Combinações Lineares

Universidade Estadual da Paraíba UEPB Centro de Ciências e Tecnologias CCT Departamento de Matemática DM 2ª Prova Álgebra Linear 1 Professor Maxwell Aires da Silva Data 20092023 Turno Manhã Curso Ciência da Computação Nome Luiz José Mendonça Duarte Turma 01 Matrícula 212080083 Nota 210 1ª Questão 25 pontos Mostre que A 123 212 435 é uma base para V R³ 2ª Questão 15 pontos Seja W xy R² x y 0 Determine W 3ª Questão 40 pontos Sejam W₁ 2yyz yz R e W₂ 2yy2y y R Determine a Uma base para W₁ e dim W₁ b Uma base para W₂ e dim W₂ c Uma base para W₁ W₂ e dimW₁ W₂ d Uma base para W₁ W₂ e dimW₁ W₂ 4ª Questão 20 pontos Seja V R³ e x xyz R³ e A 123 212 435 uma base para V R³ Determine uA Tu Senhor e Deus nosso és digno de receber a glória a honra e o poder porque criaste todas as coisas e por tua vontade elas existem e foram criadas Apocalipse 411 Excelente Avaliação Álgebra Linear 1 Mostraremos que A 123 212 435 é uma base de R³ Com efeito é necessário e suficiente mostrar que o determinante dos vetores de A é não nulo Com efeito det 1 2 3 2 1 2 4 3 5 1 2 3 1 2 2 1 2 1 4 3 5 4 3 5 16 12 12 6 20 35 20 6 55 6 49 0 Como o determinante é não nulo segue que A é uma base do R³ 2 W xy R² x y 0 Logo os vetores de W são tais que Se u xy W u xy yy y11 Logo W é o espaço vetorial subespaço de R² formado pelos vetores geradores por 11 Isto é W span11 Logo a dimensão do Espaço é 1 isto é W 1 3 W₁ 2yyz yz R e W₂ 2yy2y y R a Para W₁ temos que Se u xyz W₁ u 2yyz y210 z001 Logo uma base para W₁ é Bw₁ 210 001 É como a base é formada por dois vetores segue que sua dimensão é 2 b Para W₂ temos que u xyz W₂ u 2yy2y y212 Logo uma base para W₂ é Bw₂ 212 E logo dimW₂ 1 c A interseção de W1 e W2 Primeiro veja que podemos escrever W1 e W2 como W1 xyz in R3 x 2y yz in R W2 xyz in R3 x 2y z 2y com y in R Logo temos que a interseção é dada por W1 W2 xyz in R3 x 2y z 2y com y in R W2 Perceba que W1 W2 W2 ocorre visto que W2 W1 Daí segue que BW1 W2 212 e dimW1 W2 1 conforme item b d W1 W2 é o espaço formado por W1 e W2 Logo W1 W2 xyz in R3 x 2y ou x 2y e z 2y com y in R Logo W1 W2 W1 pois W2 W1 Então do item a temos que BW1 W2 210 001 e dimW1 W2 2 u xyz in R3 A 123 212 435 uma base do R3 Vamos obter a representação de u xyz na base A Com efeito fazemos então u Σ ai λi ai são os elementos de A Então u xyz λ1 123 λ2 212 λ3 435 λ1 2λ2 4λ3 2λ1 λ2 3λ3 3λ1 2λ2 5λ3 Portanto λ1 2λ2 4λ3 x i 2λ1 λ2 3λ3 y ii 3λ1 2λ2 5λ3 z iii Vamos resolver o sistema acima Então veja que fazendo iii i temos 2λ1 9λ3 z x iv 2ii i temos 5λ1 10λ3 2y x v Daí veja que λ1 z x 9λ32 Portanto temos em v que 5z x 9λ32 10λ3 2y x z x 9λ3 4λ3 2y x5 13λ3 2y x5 z x 2y x 5z 5x5 6x 2y 5z5 therefore λ3 6x 2y 5z65 Para λ1 então temos que λ1 z x2 926x 2y 5z65 65z 65x 54x 18y 45z130 20z 11x 18y130 therefore λ1 20z 11x 18y130 Por fim da eq ii temos que λ2 2λ1 3λ3 y 20z 11x 18y65 18x 6y 15z65 y 9x 41y 5z65 Ou seja λ1 20z 11x 18y 130 λ2 9x 41y 5z 65 λ3 6x 2y 5z 65 Logo u λ1 ā1 λ2 ā2 λ3 ā3 20z 11x 18y 130 9x 41 5z 65 6x 2y 5z 65 que é a representação de u na base A