Cálculo de Integral de Linha

Considere fxy y²x x² 4x 2 y² 5y a calcule F grad f b calcule a integral de linha de F ao longo dos caminhos rt tt 0 t 1 e st tt² 0 t 1 c calcule a integral de linha de F ao longo de qualquer caminho entre 00 e 01 fxy y²x x² 4x 2 y² 5y a F grad f 2f2x i 2f2y j F y² 2x 4 i 2yx 4y 5 j b rt tt 0 t 1 Tum que c F dr integral de linha onde F Frt Seja dr 11 dt x t y t Frt t² 2t 4 i 2t² 4t 5 j Então Frt dr t² 2t 4 i 2t² 4t 5 j i j dt t² 2t 4 2t² 4t 5 dt 3t² 6t 1 dt A integral será então c F dr 0¹ 3t² 6t 1 dt 3t³3 6t²2 t 0¹ c F dr t³ 3t² t 0¹ 1³ 3 1² 1 3 Para st tt² onde 0 t 1 Nesse caso x t y t² ds 1 2t dt A integral de linha será dada por c Fst ds Seja Fst t4 2t 4 î 2t3 4t2 5 ĵ Para o produto interno Fst ds t4 2t 4 î 2t3 4t2 5 ĵ î 2t ĵ dt t4 2t 4 2t4 8t3 10t dt A integral será então Fst ds from 0 to 1 t4 2t 4 4t4 8t3 10t dt from 0 to 1 5t4 8t3 8t 4 dt 5t55 8t44 8t22 4t from 0 to 1 F ds t5 2t4 4t2 4t from 0 to 1 1 21 41 4 F ds 3 onde F Fst c Seja o caminho rt t3 t onde 0 t 1 x t3 y t dr 3t2 î ĵ dt Para Frt Frt t2 2t3 4 î 2t4 4t 5 ĵ Então Frt dr t2 2t3 4 î 2t4 4t 5 ĵ 3t2 î ĵ dt 3t4 6t5 12t2 2t4 4t 5 dt 5t4 6t5 12t2 4t 5 dt A integral será então Frt dr from 0 to 1 5t4 6t5 12t2 4t 5 dt 5t55 6t66 12t33 4t22 5t from 0 to 1 t5 t6 4t3 2t2 5t from 0 to 1 1 1 4 2 5 Frt dr 3