Integração Tripla de Funções Contínuas em Regionais S

Integração tripla Seja f uma função de 3 variáveis x y e z e suponhamos que f seja contínua numa região S A integral tripla de f em S é definida por fxyz dv lim ΔV0 n i1 fεi δi μi ΔVi onde ΔVi é uma partição de S Da mesma forma que uma integral dupla é igual a uma integral tirada duas vezes a integral tripla é o mesmo que uma integral tirada três vezes Du siya fxyz dv b a ψ1xψ2x fxyz dzydxdx onde S é uma região satisfazendo as condições a x b ψ1x y ψ2x ψ1xy z ψ2xy tais que ψ1 e ψ2 são funções contínuas em ab e ψ1 e ψ2 não possuem descontinuidades em xy R² a x b e ψ1x y ψ2x Exemplo Calcule a integral tripla xy sinyz dv onde S é o paralelipípedo retangular limitado pelos planos x π y π e z 43 π pelos planos coordenados x y sinyz dv π 0 π 0 0 0 xy sinyz dzydydx π 0 π 0 xy cosyz 0 0 dy dx π 0 x sinπy3 xψ2x dx π 0 3π x sinπ²6 π2 x² dx π6 x²2 π4 x²0 0 3π sinπ²6 π²3 π²4 3π sinπ²6 π²4 Exemplo Ache por integração tripla o volume do sólido acima do plano x y limitado pelo paraboloide elíptico z x² 4y² e pelo cilindro x² 4y² 4 V dv b ψ1x a ψ2x fxyz dzdydx 4 0 2 0 124x² y³ dy 4 0 2 x²3 144x² dx 4 0 2 3x²4 dx 43 0 2 43 x² 2 dx 4π já calculamos anteriormente ₐ fxyzdz dy dx 4₀²π₀¹ n³ cosθ sinθ dz dθdϕ Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas Coordenadas cilíndricas São adequadas para uma região R definida por α r β ϕ1θ r ϕ2θ ϕ1ηθ z ϕ2ηθ Neste caso fxyz dv β α ϕ1θ ϕ2θ ϕ1ηθ ϕ2ηθ frθzρ drdθdz Exemplo Seja fxyz 4xy definida em R xyz R³ x² y² 1 0 z 1 Calcule fxyz dv ₐ fxyzdv ₀²π₀¹ ρ cosϕ²ρ sinϕρ² dρ dϕ dθ Alguns exercícios resolvidos ₀¹ ₀² ₀¹ x³3 y³ dy dz ₀¹ ₀² 13 y² z dy dz ₀¹ 13 22 dz ₀¹ 46 z dz 412 13