Integral Definida de x³cos(2x) de 0 a π/2 Resolvida Passo a Passo

3 Determine a solução da integral ₀π2 x³ cos 2x dx 0 π 2 x 3cos 2 x dx Usando integração por parte para resolver o problema ux 3du3 x 2dx dv cos2x dx vcos 2x dxsen 2x 2 A integral cos 2x dxé resolvida usando substituição u2x du2dx du 2 dx cos 2x dxcos u du 2 senu 2 sen2 x 2 Voltando na primeira integral temos 0 π 2 x 3cos 2 x dx x 3sen2x 2 0 π 2 0 π 2 sen2 x 2 3x 2dx π 2 3 sen2 π 2 2 0 2sen 20 2 3 2 0 π 2 x 2sen2 x dx π 3 8 senπ 0 3 2 0 π 2 x 2sen 2x dx3 2 0 π 2 x 2sen2 x dx Usando integração por parte de novo agora para achar a resolução de 0 π 2 x 2sen 2 x dx ux 2du2 xdx dvsen2 x v sen 2x dxcos 2 x 2 A integral sen2 x dxé resolvida usando substituição u2x du2dx du 2 dx sen 2 x dx senu du 2 cos u 2 cos 2x 2 Portanto temos 0 π 2 x 2sen2 x dx x 2cos 2x 2 0 π 2 0 π 2 cos 2x 2 2 xdx π 2 2 cos2 π 2 2 0 2cos 20 2 0 π 2 xcos 2x dx π 2 4 cos π 2 0 π 2 x cos2 xdx π 2 8 0 π 2 x cos 2 x dx Assim temos que 0 π 2 x 3cos 2 x dx3 2 0 π 2 x 2sen 2x dx3 2 π 2 8 0 π 2 xcos 2x dx3 π 2 16 3 2 0 π 2 x cos 2x dx Usando integração por parte de novo agora para achar a resolução de 0 π 2 x cos 2 x dx uxdudx dvcos2 x v cos2x dx sen2 x 2 Portanto temos 0 π 2 x cos 2 x dx xsen2 x 2 0 π 2 0 π 2 sen2 x 2 dx π 2 sen2 π 2 2 0sen 2 0 2 1 2 0 π 2 sen2 xdx π 2 sen π 2 1 2 cos 2 x 2 0 π 21 4 cos2 π 2cos 20 1 4 cosπ cos 01 4 112 4 1 2 Então concluímos que 0 π 2 x 3cos 2 x dx3 π 2 16 3 2 0 π 2 xcos 2x dx3π 2 16 3 2 1 2 3 π 2 16 3 4 123π 2 16 11006