Notas de Aulas Estrutura da Matéria

CAPÍTULO 15\nM O D E L O S N U C L E A R E S\n\n15.1 - Introdução\n\nLogo após o anúncio de Roentgen da descoberta das raias X em tubos de raios catódicos, o físico francês Antoine Henri Becquerel também se interessou-se pelo assunto.\n\nEm 1896, Becquerel envolveu uma amostra de sulfato duplo de potássio e urânio, produzida pelo seu pai, também físico, Edmond Becquerel, em uma placa fotográfica, e constatou que esta ia fortemente sensibilizada mesmo quando fotografada à exposição a luzes luminosas. Com essa experiência, Becquerel demonstrou que o fenômeno possuía a mesma propriedade das raias X de Roentgen de impressionar chapas fotográficas envolvidas por materiais opacos à luz.\n\nEm 1898, Marie Curie deu ao fenômeno observado por Henri Becquerel com sal de urânio, o nome de Radioatividade. Numa ocasião, o casal Pierre e Marie Curie realizava uma série de experimentos envolvendo outras substâncias que apresentaram o mesmo fenômeno que o hal do minério tais como, tóxico, polônio, actínio e rádio, sendo essa última a inspiração para o nome radioatividade.\n\nLogo no início do século XX, Rutherford classificou como α, β e γ os raios emitidos pelos mísseis radioativos, de acordo com a capacidade de penetrarem na matéria e comparados ao ar. Deu-se a Rutherford a descoberta de que os partículas α são núcleos de átomos de hélio.\n\nLogo em seguida, descreve-se que os raios β são elétrons ou positrões, criados nos núcleos dos átomos e os raios γ são formas de radiação eletromagnética de comprimentos de onda muito pequenos.\n\nExperiências de espalhamento de partículas a partir de átomos, realizadas em 1911 por Geiger e Marsden, mostraram que os raios nucleares variavam de 1 a 10 femtômetros (1 fm = 10^-15 m).\n\nEm 1928, Gamow, Gurney e Condon, mostraram que a radioatividade α é um fenômeno quantico de penetração de barreira. Em 1932, o nêutron é descoberto por Chadwick e o pósitron por Anderson, e a primeira reação nuclear em aceleradores de partículas é observada por Cockcroft e Walton.\n\n15.2 - Composição dos Núcleos\nExperimentos com espectros de raios X, realizados em 1913 por H. Moseley, revelaram que a carga nuclear é o produto da carga de um próton como número atômico Z que, por sua vez, é igual a aproximação a determinado método do mínimo de massa A, certo no caso do hidrogênio onde Z = A, mas que este é formado por apenas um próton e um elétron.\n\nEm 1920, Rutherford propôs a existência de partículas neutras no núcleo, que ele chamou de nêutrons.\n\nEm 1932, após confirmar experimentalmente a existência dos nêutrons, J. Chadwick propôs que um núcleo atômico de número de massa A continha N nêutrons e Z prótons, tal que N + Z = A (15.1) A ideia de que o nêutron pudesse ser uma combinação de um próton e um elétron foi logo descartada, pois espectros moleculares de algumas substâncias revelavam inconsistência entre o spin total de tais partículas e o spin nuclear. Por exemplo, o espectro molecular do nitrogênio provava que o núcleo do átomos de nitrogênio deveria ter spin inteiro (bóson), igualando que o número de massa A=14 e Z=7, respectivamente.\n\nSe o núcleo do nitrogênio é formado por 7 prótons e 7 elétrons (7 prótons + 7 partículas neutras), teria-se um número ímpar (21) de férmions e a natureza bosônica do núcleo seria inviabilizada.\n\nPara que o núcleo do átomo de nitrogênio tenha spin, é necessário que, assim como os prótons, os nêutrons também sejam partículas de spin ½.\n\nValores elevados da energia cinética dos elétrons combinados, como princípio da incerteza e também outra indicação importante que impede que essas partículas possam ser encontradas em espaços tão pequenas como as regiões nucleares. A ideia de que os núcleons não sejam formados por uma combinação de prótons e elétrons, não impede que os processos nucleares de aniquilação de núcleons possam criar elétrons. Como se verá posteriormente, é possível e responsável pela emissão de pós por núcleos de átomos radioativos.\n\nCom base na discussão acima, conclui-se que os núcleos atômicos não são constituídos por duas partículas fundamentais, os prótons e os núcleons. A primitiva, a primeira partículas positivamente, e a segunda neutra, e ambas partículas de spin 1/2. As massas dessas partículas foram praticamente dadas por\n\nMp = 938,27231 MeV/c² e Mn = 939,566563 MeV/c² (15.2)\n\nDe fato, a maioria das características de prótons e núcleons são parcialmente idênticas que, por causa disso, são generalizadas e denominadas de núcleons.\n\nCada núcleon tem um momento magnético associado com seu spin dado, em termos do magneton nuclear μN = me/MN μB, para\n\nμp = 2,792847386 μN; μn = -1,913042725 μN (15.3) Como na eq. (9.107) do capítulo g, o momento magnético nuclear μI, é dado por\n\nμI = gI μN I / ℏ (15.4)\n\nAqui usa-se o vetor g para representar o spin nuclear.\n\nOs fatores g nuclear para o próton gI, como já mencionado na eq. (9.105), e para o núcleon gN são, respectivamente:\n\ngp = 2,792847386; gn = -1,913042725 (15.5)\n\nEntretanto, segundo a teoria quântica de Dirac, para qualquer partícula carregada de spin 1/2, tal como próton ou elétron, g = 1, e para qualquer partícula neutra, gN também de spin 1/2, gN = 0.\n\nA discrepância entre o resultado experimental e a teoria de Dirac para os valores de gI e gN, ocorre por causa de uma a configuração entre prótons e núcleons no interior do núcleo, criando uma estrutura complexa não prevista na equalidade de Dirac. 15.3 - Estabilidade dos Núcleos e Modelo dos gases de Fermi.\n\nA força que mantém juntos os núcleons tem uma natureza sem dimensões da física eletrostática responsável pela estrutura dos átomos.\n\nSabe-se que as forças nucleares entre próton-próton, próton-núcleo e núcleo-núcleo são essencialmente idênticas. Algumas evidências de tal propriedade têm sido observadas em experiências de espalhamento entre próton-próton e núcleo-núcleo.\n\nO pequeno tamanho dos núcleos é uma indicação qualitativa de que a força nuclear entre núcleons está ligada a uma interação de curto alcance.\n\nA Fig.15.1 faz, qualitativamente, uma comparação de uma interação Coulombiana entre a figura V coul com uma interação nuclear V nuclear que para os prótons no interior de um núcleo atômico.\n\nO gráfico para V nuc. descreve um modelo possível de energia potencial nuclear para um par de prótons num estado com spin total nulo. Fig.15.1 - Energia potencial, de Coulomb V coul e nuclear V nucl, para um sistema de dois núcleos.\n\nA escala natural de comprimento em física nuclear é o femtómetro (fm), onde 1 fm = 10^-15 m,\nlido frequentemente como 1 fermi. O raio nuclear pode variar de 1 a 10 fm, enquanto o raio atômico pode chegar a 100.000 fm = 0.1 nm.\n\nOs diferentes tipos de núcleos são denominados de núclideos. Em 1913 F. Soddy, um dos colegas de Rutherford, propôs o conceito de isótopos, para as variedades de núcleos com mesmo número atômico Z e diferentes números de massa A. Esses átomos ocupariam o mesmo lugar na tabela periódica, seriam quimicamente idênticos mas fisicamente distintos. Soddy propôs o conceito de isótopos 20 anos antes da descoberta do nêutron, numa tentativa de explicar porque um mesmo elemento apresentava diferentes comportamentos radioativos.\n\nOs números A e Z são utilizados para identificar os núclideos e relacionam-se com o número N de nêutrons N de acordo com a Eq. (15.1). A designação de uma espécie nuclear particular é simbolizada pela seguinte notação:\n\n A \n Z X\n onde X é o símbolo químico para o átomo de número atômico Z.\n\nUma outra categoria importante de núclideos são aqueles que possuem o mesmo número de massa A, e são conhecidos como isóbaros.\n\nDos mais de 3000 núclideos conhecidos, existem somente 266 cujos estados fundamentais são estáveis. Todos os outros são instáveis e podem decair para outros tipos de núclideos. A Fig.15.2(a) mostra um gráfico do número de nêutrons N em função do número de prótons Z para núclideos estáveis e instáveis com tempos de vida superiores a milissegundos.\n\nFig.15.2-(a) Comportamento do número de nêutrons N em função do número de prótons Z para os núclideos contidos. (b) Distribuição de 7 nêutrons e 4 nêutrons e 3 prótons, num poço de potencial infinito. Os pontos no gráfico indicam os 266 núcleos estáveis e a região entre as linhas irregulares representa os núcleos instáveis.\n\nA linha que passa pelo meio dos núcleos estáveis é denominada de linha de estabilidade.\n\nA forma geral da linha de estabilidade pode ser Compreendida em termos do princípio de Pauli e da repulsão eletrostática entre prótons. Seja por exemplo, um modelo simples de poço de potencial infinito para dois núcleos com diferentes números de prótons e nêutrons, como mostrados nos diagramas da Fig.15.2(b). Deve-se notar que a energia deve ser mínima quando são iguais o número de prótons e nêutrons, e máxima se todas as partículas forem do mesmo tipo. Existe, portanto, uma tendência devido ao princípio de Pauli, para que N=Z. Essa tendência muda um pouco quando se inclui a repulsão eletrostática entre prótons, que deve ser proporcional ao número atômico Z. Quanto maior o valor de Z um número maior de nêutrons N deve ser requerido para se alcançar a condição de menor energia. Assim, à medida que se aumenta o número atômico Z a condição de estabilidade deve ocorrer para N/Z. O modelo de poço de potencial infinito para núcleos, mostrado na Fig.15.2(b), é conhecido como modelo do gás de Fermi, onde os núcleos são tratados como um gás de Fermi constituído como uma mistura de prótons e nêutrons.\n\nNeste modelo, os prótons e nêutrons movem-se livremente numa distribuição esférica, definida como o volume nuclear, comportando-se como um gás degenerado de Fermi, no qual os núcleons ocupam seus estados mais baixos de energia sem violar o princípio de Pauli. Prótons e nêutrons são partículas distinguíveis uma da outra, e assim o princípio de Pauli e a estatística de Fermi-Dirac podem ser aplicados aos núcleons separadamente.\n\nA Fig. 15.3 mostra poços de potenciais constantes para reprimir o movimento livre de cada uma das partículas nucleares distintas. O objetivo de repulsão coulombiana entre prótons e prótons é dado por pontos V(p) > 0, no gráfico V(p) em função de r.\n\nEm cada caso, assume-se um grande número de níveis de energia, com ajustes totais para todos aqueles que estão abaixo do nível de Fermi (E_fn para nêutrons e E_fp para prótons). Fig. 15.3 - Interação nuclear entre, (a) nêutrons e, (b) prótons de acordo com o modelo dos gás de Fermi:\n\n15.4 - Espalhamento de Elétrons e Raio Nuclear.\n\nTodas as métodos utilizados para medir raios nucleares, mostram que suas proporções e nujiblicam do número de massa A. O raio nuclear pode ser encontrado, principalmente, por meio de experimentos de espalhamento de elétrons, analogamente aquele executado por Rutherford com partículas α.\n\nPara esse método, adota-se um modelo esférico para os núcleos e representa-se a densidade de carga nuclear ρ(r) por uma distribuição de Fermi-Dirac, dada por\n\nρ(r) = ρ0 / (1 + e^(r - R)/α) (15.7) onde, as parâmetros R e α controlam a variável radial r. O coeficiente ρ_0 é proporcional a densidade de carga centrada em r=0\n\rho(0) = \\frac{\\rho_0}{1 + e^{-Rk}} \n\n(15.8)\ntal que ρ_0 = ρ(0) para R >> α. Pode-se compreender o significado desse modelo observando-se o gráfico da Fig.15.4.\n\nFig.15.4 - Parametrização da densidade de carga Nuclear.\nO gráfico mostra que a densidade de carga nuclear \\rho(r) cai de ρ_0 quando r=R, e cai de 0,9 ρ_0 a 0,1 ρ_0 sobre uma pequena distância t definida como a espessura da superfície nuclear. Particularmente, o gráfico mostra que P(r)/ρ_0 = 0,1 para r=R+R/2 que, substituindo na eq. (15.7), fornece\n\n0,1 = \\frac{1}{1 + e^{t/2α}} \\Rightarrow 1 + e^{t/2α} = 10\n\n\\Rightarrow e^{t/2α} = 3^2 \\Rightarrow \\frac{t}{2α} = 2\\ln3\n\nou \nt = 4α\\ln3 \n\n(15.9)\nisto é, a espessura t da superfície nuclear está relacionada diretamente ao parâmetro α da eq. (15.7).\n\nMedidas refinadas da estrutura nuclear foram realizadas após o desenvolvimento dos aceleradores de partículas. A primeira série dessas medidas foram executadas por Robert Hofstadter e colaboradores a partir de 1953, utilizando o acelerador linear de Stanford (SLAC - Stanford Linear Accelerator).\n\nO experimento é mostrado na Fig.15.5, e utiliza feixes de elétrons com energias entre 200 e 500 MeV. 15.5 - Diagrama do experimento de espalhamento de elétrons com acelerador de Stanford.\n\nO equipamento inclui um acelerador de elétrons, defletores magnéticos, um alvo espalhador, e um espectrômetro para detectar elétrons espalhados elasticamente em direções angulares θ. A distribuição angular dos elétrons espalhados determina o padrão de difração gerado pelos núcleos espalhadores.\n\nAnalogamente ao estudo de espalhamento de partículas α por Rutherford, a distribui-cão de intensidades de elétrons de alta energia, é apresentado frequentemente. em termos de uma regex de choque difer-encial de espalhamento dσ/dΩ.\nA Fig. 15.6 mostra um exemplo de espalhamento de elétrons de energia ΔE = 420 MeV, por um alvo de 6C. A energia do elétron é tal que o comprimento de onda correspondente seja menor que o raio nuclear da amostra.\nFig. 15.6 - Figura de difração de elétrons em núcleos espalhadores de 6C, para elétrons incidentes de energia ΔE = 420 MeV.\nConsiderando o feixe de elétrons incidente como uma onda plana de comprimento de onda λ, o processo de espalhamento será equivalente a difratado da luz por uma abertura circular de diâmetro D. Assim, o primeiro mínimo da figura de difração ocorre, quando\nsenθ = 1,22 λ/D = 0,61 λ/R (15.10)\nonde R = D/2 é o raio nuclear. Para uma dada energia dos elétrons incidentes, as figuras de difração observadas para núcleos de números de massa A mais elevados, apresentam mínimos adicionais lado a lado muito próximos entre si. Este fato é inconstante com a eq. (15.7), mas tria que o raio da distribuição de carga nuclear aumenta com a aumentada de A.\nResultados quantitativos são apresentados na Fig. 15.7, onde as curvas fornecem as densidades de carga ρ(r) obtidas para alguns núcleos, dentre eles 6C.\nFig. 15.7 - Densidade de carga nuclear para alguns núcleos, obtidas a partir de experimentos de espalhamento de elétrons de alta energia.\nNormalizando cada uma dessas curvas tal que se tenha um máximo ρ(0)/ρ = 1, e comparando-os com o modelo teórico dado na Fig. 15.4, pode-se concluí, que\nR = R0 A^(4/3) (15.11)\ncom R0 = 4,07 fm, e\nt = 2,4 fm (15.12)\nOutras métodos confirmam a dependência do raio nuclear com o número de massa A como da eq. (15.11). Em geral, tais métodos produzem valores de R0 que Variam entre 1,18 e 1,40 fm.\nExemplo 15.1 - FACULTATIVO.\nUtilize o modelo do gás de Fermi para calcular a energia total E = EK + EN de todas partículas.\nDa eq. (15.11) os núcleos têm um volume esférico determinado pelo número de massa A:\nV = 4/3 π R³ = 4/3 π R0³ A\nDe acordo com a eq. (11.72), as energias de Fermi são:\nεF = 1/(2M) (3π² h̵³/ V)^(2/3) = (h̵²/(2M) (3π²/(4/3 π R0²)) A)^(2/3) (15.13) para prótons e, similarmente\nE_{F} = \\frac{\\hbar^{2}}{2MR^{2}} \\left( \\frac{\\gamma}{4} \\frac{N}{A} \\right)^{\\frac{2}{3}} \n(15.14)\n\npara nêutrons. Nossas equações, Z e N são os números de prótons e nêutrons, respectivamente,\nt e M' a massa comum de ambas as partículas.\n\nLembrando-se da eq. (11.74), E = 3/5 NE_{F}, que dá a energia total das partículas em\ntermos do número de partículas N e da energia de Fermi E_{F}, tem-se\n\nE_{Z} = \\frac{3}{5} Z E_{F} = \\frac{3}{10} \\frac{Z}{A} \\left( \\frac{\\gamma}{4} \\right)^{\\frac{2}{3}} \\frac{N}{A} \\frac{\\hbar^{2}}{MR^{2}} \\left( \\frac{A}{Z} \\right)^{\\frac{5}{3}} \n(15.15)\n\npara prótons e, similarmente\nE_{N} = \\frac{3}{10} \\left( \\frac{\\gamma}{4} \\right)^{\\frac{2}{3}} \\frac{\\hbar^{2}}{MR^{2}} \\left( \\frac{N}{A} \\right)^{\\frac{5}{3}} \n(15.16)\n\npara nêutrons.\n\nPode-se perceber uma certa simetria em energia\ndos núcleos por causa de um certo desvio em\ntorno da igualdade Z = N/2. É conveniente,\nintroduzir, portanto, uma mudança de variá- vel, tal que N = \\frac{A}{Z} + \\xi e \\bar{Z} = \\frac{A}{Z} - \\xi \n(15.17)\n\nou, \\frac{N}{A} = \\frac{1}{2} \\left( 1 + \\frac{2 \\xi}{A} \\right) e \\bar{Z} = \\frac{1}{2} \\left( 1 - \\frac{2 \\xi}{A} \\right)\n\nDessas igualdades obtém-se a seguinte expressão binominal:\n\n\\left( \\frac{\\bar{Z}}{A} \\right)^{\\frac{5}{3}} + \\left( \\frac{N}{A} \\right)^{\\frac{5}{3}} = \\left( \\frac{1}{2} \\right)^{\\frac{5}{3}} \\left[ \\left( 1 - 2 \\frac{\\xi}{A} \\right)^{\\frac{5}{3}} + \\left( 1 + 2 \\frac{\\xi}{A} \\right)^{\\frac{5}{3}} \\right]\n\n= \\left( \\frac{1}{2} \\right)^{\\frac{5}{3}} \\left[ -\\frac{5}{3} 2 \\frac{\\xi}{A} + \\dots + \\frac{5}{9} \\left( 2 \\frac{\\xi}{A} \\right)^{2} + \\dots + \\frac{5}{9} \\left( 2 \\frac{\\xi}{A} \\right)^{2} + \\dots \\right]\n\n= \\left( \\frac{1}{2} \\right)^{\\frac{2}{3}} \\left( 1 + \\frac{20}{9} \\frac{\\xi^{2}}{A^{2}} \\right) \n(15.18)\n\nSubstituindo-se esta expanão na soma das\neqs. (15.15) e (15.16) obtém-se para energia total do sistema de núcleons a seguinte expressão:\n\nE = E_{Z} + E_{N} = \\frac{3}{40} \\left( 97 \\right)^{\\frac{2}{3}} \\frac{\\hbar^{2}}{MR^{2}} \\left( A + \\frac{20}{9} \\frac{\\xi^{2}}{A} \\right) \n(15.19)\n\npara a segunda ordem em \\xi. Essa equação deve contribuir para a energia de povo- so do nuclídeo Ax. 15.5 - Massa Nuclear e Energia de Ligação\nO experimento de Thomson para medidas de \\em motava-se capaz de detectar tam- bém diferenças em massa de íons positivas de um determinado elemento. Experiências como essa forneceram as primeiras evidências da resistência de dois isótopos de átomos de Nêon de números de massa A=20 e A=22.\nA notável da massa atômica tem sido in- toderada para representar a massa média sobre todas as abundâncias de isótopos esta- vis dos elementos.\n\nEm 1919, F.W. Aston desenvolveu a primeira vi- sualização do experimento de Thomson.\nO instrumento, mostrado na Fig. 15.8 para casos de amostras gasosas, separa isótopos de acordo com suas massas, forne- ce uma medida precisa das massas dos íons observados e, por sua vez, ficou conhecido como espectrômetro de massa.\n\nFig. 15.8 - Moletron típica de um espectrômetro de massa. Na montagem da Fig.15.8, os átomos de uma amostra gasosa a baixa pressão são bombardeados com elétrons para formar íons positivos. Campos elétricos e magnéticos guiam as cargas para um detector de íons que são coletados separadamente de acordo com suas massas.\n\nA voltagem V acelera os íons a uma velocidade v que são então detectidos em uma trajetória circular de raio R por um campo magnético B. Íons neutros de massa M carga e e, adquire uma energia cinética.\n\n\\[ \\frac{1}{2} Mv^2 = eV \\] (15.20)\n\ne uma força centrípeta\n\n\\[ M \\frac{v^2}{R} = Bev \\]\nou\n\n\\[ v = BR \\frac{e}{M} \\]\n\ngu, substituída na eq. (15.20), resulta\n\n\\[ \\frac{M}{e} = \\frac{(BR)^2}{2V} \\] (15.21) O espectrômetro de massa opera com valores fixos de B e R e emprega uma voltagem variável para que se possa coletar íons com diferentes razões M/e. Essa técnica produz espectros de massa como o mostrado na Fig.15.9 para o caso de átomos de Xenônio.\n\nXe\n\nFig.15.9 - Espectro de massa do Xenônio mostrando abundâncias relativas de isótopos estáveis.\n\nAs massas das partículas microscópicas podem ser medidas com mais precisão comparando-se a massa desconhecida com as massas de certas partículas padrão. Sabe-se que a energia de ligação E_b mantém juntas um agregado de partículas por interações atrativas. Tal energia pode ser definida em termos de energias relativísticas de repouso, como\n\n\\[ E_b = \\sum_i M_i c^2 - Mc^2 \\] (15.22)\n\nonde Mc^2 é a energia de repouso do agregado de partículas em relação ao centro de massa e, M_i c^2 são as energias de repouso de cada partícula do agregado individualmente.\n\nPara o caso de um átomo neutro de Z elétrons, a eq. (15.22) reduz-se a\n\n\\[ E_b (átomo) = [M(núcleo) + Z m_e - M(átomo)] c^2 \\] (15.23)\n\nTais energias de ligação atômica assumem valores de 13,6 eV, 13,6 eV e 79,0 eV para o hidrogênio, deutério e hélio, respectivamente. Deve-se lembrar que o deutério (2) é o hidrogênio cujo núcleo tem um próton e um nêutron.\n\nPara o caso de um núcleo de Z prótons e N nêutrons, a eq. (15.22) reduz-se a\n\n\\[ E_b (núcleo) = [Z M_p + N M_n - M(núcleo)] c^2 \\] (15.24) Somando-se as eq. (15.23) e (15.24), obtém-se\nE_b(m núcleo) + E_b(atomo) = [Z M_p + N_m + Z_n - M(atomo)] c^2\nComo as energias de ligação dos átomos para da ordem de keV e as energias de ligação dos núcleos estão da ordem de MeV, quase sempre se despreza a primeira nos estudos de física nuclear tal que, a equação anterior, torna-se\nE_b(m núcleo) = [Z (M_p + m_e) + N_m - M(atomo)] c^2 (15.25)\nO termo M_p + m_e corresponde a massa do átomo de hidrogênio ^1H, de modo que a eq. (15.25) fornece a energia de ligação de um núcleo A X, como\nE_b(A X) = [Z M(^1H) + N_m - M(A X)] c^2 (15.26)\nonde M(A X) e M(^1H) referem-se as massas atômicas de átomos neutros que, após (analisados), podem ser determinadas diretamente por espectrometria de massa.\nPara os casos de um próton ^1H e um íon deuterí ^2H (partícula formada por um próton e um nêutron), a eq. (15.26) fornece\nE_b(^2H) = [1_x M(^2H) + 1_x N_m - M(^2H)] c^2 ou,\nM_n = 1/c^2 E_b(^2H) + M(^2H) - M(^1H) (15.27)\nExperiências com reações nucleares de colisões entre íons de deutério (^2H), permitem estudar a energia de ligação entre o próton e o nêutron nesse íon. Experiências como essa, aliada a eq. (15.27), mostram que a massa atômica do nêutron, é\nM_n = 1,008665 uma (15.28)\nAdotando-se o valor de M_n, dado na eq. (15.28), e resultados de experiências de espectrometria de massa, é possível calcular a energia de ligação por qualquer núcleo A da tabela periódica. A Fig. 15.10 mostra um gráfico da energia de ligação por núcleo E_b/A para vários núcleos como função do número de núcleos A. E interessante observar que a energia de ligação por núcleo tem uma certa estabilidade em torno de 8 MeV por núcleo para todas os núcleos com A > 16. Esse comportamento indica um fenômeno de natureza de curto alcance das forças nucleares.\nExemplo 15.2 :\nA unidade de massa atômica (uma) é definida em termos do carbono ^12C, como\n1 uma = 1/M(^12C) (15.29)\n(a) Converta 1 uma para o sistema internacional de medidas (MKS) e calcule a energia de repouso correspondente.\n(b) Sabendo-se que uma amostra de carbono apresenta dois isotopos estáveis ^12C e ^13C, com massas atômicas e abundâncias isotópicas, dadas na Tabela abaixo:\n\n\t\t\t^12C\t\t^13C\nMASSA ATÔMICA (uma)\tEXATAMENTE 12\t13,00335482\nABUNDÂNCIA ISOTÓPICA (%)\t98,90\t1,10\n\nCalcule o peso atômico (média das massas atômicas) desse elemento. (c) Sabendo-se que M(4)= 1,007825 uma, calcule a energia de ligação por núcleon para o 12C.\n\n(a) 1 uma = 1/12 M(12C) = 1/12 (12 g/mol) / (6,0221 x 10^23 /mol) = 1,6606 x 10^-27 kg\n\nou,\n\n1 uma = 4,6606 x 10^-27 kg (15.30)\n\nA energia de repouso, e'\n\n1 uma c^2 = 4,6606 x 10^-27 kg x (2,9979 x 10^8 m/s)^2 = 1,492 x 10^-10 J\n\nou,\n\n1 uma c^2 = 931,50 MeV (15.31)\n\n(b) Peso Atômico P(C) = (0,980 x 12,011 x 13,0033492\n\n ou,\n\nP(C) = 12,011 uma (15.32)\n\n(c) Para o 12C, Z=N=6, tal que a eq.(15.26), fornece\n\nE_b(12C) = [6(4,007825) + 6(4,006865) -12]c^2 = 0,098946c^2\n\nComo, 1 uma c^2 = 931,50 MeV, então\n\nE_b(12C) = 0,098946 x 931,50 MeV = 92,16 MeV\n\nA energia de ligação por núcleon e, então\n\nE_b(12C) = 92,16 MeV / 12 = 7,680 MeV 15.6 - Modelo Nuclear da Gota Líquida e Equação de Weisssäcker - FACULTATIVO.\n\nNo início da década do ano de 1930, notou-se que a densidade de matéria nuclear e a Energia de ligação por núcleon eram praticamente as mesmas para a maioria dos núcleons estáveis. Essa característica levou os pesquisadores a comparar o núcleo com uma gota líquida, que também apresenta uma densidade constante, no caso, de moléculas.\n\nPara se remover moléculas de uma gota líquida, seria necessária uma energia de vaporização que é proporcionada ao número de moléculas da mesma forma que a energia de ligação E_b é proporcional ao número de núcleons.\n\nUtilizando o modelo nuclear da gota líquida, em 1935, C.F. von Weisssäcker propôs uma igualdade semi-empírica que permite calcular a energia de ligação nuclear E_b(AX) e, consequentemente, a massa nuclear a partir da eq.(15.26). Tal equação, conhecida como equação de Weisssäcker, é dada por\n\nE_b(AX) = a_1 A - a_2 A^2/3 - a_3 Z^2/A + a_4 (A/2-Z) + E_s (15.33) O primeiro termo tem sua origem no fato que a energia de ligação por núcleon é aproximadamente constante E_b/A = a_1, como revela do no gráfico da Fig.15.10. A energia\n\nE_b1 = a_1 A\n\ne é denominada de energia de volume, pois a dependência linear com A está relacionada ao volume de uma esfera cujo raio varia com A^{1/3}, como na eq.(15.11), em que R_0A^{1/3}.\n\nO segundo termo é uma correção do primeiro. Núcleons que estão na superfície do núcleo têm menos interação com vizinhos do que os núcleons internos. Como a área de superfície é proporcional a A^{2/3}, este é uma energia e proporcional a A^{2/3} isto é \n\nE_b2 = -a_2 A^{2/3}\n\nTal energia, conhecida como correção de superfície, é analoga a tensão superficial observada nas superfícies dos líquidos. O sinal negativo é necessário por que um menor número de interações implica numa energia de ligação menor. Este termo é responsável pela queda brusca da energia de ligação por núcleon para pequenos valores de A, como observado na Fig.15.10. O terceiro termo está associado à repulsão entre prótons. Pode-se recorrer à teoria eletromagnética para calcular a energia potencial média U armazenada numa esfera uniforme de carga Q = Ze e raio R.\n\nA partir da lei de Gauss mostra-se que os campos elétricos E̅, dentro e fora, dessa esfera são, respectivamente:\n\nE̅ = 1 / (4πε₀) (Q / R³) r̂ para r < R\n\nE̅ = 1 / (4πε₀) (Q / r²) r̂ para r > R\n\nComo a densidade de energia armazenada num campo elétrico E é dada por μ = du/dv = 1/2 ε₀E², então\n\nU = 1 / λ ∫ E² dV = 1 / 2 [ (1 / (4πε₀) (Q / R³))² ∫ (r² dr dΩ) + (1 / (4πε₀)) ∫ (1 / r²) dΩ ]\n\nonde, dΩ = sinθ dθ dφ, é o elemento de ângulo sólido. Executando-se os cálculos, obtém-se\n\nU = 3 / 5 (1 / (4πε₀)) (Ze)² / R = 3 / 5 (1 / (4πε₀)) (Ze)² / R₀A^(1/3) para núcleos atômicos. logo, deve-se concluir que E₃₃ = -α₃ (Z / A^{1/3})²\n\nO sinal negativo é necessário porque a repulsão entre prótons deve diminuir a energia de ligações nucleares.\n\nO quarto termo,\nE₄ᵢ = -α₄ ( (A₂ - Z)Z² / A ) = -α₄ [ (1/2)(N + Z) - Z ]Z² / A = -α₄ (N - Z)² / 4A\n\né um termo empírico de origem quântica que está associado com as propriedades femininas dos núcleos, e inclui fato que a energia do núcleo aumenta quando N ≠ Z como ilustrado na Fig.15.2. Esse termo, conhecido como termo de pinetria, anula-se quando do N = Z e independe do sinal de N - Z.\n\nO quinto termo, dado por\nEₛ = E₅ =\n{\n + α₅ / A^{3/4} para Z = N pares\n - α₅ / A^{3/4} para Z = N ímpares\n 0 para Z = N de paridades diferentes\n}