Lista de Exercícios: 3ª Prova de Química Quântica

Lista de exercícios p a 3ª prova de Química Quântica Prof Ourides 1 Escreva a equação de onda geral para átomos hidrogenóides são aqueles que têm apenas um elétron como 𝐻 𝐻𝑒 𝐿𝑖2 𝐵𝑒3 2 As soluções para a equação de onda de átomos hidrogenóides têm a forma geral Ψ𝑛𝑙𝑚𝑙𝑟 𝜃 𝜙 𝑅𝑛𝑙𝑟Θ𝑙𝑚𝑙θΦ𝑚𝑙ϕ Explique o que significa cada termo dessa expressão Quais são os números quânticos envolvidos na descrição completa do elétron Como eles variam e como dependem entre si 3 Por que os orbitais 𝑠 são esfericamente simétricos Explique com base em suas funções de onda 4 A partir da tabela de funções de onda radiais Texto 19 tabela 1 determine a posição dos nós radiais das funções com os seguintes valores de números quânticos a𝑛 2 e 𝑙 0 b𝑛 2 e 𝑙 1 c𝑛 3 e 𝑙 1 5 Dados os mapas de 𝑅𝑟 no mesmo textpo esboce mapas aproximados de 𝑅𝑟2 para as funções com a𝑛 3 e 𝑙 0 b𝑛 3 e 𝑙 1 e c𝑛 2 e 𝑙 0 6 Determine a energia de um elétron nos orbitas 1𝑠 e 2𝑠 do átomo de hidrogênio 7 A partir da equação usada no exercício anterior deduza uma equação que dá a diferença de energia entre dois estados quânticos consecutivos inicial e final 𝑛𝑖 e 𝑛𝑓 e calcule o potencial de ionização do hidrogênio 8 A partir da tabela de orbitais atômicos completos para o átomo de hidrogênio determine a posição dos nós radiais das funções 3𝑝𝑥 e 3𝑝𝑦 9 A função de onda de estado fundamental para o elétron do hidrogênio é Ψ100𝑟 1 𝜋𝑎0 3 12 𝑒𝑟𝑎0 Calcule a probabilidade de o elétron ser encontrado no interior de uma esfera de volume 𝑑𝑉 1 𝑝𝑚3 colocada no núcleo do átomo 10 Considere a função de onda radial para o orbital 1𝑠 do hidrogênio Calcule a partir dela as probabilidades relativas de se encontrar o elétron dentro de um volume 𝑑𝑉 estando o elétron localizado a na distância 𝑎0 do núcleo e b no núcleo 11 Considere a expressão do potencial efetivo a que está submetido um elétron no hidrogênio dada abaixo e explique como variam seus dois termos em função dos valores do número quântico secundário e da distância 𝑟 com relação ao núcleo Dado 𝑉𝑒𝑓 𝑒2 4𝜋𝜀0𝑟 𝑙𝑙 1 ℏ2 2𝑚𝑟2 12 Dê a forma geral das funções de onda radiais para os estados quânticos 1𝑠 2𝑝 e 3𝑑 13 Considere as funções de onda orbitais para os estados 2𝑠 2𝑝𝑥 2𝑝𝑦 e 2𝑝𝑧 Examine as intensidades das funções e probabilidades de localização do elétron em termos de suas coordenadas 14 Embora os orbitais 𝑠 não apresentem coordenadas angulares em sua normalização elas devem ser consideradas A normalização de uma função de onda é obtida como vimos pela resolução da integral dada por 𝜓𝜓𝑑𝜏 tal que 𝑑𝜏 é um diferencial de volume cartesiano 𝑑𝜏 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Considerando o que foi dito acima e considerando a mudança de coordenadas do diferencial de volume de coordenadas cartesianas para coordenadas polares tal que 𝑑𝜏 𝑟2𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙 normalize isto é determine o valor de 𝑁 para a função 𝜓1𝑠𝑟 𝑁𝑒𝑟𝑎0 Você vai precisar das seguintes integrais de recorrência 𝑥2𝑒𝛼𝑥𝑑𝑥 𝑒𝛼𝑥 𝑎 𝑥2 2𝑥 𝛼 2 𝛼2 e 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑥𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑥 𝛼 15 O raio mais provável de se encontrar um elétron ao redor de um núcleo pode ser obtido como vimos a partir da derivada da função de distribuição radial 𝑃𝑟 Considere a função 𝑃𝑟 4𝑍3 𝑎0 3 𝑟2𝑒2𝑍𝑟𝑎0 na qual 𝑍 é o número atômico de um átomo hidrogenóide Determine a partir dos dados acima a posição ou raio mais provável de se encontrar o elétron para os átomos desde 𝐻 até 𝑁𝑒9 A equação de onda geral para átomos hidrogênio ħ² 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 rθφ Erθφ e² Hrθφ Eψrθφ 4πE₀r ψrθφ função da onda orbitais atômicos e² operador potencial operador potencial eletrostático 4πE₀r E energia total do eletrón O termo entre colchetes multiplicado por ħ²2me é o operador energia cinética no qual me é a massa do elétron 2 A forma geral da equação de Schrodinger é ψrθφ RnlrΘlmθΦmφ Na qual Rnlr funções de onda radiais dependem apenas da coordenada r É uma família de funções que dependem dos números quânticos principal n e azimutal l foi que n1234n1 funções dependem dos números quânticos radial l e magnético ml tal que l0123n1 e ml0 1 2 3 l Φφ função que descrevem o comportamento do elétron em termos do ângulo φ beta agujinle num sistema de coordenada esférica Depende do número quântico magnético ml 0 1 2 3 l Sistema de coordenadas esférico 3 Pela expressão geral as funções de onda orbitais atômicos têm a forma ψrθφ RrΘθΦφ Para o estado híbrido temos em dois quânticos n2 e l0 e ml0 Considerando erros volores e as funções quase ideaisvidual desde nos tabelas dos Tabelas 18 e 19 temos Φφ e 2mφ mas como ml0 Φφ 1 ψrθφ RrΘθΦφ Nnlφrera com Nnl constante de normalização Rnlr polinômio associado de laguerre depende penuel das coordenada r era exponencial decrescente em r Notese que as funções de onda para o orbitais ml dependem apenas da coordenada de distância r ao centro do sistema de coordenadas e não dependem das coordenada angulares logo orbitais em são esferossimétricos 4 As função de onda à qual exercício se refere são a n2 l0 R20r 1 22a₀ 1 r2a₀ b n2 l1 R21r 146a₀ 1 r3a₀ er2a₀ c n3 l1 R31r 1276a₀ 1 r3a₀ er3a₀ Cada função acima corresponde a uma exponencial decrescente em r multiplicada por um polinômio em r Os nós das funções podem ser encontrados igualandose o polinômio a zero encontrar suas raízes tendo assim a 2r 0 r 2a₀ b ra₀ 0 r 0 c 4r3a₀ 0 r3a₀ 4 r 12a₀ O mapa da função radial Rr dados na fig 1 do Texto 19 estão reproduzidos abaixo de modo aproximado n3 l0 Rr2 n3 l1 Rr2 n2 l0 Rr2 Rr Rr Rr 6 A expressão que dá a energia do elétron no átomo de hidrogênio útil dada da 1ª página do Text 20 En fracme432pi2 ε02 h2 n2 A energia depende do número quântico principal n Constantes físicas m 9101031 kg e 161019 C ε0 88541012 C2kgm³ h 10541034 Js Portanto En frac9101031 161019232 3142 885410122 105410342 frac1n2 En 2171018 frac1n2 J confira a unidade por análise dimensional Para o orbital 1s n1 E1s 2171018 J para o orbital 2s n2 E2s 05431018 J 7 A partir da equação dada no exercício anterior En 2171018 J podemos escrever para dois estados quânticos lido ni e final nf Delta E Ef Ei 2171018 frac1nf2 frac1ni2 e Delta E 2171018 frac112 frac1infty2 A condição de ionização de um átomo de hidrogênio para a partir de seus estados fundamentais φ1s n1 Delta E 2171018 J Seja a função de onda para o estado fundamental 1s para o hidrogênio Ψ100r 1π32 era0 A probabilidade de se localizar o elétron num dV conhecido como volume dV numa dada posição r P Ψr2 dV estes P 1π a0 13 e2ra0 dV1pm³ Se dV está no núcleo entre r0 ou ref P 1πa0 3 e20a0 1pm³ com a0 529 pm 1 P 1314529 pm3 1pm³ P218107 ou P000000218 P000000218 10 A probabilidade relativa de se encontrar o elétron em ra0 e no núcleo r0 é dada pela expressão Pra0 Ψ100a02 dV Ra02 com Rr 21a032 era0 Pr0 Ψ10002 dV R02 Pra0 21a03 ea0a0 8a03 e2 e2 Pr0 21a03 e20a0 8a0 e1 Pra0 0133 135 Pr0 11 Seja a expressão do potencial efetivo a que o elétron está submetido num átomo de hidrogênio Vef frace24πε0 r fracll1hbar22mr2 A partir da expressão acima consideremos duas possibilidades a para r 0 Numa condição o termo positivo se anula e o potencial fica Vₑ e²r Como V 0 para r 0 o potencial é sempre atrativo b para r 1 há o componente atrativo e o componente repulsivo O valor referido do potencial vai depender do valor relativo da distância elétronnúcleo r quando r 0 elétron muito próximo do núcleo o termo cresce muito mais rápido do que o termo então Vₑ 0 e o potencial passa a ser repulsivo quando r 0 em algum valor de r o potencial alcança equilíbrio entre e e há um ponto de mínimo r₀ e provável de se encontrar o elétron quando r 0 quando o elétron tende a se afastar o imã de núcleo produz o termo e o potencial atrativo o núcleo atrai o elétron para si A polinômia da função lêem a forma geral r² e isto para os orbitais proibidos r₁r Nₙₗ Rₙₗr ernₐ orbital 1s n 1 L 0 R₁₀r N₁₀ ernₐ orbital 2p n 2 L 1 R₂₁r N₂₁ er2nₐ orbital 3d n 3 R₃₂r N₃₂ er3nₐ A tabela 1 do Texto 19 deixa explícito quais são esses polinômios R₀ 0 L₀ 0 r² 1 R₁ 1 L₁ 1 R₂ 1 R₃ 2 R₂₁ Nₙₗ ernₐ R₂₃ raₐ² Ψ₂₁₀ Nₙₗ Lₙₗr cos θ e Ψ₂₁₁ Nₙₗ Lₙₗr sen θ eiφ Aplicando a relação de Euler na segunda expressão obtemos a expressão complexa para um valor real permanecendo então Ψr θ φ Nₙₗ Lₙₗrcos θ Ψ₂₁₁r θ φ Nₙₗ Lₙₗr sen θ eiφ Fazem a análise a partir dos expressões acima Função Ψ₂₄₀ r não depende da coordenada φ Isso quer dizer que que a amplitude é simétrica em relação a rotações em torno do eixo z Além disso para amplitude é máxima quando cos θ 1 e cos φ 1 ou seja para os valores θ 0 e θ 90 o que corresponde aos eixos ao longo do eixo z veja o sistema de coordenadas A função Ψ₂₄₀rθ correspondendo então ao orbital p₃ Função Y21 a função depende das coordenadas θ e φ e sua amplitude máxima quando os valores são os de foram máximos e sua amplitude mola quando são 0 cosθ 0 Temos então para φ 0º φ 90º e φ 270º plano xy Para φ 1 φ 0º e φ 180º direção x A função Y21 corresponde ao orbital py Função Y21 a função obtida da coordenada 8 2 φ e sua amplitude máxima quando os valores de h e θ são máximos e sua amplitude mola quando são 0 b e senφ 0 Então para φ 1 φ 90º e φ 270º plano xy Para φ 1 φ 90º e φ 270º direção y A função Y21 corresponde ao orbital py 1 Para resolver este exercício temos que integrar em todo o espaço a função 4 fr Nera e determinar o valor da constante de normalização N Assim integrado o diferencial de volume deve ser dV r2drdθdφ que é equivalente ao diferencial em coordenadas esféricas portanto dV r2 sinθ dr dθ dφ Portanto 02π dφ π 0 2π 2π 0 r a 0 θ π 0 φ 2π Então 02π N2 e2ra r2 sinθ dr dφ Precisamos do integral de resistência dada no texto do exercício A integral tripla a ser resolvida fica 02π 0a r2 e2ra dr dφ Vamos separar esses integrais em três partes velos e multiplicalos Então obtemos A N2 0 r2 e2ra dr Precisamos da integral de resistência dada no texto x2 ex2 ex2 x2 2x 2 x2 De modo mais geral a função radial para os orbitais atômicos tem a forma dada pela eq 22 do Texto 19 Rₙₗr Nₙₗ Lₙₗr ernₐ na qual Nₙₗ constante de normalização Lₙₗr polinômio em r polinômio associado de Laguerre e ernₐ exponencial decrescente dependente de n Integrando isso obtemos N2 0 r2 e2ra dr e2ra r2 2r 2 2a 0 22a2 0 N2 e2ra 12ra3 No final Y1sr 1π a312 era A densidade de probabilidade é dada por Y1s2 sendo assim Y1s frac1π a332 era Para um diferencial de volume dV r2 dr então a probabilidade vale P Y1s2 dV Pr O integral de probabilidade para Y1s2 P dV Para resolver em exercícios consideramos inicialmente o sistema de coordenadas esférico reproduzido aos lados Vejamos a função de onda individualmente tab 2T19 Função 2s Ψ₂₀₀ 132π1nₐ32 2rnₐer2nₐ A função depende apenas da coordenada r e não das coordenadas angulares θ e φ Isso quer dizer que para qualquer valor de r a função terá a mesma intensidade em qualquer direção ou seja ela é esférica Para encontrar o raio mais provável de se localiza um elétron temos que derivar e igualar a zero a função de distribuição radial Pr de um átomo A forma geral da função para átomos hidrogenoides é Pr Z3 r2 e2Zra₀ a₀³ Derivando uma expressão temos recorrência dPr ddr Z3 r2 e2Zra₀ 0 dPr 4Z3 dr2 e2Zra₀dr 0 Usando a expressão da recorrência dizemos u r² e v e2Zra₀ temos dPr 4Z3 2r e2Zra₀ r2 2Z e2Zra₀a₀ 0 dPr 4Z3 e2Zra₀ 2r 2rZ2a₀ 0 2r 2rZ2 0 2rZ 2r rZ 1 dado a₀ 529 pm A partir disto completamos a tabela abaixo