Estudo do Teorema de Lagrange e Aplicações em Problemas de Otimização

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MAYCON HENRIQUE DE SOUZA ESTUDO DO TEOREMA DE LAGRANGE E APLICAÇÕES EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO CORNÉLIO PROCÓPIO 2019 MAYCON HENRIQUE DE SOUZA ESTUDO DO TEOREMA DE LAGRANGE E APLICAÇÕES EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação apresentado à disciplina Trabalho de Conclusão de Curso 2 do curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná UTFPR como requisito parcial para a obtenção do título de Li cenciado em Matemática Orientador Profa Me Cristiane Apa recida Pendeza Martinez CORNÉLIO PROCÓPIO 2019 Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Cornélio Procópio Diretoria de Graduação Departamento de Matemática Curso de Licenciatura em Matemática FOLHA DE APROVAÇÃO BANCA EXAMINADORA Profa Me Cristiane Aparecida Pendeza Martinez Orientador Prof Dr André Luís Machado Martinez Profa Dra Glaucia Maria Bressan A Folha de Aprovação assinada encontrase na Coordenação do Curso 3 RESUMO SOUZA Maycon Henrique de Estudo do Teorema de Lagrange e Aplicações em Problemas de Otimização 2019 63 f Trabalho de Conclusão de Curso Graduação Licenciatura em Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cornélio Procópio 2019 No estudo de problemas de otimização com restrições de igualdade o método dos multipli cadores de Lagrange permite que sejam determinados máximos ou mínimos de uma função respeitando restrições de igualdade Para isso apresentamse os conceitos de análise no Rn tais como métricas normas conjuntos abertos fechados e compactos funções contínuas limites e derivadas de funções de Rn Rm bem como os principais resultados sobre esses conceitos e suas interrelações até chegar no método dos multiplicadores de Lagrange Por fim são apresentadas aplicações dos multiplicadores de Lagrange na otimização de funções Palavraschave Análise Multiplicadores de Lagrange Otimização Problemas ABSTRACT SOUZA Maycon Henrique de Study of Lagrange Theorem and Applications in Optimization Problems 2019 63 f Trabalho de Conclusão de Curso Graduação Licenciatura em Matemática Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cornélio Procópio 2019 In the study of optimization problems with equality constraints the Lagrange multipliers method allows the maximum or minimum of a function to be determined while respecting equality constraints For this we present the concepts of analysis in Rn such as metrics norms open sets closed and compact sets continuous functions limits and derivatives of Rn functions in Rm as well as the main results about these concepts and their interactions until you reach the Lagrange multiplier method Finally applications of the Lagrange multipliers are presented in the optimization of functions Keywords Analysis Lagrange Multipliers Optimization problems SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 11 11 CONTEXTUALIZAÇÃO 11 12 OBJETIVOS 12 121 Gerais 12 122 Específicos 12 13 JUSTIFICATIVA 12 14 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 12 2 MÉTRICAS E NORMAS 13 21 NORMAS EM Rn 14 211 Espaços Vetoriais de Polinômios 19 212 Espaços Vetoriais de Matrizes 20 213 Espaços Vetoriais de Funções Contínuas 22 3 TOPOLOGIA DOS ESPAÇOS NORMADOS 25 31 CONJUNTOS COMPACTOS 27 32 CONJUNTOS COMPACTOS DE Rn 29 33 SEQUÊNCIAS EM ESPAÇOS VETORIAIS 32 34 SEQUÊNCIAS DE CAUCHY 35 35 SEQUÊNCIAS EM Rn 36 4 LIMITES E CONTINUIDADE 39 41 FUNÇÕES CONTÍNUAS 41 42 FUNÇÕES CONTÍNUAS E COMPACTOS 42 43 FUNÇÕES CONTÍNUAS E CONJUNTOS CONEXOS 43 44 CONJUNTOS CONVEXOS E FUNÇÕES CONVEXAS 43 45 CONTINUIDADE UNIFORME 44 46 O TEOREMA DO PONTO FIXO DE BANACH 45 5 FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 47 51 DERIVADAS DIRECIONAIS 47 52 FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS 47 53 O VETOR GRADIENTE 48 54 REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO 48 55 A MATRIZ JACOBIANA 48 56 A REGRA DA CADEIA 49 57 O TEOREMA DO VALOR MÉDIO 49 58 O TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA 49 6 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 51 7 APLICAÇÃO 53 8 CONCLUSÃO 61 REFERÊNCIAS 63 11 1 INTRODUÇÃO 11 CONTEXTUALIZAÇÃO A análise matemática ou simplesmente análise lida com conceitos introduzidos pelo cálculo diferencial e integral medidas limites séries infinitas e funções analíticas Segundo Jahnke 2003 a análise surgiu do estudo dos números e funções reais mas sua abrangência cresceu de forma a estudar os números complexos bem como espaços mais gerais tais como os espaços métricos espaços normados e os espaços lineares topológicos ELT A análise foi desenvolvida formalmente no século XVII durante a Revolução Científica mas muitas das suas ideias remontam aos matemáticos de tempos anteriores Os primeiros resultados em análise estiveram implicitamente presentes nos primórdios da matemática grega antiga Mais tarde matemáticos gregos tais como Eudoxo e Arquimedes fizeram uso mais explícito mas informal dos conceitos de limite e convergência quando usaram o método da exaustão para calcular áreas e volumes de regiões e sólidos O primeiro uso explícito de infinitesimais aparece na obra O Método dos Teoremas Mecânicos de Arquimedes que foi redescoberta no século XX JAHNKE 2003 No século XVIII Euler introduziu a noção de função e a análise começou a emergir como disciplina independente quando o matemático boêmio Bernard Bolzano introduziu a definição moderna de continuidade em 1816 No século XIX Cauchy ajudou a sistematizar o cálculo infinitesimal em fundamentos lógicos firmes com a introdução do conceito de sequência de Cauchy Foi ele também que iniciou a teoria formal da análise complexa Poisson Liouville Fourier e outros mais estudaram a análise harmônica Com as contribuições destes e de outros matemáticos como Weierstrass foise estabelecendo a ideia moderna de rigor matemático JAHNKE 2003 É sabido que cada área da matemática tem o seu habitat que em termos matemáticos se chama de domínio ou espaço viável que é onde uma determinada teoria faz sentido Neste trabalho o espaço viável que será considerado é o Rn um espaço vetorial euclidiano n dimensional Tratase então de um trabalho na área de análise no Rn Como o título sugere o principal foco deste trabalho será o estudo da teoria necessária para se entender o Teorema de Lagrange e aplicálo a problemas de otimização Quanto ao referido teorema seu criador Joseph Louis Lagrange Turim 25 de janeiro de 1736 Paris 10 de abril de 1813 foi um grande matemático italiano que deu grandes contribuições à matemática e à física Uma dessas contribuições foi o Método dos Multiplicadores de Lagrange pelo qual é possível encontrar o ponto de mínimo ou de máximo de uma função real de uma ou mais variáveis sujeita a uma ou mais restrições E em matemática o termo otimização referese ao estudo de problemas em que se busca minimizar ou maximizar uma função através da escolha sistemática dos valores de variáveis reais dentro de um conjunto viável Desse modo resolver um problema de otimização significa encontrar os pontos de máximo eou de mínimo de uma função e é nisso que o método dos multiplicadores de Lagrange será utilizado Mas para isso é necessário estudar os conceitos de análise no Rn que antecendem esse método ou seja primeiro é necessário construir uma base sobre a qual a teoria desse método estará alicerçada Portanto os primeiros capítulos deste trabalhos serão dedicados à revisão bibliográfica de análise no Rn e depois disso virão as aplicações 12 12 OBJETIVOS 121 Gerais O objetivo principal deste trabalho é utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de otimização 122 Específicos Estudar os conceitos básicos da análise no Rn tais como normas conjuntos abertos fechados e compactos limites continuidade derivabilidade e diferenciabilidade de funções de que vão de Rn em R ou de Rn em Rm Depois de compreendido todos esses conceitos será estudado o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange numa versão bastante geral que é o caso das funções de Rn em Rm com a finalidade de resolver problemas de otimização 13 JUSTIFICATIVA A otimização é usada em muitos campos da ciência indústria comércio entre outras atividades Por exemplo podese utilizála para encurtar um caminho para ganhar tempo economizar para comprar algo tomar decisão com base em investimentos etc Logo este trabalho pode culminar na solução de problemas de grande importância para a sociedade acadêmica ou para a sociedade civil da região de Cornélio Procópio caso se opte por resolver problemas a ela relacionados 14 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO Este trabalho está dividido da seguinte maneira o Capítulo 1 descreve os elementos da introdução o Capítulo 2 aborda os conteúdos de métricas e normas o Capítulo 3 descreve a topologia de espaços vetoriais normados o Capítulo 4 aborda os limites e continuidade de funções o Capítulo 5 descreve a teoria de funções diferenciáveis e na sequência é apresentado o Capítulo 6 que enuncia e demonstra o teorema dos multiplicadores de Lagrange e o capítulo 7 apresenta uma aplicação desse teorema na ciência de foguetes e finalmente o Capítulo 8 aborda a Conclusão e após isso são apresentadas as Referências usadas neste trabalho 13 2 MÉTRICAS E NORMAS Todos as definições e resultados aqui apresentados seguem a mesma linha de racio cínio que a apresentada por Cipolatti 2002 Para medir distâncias entre pontos de um dado conjunto A devemos considerar uma função que a cada dois elementos x e y de A associe um número real positivo denominado distância de x a y Tal função deve satisfazer as propriedades usuais da distância euclidiana definidas para pontos do plano Denominamos Métricas as funções que permitem medir distâncias entre pontos de um dado conjunto A Mais precisamente Definição 21 Seja X um dado conjunto Uma métrica em X é qualquer função d X X R que satisfaça as seguintes propriedades i d x y 0 x y X ii d x y 0 x y iii d x y d y x x y X iv d x y d x z d z y x y z X Definição 22 Seja X um espaço vetorial Uma norma em X é qualquer função que satisfaça as seguintes propriedades i x 0 x X ii x 0 x 0 iii λx λ x λ R e x X iv x y x y x y X O conceito de métrica é subsidiário para definirmos o conceito de norma e o de norma é um conceito fundamental para se entender toda a análise no Rn Lema 21 Se é uma norma em X então para todo x y X temos x y x y e x y x y Demonstração Da desigualdade triangular x x y y x y y x y y logo x y x y 1 Analogamente y y x x x y x x y x logo y x x y 2 As desigualdades 1 e 2 nos fornecem a primeira conclusão x y x y 3 Da desigualdade triangular segue que x x y y x y y logo x y x y 4 Analogamente y y x x x y x x y x x y x logo y x x y 5 Das desigualdades 4 e 5 segue a segunda conclusão x y x y 6 Por 3 e 6 concluímos o resultado Como ϕλ λp1 p xp 1 λq yq derivando e igualando a zero temos ϕλ p 1 λp2 p xp 1 λ2 q yq 0 p 1 λp1 1 yq p xp temse λ yq xp 1p λ yqp xp 1p como o único ponto crítico de ϕ é λ0 yqp xp segue que esse é o ponto de mínimo Agora vamos enunciar e demonstrar o teorema que foi referido como principal objetivo desta seção no início desta Teorema 21 Se 1 p então xp x1p x2p xnp1p é uma norma em Rn Demonstração Para demostrar este resultado provaremos que valem as quatro condições da definição de norma P₂ max 3 0 5 max 0 3 5 5 B₃ i13 j12 aij³ 13 a11³ a12³ a21³ a22³ a31³ a32³ 13 max 2 3 9 5 6 3 max 2 3 5 6 9 9 x yV Tx yW Tx TyW Tv Ty TxW TyV x yV xV yV f max f x x a b x02 R dada por f x x² 2x x 0 2 então 25 3 TOPOLOGIA DOS ESPAÇOS NORMADOS Os conceitos topológicos que são tratados neste capítulo são fundamentais para o estudo dos limites da continuidade e da diferenciabilidade de funções de Rn em Rm Neste capítulo serão introduzidos os conceitos fundamentais e os principais resultados da Topologia dos Espaços Normados e em especial do espaço Rn As definições e resultados aqui apresentados seguem a mesma linha de raciocínio que Cipolatti 2002 Definição 31 Seja V um espaço vetorial munido de uma norma x0 V e r 0 O conjunto Br x0 x V x x0 r é denominado bola aberta de centro em x0 e raio r Agora com o conceito de bola aberta é possível introduzir diversos outros conceitos os quais constituem a base da Topologia Definição 32 Seja A um subconjunto de V e x0 V a Dizemos que x0 é ponto interior de A se existe r 0 tal que Br x0 A b Dizemos que x0 é ponto de acumulação de A se r 0 Br x0 x0 A Note que se x0 é ponto de acumulação de A então x0 pode ser aproximado por pontos de A em alguma direção E se x0 é ponto interior de A então x0 é ponto de acumulação de A e x0 A e nesse caso x0 pode ser aproximado por pontos de A em qualquer direção Definição 33 Se x0 A não pode ser aproximado por pontos de A dizemos que x0 é ponto isolado de A Mais precisamente x0 é ponto isolado de A se existe r 0 tal que Br x0 A x0 Definição 34 O conjunto de todos os pontos interiores de A é chamado de interior de A e denotado por A A x A x é ponto interior de A Definição 35 Seja V um espaço vetorial e A V O conjunto dos pontos de acumulação de A é chamado de derivado de A e denotado por A A x V x é ponto de acumulação de A Observação Podese verificar que A A e A A é o conjunto dos pontos isolados de A De fato seja x A então x é ponto interior de A logo r 0 Br x A logo r 0 Br x x A portanto x é ponto de acumulação de A ou seja x A e assim A A Além disso seja x0 A A então x0 A e x0 A logo x0 não é ponto de acumulação de A ou seja r 0 Br x0 x0 A Seja y α Aαc então y α Aα logo y Aα α L temos então que y Aαc α L logo y α Aαc e assim α Aαc α Aαc Seja agora y α Aαc então y Aαc para algum α L logo y Aα logo y α Aαc portanto α Aαc α Aαc e deste modo α Aαc α Aαc Proposição 32 A interseção qualquer de conjuntos fechados é um conjunto fechado A união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado Demonstração Seja Fλλ L uma família qualquer de conjuntos fechados Então pela definição de conjunto fechado Fcλ L é uma família de conjuntos abertos No entanto temos por resultado que a união qualquer de conjuntos abertos é um conjunto aberto logo λ Fλc é um conjunto aberto mas pelo lema 31 λ Fλc λ Fλc logo o complementar de λ Fλ é aberto e assim λ Fλ é um conjunto fechado ou seja provamos que a interseção de conjuntos fechados é um conjunto fechado Por resultado a interseção finita de abertos é aberto então i1m Fic é aberto mas pelo Lema 31 m i1m Fic m i1m Bric logo é um conjunto aberto logo i1m Fi é fechado ou seja provamos que a união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado Definição 39 O conjunto A A A é denominado aderência ou fecho de A 31 CONJUNTOS COMPACTOS Definição 310 Uma família Aλλ L de subconjuntos de V é denominada cobertura de um dado conjunto B se B λ Aλ Se Aλ é um conjunto aberto para todo λ L dizemos que a cobertura é aberta Se L é um conjunto finito dizemos que a cobertura é finita Definição 311 Um conjunto K V é chamado compacto se toda cobertura aberta de K admite subcobertura finita isto é se Aλλ L é uma cobertura aberta de K então existem λ1 λk tais que K Aλ1 Aλk Proposição 33 Todo conjunto compacto é fechado e limitado Demonstração Seja K compacto Provemos inicialmente que K é limitado Sejam Brx x K bolas abertas de centro em x K e raio igual a 1 Então B1xx K é uma cobertura aberta de k Logo existem x1 xm K tais que K i1m Bri xi Seja r max x1 xm 1 Afirmamos que Br 0 K De fato seja x K então x m i1m Brxi xi logo x B1 xi para algum i 1 m Assim x x xi xi x xi xi mas como x B1 xi x xi 1 logo em 1 temos x xi x 1 xi 2 mas x max x1 xm logo em 2 temos 1 x 1 max x1 xm r ou seja 1 x r e assim x r logo x Br 0 portanto K é limitado Provemos que K é fechado isto é que Kc é aberto Seja x0 Kc Para cada x K considere rx 12 x x0 Então Brx x é uma cobertura aberta de K Mas como K é compacto existem x1 xm K tais que K i1m Bri xi 3 Sejam r min rx1 rx2 rxm 0 Afirmamos que Brx0 Kc De fato pela definição de r temos Brx0 m i1m Bri xi Logo por 5 y Brx0 então y Brxi i 1 m Logo por 5 y i1m Bri xi e assim y i1m Bri xic i1m Brxi xic logo y i1m Brxi xic portanto m i1m Brxi x0 m i1m Brxi xic Kc mas substituindo Br x0 de 4 em 6 temos Br x0 Kc Logo Kc é aberto e assim K é fechado Proposição 34 Seja F K V com F fechado e K compacto Então F é compacto Demonstração Seja Gαα A uma cobertura aberta de F Então vamos mostrar que Gα Fcα A é uma cobertura aberta de K De fato como K V F Fc então se x K temos que x F ou x Fc No primeiro caso se x F então x α Gα logo x α Gα Fc No segundo caso se x Fc então x α Gα Fc logo K α Gα Fc ou seja Gα Fcα A é uma cobertura aberta de K Mas como K é compacto existem α1 αm A tais que K i1m Gαi Fc i1m Gαi Fc logo mas como F K F i1m Gαi Fc logo F i1m Gαi portanto F é compacto 32 CONJUNTOS COMPACTOS DE Rn Nesta seção serão enunciados e demonstrados alguns resultados que visam caracterizar os conjuntos compactos Definição 312 Um conjunto A R dizse limitado superiormente se existe b R tal que x b x A E neste caso dizemos que b é cota superior de A Definição 313 Um conjunto A R dizse limitado inferiormente se a R tal que a x x A Neste caso dizemos que a é cota inferior de A Definição 314 Seja A R limitado superiormente e nãovazio Um número b chamase o supremo de A e escrevese b sup A se b for a menor das cota superiores de A Mais explicitamente b é o supremo de A se cumpre as seguintes condições i x b x A ii Se c R é tal que x c então b c Definição 315 Seja A R limitado inferiormente e nãovazio Um número a R é chamado o ínfimo de A e escrevese a inf A se a é a maior das cotas inferiores de A Mais explicitamente a é o ínfimo de A se a cumpre as seguintes condições Demonstração Sendo A limitado existe r 0 tal que Br0 A onde Br denota a bola aberta de raio r relativa à norma Seja P0 Br0 Então P0 A e P0 n i1 Ii0 onde Ii0 r r Teorema 34 Seja KααL uma família de compactos Rn com a propriedade da interseção finita isto é toda subfamília finita tem interseção não vazia Então Corolário 31 Seja KααN uma família enumerável de conjuntos compactos de Rn tais que K1 K2 Então αKα 33 Definição 317 Uma sequência de um espaço vetorial V é uma função ϕ N V que associa a cada número natural n um elemento de V denotado por xn Em geral a notação para a sequência ϕ tal que ϕ n xn é xnnN ou simplesmente xn Definição 318 Seja xnnN uma sequência de V Uma subsequência de xn é a restrição da função ϕ n xn a um subconjunto infinito N1 N Neste caso usase a notação xnkkN1 para denotar a subsequência Definição 319 Seja V um espaço vetorial normado e x0 V Dizemos que uma sequência xn de V converge para x0 se ε 0 n0 N n n0 xn x0 ε Neste caso dizemos que xn é convergente e denotamos lim n xn x0 ou xn x0 Proposição 35 Seja xn uma sequência de V a se xn converge então o limite é único b se xn converge então xn é limitada c A V e x0 A existe uma sequência xk de A que converge para x0 Demonstração a Suponhamos que xn l1 e xn l2 com l1 l2 e considere ε 1 3l1 l2 Então existem n1 n2 N tais que n n1 xn l1 ε n n2 xn l2 ε Se n0 max n1 n2 então l1 l2 l1 l2 xn xn xn l2 l1 xn xn l2 l1 xn xn l2 xn l1 xn l2 xn l1 ε ε 2ε 2 1 3l1 l2 2 3l1 l2 ou seja l1 l2 2 3l1 l2 absurdo Logo l1 l2 34 b Seja xn l Então n0 N n n0 xn l ε Tomando ε 1 temos que se n n0 xn l 1 Tomando R max x1 x2 xk0 1 Então xn 0 R xn BR 0 xn BR 0 logo xn é limitada c Seja x0 A Então r 0 Br 0 x0 A 0 Em particular para r 1 existe x1 A 0 x1 x0 1 Analogamente para r 1 2 existe x2 A 0 x2 x0 1 2 Para r 1 3 repetese o procedimento etc A sequência assim construída tem todos os elementos de A e converge para x0 Reciprocamente se existe uma sequência xn de elementos de A que converge para x0 com xk x0 para todo K então dado r 0 existe k0 N tal que 0 xk0 x0 r logo xk0 A Br x0 x0 Logo x0 A c q d Corolário 32 Seja A V um conjunto fechado e xn uma sequência de elementos de A Se xn x0 então x0 A Demonstração Pela recíproca da parte c da proposição anterior se xn x0 então x0 A mas como A é fechado A A A logo x A Teorema 35 Seja V um espaço vetorial normado e K V Então K é compacto se e somente se toda sequência xnn de K possui subsequência xnii tal que xni x K Demonstração Se xn K possui subsequência convergente e xnii x0 temos que x0 K mas como K é fechado K K e assim x0 K Suponhamos então que existe alguma sequência ynnN que não possui subsequência convergente e considere B x1 x2 x3 Então como xi i 1 n é um ponto isolado temos que B logo B e portanto B é fechado Além disso como xn é ponto isolado de B para todo n temos que para cada n N εn 0 Bεn xn B xn Logo Bεn xnnN é uma cobertura aberta de B que não admite subcobertura finita pois cada Bεi xi cobre apenas um elemento de B mas como B é fechado e B F pela Proposição 34 B é compacto então temos uma contradição 35 Suponhamos que existe AααL uma cobertura aberta de K que não admite subcobertura finita Para cada x K seja δ x sup δ 0 Bδ x 0 Bδ x Aα para algum α L Então δ x 0 x K Seja δ0 inf δ x x K Se provarmos que δ0 0 podemos construir uma sequência ynnN em K que não possui subsequência convergente De fato segue da definição que existe uma sequência xn em K tal que δ xn δ0 Por hipótese existe uma subsequência xni que converge para algum ponto x0 K Seja ε0 δ x0 2 0 Logo para algum α A Bε0 xni Bδx0 x0 Aα Portanto δ xni ε0 0 i i0 logo δ0 0 c q d 34 SEQUÊNCIAS DE CAUCHY As sequências de Cauchy são o aporte teórico para se definir os espaços de Banach que serão tratados no final desta seção Definição 320 Uma sequência xk de V é dita sequência de Cauchy se ε 0 k0 N k l k0 xk xlV ε Lema 34 Se xkkN é uma sequência de Cauchy em V então xk é limitada em V Demonstração Seja ε 1 Então existe k0 N tal que se k k0 então xk xk0V 1 mas xk xk0V xkV xk0V 1 xkV 1 xk0V k k0 Assim se M 1 max x1V x2V xk01V xk0V então xkV M k N Logo xk é limitada Teorema 36 Toda sequência convergente de um espaço vetorial normado é sequência de Cauchy Demonstração Seja limn xn x0 então n0 N m n0 xm xn0V ε 2 Logo m n n0 xm xnV xm xn xn0 xn0V xm xn0V xn xn0 V xm xn0V xn xn0V ε 2 ε 2 ε 36 ou seja se m n n0 xm xnV ε logo xn é sequência de Cauchy Neste teorema foi mostrado que se xnnN é uma sequência de V com V espaço vetorial normado então xn é de Cauchy no entanto a recíproca nem sempre é verdadeira Os casos em que a recíproca é verdadeira serão tratados de uma maneira diferente conforme as próximas definições e resultados Definição 321 Seja V um espaço vetorial normado se toda sequência de Cauchy de V é convergente então V é chamado de espaço de Banach 35 SEQUÊNCIAS EM Rn Nesta seção estudando as sequências em Rn mostraremos que Rn é espaço de Banach Aqui denotaremos por uma norma qualquer de Rn Se xkk onde xk x1k x2k xnk é uma sequência de Rn que converge para x0 x10 x20 xn0 então existe ϕ N Rn tal que ϕ k xk Segue da definição 317 que xjkk é sequência de números reais que converge para xj0 Simplificando isso significa que se xkk onde xk x1k xnk é uma sequência de N em Rn que converge para x0 x10 xn0 então decorre da definição 317 que a sequência formada pelos iésimos termos de cada um dos termos de xkk tende para o iésimo termo do limite x0 x10 xn0 ou seja xikk tende para xi0 Proposição 36 Toda sequência limitada de Rn possui subsequência convergente Demonstração Seja ϕ N R uma sequência de Rn Seja A o conjunto dos elementos de ϕ ou seja A ϕ 1 ϕ n Se A é finito então existe uma infinidade de números naturais k1 k2 para os quais ϕ k1 ϕ k2 logo existe uma subsequência constante de ϕ que é convergente pois sequências constantes são convergentes Se A é infinito pelo Teorema de BolzanoWeierstrass A logo pelo item c da Proposição 35 se x0 A então existe sequência xk de A que converge para x0 com xk x0 k Logo neste caso existe subsequência convergente de ϕ Teorema 37 Rn é um espaço de Banach Demonstração Seja xkk uma sequência de Cauchy de Rn Então pelo Lema 34 xk é limitada logo pela Proposição 36 xkk possui xkii que converge para x Rn Assim ε 0 i0 N i i0 xki x ε 2 7 Como a sequência é de Cauchy k0 N k l k0 xk xl ε 2 8 Seja k1 max k0 ki0 Se k k1 então xk x xk xki0 xki0 x ε 2 ε 2 ε 9 ou seja xk x ε logo xkk tente a x 37 Teorema 38 Seja K Rn Então as afirmativas abaixo são equivalentes a K é compacto b K é fechado e limitado c Toda sequência de K possui subsequência que converge para um ponto de K Demonstração a b está provado pela Proposição 33 b a está provado pelo Teorema 33 a c está provado pelo Teorema 35 Como b a e a c então por transitividade b c e o resultado fica provado 39 4 LIMITES E CONTINUIDADE As definições e resultados enunciados seguem a mesma linha de raciocínio de a apresentada em Cipolatti 2002 Iniciaremos o estudo de limites e continuidade de funções de Rn em Rm Denotaremos as normas euclidianas de Rn e Rm 2 apenas por indistintamente Definição 41 Sejam f A Rn Rn x0 A e b Rn Se ε 0 δ 0 x A e 0 x x0 δ f x b ε relativamente às normas euclidianas de Rn e Rm então dizemos que b é o limite de f x quando x se aproxima de x0 e denotamos lim xx0 f x b Observação 41 A definição de limite pode também ser expressa em notação de bolas lim xx0 f x b ε 0 δ 0 x A Bδ x0 x0 f x Bε b Ou ainda lim xx0 f x b ε 0 δ 0 f A Bδ x0 x0 Bε b Este teorema relaciona o limite da função f com limite das suas componentes Teorema 41 Sejam f A Rn Rm f f1 fm onde fi A Rn Rm i 1 m x0 A b Rm com b b1 bm Então lim xx0 f x b lim xx0 fi bi i 1 m Demonstração Suponhamos lim xx0 fi x bi e seja ε 0 Então existem δ1 δm 0 tais que x A e 0 x x0 δi fi x bi ε m Se e1 em é a base canônica de Rm então considerandose δ min δ1 δm temos para x A 0 x x0 δ f x b f1 x fm x b1 bm f1 x b1 fm x bm Agora escrevemos o vetor mdimensional f x b como combinação linear dos vetores da base canônica de Rm f1 x b1 e1 fm x bm em f1 xb1 e1 fm xbm em f1 x b1 fm x bm ε m ε m ε Teorema 42 Seja f A Rn Rm e x0 A Então lim xx0 f x b xkkN A tal que xk x0 k N temse xk x0 f xk b Demonstração Suponha que lim xx0 f x b Suponha ainda que xkkN A tal que xk x0 k N temse xk x0 Então ε 0 δ 0 x A e 0 xk x0 δ f x b ε e ε2 0 k0 N k k0 xk x0 ε2 Em particular δ 0 k0N se x A k k0 xk x0 δ f xk b ε ou seja f xk b Reciprocamente suponha que xkkN A e xk x0 k N e xk xk b 41 Lema 41 Sejam e respectivamente normas de Rn e Rm equivalentes às normas euclidianas Então lim xx0 f x b relativamente às normas e se e somente se lim xx0 f x b relativamente às normas euclidianas Demonstração Ver Cipolatti 2002 p33 41 FUNÇÕES CONTÍNUAS Iniciaremos esta seção com a definição de função contínua Definição 42 Seja f A Rn Rm e x0 A A Dizemos que f é contínua em x0 se lim xx0 f x f x0 Mais precisamente ε 0 δ 0 x A e x x0 δ f x f x0 ε Pela definição de bolas dizemos que f é contínua em x0 se e somente se ε 0 δ 0 x A Bδ x0 f x Bε f x0 ou ainda ε 0 δ 0 f A Bδ x0 x0 Bε f x0 Observação 42 Os seguintes fatos são decorrências imediatas das propriedades de limites a Se f f1 fm então f é função contínua em x0 se e somente se fi A Rn R é contínua em x0 b Se f g A Rn R são contínuas em x0 e além disso se g x0 0 então a função f g é contínua em x0 Teorema 44 Sejam f A Rn Rm g B Rm Rk tais que f A B Se x0 A y0 B B lim xx0 f x y0 e g é contínua em y0 então lim xx0 g f x g y0 Demonstração Seja ε 0 dado Como g é contínua em y0 existe µ 0 tal que y B Bµ y0 g y Bε g y0 Como lim xx0 f x y0 existe δ 0 tal que 42 x Bδ x0 x0 A f x Bµ y0 Portanto x Bδ x0 x0 A y f x Bµ y0 e consequentemente g f x Bε g y0 Definição 43 Quando uma função f é contínua em todos os pontos de seu domínio dizemos que f é uma função contínua Teorema 45 Seja f Rn Rm As afirmações abaixo são equivalentes a f é uma função contínua b Se A é aberto em Rm f 1 A é aberto em Rn c Se F é fechado em Rm f 1 F é fechado em Rn Demonstração Ver Cipolatti 2002 p35 42 FUNÇÕES CONTÍNUAS E COMPACTOS Os resultados a seguir são importantes pois embasam os tópicos dos Mulplicadores de Lagrange Teorema 46 Seja f Rn Rm uma função contínua e K Rn um conjunto compacto Então f K é conjunto compacto de Rn Demonstração Ver Cipolatti 2002 p35 Corolário 42 Se f Rn R é função contínua e K Rn é conjunto compacto então existem x x K tais que f x min f x x K ef x max f x x K Em outras palavras f admite pontos de mínimo e de máximo em K Demonstração Pelo Teorema anterior f K é compacto de R Logo e fechado e limitado Por ser limitado exitem s s R tais que s sup f K e s inf f K Como K é fechado temos que s f K e s f K Portanto existem x x K tais que s f x e s f x ou seja f x é o mínimo e f x é o máximo de f K O próximo Teorema é consequência dos resultados anteriores 43 Teorema 47 Equivalência das normas em Rn Todas as normas em Rn são equivalentes Demonstração A ideia chave é se todas as normas são equivalentes à norma 1 então elas são equivalentes entre si Em outras palavras se é equivalente a e é equivalente à então é equivalente a transitividade Observação 43 Decorre do Teorema 47 e do Lema 41 que se uma função f Rn Rn é contínua em relação a determinadas normas de Rn e Rm então f será contínua em relação a quaisquer outras normas de Rn e Rm 43 FUNÇÕES CONTÍNUAS E CONJUNTOS CONEXOS Relembrando dos conceitos e resultados da Análise Real de acordo com LIMA 2006 sabese que o Teorema do Valor Intermediário diz que se f a b R é contínua e f a 0 f b ou f a 0 f b então x0 a b tal que f x0 0 ou seja f possui uma raíz em a b O Teorema do Valor Intermediário se generaliza para o caso vetorial utilizandose o conceito de conjunto conexo Definição 44 Um conjunto B Rn é dito conexo se A1 A2 abertos tais que B A1 A2 e B Ai i 1 2 temse A1 A2 Teorema 48 Se f Rn Rm é função contínua e B Rn é conjunto conexo então f B Rm é conjunto conexo Demonstração Ver Cipolatti 2002 p37 44 CONJUNTOS CONVEXOS E FUNÇÕES CONVEXAS A definição seguinte diz que o segmento que liga os vetores x e y está inteiramente contido em A Definição 45 Um subconjunto A de um espaço vetorial V é dito convexo se x y A temse λx 1 λ y A λ λ 0 1 Definição 46 Uma função f A V R é dita convexa se A é convexo e para todos x y A vale a desigualdade f λx 1 λ y λf x 1 λ f y λ 0 1 Lema 42 Seja f A V R uma função convexa Se x1 x2 xk A e λ1 λ2 λk 0 1 são tais que λ1 λ2 λk 1 O Teorema seguinte é o mais importante resultado desta seção Teorema 49 Toda função convexa f Rn R é contínua Demonstração Ver Cipolatti 2002 p38 45 CONTINUIDADE UNIFORME O conceito de continuidade que foi enunciado anteriormente é um conceito local Ao invés disso a próxima definição enunciará um conceito de continuidade global Definição 47 Seja f A Rn Rm uma função Dizemos que f é uniformemente contínua em A se ε 0 δ 0 tal que se x y A e x y δ f x f y ε Toda função uniformemente contínua é contínua em seu domínio pois a diferença nas duas definições é que na de continuidade o ponto ao qual a função tende x0 cumpre a condição x0 A A enquanto na de continuidade uniforme x A apenas logo se a função é contínua em A em particular também o é em A A 45 46 O TEOREMA DO PONTO FIXO DE BANACH Definição 410 Seja V um espaço vetorial normado A V e f A V uma função Dizemos que f é uma contração em A se existe 0 α 1 tal que f x f y V αx yV x y A Definição 411 Dizemos que x V é um ponto fixo para uma função f V V se f x x Teorema 411 Seja V um espaço de Banach relativamente à norma V Se f V V é uma contração em V então f possui um único ponto fixo Demonstração Ver Cipolatti 2002 p43 Observação 46 O fato de uma função ser uma contração em V para uma norma não implica necessariamente que f seja contração para uma norma equivalente 47 5 FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS As definições e resultados apresentados neste capítulo seguem a mesma linha de raciocínio que a apresentada em Cipolatti 2002 e as demonstrações dos resultados deste capítulo são muito avançadas e extrapolam o alcance deste trabalho assim serão só enunciados mas suas demonstrações podem ser encontrados na mesma referência Iniciaremos aqui o estudo da diferenciabilidade de funções f Rn R 51 DERIVADAS DIRECIONAIS Definição 51 Seja x0 R e u um vetor unitário de Rn Dizemos que f possui derivada direcional em x0 na direção de u se existe o limite lim λ0 f x0 λu f x0 λ denominado derivada direcional de f em x0 na direção de u e denotada por f u x0 No caso em que u ei é o iésimo vetor da base canônica denotamos a derivada direcional na direção de ei por f xi x0 que denominamos derivada parcial de f em x0 em relação a xi Definição 52 Uma função f Rn R é dita Gateauxderivável em x0 se f possui derivadas direcionais em todas as direções u 52 FUNÇÕES DIFERENCIÁVEIS Para fixar a notação no que se segue consideraremos Ω Rn um conjunto aberto a norma euclidiana de Rn e f Ω R uma função Definição 53 Dizemos que f é diferenciável ou Fréchetderivável em x0 Ω se existem funções L εx0 Rn R tais que f x0 h f x0 L h εx0 h com L linear e εx0 satisfazendo lim h0 εx0 h h 0 Se εx0 satisfaz 53 dizse que εx0 é função h Para simplificar a notação em vez de εx0 escreveremos apenas ε h deixando de explicitar a dependência de ε em x0 Se f é função diferenciável em x0 então a transformação linear L é denominada diferencial de f em x0 ou a derivada de Fréchet de f em x0 e denotamos f x0 Lema 51 Se f é função diferenciável em x0 Ω e L1 L2 são diferenciais de f então L1 L2 A matriz associada a f x₀ relativamente às bases canônicas de Rⁿ e Rᵐ é dada por fx₀ f₁ x₁ x₀ f₁ x₂ x₀ f₁ xₘ x₀ fₙ x₁ x₀ fₙ x₂ x₀ fₙ xₘ x₀ Definição 55 No caso em que na matriz da transformação linear m for igual a n dizse que a matriz fx₀ é denominada matriz Jacobiana de f em x₀ O seu determinante é chamado Jacobiano de f em x₀ e o seu traço é denominado Divergente de f em x₀ Denotase o Jacobiano de f em x₀ por Jf x₀ det fx₀ Denotase o Divergente de f em x₀ por div f x₀ tr fx₀ ᵢ₁ⁿ fᵢ xᵢ x₀ 56 A REGRA DA CADEIA A regra da cadeia é uma fórmula que é usada para derivar funções compostas Teorema 51 Regra da Cadeia Sejam Ω subconjunto aberto de Rⁿ e g A Rᵏ duas funções tais que f Ω A Se f é diferenciável em x₀ e g é diferenciável em y₀ f x₀ então g o f é diferenciável em x₀ e g o fx₀ gy₀ o fx₀ Em particular g o f x₀ gy₀ fx₀ 57 O TEOREMA DO VALOR MÉDIO Teorema 52 Seja f Rⁿ R uma função diferenciável e x₁ x₂ dois pontos de Rⁿ Então existe x sobre o segmento de reta que liga x₁ a x₂ tal que f x₂ f x₁ fx x₂ x₁ 6 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE Os resultados deste capítulo seguem a mesma linha de raciocínio que a apresentada em CIPOLATTI 2002 Finalmente chegamos ao capítulo em que será enunciado o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange mas para isso primeiro será necessário enunciar o Teorema 61 da Função Implícita Seja f Rk Rm uma função de classe C1 Suponha f x0 y0 0 e det f y x0 y0 0 Então existe um conjunto aberto Ω Rk e ϕ Ω Rm função de classe C1 tais que a x0 Ω e ϕ x0 y0 b f x ϕ x 0 x Ω Demonstração Recomendamos Cipolatti 2002 p122 Teorema 62 Multiplicadores de Lagrange Sejam f g Rn R funções de classe C1 e S x Rn g x 0 Suponha x0 S tal que gx0 0 e f x0 min f x x S Então existe multiplicador de Lagrange λ R tal que f x0 λg x0 Demonstração Como gx0 0 podemos supor sem perda de generalidade que g xn x0 0 Seja λ R tal que f xn x0 λ g xn x0 Para completar a demonstração basta mostrar que f xi x0 λ g xi x0 é verdade para i 1 n 1 Denotando x x y Rn1 R x0 x0 y0 temos que g xn x0 g y x0 y0 0 pois xn é a nésima componente de x e segundo a notação x x y Rn1 R y também é a nésima componente de x Decorre então do Teorema da Função Implícita que existe uma vizinhança aberta Ω Rn1 de x0 e uma função ϕ Ω R de classe C1 tais que ϕ x0 y0 e g x ϕ x 0 x Ω 1 Além disso como x0 x0 y0 por hipótese temos que f x0 ϕ x0 f x ϕ x x Ω logo x0 Ω é ponto de mínimo para a função diferenciável x 7 ψx f x ϕ x Portanto ψx0 0 e da Regra da Cadeia vem ψx0 f x x0 f y x0 ϕx0 0 2 e derivando 1 em relação x obtemos g x x0 g y x0 ϕx0 0 3 Agora como 2 e 3 são ambas iguais a 0 multiplicando 3 por λ e subtraindo de 2 obtemos f x x0 f y x0 ϕx0 λ g x x0 g y x0 ϕx0 0 f x x0 λ g x x0 f y x0 λ g y x0 ϕx0 0 mas como ϕ x0 y0 com y0 constante temos que ϕx0 0 portanto em 6 temos f x x0 λ g x x0 2 O Método dos Multiplicadores de Lagrange na prática funciona basicamente assim Para determinar os valores máximo e mínimo de f x1 x2 xn sujeitos à restrição g x1 x2 xn k supondo que esses valores extremos existam e que g 0 sobre a restrição g x1 x2 xn k siga os seguintes passos a Determine todos os valores de x1 x2 xn e λ tais que f x10 x20 xno λg x10 x20 xno e g x1 x2 xn k b Calcule f em todos os pontos x1 x2 xn que resultaram do passo a O maior desses valores será o valor máximo de f e o menor será o valor mínimo de f sujeitos à restrição do problema Se escrevermos a equação vetorial f λg em termos de suas componentes as equações do passo a ficam f1 λg1 f2 λg2 fn λgn e g x1 x2 xn k Isto é um sistema de n 1 equações e n 1 incógnitas x1 x2 xn e λ A variação da velocidade resultante da aceleração do 2º estágio é ΔV2 cln1 1 S M2 P M2 lnP M2 M2 SM2 P M2 c lnM3 A M2 M2 SM2 M3 A M2 c ln M2 M3 Ac lnM2 M3 A SM2 M3 A e c lnM2 M3 A ΔV3 cln1 1 S M3 P M3 lnA M3 M3 SM3 A M3 ln1 M3 Ac lnM3 A SM3 A c lnM3 A SM3 A Logo a velocidade atingida depois que os três estágios são ejetados é dada por vf c lnM1 M2 M3 A SM1 M2 M3 A c lnM2 M3 A M2 M3 A c lnM3 A SM3 A que implica vf c lnM1 M2 M3 A SM1 M2 M3 A lnM2 M3 A SM2 M3 A lnM3 A SM3 A Usando as propriedades dos logaritmos podemos simplificar f min fN1N2N3 ln1 S³ yf 3c³ ln1 S³ yf 3c³ 5 Se desejarmos colocar um foguete de três estágios em uma órbita 160 km acima da superfície terrestre uma velocidade final necessária é de aproximadamente 28000 kmh M1 M2 M3 A M2 M3 A 1 S N1 1 S N1 1 S N1 1 S N1 M2 M3 A M2 M3 A 6 O mesmo foguete precisaria de uma velocidade final de 39700 kmh aproximadamente para escapar da gravidade terrestre Determine a massa de cada estágio que minimizaria a massa total do propulsor do foguete e lhe permitiria carregar uma sonda de 200 kg para o espaço 61 8 CONCLUSÃO Os conceitos de análise no Rn não fazem parte do conteúdo previsto na grade curricular do curso de licenciatura em matemática da UTFPR câmpus Cornélio Procópio no entanto o estudo desses conceitos propicia uma maior aproximação entre a matemática estudada na graduação e a pesquisa em matemática No Capítulo 2 deste trabalho os conceitos de métricas e normas servem de generalização de medições que usualmente são feitas em linha reta ou espaço real unidimensional em medidas de área em planos ou espaços euclidianos bidimensionais e medidas de volume no espaço euclidiano tridimensional Já o Capítulo 3 que fala da topologia dos espaços normados traz uma descrição topológica desses espaços e culmina na descrição topológica do Rn que é o espaço de interesse final do trabalho Nos Capítulos 4 e 5 tratase da teoria de limites continuidade e derivadas de funções nesse espaço porque na aplicação dos multiplicadores de Lagrange são utilizadas funções desse tipo E no capítulo 6 chegase à teoria dos multiplicadores de Lagrange propriamente dita e precede o capítulo 7 da aplicação Assim vêse que é necessário percorrer um caminho até se chegar a resolver o problema final e foi necessário extrapolar a abrangência do conceitos estudados no curso regular da licenciatura em matemática Neste trabalho podese perceber a potencialidade das aplicações da matemática para o desenvolvimento da indústria comércio e da tecnologia como é o caso da aplicação dos multiplicadores de Lagrange na ciência dos foguetes que permitiu otimizar a massa de cada um dos três estágios tanques de combustível para que a massa fosse a menor possível e ainda permitisse atingir a velocidade final desejada Portanto essa aplicação mostra o quão útil são os conceitos matemáticos no desenvolvimento tecnológico M3 200 0 8 e397001 0 2 2 e3600 200 2879 10196um 63 REFERÊNCIAS ABBOTT Stephen Principles of Mathematical Analysis 3 ed SI McGrawHill 2001 Ne nhuma citação no texto ABBOTT S Understanding Analysis 1 ed New York SpringerVerlag 2001 Nenhuma citação no texto CIPOLATTI Rolci Cálculo Avançado I 1 ed Rio de Janeiro Brasil Universidade Federal do Rio de Janeiro IM 2002 Citado 11 vezes nas páginas 13 25 39 40 41 42 43 44 45 47 e 51 CONWAY J B A course in Functional Analysis 2 ed SI SpringerVerlag 1994 Nenhuma citação no texto HEWITT E STROMBERG K Real and Abstract Analysis 1 ed SpringerVerlag American Mathematical Society 1965 Nenhuma citação no texto JAHNKE Hans Niels A History of Analysis 1 ed SI American Mathematical Society 2003 Citado na página 11 LIMA Elon Lages Análise Real volume 1 funções de uma 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