Algebra Linear I - Lista de Exercicios sobre Geradores e Bases

UEPB UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E SOCIAIS APLICADAS CCEA CURSO DE CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Prof Geovane de Souza Ferreira Júnior Álgebra Linear I Lista de exercícios Informações Redija respostas claras tão detalhadas quanto possível para cada problema 1 Mostre que o R² é gerado pelos vetores v₁ 11 e v₂ 23 2 Mostre que o R² é gerado pelos vetores v₁ 01 e v₂ 21 3 Mostre que o R³ é gerado pelos vetores w₁ 123 w₂ 149 e w₃ 1827 4 Mostre que o conjunto W 1223 é base para R² 5 Responda se é verdadeiro ou falso a Se v₁ v₂ vₙ são LI e vₙ₁ não é combinação linear de v₁ v₂ vₙ então os vetores v₁ v₂ vₙ vₙ₁ também são LI b Se v é combinação linear de v₁ v₂ vₘ e cada vᵢ i 1 2 m é combinação linear de w₁ w₂ wₙ então v é combinação linear de w₁ w₂ wₙ c Se w₁ w₂ wₙ é LD então qualquer um destes vetores é combinação linear dos outros d Se v não é escrito como combinação linear de w₁ w₂ wₙ então os vetores v w₁ w₂ wₙ são LI Para isso tem que mostrar que dada xy R² existem ab R com a11b23 xy a2b a3b xy a2b x a3b y 1 2 1 3 a b x y e como det 1 2 1 3 32 5 0 então a equação tem solução isto é existem a e b e logo 1123 geram R² Novamente basta mostrar que existem ab R que dada xy R² acontece a01b21 xy 2b x ab y 0 2 1 1 a b x y e como det 0 2 1 1 0 2 2 0 então existem ab e logo 01 e 21 geram R² Basta mostrar que dado xyz R³ existem abc R com a123b149c1827 xyz 1 1 1 2 4 8 3 9 27 a b c x y z e como det 1 1 1 2 4 8 3 9 27 3427 183 129 143 1227 189 108 24 18 12 54 72 12 0 logo a equação tem solução isto é existem ab e c e assim 123 149 1827 geram R³ 5 a Verdadeiro b Verdadeiro c Falso basta que exista um vetor que seja combinação linear dos outros d Verdadeiro Primeiro vamos mostrar que W é LI Dados ab R com a12b23 00 a2b 0 2a 3b 0 2a 2a 3b 4b 0 b 0 b 0 a 0 logo W é LI Agora que W gera R² seja xy R² e ab R a12 b23 xy a2b x 2a 3b y 1 2 2 3 a b x y e como det 1 2 2 3 3 4 7 0 então existem ab R e assim W gera R² Como W é LI e gera R² então W é base de R²