Lista de Exercícios Resolvida - Cálculo de Área e Integração de Funções

NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA NEAD Lista de exercícios avaliativa APLICAÇÃO PRÁTICA Turma IEN30660 Professor Lilian Araujo Semestre 20222 Alunoa Contextualização Nas últimas unidades estudamos como desenvolver e aplicar métodos para a resolução de problemas envolvendo integração de funções compostas e integração de funções trigonométricas Trabalho 1 Calcule a área da região compreendida entre as curvas y x² e y x² 4x Vale 15 2 Calcule 1 𝑥21 Vale 15 Orientações 1 Não serão aceitas respostas sem o cálculo 2 O trabalho deverá pode ser feito em grupo máximo 5 ou individual 3 Caso o trabalho seja feito em grupo todos os componente do grupo devem enviar Através do software Geogebra é possível compreender melhor a região a ser integrada através de gráficos Segue que considerandose fxx² e gxx²4x Graficamente notase que a região de integração será compreendida por 0 𝑥 2 É possível encontrar essa região analiticamente igualandose as funções Segue que 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑥 2 𝑥 2 4𝑥 2𝑥 2 4𝑥 0 2𝑥𝑥 2 0 Dessa maneira concluise que os gráficos se interceptam em e 𝑥 0 𝑥 2 Integrandose fx em relação a x de 0 a 2 obtémse a área abaixo desse 𝐴1 gráfico como mostra a imagem abaixo 𝐴1 0 2 𝑓𝑥𝑑𝑥 0 2 𝑥 2𝑑𝑥 𝑥 3 3 𝑑𝑒 0 𝑎 2 2 3 3 0 3 3 8 3 𝐴1 8 3 Além disso integrandose gx em relação a x de 0 a 2 obtémse a área abaixo 𝐴2 desse gráfico como mostra a imagem abaixo 𝐴2 0 2 𝑔𝑥𝑑𝑥 0 2 𝑥 2 4𝑥𝑑𝑥 𝑥 3 3 2𝑥 2 𝑑𝑒 0 𝑎 2 2 3 3 2 2 2 0 3 3 2 0 2 𝐴2 8 3 8 16 3 𝐴2 16 3 A área A compreendida entre os gráficos é igual à diferença entre as áreas A2 e A1 Segue que 𝐴 𝐴2 𝐴1 𝐴 16 3 8 3 𝐴 8 3 A área compreendida entre os gráficos é de 8 3 𝑢 𝑎 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑒𝑎 O valor de x²1 é um produto notável podendo ser representado como x1x1 Além disso é possível alterar o componente para uma soma de 1 𝑥 21 1 𝑥1𝑥1 frações parciais do formato Segue que 𝐴 𝑥1 𝐵 𝑥1 1 𝑥 21 𝐴 𝑥1 𝐵 𝑥1 Multiplicandose ambos os lados por x²1 temos que 1 𝑥 21 𝑥 2 1 𝐴𝑥 21 𝑥1 𝐵𝑥 21 𝑥1 1 𝐴𝑥 1 𝐵𝑥 1 1 𝐴𝑥 𝐴 𝐵𝑥 𝐵 1 𝑥𝐴 𝐵 𝐴 𝐵 Notase que do lado esquerdo da equação não possuímos o termo de x portanto Além disso do lado esquerdo o termo independente é dado por 1 assim 𝐴 𝐵 0 Concluise que e Dessa forma 𝐴 𝐵 1 𝐴 1 2 𝐵 1 2 1 𝑥 21 1 2 1 𝑥1 1 2 1 𝑥1 Dessa maneira temos que 1 𝑥 21 𝑑𝑥 1 2 1 𝑥1 1 2 1 𝑥1 𝑑𝑥 1 𝑥 21 𝑑𝑥 1 2 1 𝑥1 𝑑𝑥 1 2 1 𝑥1 𝑑𝑥 Fazendose as integrais por substituição individualmente temos que 𝑢 𝑥 1 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑣 𝑥 1 𝑑𝑢 𝑑𝑣 1 𝑥 21 𝑑𝑥 1 2 1 𝑢 𝑑𝑢 1 2 1 𝑣 𝑑𝑣 1 𝑥 21 𝑑𝑥 1 2 𝑙𝑛𝑢 𝑐1 1 2 𝑙𝑛𝑣 𝑐2 Simplificandose as constantes e para apenas uma constante c 𝑐1 𝑐2 1 𝑥 21 𝑑𝑥 1 2 𝑙𝑛𝑢 1 2 𝑙𝑛𝑣 𝑐 Voltandose das variáveis u e v para a variável x 1 𝑥 21 𝑑𝑥 1 2 𝑙𝑛𝑥 1 1 2 𝑙𝑛𝑥 1 𝑐 Através do software Geogebra é possível compreender melhor a região a ser integrada através de gráficos Segue que considerandose fxx² e gxx²4x Graficamente notase que a região de integração será compreendida por 0 x2 É possível encontrar essa região analiticamente igualandose as funções Segue que f xgx x 2x 24 x 2 x 24 x0 2 xx20 Dessa maneira concluise que os gráficos se interceptam em x0 e x2 Integrandose fx em relação a x de 0 a 2 obtémse a área A1 abaixo desse gráfico como mostra a imagem abaixo A1 0 2 f xdx 0 2 x 2dx x 3 3 de0 a22 3 3 0 3 3 8 3 A18 3 Além disso integrandose gx em relação a x de 0 a 2 obtémse a área A2 abaixo desse gráfico como mostra a imagem abaixo A2 0 2 gxdx 0 2 x24 xdxx 3 3 2 x 2de0a22 3 3 22 20 3 3 20 2 A28 3 816 3 A216 3 A área A compreendida entre os gráficos é igual à diferença entre as áreas A2 e A1 Segue que AA2A1 A16 3 8 3 A8 3 A área compreendida entre os gráficos é de 8 3 uaunidadesde área O valor de x²1 é um produto notável podendo ser representado como x1x1 Além disso é possível alterar o componente 1 x 21 1 x1x1 para uma soma de frações parciais do formato A x1 B x1 Segue que 1 x 21 A x1 B x1 Multiplicandose ambos os lados por x²1 temos que 1 x 21 x 21 Ax21 x1 Bx21 x1 1Ax1B x1 1AxABxB 1x ABAB Notase que do lado esquerdo da equação não possuímos o termo de x portanto AB0 Além disso do lado esquerdo o termo independente é dado por 1 assim AB1 Concluise que A1 2 e B1 2 Dessa forma 1 x 21 1 2 1 x1 1 21 x1 Dessa maneira temos que 1 x 21 dx 1 2 1 x1 1 21 x1dx 1 x 21 dx1 2 1 x1 dx 1 2 1 x1 dx Fazendose as integrais por substituição individualmente temos que ux1dudx vx1dudv 1 x 21 dx1 2 1 u du 1 2 1 v dv 1 x 21 dx1 2 lnuc1 1 2 lnvc2 Simplificandose as constantes c1 e c2 para apenas uma constante c 1 x 21 dx1 2 lnu1 2 lnvc Voltandose das variáveis u e v para a variável x 1 x 21 dx1 2 lnx11 2 lnx1c