durante a ruptura de uma viga à flexão, pode prevalecer um dos seguintes modos: • Ruptura por tração: o elemento rompe devido ao escoamento do aço ocorrer antes do esmagamento do concreto. O aço escoa e ultrapassa rapidamente o alongamento convencional máximo de 10‰. Nesse caso, as seções são chamadas fracamente armada. • Ruptura balanceada: o ELU da peça ocorre com o esmagamento do concreto à compressão e escoamento da armadura longitudinal de flexão à tração, simultaneamente (resistências máximas do materiais) e a seção é denominada subarmada. Nesse tipo de ruptura, a viga apresenta elevado grau de fissuração na região tracionada e flechas excessivas, mostrando sinais visíveis da provável ruptura. Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Modos de Ruptura à Flexão • Ruptura por compressão: o esmagamento do concreto da região comprimida ocorre antes do escoamento do aço da armadura de flexão, com o concreto atingindo a deformação limite convencional cu. Isso ocorre por haver excesso de armadura de tração e as seções são consideradas superarmadas. A ruptura ocorre de maneira frágil, sem sinais de aviso como grandes deslocamentos, quantidade e abertura das fissuras. • São conhecidos: geometria (bw, h), resistências de cálculo do concreto e aço (fcd e fyd) e solicitação de cálculo (Msd) Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Problema a ser resolvido • Situação de dimensionamento. Interesse em determinar a armadura (a área de aço As). • São conhecidos: geometria (bw, h), resistências de cálculo do concreto e aço (fcd e fyd) e armadura As. • Situação de Análise. Interesse em determinar o momento resistente MRd. Solução para o Problema • Relações tensão x deformação dos materiais; • Relações de compatibilidade de deformações; • Relações equivalentes entre esforços solicitantes e resistentes. Para o dimensionamento das armaduras passivas elementos lineares de concreto armado, sujeitos a solicitações normais devidas ao momento fletor, são consideradas as seguintes hipóteses: • as seções transversais se mantêm planas após a deformação (Hipótese de Bernouilli); • a deformação das barras aderentes, em tração ou compressão, é a mesma do concreto em seu entorno; • as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, ou seja, sua resistência à tração, são desprezadas no ELU; yu  = Es s 10 0 0 0  fyk s  (compressão) (tração) yd f  yd ycd  0  =10 00 ycu fycd yck f diagrama de cálculo diagrama característico • A tensão no aço das armaduras é obtida a partir dos diagramas tensão-deformação simplificado do aço, considerando o coeficiente de minoração da resistência s = 1,15 para valores de cálculo; • a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo idealizado, com tensão máxima igual a 0,85𝐟𝐜𝐝. Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Hipóteses Básicas de dimensionamento à flexão (item 17.2.2) • Relações tensão x deformação dos materiais; • Relações de compatibilidade de deformações; • Relações equivalentes entre esforços solictantes e resistentes. Permite-se ainda a substituição dessa distribuição pelo diagrama retangular simplificado de altura y = x (onde x é a posição da linha neutra em relação ao bordo mais solicitado à compressão) e tensão máxima igual a 𝛔𝐦𝐚𝐱 = 𝛂𝐜𝐟𝐜𝐝, para os casos em que a largura da seção transversal, medida paralelamente à linha neutra, não diminui, ou seja, permanece constante ou aumenta em direção à borda compimida. Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Hipóteses Básicas de dimensionamento à flexão (item 17.2.2) Para os casos em que houver redução da largura da seção tranversal em direção à borda comprimida, a tensão máxima do concreto σmax deve ser multiplicada por 0,9. Os coeficientes  e 𝜶𝒄, que definem a altura do diagrama retangular e a tensão máxima no concreto, são dados por: ▪  = 0,8 e αc= 0,85 → para concretos de classe até C50 ▪  = 0,8 – (fck – 50)/400 e αc= 0,85 [1 – (fck – 50)/200] → para concretos de classes C55 a C90 • E a última hipótese estabele que o estado-limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos no item a seguir. Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Hipóteses Básicas de dimensionamento à flexão (item 17.2.2) Domínio de deformações da seção transversal de um elemento linear de concreto armado no ELU por solicitação normal é a denominação atribuída ao intervalo que representa graficamente todas as possíveis situações convencionais em projeto para a ruptura da seção. A Figura abaixo (item 17.2.2 da norma) representa todos os domínios de ELU por solicitação normal da seção, ou seja, todas as situações de ruptura convencional de projeto de peças lineares de concreto. Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Domínio de Deformações da Seção no ELU 10‰ T alongamento 1 Domíno 1 Representa a ruptura convencional com deformação plástica excessiva do aço - pólo de ruína A, que caracteriza o alongamento máximo 10‰ permitido para a armadura de tração. Além disso, toda a seção está tracionada. Esse ELU é característico de tirantes, não utilizado para concreto armado. A Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Domínio de Deformações da Seção no ELU 2 encurtamento c2 M C T alongamento 10‰ Domíno 2 Representa a flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto. É caracterizado pelo pólo de ruptura A (deformação convencional máxima do aço de 10‰) e pelo fato de existirem fibras de concreto comprimidas, sem esmagamento do concreto, ou seja, c < cu. cu A B Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Domínio de Deformações da Seção no ELU 3 encurtamento M C T alongamento yd c2 10‰ cu A B Domínio 3 Representa a flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto (c = cu) e com escoamento do aço ( s ≥ yd). Desta forma, este domínio é caracterizado pelo pólo de ruptura B, ou seja, o estado limite último é caracterizado pelo esmagamento do concreto e pela deformação da armadura mais tracionada se encontrar entre yd e 10‰. Esse tipo de ruptura é chamada de ruptura balanceada, aproveitando os materiais de forma adequada e com sinais de aviso. Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Domínio de Deformações da Seção no ELU 4 encurtamento M C T alongamento yd c2 10‰ cu A B Domínio 4 Representa a flexão simples (peça superarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto (caracterizada pelo pólo de ruptura B) e aço tracionado sem escoamento ( s < yd). Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Domínio de Deformações da Seção no ELU 5 C encurtamento Domínio 5 Representa a compressão não uniforme (compressão com pequena excentricidade). O encurtamento máximo do concreto varia de c2 a cu. c2 cu B Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Domínio de Deformações da Seção no ELU 1) Limite entre domínios 2 e 3: cd = cu e sd = 10‰ (ambos os materiais alcançam os limites convencionais máximos da norma). 2) Limite entre domínios 3 e 4: cd = cu e sd = yd No dimensionamento no ELU das seções de vigas sob flexão, somente teriam significado os domínios 2, 3 e 4. No entanto, esse último não se aplica, devido ao risco de ruptura sem aviso e ductilidade reduzida. Na figura acima, identifica-se que, para esses três domínios, as deformações específicas limites dos materiais componentes das seções de concreto armado (cd para concreto e sd para aço), podem ser expressas: Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Domínio de Deformações da Seção no ELU Em seções de concreto armado, a armadura simples é obtida quando o cálculo à flexão indica a necessidade apenas de armadura na zona tracionada para garantir a segurança ao ELU. Relembrando: O dimensionamento de seções no ELU consiste de: Estabelecer as dimensões da seção transversal e área de armaduras para garantir a segurança quanto ao momento fletor de ruptura ou momento fletor solicitante de cálculo: Msd = f.Mk. Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Dimensionamento de Seções com Armadura Simples Dessa forma, em uma seção com armadura simples, o momento fletor solicitante de cálculo Msd é equilibrado pelo momento resistente MRd, dado pela contribuição do concreto da região comprimida e pela armadura de tração, ou seja: MRd = Rcd. z = Rsd. z • Relações tensão x deformação dos materiais; • Relações de compatibilidade de deformações; • Relações equivalentes entre esforços solictantes e resistentes. As expressões de cálculo são obtidas pelas condições de compatibilidade de deformações e equilíbrio das forças na seção. ❑ Compatibilidade de deformações entre aço e concreto Essa condição é baseada nas hipóteses das seções planas e aderência perfeita entre aço e concreto. Por semelhança de triângulos no diagrama de deformações, cd e sd são relacionadas na forma seguinte: Para a formulação, é interessante definir o coeficiente adimensional: kx = x/d (altura ou profundidade relativa da linha neutra). Dessa forma, substituindo x/d na equação acima, tem-se: Com os valores limites das deformações do aço e concreto de acordo com o domínio de deformações, podem ser definidos os intervalos para o coeficiente 𝒌𝒙: 1)Limite entre os domínios 2 e 3: 𝒌𝒙 ≤ 𝒌𝒙𝒍𝒊𝒎𝟐−𝟑 = 𝜺𝒄𝒖/(𝜺𝒄𝒖 + 𝟏𝟎‰) → Domínio 2 2)Limite entre os domínios 3 e 4: 𝒌𝒙 ≤ 𝒌𝒙𝒍𝒊𝒎𝟑−𝟒 = 𝜺𝒄𝒖/(𝜺𝒄𝒖 + 𝜺𝒚𝒅) → Domínio 3 3)Se 𝒌𝒙 > 𝒌𝒙𝒍𝒊𝒎𝟑−𝟒 → Domínio 4 𝜺𝒔𝒅 𝜺𝒄𝒅 = 𝒅 − 𝒙 𝒙 𝜺𝒔𝒅 = 𝟏−𝒌𝒙 𝒌𝒙 𝜺𝒄𝒅 e 𝜺𝒄𝒅 = 𝒌𝒙 𝟏−𝒌𝒙 𝜺𝒔𝒅 e 𝒌𝒙 = 𝜺𝒄𝒅 𝜺𝒄𝒅+𝜺𝒔𝒅 Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Dimensionamento de Seções com Armadura Simples • Relações tensão x deformação dos materiais; • Relações de compatibilidade de deformações; • Relações equivalentes entre esforços solictantes e resistentes. ❑ Equilíbrio de momentos fletores solicitantes e resistentes na seção • Concreto à compressão: 𝑀𝑠𝑑 = 𝑅𝑐𝑑. 𝑧 = 𝜎𝑐𝑚𝑎𝑥. 𝑏𝑤. 𝑦 . 𝑑 − 0,5. 𝑦 = 𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝜆𝑥 . 𝑑 − 0,5𝜆𝑥 Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Dimensionamento de Seções com Armadura Simples • Relações tensão x deformação dos materiais; • Relações de compatibilidade de deformações; • Relações equivalentes entre esforços solictantes e resistentes. Equilíbio das Forças: 𝑅𝑐𝑑 = 𝑅𝑠𝑑 Equilíbio dos momentos: 𝑀𝑅𝑑 = 𝑅𝑐𝑑. 𝑧 𝑀𝑅𝑑 = 𝑅𝑠𝑑. 𝑧 𝑀𝑠𝑑 = 𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝜆𝑥 − (0,5. 𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤𝜆2. 𝑥2) 0,5. 𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤𝜆2. 𝑥2 − 𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑑. 𝜆. 𝑥 + 𝑀𝑠𝑑 = 0 A profundidade da linha neutra é determinada pela equação do 2 grau: 𝟎, 𝟓. 𝝀𝟐. 𝒙𝟐 − 𝒅. 𝝀. 𝒙 + 𝑴𝒔𝒅 𝜶𝒄. 𝒇𝒄𝒅. 𝒃𝒘 = 𝟎 Da distribuição de tensões, na seção submetida ao momento fletor solicitante de cálculo Msd, e da condição de equilíbrio de forças na seção, ou seja, Msd = MRd, tem-se: Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza ❑ Equilíbrio de momentos fletores solicitantes e resistentes na seção Dimensionamento de Seções com Armadura Simples • Aço à tração: 𝑴𝒔𝒅 = 𝑹𝒔𝒅. 𝒛 = 𝝈𝒔𝒅. 𝑨𝒔 . (𝒅 − 𝟎, 𝟓. 𝝀. 𝒙) 𝑨𝒔 = 𝑴𝒔𝒅 𝝈𝒔𝒅(𝒅 − 𝟎, 𝟓. 𝝀. 𝒙) Onde 𝝈𝒔𝒅 = 𝒇𝒚𝒅 nos domínios 2 e 3. 𝑨𝒔 = 𝑴𝒔𝒅 𝒇𝒚𝒅(𝒅 − 𝟎, 𝟓. 𝝀. 𝒙) ❑ Equilíbrio de momentos fletores solicitantes e resistentes na seção Para o equilíbrio dos momentos fletores, além do coeficiente 𝒌𝒙 , é importante definir um coeficiente adimensional relativo ao braço de alavanca kz: 𝑘𝑧 = 𝑧 𝑑 = (𝑑 − 0,5𝑦) 𝑑 = (𝑑 − 0,5𝜆𝑥) 𝑑 → 𝒌𝒛 = 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝝀𝒌𝒙 • Concreto à compressão: 𝑀𝑠𝑑 = 𝑅𝑐𝑑. 𝑧 = 𝜎𝑐𝑚𝑎𝑥. 𝑏𝑤. 𝑦 . 𝑑 − 0,5. 𝑦 → 𝑀𝑠𝑑= 𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝜆𝑥 . 𝑑 − 0,5𝜆𝑥 𝑀𝑠𝑑 = 𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝜆. 𝑥 𝑑 𝑑 . 𝑑 𝑑 𝑑 − 0,5𝜆𝑥 𝑑 𝑑 = 𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝜆. 𝑘𝑥. 𝑑 . 𝑑 − 0,5𝜆𝑘𝑥𝑑 = 𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝜆. 𝑘𝑥. 𝑑 . 1 − 0,5𝜆𝑘𝑥 𝑑 = (𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝜆. 𝑘𝑥 . 𝑑). 𝑘𝑧. 𝑑 𝒌𝒙 𝒌𝒛 𝑴𝒔𝒅 = 𝜶𝒄. 𝝀. 𝒌𝒙 . 𝒌𝒛 . 𝒇𝒄𝒅. 𝒃𝒘𝒅² Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Dimensionamento de Seções com Armadura Simples – OUTRA MANEIRA • Relações tensão x deformação dos materiais; • Relações de compatibilidade de deformações; • Relações equivalentes entre esforços solictantes e resistentes. Equilíbio das Forças: 𝑅𝑐𝑑 = 𝑅𝑠𝑑 Equilíbio dos momentos: 𝑀𝑅𝑑 = 𝑅𝑐𝑑. 𝑧 𝑀𝑅𝑑 = 𝑅𝑠𝑑. 𝑧 Da distribuição de tensões, na seção submetida ao momento fletor solicitante de cálculo Msd, e da condição de equilíbrio de forças na seção, ou seja, Msd = MRd, tem-se: Multiplicar por d/d 𝒌𝒙 ❑ Equilíbrio de momentos fletores solicitantes e resistentes na seção • Concreto à compressão: Para uma formulação mais genérica, os termos entre parênteses serão substituídos pelo coeficiente adimensional do momento fletor de cálculo 𝒌𝒎𝒅 = 𝜶𝒄. 𝝀. 𝒌𝒙 . 𝒌𝒛. Assim: 𝑴𝒔𝒅 = 𝒌𝒎𝒅. 𝒇𝒄𝒅. 𝒃𝒘𝒅𝟐 → 𝒌𝒎𝒅 = 𝑴𝒔𝒅 𝒃𝒘𝒅𝟐𝒇𝒄𝒅 Para obter a profundidade relativa da linha neutra 𝒌𝒙 em função do 𝒌𝒎𝒅, tem-se: Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Dimensionamento de Seções com Armadura Simples 𝑴𝒔𝒅 = 𝜶𝒄. 𝝀. 𝒌𝒙 . 𝒌𝒛 . 𝒇𝒄𝒅. 𝒃𝒘𝒅² 𝒌𝒎𝒅 = 𝜶𝒄. 𝝀. 𝒌𝒙 . 𝒌𝒛 = 𝜶𝒄. 𝝀. 𝒌𝒙 . 𝟏 − 𝟎, 𝟓𝝀𝒌𝒙 → 𝒌𝒙 = 𝟏 − 𝟏 − 𝟐𝒌𝒎𝒅 𝜶𝒄 𝟏/𝟐 /𝝀 • Aço à tração: 𝑴𝒔𝒅 = 𝑹𝒔𝒅. 𝒛 = 𝝈𝒔𝒅. 𝑨𝒔 . 𝒛/𝒅 𝒅 → 𝒌𝒛 = 𝒛/𝒅 𝑨𝒔 = 𝑴𝒔𝒅 𝒌𝒛. 𝒅. 𝝈𝒔𝒅 Onde 𝝈𝒔𝒅 = 𝒇𝒚𝒅 nos domínios 2 e 3. 1. Garantia da ductilidade “Os esforços solicitantes decorrentes de uma análise linear podem servir de base para o dimensionamento dos elementos estruturais no ELU, mesmo que esse dimensionamento admita a plastificação dos materiais, desde que se garanta uma dutilidade mínima às peças.” A ductilidade e a capacidade de rotação das seções dependem da profundidade da linha neutra. Isso porque valores elevados do coeficiente kx reduzem a ductilidade, levando ao risco de ruptura frágil, que deve ser evitada. No item 14.6.4.3 da NBR 6118:2014, diz que para proporcionar o adequado comportamento dúctil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU deve obdecer aos seguintes limites: • kx = x/d  0,45 para fck  50 MPa • kx = x/d  0,35 para 50 MPa < fck  90 MPa Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Verificações para armadura longitudinal de flexão (NBR 6118:2014) A armadura mínima é considerada atendida pelos limites fornecidos pela Tabela 17.3 da norma brasileira. Dessa forma, a armadura mínima é dada por: 2. Armadura longitudinal mínima ൯ 𝑨𝒔,𝒎𝒊𝒏 = 𝝆𝒎𝒊𝒏. (𝒃𝒘. 𝒉 Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Verificações para armadura longitudinal de flexão (NBR 6118:2014) Em alguns casos, as próprias dimensões da seção transversal resultam em taxas de armadura muito baixas. Nesse caso, para previnir ruptura frágil e deformações excessivas, faz-se necessário a verificação da área mínima de armadura prescrita no item 17.3.5.2.1 da NBR 6118:2014. 3. Armadura longitudinal máxima As armaduras de peças fletidas de concreto armado devem respeitar os limites máximos. Isso para garantir a ductilidade, além de evitar altas concentrações de ferragem, que comprometem o adensamento do concreto. Dessa forma, a área total de aço (a soma das armaduras de tração e compressão), calculada fora das emendas, é limitada por: 𝑨𝒔,𝒕𝒐𝒕 = 𝑨𝒔 + 𝑨𝒔′ ≤ 𝟒%. 𝑨𝒄 Estruturas de concreto armado I - professora Shirley Souza Verificações para armadura longitudinal de flexão (NBR 6118:2014) fcd = ൗ 25 1,4 = 17,9 𝑀𝑃𝑎 • fck = 25 𝑀𝑃𝑎 • 𝐴ç𝑜 𝐶𝐴50 fyd = 435 𝑀𝑃𝑎 • 𝑑 = ℎ − 𝑐 − 𝜙𝑙/2 − 𝑡  0,9h = 0,9.50 = 45 cm 1. 𝑃𝑜𝑠𝑖çã𝑜 𝑑𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎 •  = 0,8 e αc= 0,85 → concretos de classe até C50 2. 𝑘𝑥= x/d = 3,20/45 = 0,071 𝑘𝑥 ≤ 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚2−3 = 𝜀𝑐𝑢/(𝜀𝑐𝑢 + 10‰) →Dom. 2 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚2−3 = 3,5/(3,5 + 10)= 0,259 𝟎, 𝟓. 𝝀𝟐. 𝒙𝟐 − 𝒅. 𝝀. 𝒙 + 𝑴𝒔𝒅 𝜶𝒄. 𝒇𝒄𝒅. 𝒃𝒘 = 𝟎 𝑨𝒔 = 𝑴𝒔𝒅 𝒇𝒚𝒅(𝒅 − 𝟎, 𝟓. 𝝀. 𝒙) 3. 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑎ç𝑜 𝒙 = 𝟑𝟔 ± 𝟑𝟔𝟐 − 𝟒. 𝟎, 𝟑𝟐. 𝟏𝟏𝟐, 𝟏𝟕 𝟐. 𝟎, 𝟑𝟐 𝒙 = −𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 𝟐𝒂 𝟎, 𝟓. 𝟎, 𝟖𝟐. 𝒙𝟐 − 𝟒𝟓. 𝟎, 𝟖. 𝒙 + 𝟐𝟓, 𝟔. 𝟏𝟎𝟎 𝟎, 𝟖𝟓. 𝟏, 𝟕𝟗. 𝟏𝟓 = 𝟎 𝟎, 𝟑𝟐. 𝒙𝟐 − 𝟑𝟔𝒙 + 𝟏𝟏𝟐, 𝟏𝟕 = 𝟎 𝒙𝟏 = 109,29 cm e 𝒙𝟐 = 3,20 cm 𝑨𝒔 = 𝟐𝟓, 𝟔. 𝟏𝟎𝟎 𝟒𝟑, 𝟓(𝟒𝟓 − 𝟎, 𝟓. 𝟎, 𝟖. 𝟑, 𝟐𝟎) = 𝟏, 𝟑𝟓 𝒄𝒎𝟐 ❑ Viga V4 (15 x 50) Dimensionamento de Seções com Armadura Simples - Aplicação kx = 0,071 0,45 critério de ductilidade ok! 𝑀𝑠𝑑 = 1,4.18,32 = 25,6 𝑘𝑁. 𝑚 ❑ Viga V4 (15 x 50) Viga Mk (kN.m) Msd (kN.m) kmd kx kz Dom. fyd (kN/cm2) As (cm2) V4 -18,3 25,6 0,047 0,071 0,97 2 43,5 1,35 39,7 55,6 43,5 -45,3 63,4 43,5 6,2 8,7 43,5 -5,8 8,1 43,5 • 𝑘𝑚𝑑 = 𝑀𝑠𝑑 𝑏𝑤𝑑2𝑓𝑐𝑑 = 25,6.100 15.4521,79 = 0,047 • 𝑘𝑥 = 1 − 1 − 2𝑘𝑚𝑑 𝛼𝑐 1/2 /𝜆 = 1 − 1 − 2.0,047 0,85 1/2 /0,8=0,071 • 𝑘𝑥 = 0,071 < 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚2−3 = 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐𝑢+10‰ = 3,5 3,5+10 = 0,259 → Dom. 2 • 𝑘𝑧 = 1 − 0,5𝜆𝑘𝑥=1 – (0,5.0,8.0,071) = 0,97 • 𝐴𝑠 = 𝑀𝑠𝑑 𝑘𝑧.𝑑.𝜎𝑠𝑑 = 25,6.100/ 0,97.45.43,5 • As = 1,35 cm² Dimensionamento de Seções com Armadura Simples – Aplicação – resolução por kmd • 𝑘𝑥 = 0,071 < 0,45 Critério de ductilidade ok! Viga Mk (kN.m) Msd (kN.m) kmd kx kz Dom. As cm2 Duct. Kx  0,45 As,min (cm²) As,max (cm²) As,nec (cm²) As,adot (cm²) V4 -18,3 25,6 0,047 0,071 0,971 2 1,35 ok 1,13 30 1,35 (210) 1,56 39,7 55,6 0,102 0,161 0,936 2 3,03 ok 3,03 (410) 3,14 -45,3 63,4 0,117 0,186 0,926 2 3,50 ok 3,50 (312,5) 3,93 6,2 8,7 0,016 0,024 0,990 2 0,45 ok 1,13 (210) 1,56 -5,8 8,1 0,015 0,022 0,991 2 0,42 ok 1,13 (210) 1,56 ❑ Viga V4 (15 x 50) Dimensionamento de Seções com Armadura Simples - Aplicação 5,95m 4,05m P6 P7 P8 4  10,0 2  10,0 2  10,0 2  10,0 3  12,5 ❑ Viga V4 (15 x 50) – Distribuição das armaduras ao longo da viga Dimensionamento de Seções com Armadura Simples - Aplicação Armadura negativa Armadura positiva estribos viga ❑ Viga V4 (15 x 50) – Posição das armaduras na seção transversal Porta estribo Armadura de tração positiva Dimensionamento de Seções com Armadura Simples - Aplicação