Slide - Dimensionamento à Flexão Simples de Vigas

Quando o 𝒌𝒙 > 𝒌𝒙𝒍𝒊𝒎𝟑−𝟒 resultando em Domínio 4 (peças superarmadas) ou mesmo quando o dimensionamento resulta em um dos Domínios 2 ou 3 (armadura simples), mas a ductilidade não é atendida (kx > 0,45 para fck  50 MPa e kx > 0,35 para 50 MPa < fck  90 MPa), é conveniente adotar uma armadura na zona comprimida para o elemento passar a trabalhar no Domínio 3 ou ter mais folga nos Domínios 2 e 3, no caso de falta de ductilidade. Outras alternativas não muito viáveis são aumentar a altura da viga ou aumentar a resistência à compressão do concreto. Esse artifício se chama cálculo com armadura dupla, ou seja, a seção com armaduras longitudinais nas regiões tracionadas e comprimidas. Dimensionamento de Seções com Armadura Dupla 𝑨𝒔′ Para dimensionar a armadura dupla, o momento fletor de cálculo Msd é dividido em duas parcelas: na primeira, a viga apresenta armadura de tração e concreto comprimido e na segunda, a viga apresenta armadura de tração e compressão como mostra a figura: Dimensionamento de Seções com Armadura Dupla 𝑴𝒔𝒅𝟏 = 𝒌𝒎𝒅𝒍𝒊𝒎. 𝒇𝒄𝒅. 𝒃𝒘𝒅𝟐 𝑨𝒔𝟏 = 𝑴𝒔𝒅𝟏 𝒌𝒛𝒍𝒊𝒎. 𝒅. 𝒇𝒚𝒅 Conforme se indica na figura, pode-se determinar a primeira parcela do momento resistente e a primeira parcela da armadura, designados por Msd1 e As1, respectivamente: Dimensionamento de Seções com Armadura Dupla 𝑴𝒔𝒅𝟏 = 𝑹𝒄𝒅. 𝒛 = 𝜶𝒄. 𝒇𝒄𝒅. 𝒃𝒘. 𝝀. 𝒙𝒍𝒊𝒎𝟑,𝟒 . 𝒅 − 𝟎, 𝟓𝝀. 𝒙𝒍𝒊𝒎𝟑,𝟒 𝒌𝒙𝒍𝒊𝒎𝟑−𝟒 = 𝜺𝒄𝒖 𝜺𝒄𝒖 + 𝜺𝒚𝒅 ≤ 𝒌𝒙𝒍𝒊𝒎 no limite da ductilidade → 𝒙𝒍𝒊𝒎𝟑,𝟒 = 𝜺𝒄𝒖 𝜺𝒄𝒖 + 𝜺𝒚𝒅 . 𝒅 𝑨𝒔𝟏 = 𝑴𝒔𝒅𝟏 𝒇𝒚𝒅(𝒅 − 𝟎, 𝟓. 𝝀. 𝒙𝒍𝒊𝒎𝟑,𝟒) Garantia de ductilidade kx = x/d  0,45 para fck  50 MPa kx = x/d  0,35 para 50 MPa < fck  90 MPa O valor da tensão de compressão do aço 𝝈𝒔𝒅 ′ corresponde à deformação no aço da armadura comprimida 𝜺𝒔𝒅 ′ , de acordo com o diagrama tensão x deformação. Por semelhança de triângulos na Figura das deformações, chega-se à expressão: 𝜺𝒔𝒅 ′ = 𝜺𝒄𝒖 (𝒙−𝒅′) 𝒙 E considerando 𝒌𝒙 = 𝒙/𝒅 = 𝒌𝒙𝒍𝒊𝒎 no limite da ductilidade: 𝜺𝒔𝒅 ′ = 𝜺𝒄𝒖 (𝒌𝒙𝒍𝒊𝒎−𝒅′/𝒅) 𝒌𝒙𝒍𝒊𝒎 Determina-se o valor de 𝝈𝒔𝒅 ′ pelas relações: Se 𝜺𝒔𝒅 ′ < 𝜺𝒚𝒅 → 𝝈𝒔𝒅 ′ = 𝑬𝒔. 𝜺𝒔𝒅 ′ ou Se 𝜺𝒔𝒅 ′ ≥ 𝜺𝒚𝒅 → 𝝈𝒔𝒅 ′ = 𝒇𝒚𝒅 A parcela restante do momento resistente 𝑴𝒔𝒅𝟐 = 𝑴𝒔𝒅 − 𝑴𝒔𝒅𝟏 deve ser resistida pelo binário da armadura de tração adicional 𝑨𝒔𝟐 com a armadura de compressão 𝑨𝒔′, calculadas como: 𝑨𝒔𝟐 = 𝑴𝒔𝒅𝟐 (𝒅 − 𝒅′). 𝒇𝒚𝒅 𝒆 𝑨𝒔′ = 𝑴𝒔𝒅𝟐 (𝒅 − 𝒅′). 𝝈𝒔𝒅 ′ Dimensionamento de Seções com Armadura Dupla 𝜺𝒄𝒖 Onde d’ é a distância do CG de 𝑨𝒔′ à borda comprimida. 𝑓𝑐𝑑 = ൗ 20 1,4 = 14,3 𝑀𝑃𝑎 • 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎 • 𝐴ç𝑜 𝐶𝐴50 𝑓yd = 435 𝑀𝑃𝑎 • 𝑑 ≅ 0,9h = 0,9.40 = 36 cm •  = 0,8 e 𝛼𝑐= 0,85 → concretos de classe até C50 ➢ Cálculo da altura da linha neutra Msd = 1,4.75 = 105 kN.m Pelo critério de ductilidade: 𝒌𝒙 = x/d  0,45 0,5. 𝜆2. 𝑥2 − 𝑑. 𝜆. 𝑥 + 𝑀𝑠𝑑 𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤 = 0 𝑥 = 28,8 ± 28,82 − 4.0,32.575,89 2.0,32 0,5. 0,82. 𝑥2 − 36.0,8. 𝑥 + 105.100 0,85.1,43.15 = 0 0,32. 𝑥2 − 28,8𝑥 + 575,89 = 0 𝑥1 = 60,11 cm 𝑥2 = 29,89 cm 𝑘𝑥 = 𝑥 𝑑 = 29,89/36 = 0,83 • Msd = f. Mk 𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45.36 = 16,2 cm Exemplo: Considere uma viga submetida a momento fletor solicitante característico máximo positivo 75 kN.m. Sendo a seção retangular (bw = 15 cm; h = 40 cm) e fck = 20 MPa, Calcular a armadura para resistir ao momento fletor, com aço CA-50. Dimensionamento de Seções com Armadura Dupla → 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45 → 𝑘𝑥 > 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚3−4 → Dom. 4 → Armadura dupla 𝑘𝑥 > 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚2−3 → Verificar Domínio 3 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚3−4 = 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐𝑢 + 𝜀𝑦𝑑 = 3,5 3,5 + 2,07 = 0,628 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚2−3 = 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐𝑢 + 10‰ = 3,5 3,5 + 10‰ = 0,259 𝑓𝑐𝑑 = ൗ 20 1,4 = 14,3 𝑀𝑃𝑎 • 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎 • 𝐴ç𝑜 𝐶𝐴50 𝑓yd = 435 𝑀𝑃𝑎 • 𝑑 ≅ 0,9h = 0,9.40 = 36 cm •  = 0,8 e 𝛼𝑐= 0,85 → concretos de classe até C50 Msd = 1,4.75 = 105 kN.m • Msd = f. Mk Exemplo: continuação Dimensionamento de Seções com Armadura Dupla ➢ primeira parcela do momento resistente: 𝑀𝑠𝑑1 = 𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝜆. 𝑥𝑙𝑖𝑚 . 𝑑 − 0,5𝜆. 𝑥𝑙𝑖𝑚 = (0,85.1,43.15.0,8.16,2).(36 – 0,5.0,8.16,2) = 6975,4 kN.cm ➢ 1ª parcela da armadura: 𝐴𝑠1 = 𝑀𝑠𝑑1 𝑓𝑦𝑑(𝑑 − 0,5. 𝜆. 𝑥𝑙𝑖𝑚) = 6975,4 43,5(36 − 0,5.0,8.16,2) = 5,43 𝑐𝑚² ➢ parcela restante do momento resistente: 𝑀𝑠𝑑2 = 𝑀𝑠𝑑 − 𝑀𝑠𝑑1 = 10500 − 6975,4 = 3524,6 kN. cm ➢ binário da armadura de tração adicional 𝐴𝑠2 com a armadura de compressão 𝐴𝑠′ : 𝐴𝑠2 = 𝑀𝑠𝑑2 (𝑑 − 𝑑′). 𝑓𝑦𝑑 = 3524,6 (36 − 4). 43,5 = 2,53 𝑐𝑚² As′ = As2=2,53 cm² 𝜀𝑠𝑑 ′ = 𝜀𝑐𝑢 (𝑥𝑙𝑖𝑚−𝑑′) 𝑥𝑙𝑖𝑚 = 3,5 (16,2−4) 16,2 = 2,63‰ > 𝜀𝑦𝑑 (2,07‰) Logo, 𝜎𝑠𝑑 ′ = 𝑓𝑦𝑑 e Na região tracionada: 𝐴𝑠= 𝐴𝑠1+ 𝐴𝑠2= 5,43+2,53 = 7,96 cm² Na região comprimida: As′ = 2,53cm² (416) (212,5) Exemplo: Considere uma viga submetida a momento fletor solicitante característico máximo positivo 75 kN.m. Sendo a seção retangular (bw = 15 cm; h = 40 cm) e fck = 20 MPa, Calcular a armadura para resistir ao momento fletor, com aço CA-50. 1. 𝑘𝑚𝑑 = 𝑀𝑠𝑑 𝑏𝑤𝑑2𝑓𝑐𝑑 2. 𝑘𝑥 = 1 − 1 − 2𝑘𝑚𝑑 𝛼𝑐 1/2 /𝜆 3. 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚2−3 = 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐𝑢+10‰ = 3,5 3,5+10‰ = 0,259 𝑘𝑚𝑑 = (105.100) 15. 3621,43 𝒌𝒎𝒅 =0,378 𝑘𝑥 = 1 − 1 − 2.0,378 0,85 1/2 /0,8= 0,834 𝑘𝑥 > 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚3−4 → Dom. 4 → Armadura dupla 𝑘𝑥 > 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚2−3 → Verificar Domínio 3 4.Pelo critério de ductilidade: 𝑘𝑥 = x/d  0,45 → 𝐴𝑑𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚 = 0,45 5. 𝑘𝑧𝑙𝑖𝑚 = 1 − 0,5𝜆𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚 = 1 − 0,5.0,8.0,45 =0,82 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚3−4 = 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐𝑢 + 𝜀𝑦𝑑 = 3,5 3,5 + 2,07 = 0,628 Dimensionamento de Seções com Armadura Dupla – pelo kmd 𝑓𝑐𝑑 = ൗ 20 1,4 = 14,3 𝑀𝑃𝑎 • 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎 • 𝐴ç𝑜 𝐶𝐴50 𝑓yd = 435 𝑀𝑃𝑎 • 𝑑 ≅ 0,9h = 0,9.40 = 36 cm •  = 0,8 e 𝛼𝑐= 0,85 → concretos de classe até C50 Msd = 1,4.75 = 105 kN.m • Msd = f. Mk 6. 𝑘𝑚𝑑𝑙𝑖𝑚 = 𝛼𝑐. 𝜆. 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚 . 𝑘𝑧𝑙𝑖𝑚 = 0,85.0,8.0,45.0,82 = 0,250 𝐴𝑠1 = 𝑀𝑠𝑑1 𝑘𝑧𝑙𝑖𝑚.𝑑.𝑓𝑦𝑑 = 6950 0,82.36.43,5 = 5,41 𝑐𝑚² 7. primeira parcela do momento resistente: 𝑀𝑠𝑑1 = 𝑘𝑚𝑑𝑙𝑖𝑚. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤𝑑2 = 0,250.1,43.15.36² = 6950 kN.cm 8. primeira parcela da armadura: 9. parcela restante do momento resistente: 𝑀𝑠𝑑2 = 𝑀𝑠𝑑 − 𝑀𝑠𝑑1 = 10500 − 6950 = 3550 kN. cm 10. binário da armadura de tração adicional 𝐴𝑠2 com a armadura de compressão 𝐴𝑠′ : 𝐴𝑠2 = 𝑀𝑠𝑑2 (𝑑−𝑑′).𝑓𝑦𝑑 = 3550 (36−4).43,5 = 2,55 𝑐𝑚² As′ = Msd2 (d−d′).σsd ′ = 3550 (36−4).43,5=2,55 cm² = 𝐴𝑠2 𝜀𝑠𝑑 ′ = 𝜀𝑐𝑢 (𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚−𝑑′/𝑑) 𝑘𝑥𝑙𝑖𝑚 = 3,5 (0,45−4/36) 0,45 = 2,63‰ Determina-se o valor de 𝜎𝑠𝑑 ′ pelas relações: Se 𝜀𝑠𝑑 ′ < 𝜀𝑦𝑑 → 𝜎𝑠𝑑 ′ = 𝐸𝑠. 𝜀𝑠𝑑 ′ Se 𝜀𝑠𝑑 ′ ≥ 𝜀𝑦𝑑(2,07‰) → 𝜎𝑠𝑑 ′ = 𝑓𝑦𝑑 11. Na região tracionada: 𝐴𝑠= 𝐴𝑠1+ 𝐴𝑠2= 5,41+2,55=7,96 cm² 12. Na região comprimida: As′ = 2,55cm² (416) (212,5) Exemplo: continuação Dimensionamento de Seções com Armadura Dupla – pelo kmd 𝑓𝑐𝑑 = ൗ 20 1,4 = 14,3 𝑀𝑃𝑎 • 𝑓𝑐𝑘 = 20 𝑀𝑃𝑎 • 𝐴ç𝑜 𝐶𝐴50 𝑓yd = 435 𝑀𝑃𝑎 • 𝑑 ≅ 0,9h = 0,9.40 = 36 cm •  = 0,8 e 𝛼𝑐= 0,85 → concretos de classe até C50 Msd = 1,4.75 = 105 kN.m • Msd = f. Mk