Equação de Euler para Turbomáquinas: Análise e Contexto

Máquinas de Fluidos Equação de Euler para as turbomáquinas Euler A equação básica usada para relacionar a velocidade de rotação N a vazão Q a geometria e o incremento de energia em uma turbo máquina é conhecida como Equação de Euler Relaciona a variação de momento angular experimentada pelo líquido com o aumento de energia produzido pela máquina considerada Máquinas de Fluidos Euler Um exemplo simples desse fenômeno é o produzido por uma colher em uma xícara de café A colher quando girada funciona como um impelidor simples causando um vórtice forçado que resulta em uma superfície curva que está relacionada com uma menor pressão no líquido no centro e uma maior pressão na periferia Máquinas de Fluidos Euler Transferência de energia entre o fluido e o impelidor O ponto de partida é a aplicação da lei de movimento equação de Newton a um fluido que atravessa o impelidor Admitindo um regime permanente e as hipóteses abaixo v Taxa de massa constante não há acúmulo de fluido em nenhuma parte v Estado termodinâmico do fluido em cada ponto invariável com o tempo v Taxa de calor e trabalho constantes entrando e saindo da fronteira do sistema Além disso Isso é os vetores velocidades embora situados sobre pontos são vistos como representativos do escoamento total sobre uma área finita Na equação anterior Q representa a vazão volumétrica m3s e A a área da seção transversal perpendicular ao escoamento m2 Máquinas de Fluidos A C Q 1 Euler Máquinas de Fluidos Além disso não existem perdas por vazamentos e todo o fluido está no mesmo estado A figura abaixo representa esquematicamente o impelidor de uma turbomáquina genérica onde 00 é o eixo de rotação e ω é a velocidade angular do impelidor O fluido entra no impelidor na posição 1 passa através do impelidor por qualquer caminho e é descarregado na posição 2 com as direções do fluido nesses pontos formando qualquer ângulo arbitrário e com qualquer raio r1 e r2 Componentes da velocidade para uma turbo máquina genérica Euler O vetor velocidade absoluta do fluido C pode ser decomposto em 3 componentes ortogonais chamados de v Ca componente axial paralelo ao eixo da máquina v Cm componente radial na direção perpendicular ao eixo ou meridiana v Cu componente circunferencial perpendicular às duas primeiras Máquinas de Fluidos Componentes da velocidade para uma turbo máquina genérica Na figura 1 representa a condição de entrada e 2 a de saída Euler As diferenças entre os valores dessas componentes de velocidade entre entrada e saída do impelidor dão origem aos seguintes efeitos dinâmicos v ΔCa empuxo axial a ser suportado pelos mancais e rolamentos v Δ Cm empuxo radial também suportado pelos mancais e rolamentos v Δ Cu variação da quantidade de movimento angular do fluido Esse é o único efeito que realmente contribui para o desempenho da máquina Máquinas de Fluidos Componentes da velocidade para uma turbo máquina genérica Euler Isso pode ser generalizado considerando a figura abaixo No instante to uma massa de fluido abcd ocupa o impelidor No instante seguinte todt o fluido passa a ocupar a posição efgh No intervalo de tempo dt entrou no espaço compreendido entre as duas pás uma massa de fluido dm correspondente ao volume cdhg ou abfe A quantidade de movimento do fluido que entrou será então Máquinas de Fluidos Deslocamento da massa de fluido dentro do impelidor dmCu1 2 t0 t0dt Euler O momento em relação ao eixo dessa quantidade de movimento na entrada do impelidor é chamada de quantidade de movimento angular dada por Na saída a quantidade de movimento angular é dada de forma similar A variação da quantidade de movimento angular no tempo dt será então A taxa de variação com o tempo da quantidade de movimento angular em relação ao eixo de rotação é igual ao momento torsor torque das forças externas aplicadas ao fluido contido entre as duas pás em relação ao mesmo eixo Máquinas de Fluidos 1 1 r C dm u 2 2 r C dm u 1 1 2 2 1 1 2 2 C r r dm C r dm C r C dm u u u u τ 1 1 2 2 C r dt C r dm u u m N 3 4 5 6 Euler As forças externas tal como mostrado na figura abaixo que atuam sobre o fluido entre as pás são v Força devido à diferença de pressão entre o lado frontal da pá Pf e o lado traseiro da pá Pt v Força devido à diferença de pressão nas seções de entrada e saída do fluido P1 e P2 v Forças devido ao atrito viscoso que se opõe ao movimento do fluido Máquinas de Fluidos Para todo o impelidor a variacao da massa na unidade de tempo é chamada de taxa de massa M dm p0pVAm kg 8 7 PeP ef onde p éa massa especifica do fluido em kgm V sua velocidade média em mse Aa area transversal ao escoamento em m2 Logo o torque t pode ser reescrito como T TiC 915 Cur Nm 9 A taxa de transferéncia de energia por unidade de tempo isso é a poténcia P é dada pelo produto do torque e a velocidade angular w PTxw omnCr Cr w 10 onde w esta em rads e C 6 a velocidade circunferencial em ms Como waxrU WA 11 sendo U a velocidade tangencial do impelidor em um raio qualquer a expressao da poténcia Eq 10 pode ser escrita como P mnUC UC w 12 Finalmente como a energia por unidade de peso JN é igual a altura da bomba H temse que H Pp 6 UC m gi g 13 Essa equacao é chamada de Equacao de Euler sendo valida para todas as turbo maquinas sejam bombas ventiladores turbinas ou compressores Euler A energia transferida implica na variação do momento angular do fluido e ela poderá ser positiva ou negativa Adotandose a convenção usual da termodinâmica ou seja trabalho positivo se realizado pelo fluido então o lado direito da Equação de Euler deverá ser positivo para uma turbina ou seja e negativo para uma bomba ventilador ou compressor onde Para não trabalhar com valores negativos invertese a equação para bombas Um ponto importante merece ser ressaltado Enquanto U e Cu representam os valores ideais das velocidades Ht representará o valor ideal da energia transferida entre o impelidor e o fluido Se U e Cu forem velocidades reais parte dessa energia pode ser dissipada em atrito e turbulência e nesse caso devese tomar cuidado na interpretação de Ht Máquinas de Fluidos 1 1 2 2 u u U C U C 2 2 1 1 u u U C U C Triângulos de velocidades Para facilitar o estudo das componentes das velocidades de escoamento através do impelidor utilizase um método gráfico por meio de vetores velocidades chamado de Triângulo de Velocidades Nesses triângulos v C a velocidade absoluta ou seja a velocidade do fluido visto por um observador solidário com a carcaça da máquina v W a velocidade de escoamento do fluido em relação ao impelidor paralela à direção da pá do impelidor e chamada de velocidade relativa v U a velocidade tangencial do impelidor ou velocidade linear no ponto de raio r ou seja ωr v Cm é a velocidade radial ou meridiana v Cu é a velocidade circunferencial Se a velocidade de rotação do impelidor for dada em rotações por minuto rpm a velocidade tangencial U em ms é calculada como Máquinas de Fluidos U 2πrN 60 π DN 60 14 Os trés vetores velocidades sao coplanares e entao CUW 15 Esses vetores sao representados em triangulos tanto na entrada como na saida do impelidor como mostrado na figura abaixo B 0 angulo da pa na entrada e Gtx B 0 angulo da pa na saida o OA CID v2 2 WY Cc W W ur Sr 63 Uu Triangulos de velocidades na saida e na entrada Triângulos de velocidades Considerando o triângulo abaixo e utilizando a lei dos cossenos Máquinas de Fluidos C ab b a c cos 2 2 2 2 16 α2 β2 α1 β1 Aplicando a lei dos cossenos nos triângulos de velocidades 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 2 cos 2 u u U C U C U C U C W U C U C U C U C W α α 17 18 Triângulos de velocidades Então substituindo na Eq 13 resulta em O primeiro termo representa o ganho de energia cinética do escoamento através do impelidor O segundo e o terceiro termos representam conjuntamente o aumento da pressão do fluido através das pás do impelidor desde a condição de entrada até a saída Observação Não tentar achar alguma relação física individualmente no segundo e terceiro termos No segundo termo não existe nenhuma partícula do fluido movendose com velocidade tangencial U e portanto não representa o ganho de pressão pela força centrífuga No terceiro termo também não há conversão das variações das velocidades em pressão uma vez que a difusão não pode ser realizada em um canal curvo estacionário ou em movimento Máquinas de Fluidos 19 Ht C2 2 C1 2 2g Altura dinâmica U2 2 U1 2 2g Altura estática em função da força centrífuga W1 2 W2 2 2g Altura estática em função da variação da velocidade no impelidor Bibliografia Stepanoff AJ 1993 Centrifugal and axial flow pumps Theory design and application John Wiley Máquinas de Fluidos