Rolagem, Torque e Momento Angular: Fundamentos da Física Mecânica

Rolagem torque e momento angular Fundamentos de Física Mecânica Halliday e Resnick Capítulo 11 Escola Politécnica UNIVALI Rolagem como uma combinação de translação e rotação É a mistura do movimento de translação do centro de massa mais o movimento de rotação No Rolamento sem deslizamento cada ponto toca apenas uma vez no chão e a translação acompanha a rotação Rolagem como uma combinação de translação e rotação Os pneus de um automóvel que se move a 80 kmh têm 750 cm de diâmetro a Qual é a velocidade angular dos pneus em relação aos respectivos eixos 𝑣 𝜔 𝑅 2222 𝜔 0375 𝜔 2222 0375 𝜔 5925 𝑟𝑎𝑑𝑠 Rolagem como uma combinação de translação e rotação b Se o carro é freado com aceleração constante e as rodas descrevem 30 voltas completas sem deslizamento qual é a aceleração angular das rodas 1 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 30 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠 60𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝜔2 𝜔0 2 2𝛼𝜃 0 5925² 2𝛼60𝜋 2𝛼60𝜋 59252 𝛼 5925² 120𝜋 𝛼 351056 37699 𝛼 931 𝑟𝑎𝑑𝑠² Rolagem como uma combinação de translação e rotação c Que distância o carro percorre durante a frenagem 𝑥 𝜃 𝑅 𝑥 60𝜋 0375 𝑥 707 𝑚 As forças e a energia cinética da rolagem Um objeto em rolamento possui dois tipos de energia cinética uma energia cinética de rotação 1 2 𝐼𝐶𝑀𝜔² associado a rotação em torno do centro de massa e uma energia cinética de translação 1 2 𝑀𝑣𝐶𝑀 2 associado a translação do centro de massa 𝐾𝑟𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1 2 𝐼𝐶𝑀𝜔² 1 2 𝑀𝑣𝐶𝑀 2 As forças e a energia cinética da rolagem Na figura um cilindro maciço com 10 cm de raio e massa de 12 kg parte do repouso e rola para baixo uma distância L 60 m sem deslizar em um telhado com uma inclinação θ 30 Use g 10 ms² As forças e a energia cinética da rolagem Qual é a velocidade angular do cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado 𝐸𝑖 𝐸𝑓 𝑈 𝐾𝑟𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑀𝑔ℎ𝑖 1 2 𝐼𝐶𝑀𝜔² 1 2 𝑀𝑣² 𝑔ℎ𝑖 1 2 1 2 𝑅²𝜔² 1 2 𝜔2𝑅² 𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛30 1 4 𝑅²𝜔² 1 2 𝑅²𝜔² 𝐼𝐶𝑀 1 2 𝑀𝑅2 𝑣 𝜔𝑅 ℎ𝑖 𝐿𝑠𝑒𝑛30 As forças e a energia cinética da rolagem Qual é a velocidade angular do cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado 𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛30 1 4 𝑅²𝜔² 1 2 𝑅²𝜔² 𝑔𝐿𝑠𝑒𝑛30 3 4 R²ω² 106 𝑠𝑒𝑛30 3 4 012 ω² 3 001 ω2 60054 ω2 120 003 𝜔 4000 𝜔 6324 𝑟𝑎𝑑𝑠 As forças e a energia cinética da rolagem Se uma roda rola com velocidade constante ela não tende a deslizar no ponto de contato com a superfície e portanto não está sujeito a uma força de atrito Entretanto se uma força age sobre a roda para aumentar ou diminuir sua velocidade essa força produz uma aceleração do centro de massa na direção do movimento Essa aceleração faz com que a roda gire mais depressa ou mais devagar o que significa que ela causa uma aceleração angular 𝛼 Esta aceleração tende a fazer a roda deslizar no ponto de contato com a superfície Assim uma força de atrito deve agir para se opor a essa tendência Se a roda não desliza a força de atrito é estático e o movimento é um rolamento suave As forças e a energia cinética da rolagem Se a roda desliza quando a força age sobre ela a força de atrito que atua sobre o ponto de contato com a superfície é uma força de atrito cinético e nesse caso o movimento não é rolamento suave O atrito é a força responsável pelo movimento de rolamento Quando temos atrito estático sem deslizamento no ponto de contato se considera que não há perda de energia no sistema ou seja que o sistema é conservativo As forças e a energia cinética da rolagem As forças e a energia cinética da rolagem As forças e a energia cinética da rolagem Uma força horizontal constante de módulo 10 N é aplicada a uma roda de massa 10 kg e raio 030 m A roda rola suavemente na superfície horizontal e o módulo da aceleração do centro de massa é 060 ms² Qual é a força de atrito que age sobre a roda As forças e a energia cinética da rolagem 𝐹𝑥 𝑚 𝑎 𝐹 𝑓𝑎𝑡 𝑚 𝑎 𝑓𝑎𝑡 𝐹 𝑚 𝑎 𝑓𝑎𝑡 10 1006 𝑓𝑎𝑡 10 6 𝑓𝑎𝑡 4 𝑁 Momento angular Grandeza física que mede a quantidade de movimento dos corpos em rotação 𝜏 𝐹 𝑥 𝑅 𝑚 𝑎 𝑥 𝑅 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑥 𝑅 𝑑 𝑑𝑡 𝑚 𝑣 𝑥 𝑅 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝑥 𝑅 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝐿 𝑝 𝑥 𝑅 ou 𝐿 𝑚𝑣 𝑥 𝑅 ou 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝜏 Momento angular de um corpo rígido 𝐿 𝑝 𝑥 𝑅 𝐿 𝑚𝑣 𝑥 𝑅 𝑣 𝜔𝑅 𝐿 𝑚𝜔𝑅 𝑥 𝑅 𝐿 𝑚𝑅²𝜔𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑠𝑒𝑛90 1 𝐼 𝑚𝑅² 𝐿 𝐼𝜔 Momento angular de um corpo rígido O sentido do momento angular relativo ao eixo de rotação é dado pela regra da mão direita De acordo com essa regra se você envolve os dedos de sua mão direita ao redor do eixo no sentido no qual o disco gira seu polegar apontará o sentido do vetor L momento angular Momento angular de um corpo rígido 𝐿 5𝑡 𝑡2 𝑐 No instante t 100 s o momento angular do disco é 500 kgm²s 5 5 1 𝑐 𝑐 5 6 1 𝐿 𝑡 5𝑡 𝑡2 1 𝐿 3 53 32 1 15 9 1 𝐿 3 23 𝑘𝑔 𝑚2𝑠 Conservação do momento angular Se nenhum torque externo resultante age sobre um sistema a equação Ԧ𝜏 𝑑𝐿 𝑑𝑡 que é a segunda lei de Newton para rotações se torna 0 𝑑𝐿 𝑑𝑡 Ou seja 𝑑𝐿 𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 sistema isolado Este resultado é conhecido como lei da conservação angular que também pode ser escrito na forma 𝐿𝑖 𝐿𝑓 Conservação do momento angular Aplicando uma força contra a roda a roda de bicicleta adquire velocidade angular e um momento angular 𝐿 𝐼 𝜔 A cadeira giratória para garantir a conservação da quantidade de momento angular no sistema que não recebe forças externas tem que girar no sentido oposto ao da roda com velocidade angular no sentido oposto e momento angular no sentido oposto 𝐿 𝐼 𝜔 Quando a roda tem seu eixo de rotação na posição horizontal não há nenhum momento angular na vertical e por isso a cadeira não gira Virando a roda de cabeça para baixo teremos um momento angular da roda dirigido para baixo de modo que a cadeira deverá girar em sentido oposto Conservação do momento angular Dando a roda já girando não haverá mudança no momento angular total do sistema e o conjunto permanece em repouso Se a pessoa girar o eixo 90 para conservar o momento angular a roda passa a girar E se a pessoa girar novamente maia 90 de modo que a roda fique na posição contrária de quando a pessoa recebeu a rotação da cadeira irá dobrar Conservação do momento angular Uma roda está girando livremente com uma velocidade angular de 800 revmin em torno de um eixo cujo momento de inércia é desprezível Uma segunda roda inicialmente em repouso e com um momento de inércia duas vezes maior que a primeira é acoplada à mesma haste Qual é a velocidade angular da combinação resultante do eixo e duas rodas 𝜔0 800 𝑟𝑒𝑣 𝑠 800 2𝜋 60 838 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Giroscópio Consiste em uma roda livre ou várias rodas para girar em qualquer direção e com uma propriedade opõese a qualquer tentativa de mudar sua direção original Dessa maneira o giroscópio serve como referência de direção mas não de posição É possível movimentar um giroscópio normalmente no espaço sem qualquer trabalho além do necessário para transportar sua massa A resistência surge contrária a forças que atuem de maneira a rotacionar seu eixo de rotação a qualquer configuração não paralela à sua posição original Exemplo ao girar a roda de uma bicicleta no ar e tentar mudar a direção de seu eixo bruscamente percebese uma enorme reação Isso ocorre porque a roda adquire momento angular o que significa que ela se manterá girando na mesma direção caso a energia se conserve Precessão de um giroscópio Quando um giroscópio é liberado com o eixo ligeiramente inclinado para cima começa a cair girando em torno de um eixo horizontal que passa mas em seguida com a roda ainda girando em torno do eixo passa a girar horizontalmente em torno de um eixo vertical um movimento que é chamado de precessão Por que o Giroscópio Não Cai Isso acontece porque quando o giroscópio em rotação é liberado o torque produzido pela força gravitacional faz variar não um momento angular inicialmente nulo mas um momento angular já existente graças à rotação da roda Precessão de um giroscópio A velocidade de precessão é calculada por Ω 𝑀𝑔𝑅 𝐼𝜔 M é a massa do giroscópio R é o braço de alavanca I é o momento de inércia ω é a velocidade angula Capítulo 11 Fundamentos da Física Mecânica Halliday e Resnick FIM