Desenvolvimento e Eficiência de Foguetes Espaciais: Uma Análise Histórica e Técnica

2 INTRODUÇÃO A ideia de um veículo que pudesse sair da atmosfera terrestre surgiu de dois físicos o russo Konstantin Eduard Ziolkowski 18571935 e norteamericano Robert Hutschings Goddard 18821945 Posteriormente as ideias foram utilizadas pelos seus países como tecnologia para desenvolvimento de armas militares Eles utilizavam tal tecnologia para lançamento de satélites de espionagem e até mesmo para bombas na Segunda Guerra Mundial Após o término da Segunda Guerra Mundial a tecnologia de foguetes espaciais continuou sendo utilizada até hoje no desenvolvimento de armas militares mas também para desenvolvimento de novas tecnologias tais como no lançamento de satélites de comunicação gerenciamento do clima de regiões e para a própria exploração do espaço Porém como em qualquer área há um custo para se desenvolver e laçar esses foguetes Que consomem muita energia para alcançar a velocidade necessária para escapar da ação da gravidade terrestre E quanto maior for seu peso maior será sua necessidade de combustível para alcançar tal velocidade Sendo assim o custo de financiamento de um lançamento muito elevado E é importante diminuir ao máximo possível a massa do foguete o tornando mais eficiente e diminuindo o custo Para isso é possível determinar a massa total de um veículo espacial através de funções já desenvolvida E para minimizar a massa final existe o método Multiplicadores de Lagrange que calcula o máximo e mínimo de uma função podendo ter alguma restrição como a velocidade necessária Que é apropriado a aplicação nesse problema A diminuição carga massa do foguete torna mais eficaz os motores que o levam à alcance maior altitudes com a maior velocidade e carga útil Para isso foi se pensado na criação de um foguete com diversos estágios que para melhor o entendimento podese pensar diversos foguetes acoplados uns aos outros verticalmente corroborando entre si fornecendo propulsão ao estágio de cima e liberando carga desnecessária assim que o combustível de cada estágio vai se esgotando Para o objetivo pode ser usado o método para encontrar a massa mínima de cada estágio Concluindo minimizando a massa total do foguete com três estágios 3 1 DESENMVOLVIMENTO Para resolver o problema proposto anteriormente foram analisados problemas semelhantes que será mostrado a seguir a fim de auxiliar no tema escolhido A resolução tratasse de um lançamento de foguete com apenas um estágio e desenvolvendo a fórmula para que possa ser aplicada a outros com n estágios Primeiramente foi utilizado a fórmula modulada para a variação na velocidade resultante da aceleração para foguetes Chamada de equação do foguete de Tsiolkovski pelo próprio Konstantin Tsiolkovskique foi o primeiro que a derivou considerando os princípios do foguete um máquina que pode aplicar a aceleração ao mesmo empuxo jogando para traz em alta velocidade uma parte de sua massa devido a lei de conservação da quantidade de movimento sempre que um corpo ganha uma certa quantidade de movimento haverá outro que perdeu igual a mesma quantidade de movimento Figura 1 Conservação da quantidade de movimento Fonte Mundo Educação UOL Que é diz qualquer viagem que inclua manobras é dada por ΔV c ln 𝑚 𝑚₁ Em que m é a massa total inicial m₁ a massa total final e c a velocidade de ejeção dos gases em relação ao impulso especifico do foguete sendo aperfeiçoada ao longo do tempo até chegar em ΔV c ln 1 1 𝑆 𝑚ᵣ 𝑃 𝑚ᵣ Sendo c representando a velocidade constante de exaustão relativa do foguete S sendo um fator estrutural que é determinado no projeto de cada foguete espacial mᵣ 4 sendo a massa do propulsor e do combustível inicial do foguete e P para a massa da carga transportada exemplo tripulação suprimentos e satélites Com isso para o cálculo de foguetes com mais de um estágio basta separa mᵣ de cada estágio chegando em 𝑗 ΔV c ln 𝑖1 𝑚ᵢ 𝑚ᵢ𝗁₁ 𝑚ᵢ𝗁₂ 𝐴 𝑆𝑚ᵢ 𝑚ᵢ𝗁₁ 𝑚ᵢ𝗁₂ 𝐴 A é a massa da carga Com essa fórmula em mão se inicia o desenvolvimento do objetivo principal que é minimizar a massa do foguete que está sujeita a restrição da velocidade desejada velocidade para vencer a ação da gravidade Aqui é aplicado o Método dos Multiplicadores de Lagrange porém por ser complexa a aplicação direta deve se fazer uma simplificação de variáveis para apenas uma trocando para Nᵢ e assim teremos uma nova equação 𝑗 ΔV c ln 𝑁ᵢ 𝑁ᵢ𝗁₁ 𝑁𝑗 𝑖1 Que para velocidade final fica da seguinte maneira 𝑗 Vᵳ c ln 𝑁ᵢ 𝑁ᵢ𝗁₁ 𝑁𝑗 𝑖1 E para correlacionar Nᵢ e a massa M para que quando aplicada Lagrange em N também surja o mesmo efeito em M fazemos a seguinte correlação 𝑗 𝑚ᵢ 𝐴 𝑆𝑚1 𝑚ᵢ1 𝐴 𝑖1 1 𝑆 𝑁ᵢ 1 𝑆𝑁ᵢ Sendo assim a relação à cima para todos os iestágio do foguete Que traz a conclusão total do foguete que 𝑚 𝐴 1 𝑆𝑖 𝑗 𝑁ᵢ 𝑖1 𝐴 𝑗 1 𝑆𝑁ᵢ 𝑖1 Devese verificar se o lnmAA tem o mesmos pontos de máximos e mínimos de m Logo após é possível aplicar os multiplicadores de Lagrange determinando a expressão de Nᵢ com a equação de restrição de Vᵳ E após também aplicando em M com a mesma restrição E encontrando o mínimo chegaremos ao objetivo inicial 5 2 CRONOGRAMA Na próxima etapa será encontrar os valores para cada variável e aplicar nas fórmulas assim achando a restrição dada pela fórmula para encontrar Vᵳ E concluindo aplicando Lagrange em M a massa sendo útil neste caso encontrar o mínimo da função