Exercícios Resolvidos: Técnicas de Derivação e Aplicações Práticas - Cálculo Diferencial

Capítulo 7 Técnicas de derivação Exercício 1 Para cada função a seguir encontre a derivada a y 15 d q 3p 15 g fx x⁴ j y 10x¹ m pt 5t³ 10t² 15t 30 p fx 2ex s x 153458 ln M 2346491 2 Para cada função a seguir encontre a derivada escreva a notação de Leibniz que a represente e a unidade de medida a p 00676t 66104 p é o preço R e t é o tempo meses b q 2p 10 q é a demanda unidades e p é o preço R c P 3q2 90q 525 P é a produção medida kg e q é a quantidade de fertilizante gm² d p q2 8q 9 p é a produção unidades e q é a quantidade de insumo kg e v 07q2 56q 63 é a venda unidades e q é a quantidade de insumo kg f cu 240q 50 cu é o custo unitário R e q é a quantidade unidades g v 2501 500 05t v é a venda milhares de unidades e t é o tempo meses h v t² 6t 12t² 6t 10 v é o valor de uma ação R e t é o tempo dia i cu 200q 10 cu é o custo unitário R e q é a quantidade unidades j M 5000 103n M é o montante R e n é o período mês k y 763797 102x y é a população habitantes e x é o tempo ano Capítulo 8 Em cada exercício a seguir é dada uma função associada a uma situação prática Para cada um deles realize os itens a Esboce o gráfico utilizando o teste da derivada primeira e indicando os pontos de máximo ou mínimo local eou global se existirem os valores de máximo ou mínimo local eou global se existirem interpretando seus significados práticos os pontos extremos dos intervalos onde as funções são definidas b Verifique quais os intervalos de crescimentodecrescimento da função indicando o sinal da derivada primeira nesses intervalos Em cada exercício a seguir é dada uma função cujo domínio é o conjunto dos números reais Para cada um deles esboce o gráfico utilizando o teste da derivada segunda e indicando pontos de máximo e mínimo local eou global e inflexão se existirem bem como os valores da função nesses pontos ponto onde a curva cruza o eixo y intervalos de crescimentodecrescimento e as taxas de crescimentodecrescimento da função bem como o sinal da derivada primeira e segunda nesses intervalos 7 fx x³ 12x² 36x 10 8 fx x³ 15x² 9 fx x² 10x 24 10 fx 2x4 8x3 100 Capítulo 9 1 Na fabricação de um produto o custo em reais para produzir q unidades é dado por Cq 01q³ 3q² 36q 100 a Obtenha a função Custo Marginal 285 b Obtenha o custo marginal aos níveis q 5 q 10 e q 15 explicando seus significados c Calcule o valor real para produzir a 11a unidade e compare o resultado com o obtido no item anterior 3 Em uma fábrica de ventiladores o preço de um tipo de ventilador é dado por p 2q 800 onde 0 q 400 a Obtenha a função Receita b Obtenha a função Receita Marginal c Obtenha a receita marginal aos níveis q 100 q 200 e q 300 interpretando seus significados d Esboce o gráfico da receita marginal e interprete seu crescimento ou decrescimento e intervalos em que a receita marginal é positiva ou negativa relacionando tais resultados e Esboce o gráfico da receita 5 Em uma fábrica de ventiladores a receita na venda de um tipo de ventilador é dada por Rq 2q² 800q onde 0 q 400 conforme o Problema 3 Suponha que o custo para a produção dos ventiladores seja dado por Cq 200q 25000 286 a Obtenha a função Lucro b Obtenha a função Lucro Marginal c Obtenha o lucro marginal aos níveis q 100 e q 200 interpretando os resultados d Obtenha a quantidade que dá o lucro máximo a partir das derivadas do lucro 7 Em uma fábrica de portões eletrônicos o custo ao se produzir q unidades de um tipo de portão é C 5q² 50q 125 a Obtenha as funções Custo Marginal Cmg Custo Médio Cme e Custo Médio Marginal Cmeme b Obtenha o número de portões produzidos que dá o custo médio mínimo Obtenha também o custo médio mínimo c Esboce o gráfico do custo médio d Esboce sobrepostos os gráficos do custo médio e do custo marginal 9 A demanda para um certo produto é dada por q 300 10p onde o preço varia no intervalo 0 p 30 a Obtenha a função que dá a elasticidadepreço da demanda para cada preço b Obtenha a elasticidade para os preços p 10 p 15 e p 20 e interprete as respostas