Utilização dos Multiplicadores de Lagrange para Otimização da Massa de Foguetes

Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics v 6 n 1 2018 Trabalho apresentado no XXXVII CNMAC SJ dos Campos SP 2017 Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics Utilizacao dos Multiplicadores de Lagrange para Otimizacao da Massa de Foguetes Bruno Melniski de Sousa Departamento de Ciéncias Bdsicas e Ambientais EELUSP Lorena SP Roberta Veloso Garcia Departamento de Ciéncias Bdsicas e Ambientais EELUSP Lorena SP 1 Introducao Este projeto visa introduzir os Multiplicadores de Lagrange no problema de otimizacao da massa de um foguete para um lancamento em nivel de maximo aproveitamento inde pendente da missao estipulada 1 A eficiéncia da pesquisa faz com que o foguete alcance maiores altitudes com a maior velocidade e carga util exequiveis Para isso foise pensado na criagao de um foguete com diversos estagios que para melhor entendimento podese fazer uma analogia com diversos foguetes acoplados uns aos outros verticalmente corrob orando entre si fornecendo propulsao ao estagio de cima e liberando carga desnecessaria assim que o combustivel de cada estdégio 6 queimado A adversidade deste projeto é saber até que ponto é vantajoso adicionar estagios minimizando a massa total e ainda conseguindo alcancar a altitude e velocidade desejadas 2 Aplicacgao do método dos Multiplicadores de Lagrange no Problema da Otimizagao O método dos multiplicadores de Lagrange gira em torno da tese de que é possivel encontrar extremos de uma fungao de n varidveis se e somente se essas varidveis este jam sujeitas a m restricgdes 2 Além disso tanto as funcgdes quanto as restrigdes devem possuir derivadas continuas Assim conhecendo as funcoes que se deseja otimizar e suas respectivas restrigoes podese chegar na seguinte equacao para encontrar seus mAximos e minimos 2 m Vf 1 2 5 Ln So AVG 21 22 1 Un 1 il brunomelniskisousausp br 2 robertagarciausp br 0102881 2018 SBMAC Proceeding Series of the Brazilian Society of Applied and Computational Mathematics v 6 n 1 2018 2 onde A sao os multiplicadores de Lagrange Neste trabalho a equacao a ser otimizada é a soma das massas dos estagios do foguete e a restricaéo é definida a partir da velocidade final do foguete dadas respectivamente por 3 f m1 ma M HSM M2M 2 J mi m Mj we tmm gmimo mj AV coIn go ee 0 3 j Sm Mig M42 m Me sendo AV a velocidade final que se deseja atingir S o fator estrutural m o valor da carga util 7 o numero de estdgios e c a velocidade dos gases expelidos A solugao do sistema de equacgoes formados por 1 e 3 é dada por 1 1 A Sie4V 1 4 Cc 1s AVjc me f a 1 me 6 sendo mp a massa total do foguete composto por todos os estagios Considerando um foguete numa altitude de 160 km em uma orbita circular ao redor da Terra com S 02 e c 26667 kms podemos calcular a velocidade atingida e mo para um foguete de 1 2 e 3 estdgios No caso do foguete de 1 estagio teremos mp 645m Para 2 estadgios mo 65540m e no caso de um foguete de 3 estagios mp 9176m 3 Conclusoes Notase que a massa de um foguete de 2 estagios é cerca de 655 vezes a massa da carga util enquanto para 3 estagios a massa do foguete é aproximadamente 92 vezes Neste caso existe a vantagem do acréscimo de um estdgio visto o decréscimo substancial da massa do foguete Agradecimentos Os autores agradecem ao Programa Unificado de Bolsas de Estudo para Estudantes de Graduagao da Universidade de Sao Paulo References 1 J Stewart Cdlculo Vol Il Cengage Learning Sao Paulo 2013 2 I B Vapnyarskii Lagrange multipliers Encyclopedia of Mathematics ISBN 9781 556080104 2001 3 W E Wiesel Spaceflight Dynamics ISBN 9781452879598 2010 0102882 2018 SBMAC