Exs de Eletrostática

P37 Find the force between a charged circular loop of radius b and uniform charge density ρₗ and a point charge Q located on the loop axis at a distance h from the plane of the loop What is the force when h b and when h 0 Plot the force as a function of h P310 Assuming that the electric field intensity is E aₓ100x Vm find the total electric charge contained inside a a cubical volume 100 mm on a side centered symmetrically at the origin b a cylindrical volume around the zaxis having a radius 50 mm and a height 100 mm centered at the origin P312 Two infinitely long coaxial cylindrical surfaces r a and r b b a carry surface charge densities ρₛₐ and ρₛb respectively a Determine E everywhere b What must be the relation between a and b in order that E vanishes for r b P313 Determine the work done in carrying a 2 μC charge from P₁2 1 1 to P₂8 2 1 in the field E aᵧ aₓ a along the parabola x 2y² b along the straight line joining P₁ and P₂ P37 Find the force between a charged circular loop of radius b and uniform charge density ρₗ and a point charge Q located on the loop axis at a distance h from the plane of the loop What is the force when h b and when h 0 Plot the force as a function of h Para derivar a expressão da força elétrica entre um anel carregado e uma carga pontual Q localizada ao longo do eixo do anel utilizaremos o conceito de simetria e integração para calcular o campo elétrico gerado pelo anel e em seguida a força sobre a carga Q Anel de raio b com densidade linear de carga ρₗ Carga pontual Q localizada ao longo do eixo do anel a uma distância h do centro do anel Consideramos um elemento infinitesimal do anel dℓ que carrega uma carga dq ρₗ dℓ Como o anel é circular e o ponto de interesse está sobre o eixo que passa pelo centro do anel as componentes horizontais do campo elétrico gerado por todos os elementos se cancelam por simetria Assim apenas as componentes verticais contribuem para o campo resultante Para um elemento de carga dq d𝐸 1 4πε₀ dq r² r onde r b² h² é a distância do elemento de carga até a carga Q A componente vertical do campo elétrico dEz devido a dq é dEz dE cosθ 1 4πε₀ dq r² h r dEz 1 4πε₀ ρₗ dℓ h b² h²32 Integrando ao longo do anel completo Ez 1 4πε₀ ρₗ h b² h²32 dℓ Aqui dℓ ao longo do perímetro do anel é bdθ onde dθ é o diferencial angular e o perímetro total é 2πb então Ez 1 4πε₀ ρₗ h b² h²32 ₀2π b dθ Ez 1 4πε₀ ρₗ h b² h²32 2πb Ez ρₗ 2πb h 4πε₀ b² h²32 Ez ρₗ b h 2ε₀ b² h²32 A força 𝐹 sobre a carga Q devido ao campo elétrico 𝐸 é 𝐹 Q𝐸 Fz Q Ez Q ρₗ b h 2ε₀ b² h²32 Quando a distância h entre o anel carregado e a carga pontual Q é muito maior que o raio b do anel h b podemos fazer algumas aproximações para simplificar o cálculo do campo elétrico e consequentemente da força elétrica Nesse caso o termo b² se torna insignificante em comparação com h² na expressão do campo elétrico então podemos aproximar b² h² como h² A expressão para o campo elétrico Ez ao longo do eixo do anel simplificase para Ez ρₗ b h 2ε₀ b² h²32 Substituindo a aproximação Ez ρₗ b h 2ε₀ h³ Ez ρₗ b 2ε₀ h² Substituímos a expressão simplificada de Ez na fórmula da força Fz Q Ez Q ρₗ b 2ε₀ h² Esta expressão resultante para a força mostra que para h b a força diminui como 1h² que é característica da força entre duas cargas pontuais segundo a lei de Coulomb Isso faz sentido porque a uma grande distância o anel carregado pode ser aproximado como uma carga pontual cuja carga total é igual à carga total do anel No centro do anel a distância r de qualquer ponto do anel à carga Q é simplesmente o raio do anel b Entretanto como discutido a contribuição de todas as partes do anel ao campo elétrico no centro se cancela Matematicamente isso pode ser visto ao considerar a componente vertical dEz do campo elétrico que no centro é dada por dEz dE cosθ No centro do anel o ângulo θ entre o vetor posição de qualquer elemento de carga e o eixo do anel é de 90 então cosθ 0 Isto leva a dEz 1 4πε0 dq b2 cos90 0 Portanto a componente vertical do campo elétrico resultante é zero Ez dEz 0 Dado que o campo elétrico total no centro do anel é zero a força elétrica sobre a carga Q também é zero F Q E Q 0 0 P310 Assuming that the electric field intensity is E ax 100x Vm find the total electric charge contained inside a a cubical volume 100 mm on a side centered symmetrically at the origin b a cylindrical volume around the zaxis having a radius 50 mm and a height 100 mm centered at the origin a Para encontrar a carga elétrica total dentro de um volume específico quando se conhece o campo elétrico você pode usar o teorema de Gauss que relaciona o fluxo elétrico através de uma superfície fechada com a carga total encerrada pela superfície através da equação ΦE S E d A Qenc ϵ0 Onde ΦE é o fluxo elétrico através da superfície S E é o campo elétrico d A é o vetor área diferencial apontando para fora da superfície Qenc é a carga elétrica total encerrada ϵ0 é a permissividade do vácuo Para calcular o fluxo elétrico através do cubo precisamos considerar apenas as faces perpendiculares à direção do campo elétrico E ou seja as faces paralelas ao eixo x porque apenas essas contribuirão para o fluxo nas outras faces o campo elétrico será paralelo à superfície e portanto E d A 0 Face à esquerda x 005 m Face à direita x 005 m A área de cada face é 01 m2 001 m2 Φleft E005 A 100 005 001 005 Vm Φright E005 A 100 005 001 005 Vm Somando os fluxos Φnet Φright Φleft 005 005 0 Vm O fluxo elétrico líquido é zero então pela equação de Gauss Qenc ϵ0 Φnet 8854 1012 Fm 0 Vm 0 C A carga elétrica total contida dentro do volume cúbico centrado simetricamente na origem é zero Isso indica que neste caso particular o campo elétrico especificado não é resultado de uma distribuição de carga dentro do volume dado mas sim de cargas fora do volume ou outros efeitos não considerados diretamente nesta análise simplificada b Vamos demonstrar que o fluxo líquido é zero levando em conta a contribuição de cada segmento do cilindro para o fluxo elétrico Φ 005005 02π 100 005 cos θ 005 dθ dz Φ 100 0052 005005 02π cos θ dθ dz A integral de cos θ de 0 a 2π é zero devido à simetria 02π cos θ dθ 0 Portanto o fluxo total através da superfície lateral também é zero P312 Two infinitely long coaxial cylindrical surfaces r a and r b b a carry surface charge densities ρsa and ρsb respectively a Determine E everywhere b What must be the relation between a and b in order that E vanishes for r b a A Lei de Gauss é expressa por S E d A Qenc ϵ0 Onde S E d A é o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana fechada S Qenc é a carga total encerrada por S e ϵ0 é a constante de permissividade do vácuo Dentro do cilindro de raio a nenhuma carga está encerrada pela superfície gaussiana cilíndrica porque a carga reside na superfície do cilindro Assim Qenc 0 S E d A 0 Er 0 para r a Para um raio r tal que a r b a superfície gaussiana cilíndrica apenas encerra a carga do cilindro interno ρsa A carga total encerrada é Qenc ρsa 2πa comprimento Er 2πr comprimento ρsa 2πa comprimento ϵ₀ Er ρsa a ϵ₀r Para r b a superfície gaussiana encerra as cargas de ambos os cilindros ρsa e ρsb A carga total encerrada é a soma das cargas de ambos os cilindros Qenc ρsa 2πa comprimento ρsb 2πb comprimento Er 2πr comprimento ρsa 2πa ρsb 2πb comprimento ϵ₀ Er ρsa a ρsb b ϵ₀r b Da equação anterior para r b Er ρsa a ρsb b ϵ₀r Para que Er 0 para r b a soma das cargas ponderadas pelos raios deve ser zero ρsa a ρsb b 0 Rearranjando esta equação para encontrar a relação entre a e b temos ρsa a ρsb b ab ρsb ρsa Assumindo que as densidades de carga são positivas ou negativas isto implica que as cargas nos cilindros devem ter sinais opostos para que suas contribuições ao campo elétrico se anulem fora do cilindro maior Portanto a relação entre a e b que faz com que Er seja zero para r b é ab ρsb ρsa P313 Determine the work done in carrying a 2 μC charge from P12 1 1 to P28 2 1 in the field E ax y ay x a along the parabola x 2y² b along the straight line joining P1 and P2 Para calcular o trabalho realizado ao mover uma carga Q 2 μC de P1 2 1 1 para P2 8 2 1 no campo elétrico E y ax x ay ao longo da parábola x 2y² usaremos a fórmula para o trabalho realizado por um campo elétrico W Q C E d r onde E é o campo elétrico e d r é o vetor diferencial de deslocamento ao longo do caminho C A trajetória é dada pela parábola x 2y² Como P1 e P2 têm as mesmas coordenadas z e o campo elétrico não tem componente em z podemos ignorar a coordenada z e focar nas coordenadas x e y Para a parábola x 2y² Em P12 1 1 temos y 1 e x 21² 2 Em P28 2 1 temos y 2 e x 22² 8 Parametrizamos o caminho usando y como o parâmetro x 2y² y y z 1 ry 2y² y 1 d r d y 4y 1 0 d r 4y 1 0 dy Substituindo x 2y² no campo elétrico Ex y y 2y² W Q 12 E d r W 2 10⁶ C 12 y 2y² 4y 1 0 dy W 2 10⁶ 12 y 4y 2y² 1 dy W 2 10⁶ 12 4y² 2y² dy W 2 10⁶ 12 6y² dy W 2 10⁶ 2y³12 W 2 10⁶ 22³ 21³ W 2 10⁶ 16 2 W 2 10⁶ 14 J W 28 10⁶ J W 28 μJ Portanto o trabalho realizado ao mover a carga Q ao longo da parábola do ponto P1 ao ponto P2 é 28 μJ b O caminho reto de P1 a P2 pode ser parametrizado como rt r1 tr2 r1 Onde r1 2 1 1 r2 8 2 1 e t varia de 0 a 1 Substituindo rt 2 1 1 t8 2 1 2 1 1 rt 2 1 1 t6 1 0 rt 2 6t 1 t 1 d r d t 6 1 0 d r 6 1 0 dt Substituindo x 2 6t e y 1 t no campo elétrico Ex y 1 t 2 6t W Q 01 E d r W 2 10⁶ C 01 1 t 2 6t 6 1 0 dt W 2 10⁶ 01 61 t 2 6t dt W 2 10⁶ 01 6 6t 2 6t dt W 2 10⁶ 01 8 12t dt W 2 10⁶ 8t 6t²01 W 2 10⁶ 8 6 W 2 10⁶ 14 W 28 10⁶ J W 28 μJ