Exercicios Resolvidos Funcoes e Calculos - Matematica Aplicada

CLEISIELE FERREIRA DA SILVA CAPÍTULO 1 2 A produção de peças em uma linha de produção nos dez primeiros dias de um mês é dada pela tabela a seguir Com base nos dados a Determine a produção média de peças nos dez dias b Determine a variação entre a maior e a menor produção de peças c Determine o maior aumento percentual na produção de um dia para outro d Construa um gráfico de linha da produção e Em que períodos a função é crescente E decrescente 4 A demanda q de uma mercadoria depende do preço unitário p em que ela é comercializada e essa dependência é expressa por j 100 4p a Determine a demanda quando o preço unitário è 5 10 15 20 c 25 b Determine o preço unitário quando a demanda é de 32 unidades c Esboce o gráfico da demanda d A função é crescente ou decrescente Justifique 6 O lucro na venda por unidade de um produto depende do preço p em que ele é comercializado e tal dependência é expressa por p² 10p21 a Obtenha o lucro para o preço variando de 0 a 10 b Esboce o gráfico c A função é limitada superiormente Em caso afirmativo qual um possível valor para o supremo 8 O custo C para a produção de q unidades de um produto é dado por C 3q60O custo unitário Cu para a confecção de um produto é dado por CuCq a Calcule o custo quando se produzem 2 4 e 10 unidades b A partir dos valores de custo encontrados no item a obtenha o custo unitário para as respectivas quantidades produzidas c Obtenha a função composta do custo unitário Cu em função de q d Verifique com a expressão do item c os valores obtidos no item b CAPÍTULO 2 1 Em um posto de combustível o preço da gasolina é de 150 por litro a Determine uma expressão que relacione o valor pago V em função da quantidade de litros 4 abastecidos por um consumidor b Supondo que o tanque de combustível de um carro comporte 50 litros esboce o gráfico da função obtida no item anterior 3 Um operário recebe de salário 60000 mais 1000 por hora extra trabalhada a Determine uma expressão que relacione o salário em função da quantidade de horas extras trabalhadas no mês b Sabendo que 50 é o número máximo permitido de horas extras em um mês esboce o gráfico da função obtida no item anterior 11 O preço p de um produto varia de acordo com sua demanda q A tabela a seguir fornece o preço e a demanda para um produto a Determine a expressão que relaciona preço e demanda b Determine o preço para uma quantidade de 10 c Esboce o gráfico da função do item a 17 Uma locadora de automóveis aluga um carro popular ao preço de 3000 a diária mais 400 por quilômetro rodado Outra locadora aluga o mesmo modelo de carro ao preço de 8000 a diária mais 200 por quilômetro rodado a Escreva as funções que descrevem para cada locadora o valor a ser pago de aluguel em função do quilômetro rodado b Represente graficamente em um mesmo sistema de eixos as funções determinadas no item anterior c Qual das duas locadoras apresenta a melhor opção para uma pessoa alugar um carro popular Justifique sua resposta 19 Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás Na casa A em média é consumido por dia 05 kg de gás Na casa B em média é consumido por dia 03 kg de gás Supondo que na casa A o botijão está cheio e que na casa B já foram gastos 5 kg de gás a Expresse para cada uma das casas a massa m de gás no botijão em função de t dias de consumo Depois de quanto tempo os botijões estarão vazios b Esboce o gráfico em um mesmo sistema de eixos das funções determinadas no item anterior Nessa situação as funções são crescentes ou decrescentes A que tipo de taxa c Depois de quanto tempo as quantidades de gás nos dois botijões serão iguais CAPÍTULO 3 4 Para cada item a seguir esboce o gráfico a partir da concavidade dos pontos em que a parábola cruza os eixos se existirem e vértice a y x 2 4x 5 b y x 2 8x 16 c y 3x 2 6x 9 d y x 2 4x 6 e y 4x 2 12x 16 f y 2x 2 4x 2 7 O valor em reais R de uma ação negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de pregão é dado pela expressão v 05t 2 8t45 Considere t 0 o momento inicial de análise t 1 após 1 dia t 2 após 2 dias etc a Esboce o gráfico indicando os principais pontos e o eixo de simetria b Após quanto tempo o valor da ação é mínimo Qual o valor mínimo c Para quais dias o valor da ação é decrescente E crescente d Determine a variação percentual do valor da ação após 20 dias de pregão 10 O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo com a função p 025t 2 25t60 para um período de um ano em que t 0 representa o momento inicial de análise t 1 após 1 mês t 2 após 2 meses etc a Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos b Em que momento o preço é mínimo Qual o preço mínimo c Qual a variação percentual entre o momento inicial e final do terceiro mês E a variação percentual entre os finais do terceiro e sétimo mês CAPÍTULO 4 2 O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dado por Mx 50000 108 onde x representa o ano após a aplicação e x 0 o momento em que foi realizada a aplicação a Calcule o montante após 1 5 e 10 anos da aplicação inicial b Qual o valor aplicado inicialmente Qual o percentual de aumento do montante em um ano c Esboce o gráfico de Mx d Após quanto tempo o montante será de 8000000 3 Um trator tem seu valor dado pela função Vx 125000 091 onde x representa o ano após a compra do trator e x 0 o ano em que foi comprado o trator a Calcule o valor do trator após 1 5 e 10 anos da compra b Qual o valor do trator na data da compra Qual o percentual de depreciação do valor em um ano c Esboce o gráfico de Vx d Após quanto tempo o valor do trator será 9000000 6 Uma pessoa faz um empréstimo de 35000 que será corrigido a uma taxa de 35 ao mês a juros compostos a Obtenha o montante da dívida M como função dos meses x após a data do empréstimo isto é Mfx b Obtenha o montante da dívida após 1 12 24 e 36 meses do empréstimo c Esboce o gráfico de Mx d Utilizando apenas a base da função determine o aumento percentual em um ano e Após quanto tempo o valor do montante será 5000000 9 Em uma jazida de minério os técnicos com aparelhos fazem estimativas da quantidade de estanho restante que pode ser extraída após a descoberta da jazida Tais quantidades foram computadas e duas des sas estimativas estão na tabela a seguir Sabese ainda que com a extração mineral a quantidade estimada de estanho restante vem diminuindo de forma exponencial a Obtenha a quantidade de estanho restante y como função dos anos x após a descoberta da jazida isto é y fx b Qual a diminuição percentual anual do estanho c Qual era a quantidade de estanho presente na jazida quando ela foi descoberta d Após quanto tempo a jazida terá a metade da quantidade inicial de estanho 11 O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos meses é dado pela tabela a seguir Verifique se o montante pode ser expresso como uma função exponencial em relação aos meses após a aplicação inicial Justifique sua resposta e caso seja possível expressar o montante como uma função exponencial obtenha tal função CAPÍTULO 5 1 O custo variável Cv para a produção de q unidades de um produto é dado por Cv10q3 onde Cv é medido em reais a Construa uma tabela que forneça o custo variável para a produção de 0 1 2 3 4 e 5 unidades do produto e a partir de tal tabela esboce o gráfico de Cv b Qual o tipo de taxa de crescimento de Cv Justifique sua resposta numérica e graficamente c Qual é a quantidade produzida quando o custo variável é de R 512000 d Obtenha a inversa q f1Cv e explique o seu significado 2 Em uma empresa a produção P de alimentos beneficiados é dada por P 025q4 onde p representa o capital investido em equipamentos A produção é dada em toneladas e o capital em milhares de reais a Construa uma tabela que dê a produção de alimentos quando são investidos 0 1 2 3 4 e 5 milhares de reais em equipamentos e a partir de tal tabela esboce o gráfico de P b Qual o tipo de taxa de crescimento de P Justifique sua resposta numérica e graficamente c Qual o capital investido para uma produção de 2500 toneladas d Obtenha a inversa q f1P e explique o seu significado 9 Em uma fábrica o número y de peças produzidas por um operário depende do número x de horas trabalhadas a partir do início do turno x 0 e tal produção é dada por y x315x2 onde x é dada em horas e y em unidades a Esboce o gráfico do número de peças produzidas a partir de uma tabela onde constem o número de peças produzidas no início do turno e o número de peças produzidas nas 10 horas posteriores ao início do turno b Quantas peças foram produzidas na primeira hora E na segunda hora Construa uma tabela onde constem as peças produzidas em cada uma das horas da primeira até a décima hora c Observando o gráfico do item a e a tabela do item anterior comente as formas de crescimento diferentes taxas para a produção de acordo com o tempo trabalhado a partir do início do turno d De acordo com a tabela e o gráfico do item a qual o instante em que a produção é máxima Qual é essa produção máxima e Considere para esse problema a produtividade do operário ou taxa de variação da produção do operário dada pela divisão da variação da quantidade produzida Ay pela variação do tempo Ax ou seja taxa de variação da produção AyAx Analisando a produtividade para intervalos de 1 hora qual o instante em que a produtividade do operário é máxima Graficamente qual é o significado desse instante Sugestão utilize os dados da tabela do item b f Observando o comportamento das diferentes variações da produção bem como o gráfico de y determine os intervalos em que a concavidade é positiva taxas crescentes para o crescimento Determine também onde a concavidade é negativa taxas decrescentes para crescimento Sugestão utilize os dados da tabela do item b 11 O custo C na produção de um produto depende da quantidade q produzida e tal custo é dado por C q 3 15q 2 90q 20 onde o custo é medido em milhares de reais e a quantidade em milhares de unidades a Construa uma tabela que dê o custo quando são produzidas 0 1 2 9 e 10 milhares de unidades e a partir de tal tabela esboce o gráfico de C b A partir da tabela do item anterior construa uma nova tabela para as diferentes variações do custo AC para variações de mil unidades produzidas Aq 1 com q de 0 a 1 1 a 2 2 a 3 9 a 10 c Analisando os dados da tabela do item anterior o que podemos afirmar a respeito da quantidade q 5 Graficamente qual é o significado desse ponto d A partir do gráfico do custo do comportamento das diferentes variações do custo e das conclusões no item anterior determine os intervalos em que a concavidade é positiva taxas crescentes para o crescimento Determine também onde a concavidade é negativa taxas decrescentes para crescimento CAPÍTULO 6 1 Em uma indústria química considerouse a produção de detergente como função do capital investido em equipamentos e estabeleceuse Pq 3q 2 onde a produção P é dada em milhares de litros e o capital investido q é dado em milhares de reais a Determine a taxa de variação média da produção para o intervalo 3 q 5 Qual é o seu significado gráfico b Estime numericamente a taxa de variação instantânea da produção para q 1 Utilize para as estimativas do limite b 01 b 0 01 c b 0001 c Estime a derivada da produção em q 1 ou seja P1 Qual a unidade de medida dessa derivada d Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada no item anterior e Determine a equação da reta tangente à curva para q 1 Faça também a representação gráfica f Encontre algebricamente a derivada de P em q 1 g Encontre algebricamente a função derivada de P em relação a q ou seja Pq 4 O montante M de uma aplicação financeira a juros compostos é escrito como função do tempo x que o capital fica aplicado ou seja M fx O montante é dado em reais R e o tempo é dado em meses a Qual o significado e a unidade de medida da derivada fq b Em termos práticos o que significa dizer que f6 10 c Graficamente o que significa dizer que f6 10 Faça uma representação gráfica d Ao longo do tempo o que você espera que seja maior f6 ou f12 11 A produção de um funcionário quando relacionada ao número de horas trabalhadas leva à função P 2t 2 24t 128 a Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos b Encontre algebricamente a função derivada Pt c Em que momento a produção é máxima Utilizando Pt encontrada no item anterior calcule o valor da derivada para esse ponto Represente graficamente a reta tangente nesse ponto d Utilizando Pt encontrada no item b calcule o valor de P8 e comente seu significado numérico e Comente o sinal de P8 e sua relação com o comportamento da função Pt f Encontre a equação da reta tangente à curva em 1t 8 e representea sobre o gráfico esboçado no item a 13 O preço do trigo varia no decorrer dos meses de acordo com a função p025t2 25t 60 para um período de um ano onde t 0 representa o momento inicial de análise t 1 após 1 mês t 2 após 2 meses etc a Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos b Encontre algebricamente a função derivada pt c Em que momento o preço é mínimo Utilizando pt encontrada no item anterior calcule o valor da derivada para esse ponto Represente graficamente a reta tangente nesse ponto d Utilizando pt encontrada no item b calcule o valor de p7 e comente seu significado numérico e Comente o sinal de p7 e sua relação com o comportamento da função pt f Encontre a equação da reta tangente à curva em t 7 e representea sobre o gráfico esboçado no item a Cap01 2 X 1250 1200 1450 1380 1540 1270 1100 1350 1300 141010 1325010 1325 a b M m 1540 1100 440 c dias 7 e 8 1350 1100 1100 250 1100 2272 de aumento d Crescente 23 45 910 Decrescente 12 34 56 67 89 4 y 100 4p a y5 100 45 100 20 80 y10 100 410 100 40 60 y15 100 415 100 60 40 y20 100 420 100 80 20 y25 100 425 100 100 0 b 32 100 4p 4p 100 32 p 68 4 p 17 c Decrescente pois conforme o valor de p cresce y decresce Cap01 6 l p² 10p 21 a l10 21 l10 10² 1010 21 100 100 21 l0 l0 21 21 21 21 0 b Pelo gráfico vemos que a função é limitada superiormente para l 4 8 C 3q 60 a e2 32 60 66 e4 34 60 72 e10 310 60 90 b Cu2 66 2 33 Cu4 72 4 18 Cu10 90 10 9 c Cu 332 Cu 66 Cu 184 Cu 72 Cu 910 Cu 90 Cap 02 1 a V 15l V4 154 6 b 3 a S 600 10h b 11 a pd 15d 475 b P10 1510 475 325 17 a L1 p 30 4k L2 p 80 2k p preço a pagar k quilometro rodado c Para valores abaixo de 25 quilometros L1 é melhor Caso contrário L2 é melhor 19 a A mt 05t 13 t é o tempo em dias B mt 03t 8 A mt 0 05 t 13 t 26 dias B mt 0 03 t 8 t 27 dias b c 05 t 13 03 t 8 13 8 03 t 05 t 5 02 t t 25 dias As funções são decrescentes Cap 03 4 a y x2 4x 5 b y x2 8x 16 c dx 3x2 6x 9 d y x2 4x 6 e y 4x2 12x 16 d 2x2 4x 2 7 v 05t2 8t 45 a b para t 8 o valor mínimo é 130 c crescente t 8 decrescente t 8 d v0 45 v20 85 85 45 45 088 889 10 p 025t2 25t 60 a b para t b2a 25 2 025 5 meses P5 025 52 25 5 60 5375 c P0 02502 250 60 60 P3 02532 253 60 5475 variação 5475 60 60 00875 875 Cap 04 2 Mx 50000 108x M0 50000 1080 50000 M1 50000 1081 54000 M5 50000 1085 7346640 M10 50000 10810 10794625 b M0 50000 valor inicial 50000 100 p 8 54000 x e d 80000 50000 108x 116 108x ln116ln108x x 610 anos 3 Vx 125000 091x a V1 125000 0911 113750 V5 125000 0915 7800402 V10 125000 09110 4867701 b V0 125000 0910 125000 c d 90000 125000 091x 072 091x ln072 ln091x x ln072ln091 033009 367 Cap 04 6 m 350001035x b m1 35000 10351 36 225 m12 35000 103512 5288740 m24 35000 103524 7991650 m36 35000 103536 120 75931 e 120759 79916 52887 36225 35000 1 12 24 36 d m12 52 88740 J 1788740 aumento 178874035000 100 5110 e 50000 35000 1035x 142 1035x ln142 ln1035x x ln142ln1035 0350034 1029 mess g a yx 10485431e01335x b basta encontar a razão entre o pesso e o início de pasada 1 91750410485431 100 125 c y0 1048 5431 d a metade inicial é de 5242716 5242716 10485431 e01335x aplicando ln tens x 52 anos Cap 05 1 Cv 1093 q 0 1 2 3 4 5 Cv 00 10 80 270 640 1250 1250 640 270 80 10 0 1 2 3 4 5 Os exponencial basta ver o tipo de função e o seu gráfico é crescente Conforme q cresce CV também cresce c 5120 1093 512 93 3512 9 q 8 unidades d Cv 10q3 q 10 Cv3 q10 Cv Cv 3q10 2 p 025q4 a q 0 1 2 3 4 5 p 0 025 4 2025 64 15625 156 25 64 2025 4 025 0 Cap 05 2 b exponencial crescente pois conforme q aumenta p também aumenta c 2500 025q4 104 q4 q 10 d p 025q4 q4 p025 q 4p025 g y x3 15x2 a x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 0 14 52 108 176 250 324 392 448 486 500 485 448 392 324 250 176 108 52 14 b 1h 14 peçs 2h 52 peças c conforme o tempo passa aumenta a produção d Observando o tabelo a produção máxima para x10h é a produção máxima é 500 peças e y 3x2 30x y 3x2 30x 0 3xx 10 0 x 0 ou x 10h Graficamente representa a inclinação de reta ou taxa de variação f para x 0 a variação é crescente Cap 05 11 a Cq3 15q2 90q 20 q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 20 96 148 182 204 220 236 258 292 344 420 C q 50 50 Os feitos no item anterior c C5220 d a consideraçåo é positiva para q 0 e negativa para q 0 Cap 06 1 Pq 3q2 a p 6q p3 6 3 18 p5 6 5 30 Δ 30 18 12 Significa o quanto o gráfico é inclinado b p1 616 p001 6001 006 p0001 0006 c p1 61 6 d significa o quanto rápido ocorre a variação é a reta tangente do gráfico e p1 6 e pq 3q26q Cap 06 4 a M C1it Significa o dinheiro investido em R e do rendimento b Significa que após um tempo de 6 mes rende R 1000 Para t 6 Mt 10 c 10 6 d Esperase que q12 seja maior pois o montan te é uma função exponencial 11 P 2t2 24t 128 a 4 16 b pt 4t 24 c pt 0 4t 24 0 t 6 p6 0 d p8 6 a função é decrescente nesse posto e sinal negativo para 4 t 16 f p8 6 13 P 025t2 25t 60 a 5 4 b pt 05t 25 c para t 5 o preço é mínimo d p7 1 e a função é crescente para t 5 e decrescente para t 5