Cálculo de Integrais de Linha em Diferentes Curvas

116 Calcule a integral de linha onde C é a curva dada 2 C yx ds C x t² y t 0 t 2 3 C xy² ds C é a metade direita do círculo x² y² 16 4 C y² ds C é o segmento de reta que liga 1 2 a 4 7 5 C xy ln x dy C é o arco de parábola y x² de 1 1 a 3 9 6 C x² ex dx C é o arco de curva x et de 1 0 a e 1 7 C xy dx x y dy C consiste nos segmentos de reta de 0 0 a 2 0 e de 2 0 a 3 2 8 C sen x dx cos y dy C consiste na metade superior da circunferência x² y² 1 de 1 0 a 1 0 e o segmento de reta de 1 0 a 2 3 9 C y² ds C x 4 sen t 0 t π2 10 C x² ds C é o segmento de reta de 0 6 a 1 5 11 C x²y² ds C é o segmento de reta de 0 0 a 1 2 12 x² 9 dz C x r y r² 0 r 1 13 C x²y dz C x r y r² 0 r 1 14 C x² y² dx 2xy dy C consiste nos segmentos de reta de 1 0 a 2 3 1 e de 2 3 a 2 5 15 C x y² dy 2xy dx C consiste nos segmentos de reta de 0 0 a 1 2 e de 1 2 a 3 2 16 Seja F o campo vetorial mostrado na figura a Se C é o segmento de reta vertical de 3 3 a 3 3 determine se C Fdr é positivo negativo ou zero 18 A figura mostra um campo vetorial F e duas curvas C₁ e C₂ As integrais de linha de F sobre C₁ e C₂ são positivas negativas ou nulas Explique 1922 Calcule a integral de linha C Fdr onde C é dada pela função vetorial rt 19 Fx y x² yj yx Fj rt 1 tj 0 t 1 20 Fx y y²i xz j yk rt 1 t² j t² k 0 t 2 21 Fx y z sen x i cos y j xz k rt t² 1 j t k 0 t 1 22 Fx y z x i y j z k rt i t sen j k 0 t π 2324 Use um gráfico do campo vetorial F e a curva C para dizer se a integral de linha de F ao longo de C é positiva negativa ou nula Em seguida calcule a integral 23 Fx y x y i y j C é o arco de círculo x² y² 1 percorrido no sentido antihorário de 2 0 a 0 2 24 Fx y x² y² i y²x² j C é a parábola de 1 2 a 1 2 25 a Calcule a integral de linha C Fdr onde 110 Fx y ye² x²y y² j 8 Fx y xy cosh xy sinh xy j x² cosh xy j 11 A figura mostra o campo vetorial Fx y 2xy x² e três curvas que começam em 1 2 e terminam em 3 2 a Explique por que C Fdr tem o mesmo valor para as três curvas b Qual é esse valor comum 1218 a Determine uma função φ tal que F F e b use a parte a para calcular Fdr sobre a curva C dada 12 Fx y y i x 2y j C é a semicircunferência superior que começa em 0 1 e termina em 2 1 13 Fx y xy²i x² y² j rt t² 1 2yt j 0 t 1 14 Fx y 1 x² i 2y arc tg x j C rt 1 t² j 0 t 1 15 Fx y y² i xj xy 2z j C é o segmento de reta de 1 0 a 2 3 16 Fx y 2x y i 2y j x² 3y² k C x r y r² 1 2 r 1 17 Fx x² cos t 2t cos x j xy² sen x k C rt r¹ sen j k 0 t 1 14 Calcule a integral de linha por dois métodos a diretamente e b utilizando o Teorema de Green 5 C x2y dx x3 dy C é o retângulo com vértices 0 0 2 0 2 3 e 0 3 2 C y dx x dy C é o círculo com centro na origem e raio 1 3 C xy² x³y dy C é o triângulo com vértices 0 0 1 0 e 1 2 4 C x²y² dx 2xy² dy C consiste nos segmentos de reta de 0 1 a 0 0 a 1 0 a 1 1 e na parábola y 1 x² de 1 0 a 0 1 56 Verifique o Teorema de Green usando um sistema algébrico computacional para calcular tanto a integral de linha como a integral dupla 7 Fx y 6x 5y j 5x 4y² i 8 Fx y y sen x Qx y xy² sen y 9 Fx y x y i xy² j C é uma circunferência x² y² 25 orientada no sentido horário 10 Fx y x² 2y i 2tg yx j C é uma circunferência x² 2² y 3² 1 orientada no sentido antihorário 11 Use o Teorema de Green para achar o trabalho realizado pela força Fx y xFx yx j e mover uma partícula da origem ao longo do eixo x até 1 0 em seguida ao longo de um segmento de reta de 1 0 e então de volta à origem ao longo do eixo y 17 Uma partícula inicialmente no ponto 2 0 se move ao longo do eixo x até 2 0 e então ao longo da semicircunferência y 4 x² até o ponto inicial Utilize o Teorema de Green para determinar o trabalho realizado nessa partícula pelo campo de força Fx y x x² 3xy² 18 Use umas das fórmulas 5 para achar a área sob um arco da cicloide y sen t y 1 cos t 19 Uma circunferência C de raio 1 rolando ao longo do interior da circunferência x² y² 16 um ponto fixo P do C descreve uma curva chamada epicicloide com equações paramétricas x 5 cos t 5 sen t y 5 sen t 5 cos t Para o gráfico da epicicloide use 5 para calcular a área da região que a envolve Fxyz xy2 i xz2 j x z k Fxyz exz i x2 y2 j z k Fxyz z ex y i ey j 2 z k Fxyz x2 y2 j x y k A42 CÁLCULO Editora Thomson Fxyz ln x lnxy lnxyz Fxyz xey zz zez O campo vetorial F é mostrado no plano xy e é o mesmo em todos os planos horizontais Em outras palavras F é independente de z e seu componente z é 0 a O div F será positivo negativo ou nulo Explique b Determine se o rot F 0 Se não em que direção rot F aponta