Análise de Variáveis de Rotação e Movimento Angular

As variáveis de rotação Grandezas e unidades do sistema rotacional θ posição angular rad ω velocidade angular rads α aceleração angular rads² Equações do sistema rotacional θ θ₀ ω₀t 12αt² ω ω₀ αt ω² ω₀² 2αΔθ ωₘ ΔθΔt velocidade angular média αₘ ΔωΔt aceleração angular média ω dθdt velocidade angular instantânea α dωdt aceleração angular instantânea As variáveis de rotação Um disco está girando em torno do seu eixo central como um carrossel A posição angular SI de uma reta de referência do disco é dada por θ 100 0600t² 0250t³ a Determine a posição do disco nos instantes 12 s e 24 s θ12 100 060012² 025012³ θ12 100 0864 0432 θ12 1432 rad θ24 100 060024² 025024³ θ24 100 3456 3456 θ24 100 rad Rotação Fundamentos de Física Mecânica Halliday e Resnick Capítulo 10 b Determine a velocidade angular média entre os instantes 12 s e 24 s c Determine a velocidade angular do disco nos instantes 12 s e 24 s d Determine a aceleração angular média entre os instantes 12 s e 24 s e Determine a aceleração angular instantânea nos instantes 12 s e 24 s ω 120t 075t² α fracdωdt α 120 150t α12 120 15012 α12 120 180 α12 060 rads² α24 120 15024 α24 120 360 α24 240 rads² Relação entre as variáveis e lineares e angulares Você está operando um rotor brinquedo de parque de diversões com um cilindro giratório de raio 400 m e percebe que o ocupante está ficando tonto e reduz a velocidade angular do cilindro de 340 rads para 200 rads em 20 rev com aceleração angular constante a 20 rev corresponde a quantos radianos 1 rev 2π rad 20 rev θ rad θ1 2π20 θ 40π rad Relação entre as variáveis e lineares e angulares b Quantos metros o rotor girou durante as 20 rev x θR x 40π400 x 160π m x 50240 m c Determine as duas velocidades lineares em ms v ωR v 340400 v 1360 ms v 4896 kmh v ωR v 200400 v 800 ms v 2880 kmh Relação entre as variáveis e lineares e angulares d Calcule a desaceleração linear e angular ω² ω₀² 2αΔθ 200² 340² 2α40π 400 1156 80πα 400 1156 80πα 756 80πα 75680π α α 003 rads² Relação entre as variáveis e lineares e angulares e Em quanto tempo ocorre a redução da velocidade ω ω₀ αt 200 340 003t 200 340 003t 140 003t 140003 t t 4667 s Relação entre as variáveis e lineares e angulares Acelerações em movimentos rotacionais Se um objeto está realizando um movimento rotacional ele possui Aceleração centrípeta ou radial seu vetor aponta sempre para o centro da circunferência ar v²R ou ar ω²R Aceleração tangencial ou linear seu vetor aponta na mesma direção e sentido da velocidade linear Módulo da aceleração dada pelo teorema de Pitágoras já que os vetores das acelerações centrípeta e tangencials formam um ângulo de 90 entre si Relação entre as variáveis e lineares e angulares Uma criança está em um carrossel a uma distância de 21 m do eixo vertical de rotação Em determinado instante o carrossel está girando no sentido antihorário quando visto de cima a uma velocidade de 042 rads está velocidade está decrescendo de modo que a aceleração angular é 014 rads² Em relação a criança determine a A velocidade tangencial b A aceleração tangencial c A aceleração radial d O módulo da aceleração Tome o plano xy horizontal e o eixo z ao longo do eixo de rotação com z para cima Relação entre as variáveis e lineares e angulares a A velocidade tangencial ωz 042 rads vt ωR vt 04221 vt 088 ms b A aceleração tangencial α 014 rads² at αR at 01421 at 029 ms² Relação entre as variáveis e lineares e angulares c A aceleração radial ar ω²R ar 042² 21 ar 037 ms² d O módulo da aceleração a² a²t a²r a² 029² 037² a² 00841 01369 a² 0221 a 0221 a 047 ms² Transmissão de movimentos rotacionais Correias as velocidades lineares possuem mesmo módulo e as angulares possuem módulos diferentes caso os raios das polias sejam diferentes A polia de raio maior terá uma velocidade angular maior e a polia de raio menor terá uma velocidade angular menor Transmissão de movimentos rotacionais Polias dentadas as velocidades lineares possuem mesmo módulo e as angulares possuem módulos diferentes caso os raios das polias sejam diferentes A polia de raio maior terá uma velocidade angular maior e a polia de raio menor terá uma velocidade angular menor Transmissão de movimentos rotacionais Eixo axial as velocidades angulares possuem mesmo módulo e as lineares possuem módulos diferentes caso os raios das polias sejam diferentes A polia de raio maior terá uma velocidade linear maior e a polia de raio menor terá uma velocidade linear menor usando de referência a borda da polia Transmissão de movimentos rotacionais Quatro polias estão conectadas por duas correias conforme mostra a figura As polias A é a polia motriz e gira a 10 rads A polia B está conectada à A pela correia 1 A polia B é concêntrica à B e está rigidamente ligada a ela A polia C está conectada a polia B pela correia 2 Dados RA 15 cm RB 10 cm RB 5 cm e RC 25 cm Transmissão de movimentos rotacionais Todas as respostas deverão estar no sistema internacional de unidades SI a Calcule a velocidade linear de um ponto na correia 1 vA ωARA vA 10015 vA 15 ms b Calcule a velocidade angular da polia B vA vB ωBRB vA ωBRB 15 ωB010 frac15010 ωB ωB 15 rads c Calcule a velocidade angular da polia B ωB ωB 15 rads Transmissão de movimentos rotacionais d Calcule a velocidade linear de um ponto e Calcule a velocidade angular da polia C na correia 2 vB ωBRB vB 15005 vB 075 ms 075 ωC025 075025 ωC ωC 3 rads Período e frequência Período tempo utilizado para que um movimento se repita voltas oscilações T ΔtN T 1f Frequência número de repetições realizadas em determinado intervalo de tempo f NΔt f 1T Período e frequência Lembramos que em um movimento circular uniforme a velocidade média é dada por v ΔxΔt Para uma volta completa temos Δx C 2πR Δt T Portanto v 2πRT Ou v 2πRf Em um movimento circular uniforme a velocidade angular pode ser dada por ω ΔθΔt Para uma volta completa temos Δθ 2π Δt T Portanto ω 2πT Ou ω 2πf Cálculo do momento de inércia Cálculo do Momento de Inércia de um Sólido I m i r i 2 Cálculo do Momento de Inércia de um Sólido I r 2 dm Cálculo do Momento de Inércia de uma barra fina girando em torno do seu centro de massa lambda fracML rightarrow lambda fracdmdr rightarrow dm fracMLdr I frac25mr2 I frac112 ML2 Cálculo do momento de inércia Uma haste rígida de massa 800 g de comprimento d 100 m une duas bolinhas com massas m₁ 300 kg e m₂ 400 kg em suas extremidades O conjunto gira no plano XY em torno de um pino que passa pelo centro da haste Determine o momento de inércia do sistema em torno da origem Cálculo do momento de inércia Iₗₐᵣᵃ frac112ML² Iₗₐᵣᵏ₁ frac112081² Iₗₐᵣᵏ₁ 0067 kgm² Iₑₛₗₘᵢₕₐₜₘ₃mbₗₑ₂ m₁r₁² m₂r₂² Iₑₛₗₓₘᵢₕₒ 305² 405² Iₙₒₙₒₗₑₖ 1ₑₙₕₑ ¹₀₁ 075 100 Iₑ₈ᵍₑₗₓₙ 175 kgm² Cálculo do momento de inércia Teorema dos eixos paralelos I Iₘₑ Mh² h é a distância do eixo de rotação até o centro de massa do objeto Cálculo do momento de inércia Momento de inércia de uma barra fina comprida e sólida rotacionando em torno de uma das pontas Teorema dos eixos paralelos I Icm Mh² I frac13ML² MfracL2² I frac13ML² fracML²4 I fracML² 3ML²12 frac4ML²12 I frac13ML² Cálculo do momento de inércia Duas partículas de massa m cada uma estão ligadas entre si e a um eixo de rotação em O por dois bastões delgados de comprimento L e massa M cada um conforme mostrado na figura O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular ω Determine algebricamente a expressão para o momento de inércia do conjunto em relação a O Cálculo do momento de inércia I frac13ML² 2 barras L 2L e M 2M I frac132M2L² I frac234ML² Ibarra frac83ML² I sum mr² m1r Le m1 m m2r 2Le m2 m I mL² m2L² I mL² 4mL² Imassas 5mL² Itotal Ibarra Imassas Itotal frac83ML² 5mL² Itotal L²frac83M 5m Torque é uma medida de força que pode causar um objeto a girar ao redor de um eixo Assim como a força é o que faz um objeto acelerar em cinemática linear torque é o que faz com que um objeto adquira aceleração angular Torque é uma grandeza vetorial O sentido do vetor torque depende do sentido da força no eixo τ FRsenθ Torque Torque T rF sen θ Uma cancela manual é constituída de uma barra homogênea AB de comprimento L 240 m e massa M 100 kg e está articulada no ponto O onde o atrito é desprezível A força F tem direção vertical e sentido descendente como mostra a figura Considerando a aceleração da gravidade g 100 ms² a intensidade da força mínima que se deve aplicar em A para iniciar o movimento de subida da cancela é Pelo fato de a barra ser homogênea podemos afirmar que o seu peso está concentrado em seu centro Sendo assim teremos τforça τpeso FR PR FR mgR F04 101008 F04 80 F 8004 F 200 N A força de 200 N mantêm a cancela em equilíbrio portanto qualquer força maior que 200 N fará o sistema rotacionar A segunda lei de Newton para rotações Segunda lei de Newton para o torque F ma e τ FR τ maR a αR τ mαRR τ mR²α I mR² τ Iα A segunda lei de Newton para rotações A segunda lei de Newton para rotações 𝐾 1 2 𝑚1𝑣1 2 1 2 𝑚2𝑣2 2 1 2 𝑚3𝑣3 2 1 2 𝑚𝑛𝑣𝑛2 𝐾 1 2 𝑚𝑖𝑣𝑖 2 Energia Cinética de Rotação Uma chaminé cilíndrica começa a tombar quando sua base é danificada Trate a chaminé como uma barra fina de comprimento L 550 m Qual é sua velocidade angular omega no instante em que faz um ângulo heta350 com a vertical Ugi K Ugf mg hi frac12 I omega2 mg hf Ibarra frac13 ML2 hi fracL2 quando heta35 temos hf fracL2 cos heta Mg fracL2 frac12 cdot frac23 ML2 omega2 Mg fracL2 cos heta g frac13 L omega2 g cos heta g g cos heta frac13 L omega2 frac3gL 1 cos heta omega2 omega sqrtfrac310551 cos 35 omega sqrt0099 omega 031 rads O trabalho realizado pelo torque também pode ser calculado por W int heta0 heta au d heta Se o torque for constante W au Delta heta A taxa com que o trabalho é realizado é a potência que pode ser calculado por P fracdWdt fracd au d hetadt au fracd hetadt au omega Trabalho e Energia Cinética de Rotação Quando um corpo acelera um corpo rígido em torno de um eixo fixo o torque realiza um trabalho sobre o corpo Energia cinética pode alterar Teorema da energia cinética ΔK K K₀ frac12Iω² frac12Iω₀² W Trabalho e Energia Cinética de Rotação O Teorema TrabalhoEnergia Cinética para a rotação Prof Mauro Copelli Departamento de Física Trabalho e Energia Cinética de Rotação Suponha que um disco de massa M 10 kg e raio R 20 cm rotacione com aceleração angular constante de 20 rads² a partir do repouso Determine o trabalho realizado pelo torque que atua nesse disco no instante 20 s W ΔK K K₀ K₀ 0 W frac12Iω² frac12MR²ω² frac14MR²ω² ω ω₀ αt ω αt W frac14MR²α²t² frac14102²20²2² frac140044004 16 J Capítulo 10 Fundamentos da Física Mecânica Halliday e Resnick FIM