Controle de Posicionamento de Antena em Azimute - Sistemas de Controle do Mundo Real

Motivar Estudantes com Sistemas de Controle do Mundo Real Norman S Nise Engenharia de Sistemas de Controle 3ª edição Sistema de Controle de Posicionamento de uma Antena em Azimute Arranjo Físico dos Componentes Potenciómetro θit Entrada do ângulo de azimute desejado Amplificador diferencial e amplificador de potência Motor θ0t Saída do ângulo de azimute Potenciómetro Antena Esquema Entrada do ângulo de azimute desejado θit V potenciômetro de n voltas V Amplificador diferencial Amplificador de potência Motor vit ypt eat Ra Ja kgm2 Da Nm srad Kb Vsrad Kt NmA θmt N1 Engrenagens N2 Engrenagens potenciômetro de n voltas V V N3 Engrenagens Armadura JL kgm2 DL Nm srad Saída do ângulo de azimute θ0t Diagrama de Blocos Ângulo de azimute desejado Potenciómetro θis Vts Ves Préamplificador K Amplificador de potência kp sa Eas Motor e carga Km ss am θms Transmissão engrenagens Ângulo de azimute θ0s Kpot Kpot Parâmetros do Esquema Parâmetro Configuração 1 Configuração 2 Configuração 3 V 10 10 10 n 10 1 1 K K1 100 150 100 a 100 150 100 Ra 8 5 5 Ja 002 005 005 Da 001 001 001 Kb 05 1 1 Kt 05 1 1 N1 25 50 50 N2 250 250 250 N3 250 250 250 JL 1 5 5 DL 1 3 3 Parâmetros do Diagrama de Blocos Parâmetro Configuração 1 Configuração 2 Configuração 3 Kpot 0318 K K1 100 a 100 Km 2083 am 171 Kg 01 ENGENHARIA DE SISTEMAS DE CONTROLE ABPDEA Associação Brasileira para a Proteção dos Direitos Editoriais e Autorais RESPEITE O AUTOR NÃO FAÇA CÓPIA ENGENHARIA DE SISTEMAS DE CONTROLE 3ª Edição Norman S Nise California State Polytechnic University Pomona Tradução Bernardo Severo da Silva Filho Engenheiro Eletricista pelo Instituto Militar de Engenharia MSc pela École Nationale Supérieure de lAéronautique França Professor e Coordenador dos Cursos de Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade do Estado do Rio de Janeiro Coordenador do Curso de PósGraduação lato sensu em Engenharia Mecatrônica da Universidade do Estado do Rio de Janeiro LTC EDITORA No interesse de difusão da cultura e do conhecimento o autor e os editores envidaram o máximo esforço para localizar os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado dispondose a possíveis acertos posteriores caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Control Systems Engineering Third Edition Copyright 2000 John Wiley Sons Inc All Rights Reserved Authorized translation from the English language edition published by John Wiley Sons Inc Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 2002 by LTC Livros Técnicos e Científicos Editora SA Travessa do Ouvidor 11 Rio de Janeiro RJ CEP 20040040 Tel 2122219621 Fax 2122213202 Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na Web ou outros sem permissão expressa da Editora À minha esposa Ellen aos meus filhos Benjamin e Alan e à minha filha Sharon Prefácio Este livro apresenta aos estudantes a teoria e a prática da engenharia de sistemas de controle O texto enfatiza as aplicações práticas da matéria à análise e ao projeto de sistemas com retroação O estudo de engenharia dos sistemas de controle é essencial para os alunos de graduação em engenharia elétrica mecânica controle e automação aeroespacial1 ou engenharia química Os sistemas de controle são encontrados em uma ampla gama de aplicações nessas áreas desde aviões e espaçonaves a robôs e sistemas de controle de processos Engenharia de Sistemas de Controle é uma obra voltada para estudantes de cursos superiores e para aqueles que desejam dominar o assunto através de estudo próprio Os estudantes usuários deste texto devem ter concluído os cursos básicos em física e em matemática por meio de equações diferenciais Outros materiais que dizem respeito ao conhecimento prévio requerido incluindo transformadas de Laplace e álgebra linear são incorporados ao texto seja ao longo das discussões dos capítulos seja separadamente nos apêndices ou no CDROM que acompanha o livro Este material de revisão pode ser omitido sem perda de continuidade para os estudantes que não precisam dele Características Principais Constituem características principais desta terceira edição Organização padronizada dos capítulos Explanações qualitativas e quantitativas Exemplos exercícios de avaliação e estudos de caso ao longo do texto Ilustrações abundantes Numerosos problemas de fim de capítulo Ênfase no projeto Organização flexível Ênfase na análise e no projeto com auxílio de computador Vejamos cada uma destas características com mais detalhe Organização Padronizada dos Capítulos Cada capítulo começa com uma lista de objetivos do capítulo seguida de uma lista de objetivos dos estudos de caso relacionando os objetivos do capítulo com o desempenho específico do estudante na solução de um problema prático como o sistema de controle do posicionamento de uma antena em azimute Os tópicos são então divididos em seções numeradas e com título contendo explanações exemplos e onde apropriado exercícios de avaliação com respostas Estas seções numeradas são seguidas de um ou mais estudos de caso como resumido a seguir Cada capítulo se encerra com um breve resumo com diversas perguntas de revisão que requerem respostas curtas e um conjunto de tarefas a domicílio No Brasil Engenharia Aeronáutica NT This page is blank and has no text Explanações Qualitativas e Quantitativas As explicações são claras e completas e quando apropriado incluem uma breve revisão dos fundamentos Os tópicos são elaborados a partir dessa base e se apoiam uns nos outros de forma lógica Os fundamentos e a terminologia sobre novos conceitos são cuidadosamente colocados para evitar sobrecarregar o estudante e facilitar o estudo autodidático Embora as soluções quantitativas sejam como é óbvio importantes uma compreensão qualitativa ou intuitiva dos problemas e dos métodos de solução é vital para produzir uma visão de conjunto necessária para o desenvolvimento completo de projetos Portanto sempre que possível os novos conceitos são discutidos a partir de uma perspectiva qualitativa antes da análise e do projeto quantitativos Por exemplo no Cap 8 o estudante pode simplesmente observar o lugar das raízes e descrever qualitativamente as alterações na resposta transitória que irão ocorrer à medida que um parâmetro de sistema como o ganho é variado Esta habilidade é desenvolvida com o auxílio de algumas equações simples do Cap 4 Exemplos Exercícios de Avaliação e Estudos de Caso As explanações são ilustradas com clareza por meio de diversos exemplos numerados e identificados ao longo do texto Onde apropriado as seções são encerradas com exercícios de avaliação São exercícios de cálculo a maioria com respostas os quais testam a compreensão e fornecem retorno imediato As soluções completas podem ser encontradas no CDROM que acompanha o livro Exemplos mais abrangentes na forma de estudos de caso podem ser encontrados depois da última seção numerada de cada capítulo com exceção do Cap 1 Estes estudos de caso são problemas de aplicação prática que demonstram os conceitos introduzidos no capítulo Cada estudo de caso termina com um problema desafiador sobre o qual os estudantes podem trabalhar a fim de testar sua compreensão sobre o material Um dos estudos de caso relativo ao sistema de controle do posicionamento de uma antena em azimute é tratado ao longo de todo o livro A finalidade é ilustrar a aplicação de novos conhecimentos em cada capítulo ao mesmo sistema físico enfatizando assim a continuidade do procedimento de projeto Um outro estudo de caso mais desafiador envolvendo um veículo submersível autônomo nãotripulado UFSS Unmanned FreeSwimming Submersible Vehicle é desenvolvido ao longo de cinco capítulos Ilustrações Abundantes A capacidade para visualizar conceitos e procedimentos é crítica para a compreensão do estudante Por esta razão aproximadamente 750 fotos diagramas gráficos e tabelas aparecem ao longo do livro para ilustrar os tópicos em discussão Numerosos Problemas de Fim de Capítulo Cada capítulo termina com uma variedade de tarefas a domicílio que permitem ao estudante testar sua compreensão sobre o material apresentado no capítulo Os problemas variam em grau de dificuldade e em complexidade e a maioria dos capítulos inclui diversos problemas práticos da vida real para ajudar a manter a motivação dos estudantes Além disso as tarefas a domicílio incluem um problema progressivo de análise e de projeto que utiliza o mesmo sistema prático para demonstrar os conceitos de cada capítulo Ênfase em Projeto Este texto coloca uma grande ênfase em projeto Os Caps 8 9 11 12 e 13 enfocam fundamentalmente o projeto Porém até mesmo nos capítulos que enfatizam a análise são incluídos exemplos simples de projeto sempre que possível Ao longo do livro os exemplos de projeto envolvendo sistemas físicos são identificados por um ícone Projeto Os problemas de fim de capítulo que envolvem o projeto de sistemas físicos são grupados sob o título de Problemas de Projeto e também nos capítulos que cuidam de projeto sob o título Problema Progressivo de Análise e de Projeto Nestes exemplos e problemas especificase uma resposta desejada e o estudante deve calcular os valores de certos parâmetros de sistema como o ganho ou especificar uma configuração de sistema juntamente com valores de parâmetro Ademais o texto inclui numerosos exemplos de projeto e problemas não identificados por um ícone que envolvem sistemas puramente matemáticos Como a visualização é tão vital na compreensão do projeto este texto relaciona cuidadosamente as especificações indiretas de projeto com as mais familiares Por exemplo a margem de fase menos familiar e indireta é cuidadosamente relacionada com a ultrapassagem percentual mais direta e familiar antes de ser utilizada como especificação de projeto Para cada tipo geral de problema de projeto introduzido no texto é apresentada uma metodologia para resolver o problema Em muitos casos na forma de procedimento passo a passo começando com um enunciado dos obje tivos de projeto Os problemas de exemplo servem para demonstrar a metodologia seguindo o procedimento fazendo hipóteses simplificadoras e apresentando os resultados do projeto em tabelas ou gráficos que comparam o desempenho do sistema original ao do sistema melhorado Esta comparação também serve para verificar a validade das hipóteses simplificadoras Os tópicos de projeto da resposta transitória são cobertos de maneira abrangente no texto Incluem Projeto através do ajuste de ganho usando o lugar das raízes Projeto de compensação e de controladores usando o lugar das raízes Projeto através do ajuste de ganho usando métodos de resposta de frequência senoidal Projeto de compensação usando métodos de resposta de frequência senoidal Projeto de controladores no espaço de estados usando técnicas de alocação de pólos Projeto de observadores no espaço de estados usando técnicas de alocação de pólos Projeto de sistemas de controle digital através do ajuste de ganho no lugar das raízes Projeto de compensação de sistemas de controle digital através do projeto no plano s e da transformação de Tustin O projeto do erro de estado estacionário é coberto de forma abrangente neste livro e inclui Ajuste de ganho Projeto de compensação usando o lugar das raízes Projeto de compensação usando métodos de resposta de frequência senoidal Projeto de controle integral no espaço de estados Finalmente o projeto de ajuste de ganho que leva à estabilidade é tratado a partir das seguintes perspectivas Critério de RouthHurwitz Lugar das raízes Critério de Nyquist Gráficos de Bode Organização Flexível O material neste livro pode ser adaptado para um curso com duração de um trimestre ou de um semestre A organização é flexível permitindo que o professor selecione o material que melhor se ajuste aos requisitos e às restrições de tempo da turma Ao longo do livro as técnicas no espaço de estados são apresentadas juntamente com a abordagem clássica Os capítulos e as seções bem como exemplos exercícios perguntas de revisão e problemas que tratam do espaço de estados são marcados com um ícone Espaço de Estados e podem ser omitidos sem qualquer perda de continuidade Os que desejarem incluir uma introdução à modelagem no espaço de estados podem incluir o Cap 3 no plano de estudos Nos cursos de um semestre as discussões sobre a análise no espaço de estados nos Caps 4 5 6 e 7 bem como o projeto no espaço de estados no Cap 12 podem ser tratados juntamente com a abordagem clássica Uma outra opção é ensinar espaço de estados separadamente reunindo os capítulos apropriados e as seções marcadas com o ícone Espaço de Estados em uma única unidade que segue a abordagem clássica Nos cursos de um trimestre o Cap 13 Sistemas de Controle Digital pode ser eliminado Ênfase na Análise e no Projeto com Auxílio de Computador Os problemas de sistemas de controle particularmente os problemas de análise e de projeto usando o lugar das raízes podem ser cansativos uma vez que sua solução envolve ensaio e erro Para solucionar estes problemas os estudantes devem ter acesso a computadores ou a calculadoras programáveis configurados com software apropriado Nesta terceira edição o MATLAB continua a ser integrado no texto como um recurso opcional Muitos problemas neste texto podem ser resolvidos seja com computador seja com calculadora manual programável Por exemplo os estudantes podem usar uma calculadora programável para 1 determinar se um ponto 2 MATLAB é uma marca registrada da The MathWorks Inc do plano s está também no lugar das raízes 2 obter dados da resposta de magnitude e de fase para os diagramas de Nyquist e de Bode e 3 passar de uma a outra entre as seguintes representações de um sistema de segunda ordem Localização de pólos em coordenadas polares Localização de pólos em coordenadas cartesianas Polinômio característico Frequência natural e relação de amortecimento Tempo de assentamento e ultrapassagem percentual Instante de pico e ultrapassagem percentual Tempo de assentamento e instante de pico As calculadoras manuais apresentam a vantagem da facilidade de acesso nas tarefas a domicílio e nos exames Por obséquio queira consultar o Apêndice H localizado no CDROM que acompanha este livro para uma discussão sobre auxílios computacionais que podem ser adaptados a calculadoras portáteis Os computadores pessoais são melhor adaptados para aplicações mais intensas em cálculos computacionais como traçado de respostas no tempo lugar das raízes curvas de resposta de frequência bem como obtenção de matrizes de transição de estados Estes computadores também fornecem ao estudante um ambiente do mundo real no qual podem analisar e projetar sistemas de controle Aqueles que não estejam usando o MATLAB podem escrever seus próprios programas ou usar outros programas como o Program CC Sem o acesso a computadores ou a calculadoras programáveis os estudantes não podem obter resultados significativos de análise e de projeto e a experiência de aprendizado será limitada Novidades desta Edição Nesta terceira edição revisamos e acrescentamos material em resposta às sugestões de estudantes e de professores que adotaram a segunda edição do texto A lista que se segue descreve as mudanças principais na terceira edição Problemas de fim de capítulo Há pelo menos 30 de alterações nos problemas de fim de capítulo Os problemas velhos foram revisados e novos problemas foram incluídos Um problema prático progressivo de análise e de projeto que utiliza o mesmo sistema físico foi acrescentado ao conjunto de problemas de cada capítulo MATLAB O uso do MATLAB para análise e projeto auxiliado por computador contínua a ser integrado nas discussões e nos problemas como um recurso ótimo na terceira edição O tutorial sobre o MATLAB foi atualizado para a Versão 5 do MATLAB e para a Versão 4 da Toolbox de Sistemas de Controle SIMULINK3 do MATLAB O Simulink foi adicionado para mostrar os efeitos de nãolinearidades na resposta temporal de sistemas a malha aberta e a malha fechada Usamos o Simulink também para demonstrar como simular sistemas digitais Para auxiliálo foi adicionado um apêndice tutorial cobrindo os fundamentos do Simulink Ferramentas GUI do MATLAB Duas ferramentas do MATLAB que utilizam Interfaces Gráficas de Usuário GUI Graphical User Interface fazem sua estréia nesta 3ª edição A primeira é o visualizador de objetos lineares e invariantes no tempo LTI Viewer uma ferramenta conveniente para avaliar características dos gráficos de respostas de sistemas nos domínios do tempo e de frequência A segunda ferramenta é a interface gráfica de usuário para projeto empregando o lugar das raízes Root Locus Design GUI uma ferramenta conveniente e intuitiva para análise e projeto com o lugar das raízes Para ajudálo foi incluído um apêndice tutorial sobre as ferramentas GUI do MATLAB Toolbox de Matemática Simbólica do MATLAB A Toolbox de Matemática Simbólica do MATLAB foi incluída em seções apropriadas como recurso opcional de auxílio ao cálculo Para auxiliálo foi incluído um apêndice tutorial sobre os fundamentos da Toolbox de Matemática Simbólica Symbolic Math Toolbox Exercícios de avaliação Exercícios selecionados com respostas foram acrescentados ao final de seções apropriadas Estes exercícios dão aos estudantes um retorno imediato através do qual podem medir o aprendizado do co 3 Simulink é uma marca comercial registrada da The MathWorks Inc Prefácio xi Problemas progressivos de análise e de projeto Foi acrescentado ao final do conjunto de problemas de cada capítulo um problema progressivo de análise e de projeto Este problema dá a você a oportunidade de aplicar progressivamente as lições de análise e de projeto de cada capítulo ao mesmo sistema físico CDROM Um CDROM acompanha o texto Apêndices e seções selecionadas da segunda edição foram deslocadas para o CDROM para liberar espaço para o material de texto adicional O disco contém o seguinte Todos os arquivos M Mfiles usados nos tutoriais do MATLAB no Simulink nas Ferramentas GUI e na Toolbox de Matemática Simbólica Arquivos PowerPoint4 e Acrobat5 contendo figuras selecionadas do texto Soluções dos exercícios de avaliação Apêndice B da segunda edição Matrizes Determinantes e Sistemas de Equações Apêndice D Seção 411 e todo o material da segunda edição que trata do uso da análise e do projeto auxiliados por computador que não usa o MATLAB Tudo foi revisado e reunido em um único apêndice apresentando alternativas ao MATLAB Apêndice F da segunda edição Solução das Equações de Estado para t0 0 Apêndice G da segunda edição Regras do Lugar das Raízes Dedução Ícones Diversos ícones foram acrescentados à terceira edição para identificar a cobertura de material opcional Especificamente ícones do Simulink das Ferramentas GUI do MATLAB LTI Viewer e Root Locus Design GUI e da Toolbox de Matemática Simbólica foram adicionados aos ícones anteriores do MATLAB do espaço de estados e de projeto Os ícones são resumidos a seguir MATLAB O ícone MATLAB identifica discussões exemplos exercícios e problemas com MATLAB A cobertura do MATLAB é fornecida como um aprimoramento e não é necessária para se usar o texto Simulink O ícone Simulink identifica discussões exemplos exercícios e problemas com Simulink A cobertura do Simulink é fornecida como um aprimoramento e não é necessária para se usar o texto Ferramentas GUI O ícone Ferramentas GUI identifica discussões exemplos exercícios e problemas com Ferramentas GUI do MATLAB A discussão das ferramentas que inclui o visualizador LTI Viewer e o Root Locus Design GUI é fornecida como um aprimoramento e não é necessária para se usar o texto Matemática Simbólica O ícone Matemática Simbólica identifica discussões exemplos exercícios e problemas com a Toolbox de Matemática Simbólica A cobertura da Toolbox de Matemática Simbólica é fornecida como um aprimoramento e não é necessária para se usar o texto Espaço de Estados O ícone Espaço de Estados destaca discussões exemplos exercícios e problemas no espaço de estados Como o MATLAB o material sobre espaço de estados é opcional e pode ser omitido sem perda de continuidade Projeto O ícone Projeto identifica claramente os problemas de projeto envolvendo sistemas físicos Capítulo 4 Os efeitos das nãolinearidades sobre a resposta no domínio do tempo de sistemas a malha aberta usando o Simulink foram adicionados ao Cap 4 As relações entre tempo de subida e relação de amortecimento foram 4PowerPoint é uma marca registrada da Microsoft Corporation 5Acrobat é uma marca registrada da Adobe Systems Incorporated xii Prefácio ajustadas a uma equação cúbica a qual deve fazer com que o cálculo do tempo de subida seja mais fácil e mais direto O visualizador LTI Viewer é apresentado no Cap 4 através de um apêndice tutorial A Seção 411 da 2ª edição Resposta em Função do Tempo por meio de Simulação bem como outros métodos computacionais sem MATLAB foram deslocados para o Apêndice H no CDROM que acompanha o livro Capítulo 5 Os efeitos das nãolinearidades sobre a resposta no domínio do tempo de sistemas a malha fechada usando o Simulink foram adicionados ao Cap 5 Capítulo 7 A análise de erro de estado estacionário de sistemas representados no espaço de estados foi deslocada do Cap 7 para o Cap 12 Capítulo 9 A subseção que aborda o filtro supressor de faixa notch foi adicionada à Seção 94 Capítulo 13 A análise de estabilidade de sistemas digitais no plano s usando a transformação bilinear foi adicionado à Seção 136 Estabilidade Além disso foram acrescentadas duas seções 1 Compensação em Cascata por Intermédio do Plano s que usa a transformação de Tustin e 2 Implementação do Compensador Digital Apêndice B da Segunda Edição Matrizes Determinantes e Sistemas de Equações Este material foi deslocado para o CDROM e é agora o Apêndice G Apêndice C da Segunda Edição Tutorial do MATLAB Este material é agora o Apêndice B Apêndice C da Terceira Edição Tutorial do Simulink do MATLAB Este é um novo apêndice Apêndice D da Segunda Edição Programas em QuickBASIC da Microsoft6 O Apêndice D foi revisado combinado com outras discussões que não tratam do MATLAB e deslocado para o Apêndice H do CDROM que acompanha o livro Apêndice D da Terceira Edição Ferramentas GUI do MATLAB Este é um novo apêndice que inclui o LTI Viewer e o Root Locus Design GUI Apêndice E da Segunda Edição Dedução de um Esquema para Motor CC Este material é agora o Apêndice F Apêndice E da Terceira Edição Tutorial da Toolbox de Matemática Simbólica do MATLAB Este é um novo apêndice Apêndice F da Segunda Edição Solução das Equações de Estado para t0 0 Este material foi deslocado para o CDROM que acompanha o livro e é agora o Apêndice I Apêndice G da Segunda Edição Regras do Lugar das Raízes Deduções O Apêndice G foi deslocado para o CDROM que acompanha o livro e é agora o Apêndice J Organização dos Capítulos Muitas vezes é útil compreender o raciocínio do autor por trás da organização do conteúdo do curso Os parágrafos a seguir felizmente explicitam este tópico O objetivo principal do Cap 1 é motivar o estudante Neste capítulo o estudante aprende a respeito das muitas aplicações de sistemas de controle no quotidiano e sobre as vantagens do estudo e das atividades profissionais neste campo do conhecimento Os objetivos de projeto de engenharia de sistemas de controle7 como resposta transitória erro de estado estacionário e estabilidade são apresentados e também o caminho para atingir estes objetivos Termos novos e nãofamiliares são igualmente incluídos no Glossário Muitos estudantes sentem dificuldade com o passo inicial da sequência de análise e de projeto transformar um sistema físico em um esquema Este passo requer muitas hipóteses simplificadoras baseadas na experiência que o estudante ainda não possui A identificação de algumas dessas hipóteses no Cap 1 auxilia a preencher esta lacuna de experiência 6Microsoft é uma marca registrada da Microsoft Corporation 7No Brasil Engenharia de Controle e Automação NT Prefácio xiii Os Caps 2 3 e 5 tratam da representação de sistemas físicos Os Caps 2 e 3 cobrem a modelagem de sistemas a malha aberta usando técnicas de resposta de frequência e técnicas do espaço de estados respectivamente O Cap 5 discute a representação e a redução de sistemas formados por subsistemas a malha aberta interconectados Somente algumas amostras representativas de sistemas físicos podem ser tratadas em um livro com esta extensão Sistemas elétricos mecânicos em translação e em rotação e eletromecânicos são usados como exemplos de sistemas físicos que são modelados analisados e projetados A linearização de um sistema nãolinear técnica usada pelo engenheiro para simplificar um sistema no sentido de representálo matematicamente também é apresentada O Cap 4 propicia uma introdução à análise de sistemas isto é a obtenção e a descrição da resposta de um sistema Poderia parecer mais lógico inverter a ordem dos Caps 4 e 5 para apresentar o material do Cap 4 junto com os outros capítulos que cobrem a análise Contudo muitos anos ministrando sistemas de controle ensinaram que quanto mais cedo os estudantes virem uma aplicação do estudo da representação de sistemas maior será o nível de motivação Os Caps 6 7 8 e 9 retornam à análise e projeto de sistemas de controle com o estudo de estabilidade Cap 6 de erro de estado estacionário Cap 7 e de resposta transitória de sistemas de ordem elevada usando técnicas do lugar das raízes Cap 8 O Cap 9 cobre o projeto de compensadores e de controladores usando o lugar das raízes Os Caps 10 e 11 focalizam a análise e o projeto no domínio de frequência senoidal O Cap 10 como o Cap 8 cobre os conceitos básicos da análise de estabilidade de resposta transitória e de erro de estado estacionário Contudo os métodos de Nyquist e de Bode são usados em substituição ao lugar das raízes O Cap 11 como o Cap 9 cobre o projeto de compensadores mas do ponto de vista das técnicas de resposta de frequência senoidal em vez do lugar das raízes Uma introdução ao projeto no espaço de estados e à análise e projeto de sistemas de controle digital completam o texto nos Caps 12 e 13 respectivamente Embora estes capítulos possam ser usados como introdução para estudantes que prosseguirão seu estudo de engenharia de sistemas de controle eles são úteis por si mesmos e como um suplemento à discussão sobre análise e projeto dos capítulos anteriores Não é possível apresentar em dois capítulos um tratamento completo sobre o tema mas a ênfase é resumida e relacionada de forma lógica ao restante do livro O Pacote de Recursos de Ensino O seguinte material compreende o pacote de recursos de ensino da terceira edição do livro Engenharia de Sistemas de Controle PowerPoint e Acrobat Lecture Graphics As figuraschave do texto estão disponíveis em gráficos eletrônicos em cores por meio de arquivos em PowerPoint e em pdf do Adobe Acrobat Estes arquivos podem ser encontrados no CDROM que acompanha o livro e no site da Wiley na Internet Toolbox de Engenharia de Sistemas de Controle Todos os arquivos m do MATLAB e do Simulink usados nos apêndices deste livro podem ser encontrados no CDROM e no site da Wiley na Internet Manual de Soluções para Engenharia de Sistemas de Controle 3ª edição de autoria de Norman S Nise Este manual contém soluções detalhadas da maioria dos problemas no texto O Manual de Soluções é disponível somente para professores qualificados Agradecimentos O autor gostaria de agradecer aos colegas da California State Polytechnique University em Pomona que contribuíram para esta e para as edições anteriores de Engenharia de Sistemas de Controle Sem o seu apoio este volume talvez não tivesse acontecido Aos que contribuíram para esta terceira edição meus agradecimentos especiais aqui O apoio contínuo ao longo de todas as fases deste projeto do Electrical and Computer Engeneering Department e do seu Chefe Yi Cheng bem como do College of Engineering e do seu Diretor Edward Hohmann foi inestimável para a conclusão deste trabalho Esta terceira edição foi completamente revista e verificada por meu colega M Samy ElSawah e por este trabalho agradecemos eu e os estudantes que a lêem Gostaria de externar um agradecimento especial a meus estudantes que usaram as edições anteriores ao longo dos últimos oito anos Suas sugestões para esta nova edição foram inestimáveis Em particular quero agradecer a Michael House pelas muitas sugestões que me deu Os polinômios de tempo de subida no Cap 4 são um resultado direto de suas sugestões e do seu esforço Minha gratidão é estendida a Alan H Nise pelas inúmeras horas gastas em criar aplicações isoladas de resposta em função do tempo e de análise e projeto com lugar das raízes incluídas no CDROM que acompanha o livro Estes programas serão apreciados certamente pelos leitores que não têm acesso ao MATLAB O autor gostaria de agradecer a todos os revisores cujo domínio do assunto e cuja atenção a detalhes digna de louvores produziram muitas sugestões para melhorias desta terceira edição Os revisores são os seguintes docen tes Darren Dawson Clemson University Mahlon D Heller California State University Sacramento Vojislav D Kalanovic South Dakota School of Mines and Technology Leslie R Koval The University of MissouriRolla Marca J Lam The Cooper Union for the Advancement of Science and Art Fu Li Portland State University Jure Medanic University of Illinois em UrbanaChampaign Medhat M Morcos Kansas State University Satish S Nair University of Missouri Columbia Charles P Neumann Carnegie Mellon J William Ray Jr Louisiana Tech University e Michael J Rider Ohio Northern University Gostaria também de expressar meu reconhecimento a Wayne E Whiteman Academia Militar dos Estados Unidos pelo envio voluntário de numerosas sugestões para melhorar o conteúdo e a exatidão Antes da transferência deste título para a John Wiley Sons Inc diversas pessoas nos deram orientação preciosa e auxiliaram nos estágios iniciais de desenvolvimento desta terceira edição Sou grato por suas contribuições Em particular quero agradecer ao seguinte pessoal da AddisonWesley Paul Becker Editor de Aquisições Anna Eberhard Friedlander Editora Assistente e Royden Tonomura Assistente de Editorial Durante sua breve transferência para a Prentice Hall Tom Robbins Editor conduziu este título ao longo do seu desenvolvimento E naturalmente o autor gostaria de agradecer à John Wiley Sons Inc e à sua equipe pelo suporte profissional fornecido a este projeto ao longo de todas as fases do seu desenvolvimento Especificamente devemos reconhecimento às seguintes pessoas por suas contribuições Peter M Janzow Editor que deu pleno suporte executivo a todo o projeto Bill Zobrist Editor de Aquisições que forneceu orientação editorial profissional Jennifer Welter Assistente de Editorial que sempre esteve lá para responder pontualmente as minhas inúmeras perguntas e Robin Factor Editor de Produção Sênior que verificou o livro ao longo de todas as fases de produção Gostaria também de agradecer a Karin Kincheloe Projetista Sênior pela contribuição na impressionante capa a Lisa Gee Editora de Fotografia pela pesquisa das novas fotos que você vê no livro e Katherine Hepburn Gerente de Marketing por fazer com que você tome conhecimento da existência deste livro Há outros a agradecer especialmente aqueles com quem não tive o prazer de interagir pessoalmente mas cujas contribuições são contudo inestimáveis Finalmente os créditos vão para os Serviços de Publicação e sua equipe pela produção da versão final do livro sob grande pressão e limitação de tempo Especificamente quero agradecer a Jan Fisher Representante do Atendimento ao Cliente por pavimentar suavemente os meios de produção e encampar minhas muitas indagações Além disso devo um obrigado a Bilal Dardai Editor e a Ken Churchill Coordenador de Produção pela edição e produção finais do livro em um espírito de colaboração Especialmente apreciada sua disposição de efetuar refinamentos de última hora que serão apreciados pelo leitor Norman S Nise Sumário 1 Introdução 1 11 Introdução 2 12 História dos Sistemas de Controle 4 13 O Engenheiro de Sistemas de Controle 6 14 Características de Resposta e Configurações de Sistema 8 15 Objetivos de Análise e de Projeto 10 Introdução a um Estudo de Caso 13 16 Procedimento de Projeto 16 17 Projeto Assistido por Computador 19 Sumário 20 Perguntas de Revisão 21 Problemas 21 Bibliografia 25 2 Modelagem no Domínio de Freqüência 27 21 Introdução 28 22 Revisão sobre Transformada de Laplace 28 23 Função de Transferência 36 24 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos 38 25 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação 50 26 Funções de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação 56 27 Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens 60 28 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico 64 29 Circuitos Elétricos Análogos 69 210 Nãolinearidades 72 211 Linearização 73 Estudos de Caso 78 Sumário 81 Perguntas de Revisão 81 Problemas 81 Bibliografia 88 xvii Sumário 3 Modelagem no Domínio do Tempo 90 31 Introdução 91 32 Algumas Observações 91 33 A Representação Geral no Espaço de Estados 94 34 Aplicando a Representação no Espaço de Estados 96 35 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados 102 36 Convertendo do Espaço de Estados para a Função de Transferência 108 37 Linearização 109 Estudos de Caso 112 Sumário 115 Perguntas de Revisão 116 Problemas 116 Bibliografia 122 4 Resposta no Domínio do Tempo 123 41 Introdução 124 42 Pólos Zeros e Resposta do Sistema 124 43 Sistemas de Primeira Ordem 127 44 Sistemas de Segunda Ordem Introdução 129 45 O Sistema de Segunda Ordem Geral 134 46 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos 136 47 Resposta de Sistemas com Pólos Adicionais 145 48 Resposta de Sistema com Zeros 148 49 Efeitos das Nãolinearidades sobre a Resposta no Domínio do Tempo 152 410 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace 156 411 Solução das Equações de Estado no Domínio do Tempo 158 Estudos de Caso 164 Sumário 168 Perguntas de Revisão 169 Problemas 170 Problemas de Projeto 175 Bibliografia 177 5 Redução de Subsistemas Múltiplos 179 51 Introdução 180 52 Diagramas de Blocos 180 53 Análise e Projeto de Sistemas com Retroação 188 54 Diagramas de Fluxo de Sinal 190 55 Regra de Mason 193 56 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado 195 57 Representações Alternativas no Espaço de Estados 197 58 Transformações de Similaridade 205 Estudos de Caso 215 Sumário 220 Perguntas de Revisão 220 Problemas 221 Problemas de Projeto 231 Bibliografia 233 6 Estabilidade 234 61 Introdução 235 62 Critério de RouthHurwitz 238 63 Critério de RouthHurwitz Casos Especiais 240 64 Critério de RouthHurwitz Exemplos Adicionais 245 65 Estabilidade no Espaço de Estados 251 Estudos de Caso 254 Sumário 255 Perguntas de Revisão 256 Problemas 256 Problemas de Projeto 260 Bibliografia 262 7 Erros de Estado Estacionário 263 71 Introdução 264 72 Erro de Estado Estacionário de Sistemas com Retroação Unitária 267 73 Constantes de Erro Estático e Tipo de Sistema 271 74 Especificações de Erro de Estado Estacionário 275 75 Erros de Estado Estacionário Devidos a Perturbações 277 76 Erro de Estado Estacionário para Sistemas com Retroação Nãounitária 279 77 Sensibilidade 282 78 Erro de Estado Estacionário de Sistemas no Espaço de Estados 284 Estudos de Caso 288 Sumário 290 Perguntas de Revisão 291 Problemas 291 Problemas de Projeto 298 Bibliografia 300 8 Técnicas do Lugar das Raízes 301 81 Introdução 302 82 Definindo o Lugar das Raízes 305 83 Propriedades do Lugar das Raízes 305 84 Esboçando o Lugar das Raízes 310 85 Refinando o Esboço 313 86 Um Exemplo 321 87 Projeto de Resposta Transitória Através do Ajuste de Ganho 323 88 Lugar das Raízes Generalizado 327 89 Lugar das Raízes para Sistemas com Retroação Positiva 329 810 Sensibilidade dos Pólos 331 Estudos de Caso 333 Sumário 337 Perguntas de Revisão 338 Problemas 338 Problemas de Projeto 346 Bibliografia 351 9 Projeto por Intermédio do Lugar das Raízes 353 91 Introdução 354 92 Melhorando o Erro de Estado Estacionário Através da Compensação em Cascata 356 93 Melhorando a Resposta Transitória Através da Compensação em Cascata 364 94 Melhorando o Erro de Estado Estacionário e a Resposta Transitória 376 95 Compensação por Retroação 387 96 Realização Física da Compensação 397 Estudos de Caso 402 Sumário 406 Perguntas de Revisão 407 Problemas 408 Problemas de Projeto 412 Bibliografia 415 10 Técnicas de Resposta de Frequência 417 101 Introdução 418 102 Aproximações Assintóticas Gráficos de Bode 423 103 Introdução ao Critério de Nyquist 439 104 Esboçando o Diagrama de Nyquist 443 105 Estabilidade por Intermédio do Diagrama de Nyquist 447 106 Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio do Diagrama de Nyquist 451 107 Estabilidade Margem de Ganho e Margem de Fase por Intermédio dos Gráficos de Bode 453 108 Relação entre Resposta Transitória a Malha Fechada e Resposta de Frequência a Malha Fechada 455 109 Relação entre Respostas de Frequência a Malha Aberta e a Malha Fechada 458 1010 Relação entre Respostas Transitória a Malha Fechada e de Frequência a Malha Aberta 463 1011 Características de Erro do Estado Estacionário a Partir da Resposta de Frequência 466 1012 Sistemas com Retardo 470 1013 Obtendo Funções de Transferência Experimentalmente 474 Estudos de Caso 478 Sumário 479 Perguntas de Revisão 480 Problemas 480 Bibliografia 488 11 Projeto por Intermédio da Resposta de Frequência 490 111 Introdução 491 112 Resposta Transitória por Intermédio do Ajuste de Ganho 492 113 Compensação por Atraso de Fase 494 114 Compensação por Avanço de Fase 498 115 Compensação por Atraso e Avanço de Fase 503 Estudos de Caso 507 Sumário 508 Perguntas de Revisão 509 Problemas 509 Problemas de Projeto 511 Bibliografia 513 12 Projeto no Espaço de Estados 515 121 Introdução 516 122 Projeto do Controlador 517 123 Controlabilidade 522 124 Abordagens Alternativas para o Projeto do Controlador 525 125 Projeto do Observador 529 126 Observabilidade 535 127 Abordagens Alternativas para o Projeto de Observadores 538 128 Projeto de Erro de Estado Estacionário por Intermédio do Controle Integral 543 Estudos de Caso 547 Sumário 551 Perguntas de Revisão 552 Problemas 552 Problemas de Projeto 555 Bibliografia 556 13 Sistemas de Controle Digital 558 131 Introdução 559 132 Modelando o Computador Digital 562 133 A Transformada z 564 134 Funções de Transferência 568 135 Redução de Diagrama de Blocos 571 136 Estabilidade 573 137 Erros de Estado Estacionário 579 138 Resposta Transitória no Plano z 582 139 Projeto de Ajuste de Ganho no Plano z 584 1310 Compensação em Cascata por Intermédio do Plano s 587 1311 Implementação do Compensador Digital 590 Estudos de Caso 593 Sumário 597 Perguntas de Revisão 598 Problemas 598 Problemas de Projeto 601 Bibliografia 602 Apêndice A Lista de Símbolos 603 Apêndice B Tutorial do MATLAB 606 Apêndice C Tutorial do Simulink do MATLAB 642 Apêndice D Tutorial sobre Ferramentas de Interface Gráfica de Usuário GUI do MATLAB 654 Apêndice E Tutorial da Toolbox de Matemática Simbólica do MATLAB 665 Apêndice F Obtenção de um Diagrama Esquemático de um Motor CC 673 Glossário 676 Respostas dos Problemas Selecionados 682 Créditos 687 Índice 689 Apêndice G Matrizes Determinantes e Sistemas de Equações CDROM G1 Definições e Notações de Matrizes G2 Operações com Matrizes G3 Identidades de Matrizes e de Determinantes G4 Sistemas de Equações Bibliografia Apêndice H Auxílios Computacionais para Sistemas de Controle CDROM H1 Resposta ao Degrau de um Sistema Representado no Espaço de Estados H2 Lugar das Raízes e Resposta de Freqüência Apêndice I Solução das Equações de Estado para t0 0 CDROM Apêndice J Regras do Lugar das Raízes Deduções CDROM J1 Comportamento do Lugar das Raízes no Infinito J2 Dedução do Método de Transição para Pontos de Saída e de Entrada Soluções dos Exercícios de Avaliação CDROM Arquivos do MATLAB CDROM Figuras das Aulas CDROM CAPÍTULO 1 Introdução Objetivos do Capítulo Neste capítulo introdutório estudaremos o seguinte Aplicações de sistemas de controle História dos sistemas de controle Como você pode se beneficiar com o estudo de sistemas de controle Características e configurações básicas dos sistemas de controle Objetivos de análise e de projeto O procedimento de projeto Objetivos do Estudo de Caso Você será apresentado a um estudo de caso repetido o sistema de controle de posição de uma antena em azimute que servirá para ilustrar princípios em cada um dos capítulos subseqüentes Neste capítulo o sistema é usado para demonstrar qualitativamente como funciona um sistema de controle bem como definir critérios de desempenho que constituem a base para analisar e projetar este tipo de sistema 11 Introdução Os sistemas de controle são parte integrante da sociedade moderna Numerosas aplicações estão ao nosso redor foguetes são disparados e o ônibus espacial decola rumo a uma órbita ao redor da Terra pulverizase água de refrigeração e peças metálicas são usinadas automaticamente veículos pilotados automaticamente transportando material para estações de trabalho de uma fábrica montadora no espaço deslizam ao longo de andaimes procurando o ponto predeterminado de entrega Estes são alguns exemplos de sistemas controlados automaticamente que podemos criar Não somos os únicos criadores de sistemas controlados automaticamente estes sistemas também existem na natureza Dentro do nosso próprio corpo há numerosos sistemas de controle como o pâncreas que regula o açúcar no sangue Nos instantes de lutar ou fugir a adrenalina aumenta com o ritmo do coração produzindo mais oxigênio a ser entregue às células Nossos olhos seguem um objeto em movimento para mantêlo no campo visual nossas mãos seguram um objeto e o colocam precisamente em um local predeterminado Mesmo o mundo nãofísico parece ser regulado automaticamente Têm sido sugeridos modelos descrevendo o controle automático do desempenho de um estudante A grandeza de entrada do modelo é o tempo de estudo disponível do estudante e a saída é a nota O modelo pode ser usado para prever o tempo necessário para aumentar a nota se ocorrer de repente uma maior disponibilidade de tempo para estudo Usando este modelo você pode determinar se vale a pena aumentar o estudo durante a última semana do período Definição de Sistema de Controle Um sistema de controle consiste em subsistemas e processos ou plantas1 reunidos com o propósito de controlar as saídas dos processos Por exemplo uma caldeira produz calor como resultado do fluxo de combustível Neste processo subsistemas chamados válvulas de combustível e atuadores de válvulas de combustível são usados para regular a temperatura de uma sala controlando a saída de calor da caldeira Outros subsistemas como os termostatos que se comportam como sensores medem a temperatura da sala Na sua forma mais simples um sistema de controle fornece uma saída ou resposta para uma dada entrada ou estímulo conforme mostrado na Fig 11 Benefícios dos Sistemas de Controle Com sistemas de controle podemos mover grandes equipamentos com precisão que de outra forma seria impossível Podemos apontar imensas antenas para alcançar os pontos mais remotos do universo e captar sinais de rádio extremamente fracos controlar estas antenas à mão seria impossível Por causa dos sistemas de controle os elevadores nos transportam rapidamente ao nosso destino parando automaticamente no andar certo Fig 12 Sozinhos não poderíamos fornecer a energia requerida pela carga e pela velocidade os motores fornecem a energia e os sistemas de controle regulam a posição e a velocidade Construímos sistemas de controle por quatro razões principais 1 Amplificação de potência 2 Controle remoto 3 Facilidade de uso da forma de entrada 4 Compensação de perturbações Por exemplo uma antena de radar posicionada pela rotação de baixa potência de um botão de baixa força na entrada requer uma grande potência para sua rotação de saída Um sistema de controle pode produzir a amplificação de potência necessária ou o ganho de potência Robôs projetados com base nos princípios dos sistemas de controle podem compensar deficiências humanas Sistemas de controle são também úteis em localidades remotas ou perigosas Por exemplo um braço robótico controlado remotamente pode ser usado para manipular material em um ambiente radioativo A Fig 13 mostra um braço robótico projetado para operar em ambientes contaminados Os sistemas de controle podem também ser usados para facilitar o uso mudando a forma da entrada Por exemplo em um sistema de controle de temperatura a entrada é uma posição em um termostato A saída é calor Desta maneira uma posição conveniente de entrada produz uma saída térmica desejada Fig 11 Descrição simplificada de um sistema de controle Entrada estímulo Sistema de controle Saída resposta Resposta desejada Resposta real 1O termo plant do original em inglês está sendo traduzido como planta com a acepção de instalação produtiva fábrica registrada na versão 30 do Dicionário Eletrônico Novo Aurélio Século XXI NT Fig 12 a Os elevadores primitivos eram controlados por cabos manuais ou por um operador de elevador Aqui uma corda é cortada para demonstrar o freio de segurança uma inovação nos elevadores primitivos b os modernos elevadores de transporte duplo fazem sua subida no Grande Arche em Paris conduzido por um motor com cada carro contrabalançando o outro Hoje os elevadores são completamente automáticos usando sistemas de controle para regular posição e velocidade Fig 13 O Rover foi construído para trabalhar nas áreas contaminadas de Three Mile Island em Middleton PA onde ocorreu um acidente nuclear em 1979 O longo braço do robô de controle remoto pode ser visto na frente do veículo Vejamos agora um outro benefício dos sistemas de controle a capacidade de compensar perturbações Usualmente controlamos variáveis como temperatura em sistemas térmicos posição e velocidade em sistemas mecânicos e tensão corrente ou frequência em sistemas elétricos O sistema deve ser capaz de fornecer a saída correta mesmo em presença de perturbações Por exemplo considere um sistema de antena que aponta em uma direção comandada Se um vento força a antena a se deslocar de sua posição comandada ou se algum ruído entra internamente o sistema deve ser capaz de detectar a perturbação e corrigir a posição da antena Obviamente a entrada do sistema não muda para fazer a correção Conseqüentemente o próprio sistema 1 mede o quanto a perturbação reposicionou a antena e 2 retorna a antena para a posição comandada pela entrada 12 História dos Sistemas de Controle Os sistemas de controle com retroação são mais antigos que a humanidade Numerosos sistemas de controle biológicos fizeram parte dos primeiros habitantes do nosso planeta Vejamos uma breve história dos sistemas de controle² Controle NívelLíquido Os gregos começaram a engenharia de sistemas com retroação por volta de 300 aC Um relógio de água inventado por Ktesibios operava por meio do gotejamento de água a uma taxa constante dentro de um reservatório medidor O nível de água no reservatório medidor podia ser usado para informar o tempo decorrido Para obter um gotejamento a uma taxa constante o reservatório de alimentação tinha de ser mantido com um nível constante Isto era realizado usando uma bóia semelhante à do controle de nível das caixas de descarga dos vasos sanitários atuais Logo depois de Ktesibios a idéia do controle de nível de líquido foi aplicada em um lampião a óleo por Filon de Bizâncio³ O lampião consistia em dois reservatórios de óleo configurados verticalmente O inferior aberto no topo fornecia o combustível para a chama O vaso superior fechado constituía o depósito de combustível para o vaso inferior Os reservatórios eram interconectados por dois tubos capilares e um outro tubo chamado transportador vertical inserido dentro do óleo do vaso inferior logo abaixo da superfície do líquido À medida que o óleo queimava a base do tubo transportador era exposta ao ar o que forçava o óleo do reservatório de cima a fluir através dos tubos capilares para o interior do vaso de baixo A transferência de combustível a partir do reservatório superior para o inferior era interrompida quando se restabelecia o nível de óleo anterior impedindo assim o ar de entrar no transportador Em conseqüência o sistema mantinha o nível do líquido constante no reservatório inferior Controles de Pressão de Vapor e Temperatura A regulação de pressão de vapor começou por volta de 1681 com a invenção da válvula de segurança de Denis Papin O conceito foi mais elaborado com a inclusão de peso na parte superior da válvula Se a ação da pressão na parte superior da caldeira excedesse o valor do peso o vapor era liberado e a pressão diminuía Se não excedesse o valor a válvula não abria e a pressão interna da caldeira aumentava Desta maneira o valor do peso na parte superior da válvula ajustava a pressão interna da caldeira Também no século XVII Cornelis Drebbel na Holanda inventou um sistema de controle de temperatura exclusivamente mecânico para chocar ovos O dispositivo utilizava um pequeno frasco de álcool e mercúrio com um flutuador aí inserido O flutuador era conectado a um abafador que controlava a chama Uma parte do frasco era inserida na incubadora para sentir o calor gerado pelo fogo Quando o calor aumentava o álcool e o mercúrio se expandiam elevando o flutuador que fechava o abafador e reduzia a chama Uma redução na temperatura fazia o flutuador descer abrindo o abafador e aumentando a intensidade da chama Controle de Velocidade Em 1745 o controle de velocidade era aplicado a um moinho de vento por Edmund Lee Um aumento na intensidade do vento posicionava as pás de modo a expor uma menor área delas Quando o vento diminuía uma área maior das pás ficava disponível William Cubitt aiperfeiçoou a idéia em 1809 dividindo a vela do moinho de vento em venezianas móveis Também no século XVIII James Watt inventou o regulador de velocidade de esferas para controlar a velocidade de máquinas a vapor Neste dispositivo duas esferas em rotação se elevam quando a velocidade angular aumenta Uma válvula de vapor conectada ao mecanismo das esferas fecha com um movimento ascendente destas e abre com um movimento descendente regulando desta maneira a velocidade Estabilidade Estabilização e Condução A teoria dos sistemas de controle como a conhecemos hoje começou a se cristalizar na segunda metade do século XIX Em 1868 James Clerk Maxwell publicou o critério da estabilidade para um sistema de terceira ordem baseado nos coeficientes da equação diferencial Em 1874 Edward John Routh usando uma sugestão de William Kingdon Clifford que fora ignorada anteriormente por Maxwell foi capaz de estender o critério da estabilidade para sistemas de quinta ordem Em 1877 o tema para o Prêmio Adams foi O Critério da Estabilidade Dinâmica Em resposta Routh submeteu um artigo intitulado Um Tratado sobre a Estabilidade de um Dado Estado de Movimento e ganhou o prêmio Este artigo contém o que agora é conhecido como critério para a estabilidade de RouthHurwitz que estudaremos no Cap 6 Alexander Michailovich Lyapunov também contribuiu para o desenvolvimento e a formulação da teoria e da prática da estabilidade de sistemas de controle Discípulo de P L Chebyshev da Universidade de São Petersburgo na Rússia Lyapunov estendeu o trabalho de Routh para sistemas nãolineares em sua tese de doutorado em 1892 intitulada O Problema Geral da Estabilidade do Movimento Durante a segunda metade dos anos 1800 o desenvolvimento de sistemas de controle esteve focado na direção e na estabilização de navios Em 1874 Henry Bessemer usando um giroscópio para detectar o movimento angular de uma embarcação e aplicando energia gerada pelo sistema hidráulico da embarcação moveu o restaurante da embarcação para mantêlo estável se isto realmente produziu alguma diferença para os clientes é questionável Outros esforços foram despendidos para estabilizar plataformas de canhões bem como estabilizar embarcações inteiras usando pêndulos para sentir o movimento Desenvolvimentos do Século XX A pilotagem automática de navios não pôde ser realizada senão no início dos anos 1900 Em 1922 a Sperry Gyroscope Company instalou um sistema automático de pilotagem que usou os elementos de compensação e de controle adaptativo para melhorar o desempenho Contudo grande parte da teoria geral usada nos dias de hoje para melhorar o desempenho de sistemas de controle automático é atribuída a Nicholas Minorsky um russo nascido em 1885 Foi o desenvolvimento teórico aplicado por ele na pilotagem automática de embarcações que resultou no que hoje chamamos de controlador proporcional integral e derivativo PID ou controlador de três modos que estudaremos nos Caps 9 e 11 No final dos anos 1920 e começo dos anos 1930 H W Bode e H Nyquist desenvolveram nos laboratórios da Bell Telephone a análise de amplificadores com retroação Esta contribuição evoluiu para as técnicas de análise e projeto no domínio de frequência senoidal usadas atualmente para sistemas de controle com retroação e apresentadas nos Caps 10 e 11 Em 1948 Walter R Evans trabalhando na indústria aeronáutica desenvolveu uma técnica gráfica para traçar as raízes de uma equação característica de um sistema com retroação cujos parâmetros mudam de valor sobre uma faixa particular de valores Esta técnica conhecida hoje como lugar das raízes toma seu lugar ao lado dos trabalhos de Bode e Nyquist na formulação dos fundamentos da teoria para análise e projeto de sistemas de controle lineares Estudaremos o lugar das raízes nos Caps 8 9 e 13 Aplicações Contemporâneas Hoje os sistemas de controle encontram aplicação ampla na direção navegação e controle de mísseis e de naves espaciais bem como em aviões e navios Por exemplo os navios modernos usam uma combinação de componentes elétricos mecânicos e hidráulicos para desenvolver os comandos do leme em resposta aos comandos de rumo desejado Os comandos do leme por sua vez resultam em um ângulo do leme que manobra o navio Encontramos sistemas de controle por toda parte ao longo da indústria de controle de processos regulando níveis de líquidos em reservatórios concentrações químicas em tonéis bem como espessura de materiais fabricados Por exemplo considere um sistema de controle de espessura para uma placa de aço na laminação final O aço entra na laminação final e passa através de cilindros Na laminação final raios X medem a espessura real e a comparam com a espessura desejada Qualquer diferença é ajustada por um controle de posição que muda o afastamento entre os rolos dos cilindros através dos quais o aço passa Esta mudança no afastamento dos rolos regula a espessura Os desenvolvimentos modernos têm visto o uso em larga escala de computadores digitais como parte dos sistemas de controle Por exemplo computadores são parte de sistemas de controle usados em robôs industriais em naves espaciais e na indústria de controle de processos É difícil conceber um sistema de controle moderno que não use computador digital O ônibus espacial contém numerosos sistemas de controle operados por um computador de bordo compartilhado no tempo Sem sistemas de controle seria impossível guiar o ônibus da Terra para a órbita terrestre e viceversa ou ajustar a sua própria órbita e assegurar a vida a bordo As funções de navegação programadas nos computadores do ônibus usam dados obtidos dos equipamentos de bordo para estimar a posição e a velocidade do veículo Esta informação alimenta as equações de guiamento que calcula os comandos para o sistema de controle de vôo do ônibus que manobra a nave espacial No espaço o sistema de controle de vôo movimenta angularmente os motores do sistema de manobra orbital OMS⁴ para uma posição que forneça o empuxo na direção conveniente à manobra comandada Dentro da atmosfera terrestre o ônibus é manobrado por comandos enviados pelo sistema de controle de vôo a superfícies aerodinâmicas como os elevons⁵ No interior deste grande sistema de controle representado pela navegação guiamento e controle existem inúmeros subsistemas para controlar as funções do veículo Por exemplo os elevons necessitam de um sistema de controle para assegurar que sua posição seja realmente a que foi comandada uma vez que perturbações como rajadas de vento podem desviálos da posição comandada De modo semelhante no espaço o movimento angular dos motores de manobra orbital requer um sistema de controle semelhante para assegurar que a rotação dos motores seja executada com velocidade e precisão Sistemas de controle são também usados para controlar e estabilizar ⁴OMS do inglês Orbital Maneuvering System NT ⁵Termo aeronáutico Superfície de controle que combina as funções de aileron e de profundor NT o veículo durante sua descida da órbita Um grande número de pequenos jatos que compõem o sistema de controle de reação RCS são usados inicialmente na exosfera onde as superfícies aerodinâmicas são ineficientes Mais tarde o controle é passado para as superfícies aerodinâmicas à medida que o veículo orbital ingressa na atmosfera Dentro do ônibus numerosos sistemas de controle são necessários para suprir energia e suporte a atividades de seres vivos Por exemplo o veículo orbital possui três células combustíveis que convertem hidrogênio e oxigênio reagentes em eletricidade e água para uso da tripulação As células combustíveis envolvem o uso de sistemas de controle para regular temperatura e pressão Os reservatórios do reagente são mantidos a pressão constante à medida que a quantidade de reagente diminui Sensores nos reservatórios enviam sinais aos sistemas de controle para ligar ou desligar os aquecedores de modo a manter constante a pressão do reservatório Rockwell International 1984 Os sistemas de controle não estão limitados à ciência e à indústria Por exemplo um sistema de aquecimento residencial contém um sistema de controle simples que consiste em um material bimetálico que expande ou contrai com a mudança de temperatura Esta expansão ou contração movimenta um frasco de mercúrio que atua como uma chave ligando ou desligando o aquecedor A quantidade de expansão ou contração necessária para mover a chave de mercúrio é determinada pelo ajuste de temperatura Sistemas de entretenimento doméstico também incorporaram sistemas de controle Por exemplo em um equipamento de disco de vídeo ou de CD cavidades microscópicas representando informações são usinadas no disco por um laser durante o processo de gravação Fig 14 Durante a reprodução um feixe de laser muda de intensidade ao ser refletido nas cavidades As mudanças de intensidade da luz são convertidas em sinal elétrico e processadas como som ou imagem Um sistema de controle mantém o feixe de laser posicionado nas cavidades que são usinadas como círculos concêntricos Há um número incontável de outros exemplos de sistemas de controle do cotidiano ao extraordinário Ao iniciar o estudo de engenharia de sistemas de controle você se conscientizará sobre a imensa variedade de aplicações e de oportunidades que eles representam para os engenheiros de controle e automação 13 O Engenheiro de Sistemas de Controle7 A Engenharia de Controle e Automação8 é um campo excitante para nele você aplicar seus talentos de engenharia porque ela percorre inúmeras áreas de conhecimento e inúmeras funções dentro destas áreas O engenheiro de controle e automação pode ser encontrado no nível mais alto de grandes projetos envolvido na fase conceitual de determinar ou implementar os requisitos globais do sistema Estes requisitos incluem especificações do desempenho do sistema como um todo funções de subsistemas e a interconexão destas funções incluindo os requisitos de interface projeto de hardware e software e planos e procedimentos de teste Muitos engenheiros estão engajados em somente uma área como o projeto de circuitos ou o desenvolvimento de software Contudo como engenheiro de controle e automação você pode se descobrir trabalhando em uma ampla área e interagindo com pessoas de inúmeros ramos da engenharia e da ciência Por exemplo se você estiver trabalhando em um sistema biológico precisará interagir com colegas das ciências biológicas de engenharia mecânica de engenharia elétrica e de engenharia de computação sem mencionar matemáticos e físicos Você estará trabalhando com estes engenheiros em todos os níveis do desenvolvimento do projeto a partir do conceito passando pelo desenvolvimento e finalmente testando No nível de desenvolvimento o engenheiro de controle e automação pode estar executando a seleção projeto e interface de hardware incluindo o desenvolvimento total de subsistemas para atender os requisitos especificados O engenheiro de controle pode estar trabalhando com sensores e motores bem como com circuitos eletrônicos pneumáticos e hidráulicos O ônibus espacial fornece outro exemplo da diversidade exigida do engenheiro de sistemas Na seção anterior mostramos que os sistemas de controle do ônibus espacial envolvem muitos ramos do conhecimento científico mecânica orbital e propulsão aerodinâmica engenharia elétrica e engenharia mecânica Trabalhe ou não no programa espacial como engenheiro de controle e automação você aplicará conhecimento amplo para solucionar problemas de engenharia de controle Você terá a oportunidade de expandir seus horizontes de engenharia além do currículo universitário Agora você está ciente das futuras oportunidades Mas por ora que vantagens este curso oferece a um estudante de sistemas de controle além do fato de você necessitar se graduar Os currículos de engenharia tendem a enfatizar o projeto de baixo para cima Isto é você começa a partir dos componentes desenvolve circuitos e então monta um produto No projeto de cima para baixo primeiro é formulada uma visão de alto nível sobre os requisitos em seguida são determinados as funções e o hardware necessários para implementar o sistema Como resultado deste curso você será capaz de adotar uma abordagem sistêmica de cima para baixo Uma das razões principais para não ensinar o projeto de cima para baixo ao longo de todo o currículo é o alto nível de matemática exigido inicialmente para a abordagem dos sistemas Por exemplo a teoria de sistemas de controle que requer equações diferenciais não pode ser ensinada nos primeiros períodos Por outro lado ao pro Esta é a designação no Brasil dos engenheiros de sistemas de controle NT 7No Brasil Engenheiro de Controle e Automação NT 8Idem NT gredir através do projeto de baixo para cima é difícil enxergar como os cursos que você está tendo se ajustam logicamente dentro da grande moldura do ciclo de desenvolvimento do produto Ao concluir este curso de sistemas de controle você será capaz de retroceder e constatar como seus estudos anteriores se ajustam dentro do grande cenário O curso sobre amplificadores ou o curso sobre vibrações terá um novo significado quando você começar a ver o papel que eles desempenham como parte integrante do desenvolvimento do produto Por exemplo como engenheiros queremos descrever o mundo físico matematicamente para tornar possível a criação de sistemas que beneficiarão a humanidade Você descobrirá que realmente adquiriu através de seus cursos anteriores a habilidade de modelar sistemas físicos matematicamente embora às vezes possa não ter entendido onde se ajusta a modelagem no ciclo de desenvolvimento do produto Este curso esclarecerá os procedimentos de análise e planejamento e mostrará a você como o conhecimento adquirido se encaixa dentro do cenário total do projeto do sistema A compreensão dos sistemas de controle capacita os alunos de todos os ramos da engenharia a falar uma linguagem comum e a desenvolver apreciação e conhecimento do trabalho dos outros ramos Você descobrirá que realmente não existe muita diferença entre os ramos da engenharia ao menos no que concerne aos objetivos e aplicações Ao estudar sistemas de controle você verá este aspecto comum 14 Características de Resposta e Configurações de Sistema Nesta seção daremos uma olhada mais de perto nas características de resposta dos sistemas de controle Discutiremos também duas configurações principais dos sistemas de controle malha aberta e malha fechada Finalmente mostraremos como um computador digital faz parte de uma configuração de sistema de controle Entrada e Saída Conforme observado anteriormente um sistema de controle fornece uma saída ou resposta para uma dada entrada ou estímulo A entrada representa a resposta desejada a saída é a resposta real Por exemplo quando o botão do quarto andar de um elevador é pressionado no térreo o elevador sobe até o quarto andar com uma velocidade e com uma precisão de nivelamento projetados para o conforto do passageiro A Fig 15 mostra a entrada e a saída para o sistema elevador O acionamento do botão do quarto andar é a entrada e é representado por um comando em degrau Note que no interesse pelo conforto do passageiro sem falar na potência limitada disponível não poderíamos querer que o elevador imitasse a transição instantânea da entrada A entrada representa o que gostaríamos que a saída fosse depois que o elevador tivesse parado o elevador em si segue o deslocamento descrito pela curva denominada resposta do elevador Dois fatores fazem a saída diferente da entrada Primeiro compare a mudança instantânea da entrada contra a mudança gradual da saída na Fig 15 Entidades físicas não podem mudar seus estados por exemplo posição ou velocidade instantaneamente O estado se altera segundo uma trajetória que se relaciona com o dispositivo físico e ao modo como armazena ou dissipa energia Desta maneira o elevador é submetido a uma mudança gradual à medida que sobe do primeiro para o quarto andar Chamamos esta parte da resposta de resposta transitória Depois da resposta transitória um sistema físico tende à resposta de estado estacionário que é a aproximação da resposta comandada ou desejada Para o exemplo do elevador esta resposta ocorre quando o elevador alcança o quarto andar A precisão do nivelamento do elevador com o piso do andar é um segundo fator que poderia tornar a saída diferente da entrada Chamamos esta diferença mostrada na Fig 15 de erro de estado estacionário A ocorrência de erro de estado estacionário não existe somente nos sistemas de controle com defeito Frequentemente o erro de estado estacionário é inerente ao sistema projetado e o engenheiro de controle e automação determina se esse erro conduzir ou não a degradação relevante das funções do sistema Por exemplo em sistemas de rastreamento de satélite alguns erros de estado estacionário podem ser tolerados desde que suficientemente pequenos para manter o satélite próximo ao centro do feixe do radar de rastreamento Contudo para um robô inserindo um chip de memória em uma placa o erro de estado estacionário deve ser zero Agora descreveremos duas configurações de sistemas de controle malha aberta e malha fechada Podemos considerar que estas configurações sejam a arquitetura interna do sistema inteiro mostrado na Fig 11 Sistemas a Malha Aberta Um sistema a malha aberta genérico é mostrado na Fig 16a Consiste em um subsistema chamado transdutor de entrada que converte a forma de entrada na que é usada pelo controlador O controlador age sobre um processo ou planta A entrada às vezes é chamada de referência ao passo que a saída pode ser chamada de variável controlada Outros sinais como perturbações são mostrados somados às saídas do controlador e do processo por meio de junções de adição as quais produzem a soma algébrica de seus sinais de entrada usando sinais associados Por exemplo a planta pode ser uma caldeira ou um sistema de condicionamento de ar onde a variável de saída é a Entrada ou Referência Transdutor de entrada Controlador Perturbação 1 Junção de adição Processo ou Planta Junção de adição Perturbação 2 Saída ou Variável controlada a Entrada ou Referência Transdutor de entrada Erro ou Sinal atuante Junção de adição Controlador Perturbação 1 Junção de adição Processo ou Planta Perturbação 2 Junção de adição Saída ou Variável controlada Transdutor de saída ou Sensor b Fig 16 Diagrama de blocos dos sistemas de controle a sistema a malha aberta b sistema a malha fechada temperatura O controlador em um sistema de aquecimento consiste em válvulas de combustível e do sistema elétrico que opera as válvulas A característica que distingue um sistema a malha aberta é que este não pode compensar a ação de quaisquer perturbações que sejam adicionadas ao sinal atuante do controlador Perturbação 1 na Fig 16a Por exemplo se um controlador for um amplificador eletrônico e a Perturbação 1 for um ruído então qualquer ruído adicionado ao amplificador na primeira junção de adição agirá também sobre o processo corrompendo a saída com o efeito do ruído A saída de um sistema a malha aberta é corrompida não apenas por sinais que se agregam aos comandos do controlador mas também pelas perturbações na saída Perturbação 2 na Fig 16a O sistema tampouco não pode corrigir estas perturbações Os sistemas a malha aberta portanto não corrigem os efeitos de perturbações e são comandados unicamente com base na entrada Por exemplo torradeiras são sistemas a malha aberta como qualquer um que tenha queimado uma torrada pode atestar A variável controlada saída de uma torradeira é a cor da torrada O dispositivo é projetado com a suposição de que a torrada estará tanto mais escura quanto mais tempo seja submetida ao calor A torradeira não mede a cor da torrada não leva em conta os efeitos devidos ao fato de a torrada ser de centeio branca ou de massa fermentada nem corrige o efeito decorrente de as torradas terem espessuras diferentes Outros exemplos de sistemas a malha aberta são sistemas mecânicos constituídos de massa mola e amortecedor com uma força constante posicionando a massa Quanto maior a força maior o deslocamento Novamente a posição do sistema mudará em presença de uma perturbação como uma força adicional e o sistema não detectará ou corrigirá a perturbação Ou suponha que você calcule o tempo que precisa para estudar a fim de obter um conceito A em uma prova escrita cobrindo três capítulos Se o professor acrescentar um quarto capítulo uma perturbação você se comportará como um sistema a malha aberta se não detectar a perturbação e não adicionar tempo de estudo ao calculado anteriormente O resultado deste lapso será uma nota mais baixa do que a esperada Sistemas a Malha Fechada Controle com Retroação As desvantagens dos sistemas a malha aberta especificamente a sensibilidade a perturbações e a incapacidade de corrigir os efeitos destas perturbações podem ser superadas nos sistemas a malha fechada A arquitetura genérica de um sistema a malha fechada é mostrada na Fig 16b O transdutor de entrada converte a forma da entrada na forma usada pelo controlador Um transdutor de saída ou sensor mede a resposta de saída e a converte na forma usada pelo controlador Por exemplo se o controlador usa sinais elétricos para operar as válvulas de um sistema de controle de temperatura a posição de entrada e a temperatura de saída são convertidas em sinais elétricos A posição de entrada pode ser convertida em uma tensão por meio de um potenciômetro As raízes de s 22 no denominador são repetidas uma vez que o fator é elevado a uma potência inteira maior que 1 Neste caso a raiz do denominador em 2 é uma raiz múltipla de multiplicidade 2 Podemos escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos onde cada fator do denominador constitui o denominador de cada uma das frações Além disto cada raiz múltipla gera termos adicionais com fatores do denominador de multiplicidade reduzida Por exemplo se Fs 2 s 1s 22 K1s 1 K2s 22 K3s 2 223 então K1 2 pode ser obtido como descrito anteriormente K2 pode ser isolado multiplicandose a Eq 223 por s 22 resultando 2s 1 s 22 K1s 1 K2 s 2K3 224 Fazendo s tender a 2 K2 2 Para obter K3 constatamos que se derivarmos a Eq 224 em relação a s 2 s 12 s 2s s 12 K1 K3 225 é possível isolar e determinar K3 fazendo s tender a 2 Portanto K3 2 Cada uma das partes componentes da Eq 223 é uma Fs na Tabela 21 em consequência ft é a soma das transformadas de Laplace inversas de cada termo ou seja ft 2 et 2 t e2 t 2 e2 t 226 Se a raiz do denominador for de multiplicidade superior a 2 as derivações sucessivas irão isolar cada um dos resíduos na expansão da raiz múltipla Em geral então dada uma Fs cujo denominador possui raízes reais e repetidas uma expansão em frações parciais Fs NsDs Nss p1r s p2 s pn K1 s p1r K2 s p1r1 Kr s p1 Kr1s p2 Kns pn 227 pode ser efetuada se a ordem de Ns for inferior à ordem de Ds e as raízes repetidas forem de multiplicidade r em p1 Para determinar as constantes K1 a Kr referentes às raízes de multiplicidade superior à unidade multiplicase primeiro a Eq 227 por s p1r obtendo F1s F1s s p1r Fs s p1r Nss p1r s p2 s pn K1 s p1 K2 s p12 K3 s p1r1 Kr Kr1s p1rs p2 Kn s p1rs pn 228 De imediato é possível determinar K1 fazendo s tender a p1 Podemos determinar K2 derivando a Eq 228 com relação a s e em seguida fazendo s tender a p1 As derivações subsequentes permitirão determinar os valores de K3 a Kr A expressão geral de Ki a Kr para raízes múltiplas é Ki 1 i1 di1dsi1 F1s s p1 i 1 2 r 0 1 229 Caso 3 Raízes do Denominador de Fs Complexas ou Imaginárias Um exemplo de Fs com raízes complexas em denominador é Fs 3 ss2 2s 5 230 um resistor variável e a temperatura de saída pode ser convertida em uma tensão por intermédio de um termistor um dispositivo cuja resistência elétrica muda com a temperatura A primeira junção de adição adiciona algebricamente o sinal da entrada ao sinal da saída que chega pelo canal de retroação o percurso de retorno da saída para a junção de adição Na Fig 16b o sinal de saída é subtraído do sinal de entrada O resultado é geralmente chamado de sinal atuante Contudo em sistemas onde ambos os transdutores de entrada e de saída têm ganho unitário isto é o transdutor amplifica o sinal de entrada por 1 o valor do sinal atuante é igual à diferença real entre a entrada e a saída Sob esta condição o sinal atuante é chamado de erro O sistema a malha fechada compensa perturbações medindo a resposta da saída retornando esta medição através de um canal de retroação e comparando essa resposta com a entrada na junção de adição Se existir alguma diferença entre as duas respostas o sistema age sobre a planta por meio do sinal atuante para fazer a correção Se não existir diferença o sistema não age sobre o processo uma vez que a resposta da planta já é a resposta desejada Os sistemas a malha fechada por conseguinte apresentam a vantagem óbvia de uma maior precisão que os sistemas a malha aberta Eles são menos sensíveis a ruídos a perturbações e a mudanças nas condições ambientais A resposta transitória e o erro de estado estacionário podem ser controlados de modo mais conveniente e com maior flexibilidade nos sistemas a malha fechada muitas vezes por meio de um simples ajuste de ganho amplificação na malha e às vezes reprojetandose o controlador Referimonos ao re projeto como compensação do sistema e ao hardware resultante como compensador Por outro lado sistemas a malha fechada são mais complexos e caros que os sistemas a malha aberta Uma torradeira padrão a malha aberta serve como exemplo é simples e barata Uma torradeira com forno a malha fechada é mais complexa e mais cara uma vez que tem de medir a cor através da refletividade da luz juntamente com a umidade dentro do forno Por conseguinte os engenheiros de controle e automação devem considerar a relação custobenefício entre a simplicidade e o baixo custo de um sistema a malha aberta e a precisão e o maior custo de um sistema a malha fechada Resumindo sistemas que realizam medição e correção descritas anteriormente são chamados de sistemas a malha fechada ou sistemas de controle com retroação Sistemas que não têm esta propriedade de medição e correção são chamados de sistemas a malha aberta Sistemas Controlados por Computador Em muitos sistemas modernos o controlador ou compensador é um computador digital A vantagem de usar um computador é que se pode controlar ou compensar muitas malhas pelo mesmo computador através de forma compartilhada time sharing Além disso qualquer ajuste requerido nos parâmetros do compensador para produzir uma resposta desejada pode ser feito através de mudanças no software e não no hardware O computador também pode realizar funções de supervisão como agendar a execução de muitas aplicações requeridas Por exemplo o controlador do motor principal do ônibus espacial SSME9 que contém dois computadores digitais controla sozinho numerosas funções do motor Monitora os sensores do motor que fornecem pressões temperaturas vazões velocidade das turbobombas e posições do atuador de servoválvulas do motor O controlador além disso efetua o controle da malha fechada do empuxo e da razão de mistura do propelente da excitação dos sensores dos atuadores de válvulas dos ignitores bem como de outras funções Rockwell International 1984 Agora que descrevemos os sistemas de controle definamos os objetivos de análise e de projeto Esta função pode ser expandida na seguinte forma 3 ss2 2s 5 K1 s K2 s K3 s2 2s 5 231 K1 pode ser determinado pelo procedimento habitual e vale 35 K2 e K3 podem ser determinados multiplicandose primeiro a Eq 231 pelo mínimo múltiplo comum do denominador ss2 2s 5 e simplificando as frações Depois da simplificação com K1 35 obtémse 3 K2 35 s2 K3 65 s 3 232 Igualandose os coeficientes de mesma potência de s resultam K2 35 0 e K3 65 0 Portanto K2 35 e K3 65 Assim Fs 3 ss2 2s 5 35s 35 s 2 s2 2s 5 233 É possível mostrar que o último termo é igual à soma das transformadas de Laplace de um seno e de um coseno exponencialmente amortecidos Usando o Item 7 na Tabela 21 e os Itens 2 e 4 na Tabela 22 obtemos LAeat cos ωt As a s a2 ω2 234 De modo semelhante LBeat sen ωt Bω s a2 ω2 235 Adicionando as Eqs 234 e 235 obtemos LAeat cos ωt Beat sen ωt As a Bω s a2 ω2 236 Convertemos agora o último termo da Eq 233 à forma sugerida pela Eq 236 completando os quadrados no denominador e ajustando termos no numerador sem alterar o seu valor Por conseguinte Fs 35s 35 s 1 122 s 12 22 237 Comparando a Eq 237 com a Tabela 21 e com a Eq 236 encontramos ft 35 35 et cos 2t 12 sen 2t 238 Para visualizar a solução é preferível uma forma alternativa de ct obtida através de identidades trigonométricas Usando as amplitudes dos termos seno e coseno pomos em evidência o fator 12 122 nos termos entre parênteses e obtemos ct 35 35 12 122 et 112 122 cos 2t 1212 122 sen 2t 239 Fazendo 112 122 cos ϕ e 1212 122 sen ϕ ct 35 35 12 122 et cos ϕ cos 2t sen ϕ sen 2t 240 ou ct 06 0671 et cos 2t ϕ 241 onde ϕ arc tg 05 2657 Assim ct é igual a uma constante mais uma senóide exponencialmente amortecida Em geral então dada uma Fs cujo denominador possua raízes complexas ou raízes imaginárias é possível efetuar uma expansão em frações parciais Fs NsDs Ns s p1s2 as b K1s p1 K2 s K3s2 as b 242 Fig 17 Acionador de disco rígido de computador mostrando discos e cabeça de leituragravação Neste livro estabelecemos definições quantitativas para a resposta transitória Analisamos então o sistema com sua resposta transitória existente Finalmente ajustamos parâmetros ou projetamos componentes para produzir uma resposta transitória desejada nosso primeiro objetivo de análise e de projeto Resposta de Estado Estacionário Outro objetivo da análise e do projeto focaliza a resposta em estado estacionário Como vimos esta resposta se parece com a entrada e é usualmente o que permanece depois que a componente transitória se reduz a zero Por exemplo esta resposta pode ser um elevador parado próximo ao quarto andar ou a cabeça de um acionador de disco finalmente parada na trilha correta Estamos interessados na precisão da resposta de estado estacionário Um elevador deve estar nivelado o suficiente com o andar para os passageiros saírem e uma cabeça de leituragravação não posicionada sobre a trilha comandada resulta em erros computacionais Uma antena rastreando um satélite deve manter o satélite bem dentro da largura do feixe a fim de não perder o rastreamento Neste texto definimos os erros de estado estacionário quantitativamente analisamos os erros de estado estacionário do sistema e então projetamos a ação corretiva de modo a reduzir o erro de estado estacionário nosso segundo objetivo de análise e de projeto Estabilidade A discussão sobre a resposta transitória e sobre o erro de estado estacionário é duvidosa se o sistema não tiver estabilidade Para explicar a estabilidade começamos a partir do fato de que a resposta total de um sistema é a soma da resposta natural e da resposta forçada Quando você estudou equações diferenciais lineares provavelmente se referiu a estas respostas como as soluções homogênea e particular respectivamente A resposta natural descreve o modo pelo qual o sistema dissipa ou acumula energia A forma ou a natureza desta resposta é dependente somente do sistema não da entrada Por outro lado a forma ou a natureza da resposta forçada é dependente da entrada Desta maneira para um sistema linear podemos escrever Resposta total Resposta natural Resposta forçada 1110 Para que um sistema de controle seja útil a resposta natural deve 1 finalmente tender a zero desta maneira deixando somente a resposta forçada ou 2 oscilar Em alguns sistemas contudo a resposta natural cresce sem limites em vez de diminuir até zero ou oscilar Finalmente a resposta natural é tão maior que a resposta forçada que o sistema não é mais controlado Esta condição chamada instabilidade pode conduzir à autodestruição do dispositivo físico se não houver batentes limitadores como parte do projeto Por exemplo o elevador se chocaria contra o chão ou sairia através do telhado uma aeronave poderia entrar em movimento incontrolável de rolamento ou uma antena comandada para apontar sobre um alvo começaria a oscilar em torno do alvo com oscilações crescentes e aumentando a velocidade até que o motor ou os amplificadores alcançassem seus limites de saída ou até que a antena fosse danificada estruturalmente Um gráfico em função do tempo de um sistema instável mostraria uma resposta transitória que cresce sem limites e sem qualquer evidência de uma resposta de estado estacionário 10Você pode estar confuso com as palavras transitório vs natural e estado estacionário vs forçado Se você olhar a Fig 15 poderá ver as partes transitória e de estado estacionário da resposta total como indicadas A resposta transitória é a soma das respostas natural e forçada enquanto a resposta natural for grande Se esboçássemos a resposta natural por si mesma podríamos ter uma curva que é diferente da porção transitória da Fig 15 A resposta de estado estacionário da Fig 15 é também a soma das respostas natural e forçada mas enquanto a resposta natural for pequena Desta maneira as respostas transitória e de estado estacionário são o que você realmente vê no gráfico as respostas natural e forçada são os componentes matemáticos fundamentais dessas respostas se a ordem de Ns for inferior à ordem de Ds p1 for real e s2 as b possuir raízes complexas ou imaginárias As raízes complexas ou imaginárias são expandidas com termos da forma K2 s K3 no numerador em vez de simplesmente Ki como no caso de raízes reais Os Ki na Eq 242 são obtidos igualandose os coeficientes da equação depois de simplificar as frações Depois de completar os quadrados de s2 as b e ajustar o numerador K2 s K3 s2 as b pode ser colocada na forma mostrada no membro da direita da Eq 236 Finalmente o caso de raízes puramente imaginárias ocorre se a 0 na Eq 242 Os cálculos são os mesmos Um outro método que segue a técnica usada para a expansão em frações parciais de Fs com raízes reais em denominador pode ser usado para o caso de raízes complexas e imaginárias Contudo os resíduos de raízes complexas e imaginárias são também conjugados complexos Então depois de obter a transformada de Laplace inversa os termos resultantes podem ser identificados como ejθ ejθ 2 cos θ 243 e ejθ ejθ 2j sen θ 244 Por exemplo a Fs anterior também pode ser expandida como Fs 3 ss2 2s 5 3 ss 1 j2s 1 j2 K1 s K2 s 1 j2 K3 s 1 j2 245 Determinando K2 K2 3 ss 1 j2 s 1 j2 320 2 j1 246 De modo semelhante K3 é obtido como o conjugado complexo de K2 e K1 é determinado como descrito anteriormente Por conseguinte Fs 35 s 320 2 j1 s 1 j2 2 j1 s 1 j2 247 donde ft 35 320 2 j1 e1j2t 2 j1 e1j2t 35 320 et 4 ej2t ej2t2 2 ej2t ej2t2j 248 Usando as Eqs 243 e 244 obtemos ft 35 35 et cos 2t 12 sen 2t 06 0671 et cos 2t ϕ 249 onde ϕ arctg 05 2657 Matemática Simbólica Os estudantes que estiverem usando exercícios com o MATLAB e quiserem explorar os recursos adicionais da Toolbox de Matemática Simbólica devem executar agora os programas ch2sp1 e ch2sp2 do Apêndice E Você aprenderá como construir objetos simbólicos e em seguida obter a transformada de Laplace inversa e as transformadas de Laplace de funções nos domínios de frequência e do tempo respectivamente Os exemplos no Caso 2 e no Caso 3 desta seção serão resolvidos usando a Toolbox de Matemática Simbólica Exercício de Avaliação 21 Problema Obter a transformada de Laplace de ft te5t Resposta Fs 1 s 52 A solução completa está no CDROM que acompanha o livro Os sistemas de controle devem ser projetados para serem estáveis Isto é sua resposta natural deve tender a zero quando o tempo tende a infinito ou oscilar Em muitos sistemas a resposta transitória que você vê em um gráfico da resposta em função do tempo pode ser relacionada diretamente com a resposta natural Assim se a resposta natural tender a zero quando o tempo tender a infinito a resposta transitória também desaparecera deixando somente a resposta forçada Se o sistema for estável podem ser projetadas as características adequadas do erro de estado estacionário e da resposta transitória Estabilidade é o nosso terceiro objetivo de análise e de projeto Outras Considerações Já foram enumerados os três objetivos principais da análise e do projeto do sistema de controle Contudo outras considerações importantes devem ser levadas em conta Por exemplo fatores que afetam a seleção do hardware como o dimensionamento do motor para atender os requisitos de potência e a escolha de sensores de acordo com a precisão necessária devem ser considerados na fase inicial do projeto Os custos são uma outra consideração Projetistas de sistemas de controle não podem criar projetos sem considerar seu impacto econômico Considerações como distribuição de orçamento e preço competitivo devem guiar o engenheiro Por exemplo se seu produto for um único exemplar você pode ser capaz de criar um projeto que use componentes caros sem aumentar apreciavelmente o custo total Contudo se seu projeto for usado para fazer muitas unidades um pequeno acréscimo no custo unitário pode se traduzir em muitos mais dólares para sua empresa propor no contrato de licitação e para desembolso antes das vendas Uma outra consideração é a de um projeto robusto Parâmetros do sistema considerados constantes durante o projeto da resposta transitória dos erros de estado estacionário e da estabilidade mudam ao longo do tempo quando o sistema real é construído Desta maneira o desempenho do sistema também muda ao longo do tempo e não será consistente com seu projeto Infelizmente a relação entre mudanças de parâmetros e seus efeitos no desempenho não é linear Em alguns casos ainda no mesmo sistema mudanças nos valores dos parâmetros podem acartar mudanças menores ou maiores no desempenho dependendo do ponto de operação nominal do sistema e do tipo de projeto usado Desta maneira o engenheiro deve criar um projeto robusto para que o sistema não seja sensível a mudanças dos parâmetros Discutiremos o conceito de sensibilidade do sistema a mudanças de parameters nos Caps 7 e 8 Este conceito então pode ser usado para testar o projeto quanto à robustez Introdução a um Estudo de Caso Agora que nossos objetivos foram estabelecidos como alcançálos Nesta seção examinaremos um exemplo de um sistema de controle com retroação O sistema apresentado aqui será usado em capítulos subseqüentes como um estudo de caso itinerante para demonstrar os objetivos desses capítulos Uma faixa no topo da página identificará a seção de estudo de caso ao final de cada capítulo A Seção 16 que segue este primeiro estudo de caso explora o procedimento de projeto que nos ajudará a construir o sistema Uma Introdução aos Sistemas de Controle de Posicionamento de uma Antena em Azimute Um sistema de controle de posição converte um comando de posição de entrada em uma resposta de posição de saída Os sistemas de controle de posição encontram aplicações muito difundidas em antenas braços robóticos e acionadores de disco rígido de computador A antena do radiotelescópio da Fig 18 é um exemplo de sistema que utiliza controle de posição Nesta seção examinaremos em detalhes um sistema de controle de posição de antena em azimute que pode ser usado para posicionar uma antena de radiotelescópio Veremos como o sistema funciona e como podemos efetuar mudanças em seu desempenho A discussão aqui será sob um nível qualitativo com o objetivo de obter um sentimento intuitivo a respeito dos sistemas com os quais estivermos lidando Um sistema de controle de posição de uma antena em azimute é mostrado na Fig 19a com um leiaute e um esquema mais detalhados nas Figs 19b e 19c respectivamente A Fig 19d mostra um diagrama de blocos funcional do sistema As funções são mostradas acima dos blocos e o hardware necessário está indicado dentro dos blocos Partes da Fig 19 são repetidas na contracapa dianteira para referência futura A finalidade deste sistema é fazer com que o ângulo de azimute de saída da antena θ0t siga o ângulo de entrada do potenciômetro θit Observemos a Fig 19d e descrevamos como funciona este sistema O comando de entrada é um deslocamento angular O potenciômetro converte o deslocamento angular em uma tensão De modo semelhante o deslocamento angular de saída é convertido em uma tensão por um potenciômetro no canal de retroação Os amplificadores de sinal e de potência amplificam a diferença entre as tensões de entrada e de saída Este sinal amplificado atua sobre o processo O sistema normalmente opera para levar o erro a zero Quando a entrada e a saída coincidirem o erro será zero e o motor não girará Portanto o motor é acionado somente quando a saída e a entrada não coincidirem Quanto maior a diferença entre a entrada e a saída maior será a tensão de entrada do motor e mais rápido girará o motor Se aumentarmos o ganho do amplificador de sinal haverá um aumento no valor de estado estacionário da saída Se o ganho for aumentado então para um dado sinal atuante o motor será acionado com mais energia Mas o motor parará quando o sinal atuante alcançar o valor zero isto é quando a saída se igualar à entrada A diferença na resposta contudo será nos transitórios Uma vez que o motor seja acionado com mais energia ele gira mais rápido para a posição final Também em virtude do aumento da velocidade um aumento na quantidade de movimento angular pode fazer com que o motor exceda os limites do valor final e seja forçado pelo sistema a retornar à posição comandada Fig 18 A procura por vida extraterrena está sendo realizada com antenas de rádio como mostra da aqui Uma antena de rádio é um exemplo de sistema com controles de posição Potenciômetro θit Ângulo de azimute de entrada desejado Antena θ0t Ângulo de azimute de saída a Potenciômetro θit Ângulo de azimute de entrada desejado Antena θ0t Ângulo de azimute de saída Amplificador diferencial e amplificadorde potência Motor Potenciômetro b Fig 19 Sistema de controle de posição da antena em azimute a conceito do sistema b leiaute detalhado a figura continua Desta maneira existe a possibilidade de se ter uma resposta transitória com oscilações amortecidas isto é uma resposta senoidal cuja amplitude diminui com o tempo em torno do valor de estado estacionário se o ganho for alto As respostas para valores de baixo e alto ganho são mostradas na Fig 110 Discutimos a resposta transitória do sistema de controle de posição Dirijamos agora nossa atenção para a posição de estado estacionário para observar o quanto a saída coincide com a entrada depois que os transitórios desaparecem A Fig 110 mostra erro zero na resposta do estado estacionário isto é depois de os transitórios terem desaparecido a posição de saída iguala a posição de entrada comandada Em alguns sistemas o erro de estado estacionário não será zero para estes sistemas um simples ajuste no ganho para regular a resposta transitória ou é ineficiente ou conduz a um compromisso entre a resposta transitória desejada e a exatidão de estado estacionário desejada Para resolver este problema um controlador com resposta dinâmica como um filtro elétrico é usado junto com um amplificador Com este tipo de controlador é possível projetar a resposta transitória desejada e a exatidão de estado estacionário desejado sem o conflito a que se chega adotando um simples ajuste de ganho Contudo o controlador é agora mais complexo O filtro neste caso é chamado compensador Muitos sistemas também usam elementos dinâmicos no canal de retroação junto com o transdutor de saída para melhorar o desempenho do sistema Resumindo então nossos objetivos de projeto e o desempenho do sistema giram ao redor da resposta transitória do erro de estado estacionário e da estabilidade Ajustes de ganho podem afetar o desempenho e algumas vezes conduzir a conflitos entre os critérios de desempenho Os compensadores podem freqüentemente ser projetados para obter especificações de desempenho sem a necessidade de soluções de compromisso Agora que estabelecemos os objetivos e alguns dos métodos disponíveis para alcançar esses objetivos podemos descrever o procedimento ordenado que nos conduz ao projeto final do sistema θit Potenciômetro Amplificadores Amplificador diferencial e de potência K Motor Resistência da armadura Armadura Campo constante Engrenagem θo t Inércia Amortecimento viscoso Potenciômetro Engrenagem Entrada angular Transdutor de entrada Potenciômetro Tensão proporcional à entrada Junção de adição Erro ou Sinal atuante Controlador Amplificadores de sinal e de potência Planta ou Processo Motor carga e engrenagens Saída angular Sensor transdutor de saída Potenciômetro Tensão proporcional à saída Fig 19 continuação c esquema d diagrama de blocos funcional Saída com ganho alto Entrada Saída com ganho baixo Resposta Tempo Fig 110 Resposta de um sistema de controle de posição mostrando o efeito de valores grande e pequeno para o ganho do controlador na resposta da saída 16 Procedimento de Projeto Nesta seção estabelecemos uma sequência ordenada para o projeto de sistemas de controle com retroação que será seguido conforme formos progredindo ao longo do restante do livro A Fig 111 mostra o procedimento descrito bem como os capítulos nos quais os passos são discutidos O sistema de controle de posição da antena em azimute discutido na última seção é representativo de sistemas de controle que precisam ser analisados e projetados A retroação e a comunicação são inerentes a cada uma das fases da Fig 111 Por exemplo se o teste Passo 6 mostrar que os requisitos não foram atendidos o sistema deve ser reprojetado e testado de novo Algumas vezes os requisitos são conflitantes e o projeto não pode ser atendido Nestes casos os requisitos precisam ser reespecificados e o procedimento de projeto repetido Elaboremos cada bloco da Fig 111 Passo 1 Transformar Requisitos em um Sistema Físico Começamos por transformar os requisitos em um sistema físico Por exemplo no sistema de controle de azimute da antena os requisitos expressariam o desejo de posicionar a antena a partir de uma localização remota e descrever características como peso e dimensões físicas Usando os requisitos são determinadas as especificações de projeto como resposta transitória desejada e exatidão de estado estacionário Resultaria talvez uma noção global tal como a Fig 19a Passo 2 Desenhar um Diagrama de Blocos Funcional O projetista agora traduz a descrição qualitativa do sistema em um diagrama de blocos funcional que descreve as partes componentes do sistema isto é função eou hardware e mostra suas interconexões A Fig 19d é um exemplo de diagrama de blocos funcional para um sistema de controle de posição de antena em azimute Indica funções como transdutor de entrada e controlador bem como possível descrição de hardware como amplificadores e motores Neste ponto o projetista pode produzir um leiaute detalhado do sistema conforme mostrado na Fig 19b a partir do qual pode ser lançada a próxima fase de análise e sequência de projeto desenvolvendo um diagrama esquemático Passo 3 Criar um Diagrama Esquemático Como vimos os sistemas de controle de posição consistem em componentes elétricos mecânicos e eletromecânicos Após produzir a descrição de um sistema físico o engenheiro de sistemas de controle transforma o sistema físico em um diagrama esquemático O projetista de sistemas de controle pode começar com a descrição física contida na Fig 19d e deduzir um esquema O engenheiro deve fazer aproximações sobre o sistema e desprezar o efeito de certos fenômenos ou então o esquema será difícil de manejar tornando difícil extrair um modelo matemático útil durante a próxima fase de análise e sequência de projeto O projetista começa com uma simples representação esquemática e nas fases subseqüentes de análise e seqüência de projeto verifica as suposições feitas sobre o sistema físico através da análise e simulação em computador Se o esquema for muito simples e não levar em consideração de forma adequada o comportamento observado o engenheiro de sistemas de controle adiciona ao esquema o efeito dos fenômenos que foram anteriormente supostos insignificantes Um diagrama esquemático para o sistema de controle de posição da antena em azimute é mostrado na Fig 19c Ao desenhar os potenciômetros fizemos nossa primeira hipótese simplificadora desprezando o atrito e a inércia Estas características mecânicas conduzem a uma resposta dinâmica para a tensão de saída em vez de uma resposta instantânea Admitimos que estes efeitos mecânicos são insignificantes e que a tensão sobre o potenciômetro muda instantaneamente conforme o eixo do potenciômetro gira Um amplificador diferencial e um amplificador de potência são usados como controlador para produzir amplificação de sinal e de potência respectivamente para acionar o motor Novamente supomos que a dinâmica dos amplificadores é rápida em comparação com o tempo de resposta do motor desta maneira modelamos os amplificadores como um ganho puro K Passo 1 Determine um sistema físico e as especificações a partir dos requisitos Passo 2 Desenhe um diagrama de blocos funcional Passo 3 Transforme o sistema físico em um esquema Passo 4 Use o esquema para obter um diagrama de blocos um diagrama de fluxo de sinal ou uma representação no espaço de estados Passo 5 Se houver blocos múltiplos reduza o diagrama de blocos em um único bloco ou sistema a malha fechada Passo 6 Analise projete e teste para ver que requisitos e especificações são compatíveis Fig 111 O procedimento de projeto de sistemas de controle Análogo Digital Capítulo 1 Capítulos 2 3 Capítulo 13 Capítulo 5 Capítulo 13 Capítulos 4 612 Capítulo 13 Um motor CC e a carga equivalente produzem o deslocamento angular de saída A velocidade do motor é proporcional à tensão aplicada ao circuito de armadura do motor A indutância e a resistência são ambas partes do circuito de armadura Mostrando somente a resistência de armadura na Fig 19c estamos admitindo que o efeito da indutância da armadura é insignificante no motor CC O projetista faz suposições adicionais sobre a carga A carga consiste em uma massa em rotação e em um atrito de mancais Desta maneira o modelo consiste em inércia e em amortecimento viscoso cujo torque resistivo aumenta com a velocidade como em um amortecedor de automóvel ou de fechamento automático de porta As decisões tomadas no desenvolvimento do esquema têm origem no conhecimento do sistema físico nas leis físicas que governam o comportamento do sistema e na experiência prática Estas decisões não são fáceis contudo à medida que você adquire mais experiência em projeto ganhará a intuição requerida para esta difícil tarefa Passo 4 Desenvolver um Modelo Matemático Diagrama de Blocos Uma vez que o esquema está desenhado o projetista usa leis físicas como as leis de Kirchhoff para circuitos elétricos e as leis de Newton para sistemas mecânicos junto com hipóteses simplificadoras para modelar matematicamente o sistema Estas leis são Lei de Kirchhoff das tensões A soma das tensões ao longo de um caminho fechado é igual a zero Lei de Kirchhoff das correntes A soma das correntes elétricas que fluem por um nó é igual a zero Leis de Newton A soma das forças aplicadas a um corpo é igual a zero11 a soma dos momentos aplicados a um corpo é igual a zero As leis de Kirchhoff e as de Newton conduzem a modelos matemáticos que descrevem a relação entre a entrada e a saída de sistemas dinâmicos Um tal modelo é a equação diferencial linear invariante no tempo Eq 12 dn ctdtn an1 dn1ctdtn1 a0 ct bm dm rtdtm bm1 dm1 rtdtm1 b0 rt 1212 Muitos sistemas podem ser aproximadamente descritos por esta equação que relaciona a saída ct com a entrada rt por meio dos parâmetros do sistema ai e bj Supomos que o leitor esteja familiarizado com equações diferenciais São incluídos ao final deste capítulo problemas e bibliografia para você fazer uma revisão sobre este assunto As hipóteses simplificadoras elaboradas no processo de obter um modelo matemático geralmente conduzem a uma forma de ordem baixa da Eq 12 Sem as hipóteses simplificadoras o modelo do sistema poderia ser de ordem elevada ou descrito por equações nãolineares variantes no tempo ou derivadas parciais Estas equações complicam o procedimento de projeto e reduzem a intuição do projetista Naturalmente todas as hipóteses simplificadoras devem ser verificadas e todas as simplificações justificadas através de análise ou de testes Se as suposições para simplificação não puderem ser justificadas então o modelo não pode ser simplificado Examinamos algumas destas hipóteses simplificadoras no Cap 2 Em complemento à equação diferencial a função de transferência é outra forma de modelagem matemática de um sistema O modelo é deduzido a partir da equação diferencial linear invariante no tempo usando o que chamamos de transformada de Laplace Embora a função de transferência só possa ser usada para sistemas lineares ela conduz a uma informação mais intuitiva que a equação diferencial Seremos capazes de variar os parâmetros do sistema e rapidamente sentir o efeito destas mudanças na resposta do sistema A função de transferência é também útil na modelagem da interconexão de subsistemas através da formação de um diagrama de blocos semelhante ao da Fig 19d mas com uma função matemática no interior de cada bloco Ainda um outro modelo é o da representação no espaço de estados Uma vantagem dos métodos no espaço de estados é que eles podem ser usados também para sistemas que não podem ser descritos por equações diferenciais lineares Além disso os métodos no espaço de estados são usados para modelar sistemas para simulação em computador digital Basicamente esta representação transforma uma equação diferencial de enésima ordem em um sistema de n equações diferenciais de primeira ordem Admitamos por ora que esta descrição seja suficiente descreveremos esta abordagem em mais detalhes no Cap 3 Finalmente deveríamos mencionar que para produzir o modelo matemático de um sistema é necessário o conhecimento dos valores dos parâmetros como resistência equivalente indutância massa e amortecimento que freqüentemente não é fácil de se obter Análises medições ou especificações a partir de fornecedores são fontes que o engenheiro de sistemas de controle pode usar para obter os parâmetros Agora discutiremos o quinto bloco do procedimento de projeto da Fig 111 redução do diagrama de blocos 11Alternativamente Σ forças Ma Neste texto a força Ma será trazida para o lado esquerdo da equação para produzir Σ forças 0 princípio de DAlembert Podemos então ter uma analogia consistente entre força e tensão e entre as leis de Kirchhoff e as de Newton isto é Σ forças 0 Σ tensões 0 12O lado direito da Eq 12 indica a derivação da entrada rt Em sistemas físicos a derivação da entrada introduz ruído Nos Caps 3 e 5 mostramos implementações e interpretações da Eq 12 que não requerem derivação da entrada Passo 5 Reduzir o Diagrama de Bloco Os modelos de subsistemas são interconectados para formar diagramas de blocos de grandes sistemas como na Fig 19d onde cada bloco tem uma descrição matemática Note que muitos sinais como tensões e erro proporcionais são internos ao sistema Também há dois sinais entrada angular e saída angular que são externos ao sistema A fim de calcular a resposta do sistema neste exemplo precisamos reduzir este grande diagrama de blocos a um único bloco com uma descrição matemática que represente o sistema a partir de sua entrada para a saída conforme mostrado na Fig 112 Uma vez que o diagrama de blocos foi reduzido estamos prontos para analisar e projetar o sistema Passo 6 Analisar e Projetar A próxima fase do procedimento que se segue à redução do diagrama de blocos é analisar e projetar Se você estiver interessado somente no desempenho de um subsistema individual pode pular a redução do diagrama de blocos e ir imediatamente para análise e projeto Nesta fase o engenheiro analisa o sistema para ver se as especificações de resposta e os requisitos de desempenho podem ser alcançados através de simples ajustes nos parâmetros do sistema Se as especificações não puderem ser atendidas o projetista então projeta hardware adicional a fim de obter o desempenho desejado São usados sinais de entrada para teste para verificar o projeto analiticamente e durante a fase de ensaios Não é necessariamente prático nem esclarecedor escolher sinais de entrada complicados para analisar o desempenho de um sistema Desta maneira o engenheiro geralmente seleciona entradas para teste padronizadas Estas entradas são impulsos degraus rampas parábolas e senóide conforme mostradas na Tabela 11 Um impulso é infinito em t 0 e zero em qualquer outro instante A área sob o impulso unitário é 1 Uma aproximação deste tipo de forma de onda é usada para introduzir energia inicial em um sistema para que a resposta devida à energia inicial seja somente a resposta transitória do sistema A partir desta resposta o projetista pode deduzir um modelo matemático do sistema Uma entrada em degrau representa um comando constante como posição velocidade ou aceleração Tipicamente a entrada em degrau é da mesma forma que a saída Por exemplo se a saída do sistema é posição como é o caso para o sistema de controle de posição da antena em azimute a entrada em degrau representa uma posição desejada e a saída representa a posição real Se a saída do sistema for velocidade como é o caso da velocidade do eixo de um reprodutor de disco de vídeo a entrada em degrau representa uma velocidade constante desejada e a saída representa a velocidade real O projetista usa entradas em degrau porque as respostas transitória e de estado estacionário são claramente visíveis e podem ser avaliadas A entrada em rampa representa um comando crescendo linearmente com o tempo Por exemplo se a saída do sistema for posição a entrada em rampa representa uma posição crescendo linearmente com o tempo como a que é obtida ao rastrear um satélite que se move no firmamento com velocidade constante Se a saída do sistema for velocidade a entrada em rampa representa uma velocidade crescendo linearmente com o tempo A resposta a um sinal para teste de entrada em rampa produz informação adicional sobre o erro de estado estacionário A discussão anterior pode ser estendida para entradas parabólicas que são usadas para avaliar um erro de estado estacionário do sistema Entradas senoidais também podem ser usadas para testar um sistema físico de modo a se chegar a um modelo matemático Discutiremos o uso desta forma de onda em detalhes nos Caps 10 e 11 Concluímos que um dos requisitos básicos para análise e projeto é calcular a resposta no domínio do tempo de um sistema a uma dada entrada Ao longo deste livro você aprenderá numerosos métodos para alcançar esta meta O engenheiro de sistemas de controle deve levar em consideração outras características sobre sistemas de controle com retroação Por exemplo o comportamento de sistema de controle é alterado pelas flutuações nos valores dos componentes ou nos parâmetros do sistema Estas variações podem ser causadas por variações de temperatura pressão ou outras mudanças nas condições ambientais Os sistemas devem ser construídos de modo que flutuações esperadas não degradem o desempenho além dos limites especificados Uma análise de sensibilidade pode fornecer a variação percentual de uma especificação em função de uma variação percentual de um parâmetro do sistema Um dos objetivos do projetista então é construir um sistema com um mínimo de sensibilidade sobre uma faixa esperada de mudanças do ambiente Nesta seção vimos algumas considerações sobre a análise e o projeto de sistemas de controle Mostramos que dizem respeito ao projetista a resposta transitória o erro de estado estacionário a estabilidade e a sensibilidade Salientamos que embora a base da avaliação do desempenho do sistema seja a equação diferencial serão usados Fig 112 Diagrama de blocos equivalente para o sistema de controle de posição da antena em azimute Entrada angular Descrição matemática Saída angular Tabela 11 Formas de onda de teste usadas em sistemas de controle Entrada Função Descrição Esboço Uso Impulso δt δt para 0 t 0 0 nos demais casos 00 δt dt 1 ft Modelagem de Resposta Transitória δt t Degrau ut ut 1 para t 0 0 para t 0 ft Resposta Transitória Erro de estado estacionário t Rampa tut tut t para t 0 0 nos demais casos ft Erro de estado estacionário t Parábola 12 t²ut 12 t²ut 12 t² para t 0 0 nos demais casos ft Erro de estado estacionário t Senóide sen ωt ft Modelagem de Resposta Transitória Erro de estado estacionário t outros métodos tais como funções de transferência e espaço de estados As vantagens destas novas técnicas sobre equações diferenciais se tornarão evidentes conforme as discutirmos em capítulos posteriores Agora que já discutimos a sequência de análise e de projeto falemos sobre o uso do computador como uma ferramenta computacional nesta sequência 17 Projeto Assistido por Computador O computador representa um importante papel no projeto de sistemas de controle modernos No passado o projeto de sistema de controle era exaustivo Muitas das ferramentas que usamos hoje foram implementadas através de cálculos manuais ou quando muito com o auxílio de ferramentas gráficas de plástico O processo era lento e os resultados nem sempre exatos Computadores centrais de grande porte eram então usados para simular os projetos Hoje temos sorte de dispor de computadores e de programas que nos livram da parte fatigante da tarefa Em nosso próprio computador de mesa podemos realizar análises projetar e simular com um programa Com a capacidade de simular um projeto rapidamente podemos facilmente fazer mudanças e imediatamente testar um novo projeto Podemos executar jogos do tipo o que aconteceria se e tentar soluções alternativas para ver se elas alcançam resultados melhores como por exemplo reduzir a sensibilidade a mudanças de parâmetros Podemos incluir nãolinearidades e outros efeitos e testar nossos modelos quanto à exatidão MATLAB O computador é uma parte integrante do projeto de sistema de controle moderno e muitas ferramentas computacionais estão disponíveis para seu uso Neste livro usamos o MATLAB e a Toolbox de Sistemas de Controle do MATLAB que amplia o MATLAB para incluir comandos específicos para sistemas de controle Além disso apresentamos vários recursos que ampliam a funcionalidade do MATLAB e a Toolbox de Sistemas de Controle São incluídos o 1 Simulink que utiliza uma interface gráfica de usuário GUI 2 o LTI Viewer permitindo que medições sejam feitas diretamente a partir das curvas de resposta nos domínios de tempo e de frequência 3 o Root Locus Design GUI uma ferramenta de análise e projeto conveniente e intuitiva e 4 a Toolbox de Matemática Simbólica que economiza trabalho ao fazer cálculos simbólicos requeridos na análise e no projeto de sistema de controle Alguns destes recursos podem necessitar de software adicional disponível na The MathWorks Inc O MATLAB é apresentado como um método alternativo de solução de problemas de sistemas de controle Você é encorajado a solucionar problemas primeiro manualmente e depois com o MATLAB para que a intuição não seja perdida através do uso mecanizado de programas de computador Para este fim muitos dos exemplos ao longo do livro são resolvidos manualmente seguidos pelo uso sugerido do MATLAB Para evitar confundir o ensino dos princípios dos sistemas de controle com o ensino de métodos computacionais de solução instruções e códigos específicos de programs são cobertos somente nos apêndices não nos capítulos Ao longo do livro diversos ícones aparecem na margem para identificar referências do MATLAB que direcionam você para o programa adequado no apêndice apropriado e dizem o que você irá aprender Problemas de fim de capítulo selecionados e Desafios de Estudos de Caso para serem resolvidos usando o MATLAB também estão assinalados com ícones apropriados A lista a seguir discrimina os componentes específicos do MATLAB usados neste livro os ícones usados para identificálos e o apêndice no qual pode ser achada uma descrição MATLAB MATLABToolbox de Sistemas de Controle tutoriais e códigos estão no Apêndice B e identificados no texto com o ícone MATLAB mostrado na margem Simulink Simulink tutoriais e diagramas estão no Apêndice C e identificados no texto com o ícone Simulink mostrado na margem Ferramenta GUI MATLAB GUI ferramentas de interface gráfica de usuário tutoriais e exemplos estão no Apêndice D e identificados no texto com o ícone Ferramenta GUI mostrado na margem Estas ferramentas consistem no LTI Viewer e no Root Locus Design GUI Matemática Simbólica Toolbox de Matemática Simbólica tutoriais e códigos estão no Apêndice E e identificados no texto com o ícone Symbolic Math mostrado na margem O código do MATLAB em si não é específico de plataforma O mesmo código roda nos PCs e estações de trabalho nas quais o MATLAB seja instalado Embora existam diferenças na instalação e no manuseio dos arquivos do MATLAB não faremos referência a elas neste livro Também existem muito mais comandos no MATLAB e nas Toolboxes do MATLAB do que as cobertas nos apêndices Por favor explore a Bibliografia ao final do apêndice aplicável para descobrir mais sobre o manuseio de arquivos de MATLAB e instruções do MATLAB não cobertas neste texto Você é encorajado a usar auxílio computacional ao longo deste livro Os que não são usuários do MATLAB devem consultar o Apêndice H no CDROM que acompanha o livro para uma discussão sobre outras alternativas Agora que apresentamos a você os sistemas de controle e estabelecemos a necessidade de ajuda computacional para realizar análise e projeto lançamos nosso estudo de sistemas de controle Sumário Os sistemas de controle contribuem para todos os aspectos da sociedade moderna Em nossas casas os encontramos em tudo desde torradeiras aos sistemas de calefação e de refrigeração até aparelhos de vídeo Os sistemas de controle também encontram aplicações em grande escala na ciência e na indústria desde a pilotagem de navios e de aviões até mísseis e ônibus espaciais Sistemas de controle também existem naturalmente nossos corpos contêm numerosos sistemas de controle Até mesmo representações de sistemas econômicos e psicológicos têm sido propostas com base na teoria de sistemas de controle Os sistemas de controle são usados onde ganho de potência controle remoto ou conversão de forma da entrada são necessários Um sistema de controle tem uma entrada um processo e uma saída Os sistemas de controle podem ser a malha aberta ou a malha fechada Sistemas a malha aberta não monitoram ou corrigem a saída de perturbações contudo eles são mais simples e menos dispendiosos que os sistemas a malha fechada Os sistemas a malha fechada monitoram a saída e a comparam com a entrada Se um erro for detectado o sistema corrige a saída e por isso corrige os efeitos de perturbações A análise e o projeto de sistemas de controle focalizam três objetivos principais 1 Produzir a resposta transitória desejada 2 Reduzir os erros de estado estacionário 3 Alcançar a estabilidade Um sistema deve ser estável a fim de produzir a resposta transitória e a resposta de estado estacionário adequadas A resposta transitória é importante porque afeta a velocidade do sistema e influência a paciência e o conforto humanos para não falar da fadiga mecânica A resposta de estado estacionário determina a exatidão do sistema de controle governa o quanto a saída se aproxima da resposta desejada O projeto de um sistema de controle segue seguintes passos Passo 1 Determinar um sistema físico e especificações a partir dos requisitos Passo 2 Desenhar um diagrama de blocos funcional Passo 3 Representar o sistema físico como um esquema Passo 4 Usar o esquema para obter um modelo matemático como um diagrama de blocos Passo 5 Reduzir o diagrama de blocos Passo 6 Analisar e projetar o sistema para atender os requisitos especificados e as especificações que incluem estabilidade resposta transitória e desempenho de estado estacionário No próximo capítulo continuaremos através da sequência de análise e de projeto e aprenderemos como usar o esquema para obter um modelo matemático Perguntas de Revisão 1 Cite três aplicações de sistemas de controle com retroação 2 Cite três razões para o uso de sistemas de controle com retroação e pelo menos uma razão para não usálos 3 Dê três exemplos de sistemas a malha aberta 4 Funcionalmente como os sistemas a malha fechada se diferenciam dos sistemas a malha aberta 5 Estabeleça uma condição em que o sinal de erro de um sistema de controle com retroação não seja a diferença entre a entrada e a saída 6 Se o sinal de erro não for a diferença entre a entrada e a saída por qual nome geral podemos descrever o sinal de erro 7 Cite duas vantagens de ter um computador na malha 8 Cite os três critérios principais de projeto para sistemas de controle 9 Cite as duas partes de uma resposta de sistema 10 Fisicamente o que acontece a um sistema que é instável 11 A instabilidade é atribuída a qual parte da resposta total 12 O ajuste do ganho do canal direto pode causar mudança na resposta transitória Verdadeiro ou falso 13 Cite três aproximações para a modelagem matemática de sistemas de controle 14 Descreva sucintamente cada uma das suas resposta à Questão 13 Problemas 1 Um resistor variável chamado potenciômetro é mostrado na Fig P11 A resistência é variada pelo movimento de um cursor de contato deslizante ao longo de uma resistência fixada A resistência entre A e C é fixa mas a resistência entre B e C varia com a posição do cursor Se forem necessárias 10 voltas para mover o cursor de contato deslizante de A para C desenhe um diagrama de blocos do potenciômetro mostrando a variável de entrada a variável de saída e dentro do bloco o ganho que é uma constante e é a quantidade pela qual a entrada deve ser multiplicada para se obter a saída 2 Um sistema de controle de temperatura opera sentindo a diferença entre o ajuste do termostato e a temperatura real e em seguida abrindo uma válvula de combustível de uma quantidade proporcional a esta diferença Desenhe um diagrama de blocos funcional a malha fechada semelhante ao da Fig 19d identificando os transdutores de entrada e de saída o controlador e a planta Além disso identifique os sinais de entrada e de saída para todos os subsistemas descritos anteriormente 3 A atitude de uma aeronave varia em rolamento arfagem e guinada conforme definido na Fig P12 Desenhe um diagrama de blocos funcional para um sistema a malha fechada que estabilize o rolamento como a seguir o sistema mede o ângulo de rolamento real com um dispositivo giroscópico e compara o ângulo de rolamento real com o ângulo de rolamento desejado Os ailerons respondem ao erro de ângu lo de rolamento efetuando uma deflexão angular A aeronave responde a esta deflexão angular produzindo uma velocidade angular de rolamento Identifique os transdutores de entrada e de saída o controlador e a planta Além disso identifique a natureza de cada sinal 4 Muitos processos operam sobre materiais em rolo que se movem a partir de um carretel alimentador para um carretel armazenador Tipicamente estes sistemas chamados bobinadeiras controlam o material para que este se desloque a uma velocidade constante Além da velocidade bobinadeiras complexas também controlam tensão compensam a inércia de rolamento ao acelerar ou desacelerar e regulam a aceleração devida a mudanças súbitas Uma bobinadeira é mostrada na Fig P13 O transdutor de força mede a tensão a bobinadeira traciona contra os cilindros compressores que fornecem uma força oposta e a brida fornece o deslizamento Para compensar mudanças na velocidade o material é preso ao redor de um bailarino O laço evita que variações rápidas ocasionem folga excessiva ou danos ao material Se a posição do bailarino for sentida por um potenciômetro ou outro dispositivo variações de velocidade devidas ao enchimento do carretel armazenador ou a outras causas podem ser controladas comparando a tensão do potenciômetro com a velocidade comandada O sistema então corrige a velocidade e reajusta o bailarino para a posição desejada Ayers 1988 Desenhe um diagrama de blocos funcional para o sistema de controle de velocidade mostrando cada componente e cada sinal 5 Em uma usina nuclear geradora de energia o calor proveniente de um reator é usado para gerar vapor para as turbinas A taxa da reação de fissão determina a quantidade de calor gerada e esta taxa é controlada através de varetas inseridas dentro do núcleo radioativo As varetas regulam o fluxo de nêutrons Se as varetas forem baixadas dentro do núcleo a taxa de fissão diminuirá se as varetas forem elevadas a taxa de fissão aumentará Através do controle automático da posição das varetas a quantidade de calor gerada pelo reator pode ser regulada Desenhe um diagrama de blocos para o sistema de controle do reator nuclear mostrado na Fig P14 Mostre todos os blocos e sinais 6 Uma universidade deseja estabelecer um modelo de sistemas como saída e tendo a população desejada de estudantes como entrada A administração determina a taxa de admissões comparando as populações de estudantes atual e a desejada O setor de admissões usa então esta taxa para admitir estudantes Desenhe um diagrama de blocos mostrando a administração e o setor de admissões como blocos do sistema Mostre também os seguintes sinais a população de estudantes desejada a população de estudantes real a taxa de estudantes desejada determinada pela administração a taxa de estudantes real gerada pelo setor de admissões a taxa de evasão e a taxa líquida de entrada 7 Podemos construir um sistema de controle que ajuste automaticamente o volume do rádio de uma motocicleta de acordo com as mudanças no ruído gerado pela motocicleta O ruído gerado pela motocicleta aumenta com a velocidade À medida que o ruído aumenta o sistema aumenta o volume do rádio Admita que a quantidade de ruído possa ser representada por uma tensão gerada pelo cabo do velocímetro e o volume do rádio seja controlado por uma tensão CC Hogan 1988 Se a tensão CC representa o volume desejado perturbado pelo barulho da motocicleta desenhe um diagrama de bloco funcional de um sistema de controle automático de volume mostrando o transdutor de entrada o circuito de controle do volume e o transdutor de velocidade como blocos Mostre também os seguintes sinais o volume desejado como entrada o volume real como saída e as tensões representando velocidade volume desejado e volume real 8 Sua banheira doméstica é um sistema de controle que mantém o nível de água constante Uma vazão constante da torneira produz um nível constante de água porque a vazão através do escoamento aumenta conforme o nível de água aumenta e diminui conforme o nível de água diminui Após o equilíbrio ter sido alcançado o nível pode ser controlado através da vazão de entrada Uma vazão de entrada baixa produz um nível mais baixo enquanto uma vazão de entrada maior produz um nível maior a Esboce um sistema de controle que use este princípio para controlar precisamente o nível de fluido em um reservatório Mostre as válvulas de entrada e de escoamento o reservatório alguns sensores e transdutores e a interconexão de todos os componentes b Desenhe um diagrama de blocos funcional do sistema identificando os sinais de entrada e de saída de cada bloco 9 Um dinamômetro é um dispositivo usado para medir torque e velocidade e para variar a carga em dispositivos rotativos O dinamômetro opera como descrito a seguir para controlar a quantidade de torque um atuador hidráulico associado ao eixo pressiona um pneu contra um volante rotativo Quanto maior o deslocamento do atuador maior a força aplicada ao volante em rotação Uma célula de carga com extensômetros sente a força O deslocamento do atuador é controlado por uma válvula operada eletricamente cujo deslocamento regula o líquido que flui dentro do atuador DSouza 1988 Desenhe um diagrama de blocos funcional de um sistema a malha fechada que usa o dinamômetro descrito para regular a força contra o pneu durante teste Mostre todos os sinais e sistemas Inclua os amplificadores que alimentam a válvula a válvula o atuador com carga e o pneu 10 Durante uma operação médica um anestesista controla a profundidade de inconsciência controlando a concentração de isoflurano em uma mistura vaporizada com oxigênio e óxido nitroso A profundidade da anestesia é medida pela pressão sanguínea do paciente O anestesista também regula a ventilação o equilíbrio de fluido e a administração de outras drogas A fim de liberar o anestesista para dedicar mais tempo à últimas tarefas e a bem da segurança do paciente desejamos automatizar a profundidade da anestesia automatizando o controle da concentração de isoflurano Desenhe um diagrama de blocos funcional do sistema mostrando sinais pertinentes e os subsistemas Meier 1992 11 A posição vertical xt do volante de prensagem mostrado na Fig P15 é controlado por um sistema a malha fechada A entrada do sistema é a profundidade desejada da prensa e a saída é a profundidade real da prensa A diferença entre a profundidade desejada e a profundidade real aciona o motor resultando em uma força aplicada ao trabalho Esta força resulta em uma velocidade de alimentação do volante da prensa Jenkins 1997 Desenhe um diagrama de blocos funcional a malha fechada para o processo de prensagem mostrando a entrada a saída a força e a taxa de alimentação da prensa 12 Uma válvula solenóide proporcional de alta velocidade é mostrada na Fig P16 Uma tensão proporcional para a posição desejada do carretel é aplicada à bobina O campo magnético resultante produzido pela corrente na bobina faz com que a armadura se mova Um pino impulsor conectado à armadura move o carretel Um transformador diferencial linear de tensão LVDT que dá uma tensão de saída proporcional ao deslocamento sente a posição do carretel Esta tensão pode ser usada em um canal de retroação para implementar a operação a malha fechada Vaughan 1996 Desenhe um diagrama de blocos funcional da válvula mostrando as posições de entrada e de saída a tensão da bobina a corrente na bobina e a força sobre o carretel tes como saída e tendo a população desejada de estudantes como entrada A administração determina a taxa de admissões comparando as populações de estudantes atual e a desejada O setor de admissões usa então esta taxa para admitir estudantes Desenhe um diagrama de blocos mostrando a administração e o setor de admissões como blocos do sistema Mostre também os seguintes sinais a população de estudantes desejada a população de estudantes real a taxa de estudantes desejada determinada pela administração a taxa de estudantes real gerada pelo setor de admissões a taxa de evasão e a taxa líquida de entrada 7 Podemos construir um sistema de controle que ajuste automaticamente o volume do rádio de uma motocicleta de acordo com as mudanças no ruído gerado pela motocicleta O ruído gerado pela motocicleta aumenta com a velocidade À medida que o ruído aumenta o sistema aumenta o volume do rádio Admita que a quantidade de ruído possa ser representada por uma tensão gerada pelo cabo do velocímetro e o volume do rádio seja controlado por uma tensão CC Hogan 1988 Se a tensão CC representa o volume desejado perturbado pelo barulho da motocicleta desenhe um diagrama de bloco funcional de um sistema de controle automático de volume mostrando o transdutor de entrada o circuito de controle do volume e o transdutor de velocidade como blocos Mostre também os seguintes sinais o volume desejado como entrada o volume real como saída e as tensões representando velocidade volume desejado e volume real 8 Sua banheira doméstica é um sistema de controle que mantém o nível de água constante Uma vazão constante da torneira produz um nível constante de água porque a vazão através do escoamento aumenta conforme o nível de água aumenta e diminui conforme o nível de água diminui Após o equilíbrio ter sido alcançado o nível pode ser controlado através da vazão de entrada Uma vazão de entrada baixa produz um nível mais baixo enquanto uma vazão de entrada maior produz um nível maior a Esboce um sistema de controle que use este princípio para controlar precisamente o nível de fluido em um reservatório Mostre as válvulas de entrada e de escoamento o reservatório alguns sensores e transdutores e a interconexão de todos os componentes b Desenhe um diagrama de blocos funcional do sistema identificando os sinais de entrada e de saída de cada bloco 9 Um dinamômetro é um dispositivo usado para medir torque e velocidade e para variar a carga em dispositivos rotativos O dinamômetro opera como descrito a seguir para controlar a quantidade de torque um atuador hidráulico associado ao eixo pressiona um pneu contra um volante rotativo Quanto maior o deslocamento do atuador maior a força aplicada ao volante em rotação Uma célula de carga com extensômetros sente a força O deslocamento do atuador é controlado por uma válvula operada eletricamente cujo deslocamento regula o líquido que flui dentro do atuador DSouza 1988 Desenhe um diagrama de blocos funcional de um sistema a malha fechada que usa o dinamômetro descrito para regular a força contra o pneu durante teste Mostre todos os sinais e sistemas Inclua os amplificadores que alimentam a válvula a válvula o atuador com carga e o pneu 10 Durante uma operação médica um anestesista controla a profundidade de inconsciência controlando a concentração de isoflurano em uma mistura vaporizada com oxigênio e óxido nitroso A profundidade da anestesia é medida pela pressão sanguínea do paciente O anestesista também regula a ventilação o equilíbrio de fluido e a administração de outras drogas A fim de liberar o anestesista para dedicar mais tempo à últimas tarefas e a bem da segurança do paciente desejamos automatizar a profundidade da anestesia automatizando o controle da concentração de isoflurano Desenhe um diagrama de blocos funcional do sistema mostrando sinais pertinentes e os subsistemas Meier 1992 11 A posição vertical xt do volante de prensagem mostrado na Fig P15 é controlado por um sistema a malha fechada A entrada do sistema é a profundidade desejada da prensa e a saída é a profundidade real da prensa A diferença entre a profundidade desejada e a profundidade real aciona o motor resultando em uma força aplicada ao trabalho Esta força resulta em uma velocidade de alimentação do volante da prensa Jenkins 1997 Desenhe um diagrama de blocos funcional a malha fechada para o processo de prensagem mostrando a entrada a saída a força e a taxa de alimentação da prensa 12 Uma válvula solenóide proporcional de alta velocidade é mostrada na Fig P16 Uma tensão proporcional para a posição desejada do carretel é aplicada à bobina O campo magnético resultante produzido pela corrente na bobina faz com que a armadura se mova Um pino impulsor conectado à armadura move o carretel Um transformador diferencial linear de tensão LVDT que dá uma tensão de saída proporcional ao deslocamento sente a posição do carretel Esta tensão pode ser usada em um canal de retroação para implementar a operação a malha fechada Vaughan 1996 Desenhe um diagrama de blocos funcional da válvula mostrando as posições de entrada e de saída a tensão da bobina a corrente na bobina e a força sobre o carretel Mola de retorno Luva Seção nãomagnética Carretel Bobina Mancais Tubo de pressão Armadura LVDT Fig P16 Válvula solenóide proporcional de alta velocidade 13 Dado o circuito elétrico mostrado na Fig P17 a Escreva a equação diferencial para o circuito se vt ut um degrau unitário b Resolva a equação diferencial para a corrente it se não há energia inicial no circuito c Faça um gráfico da sua solução se RL 1 Fig P17 Circuito RL 14 Repita o Problema 13 usando o circuito mostrado na Fig P18 Suponha que R 1Ω L 05 H e 1LC 30 Fig P18 Circuito RLC Problema Progressivo de Análise e Projeto 17 Pantógrafo para ferrovia de alta velocidade Alguns sistemas ferroviários de alta velocidade são energizados por eletricidade fornecida a um pantógrafo no teto do trem a partir de uma catenária aérea conforme mostrado na Fig P19 A força aplicada pelo pantógrafo à catenária é regulada para evitar perda de contato devido a movimento transitório excessivo Um método proposto para regular a força usa um sistema com retroação a malha fechada no qual uma força Fclma é aplicada à parte inferior do pantógrafo resultando em uma força de saída aplicada à catenária no topo O contato entre a cabeça do pantógrafo e a catenária é representado por uma mola A força de saída é proporcional ao deslocamento desta mola o qual é a diferença entre as posições verticais da catenária e da cabeça do pantógrafo OConnor 1997 Desenhe um diagrama de blocos funcional mostrando os seguintes sinais a força de saída desejada como entrada a força Fclma aplicada à parte inferior do pantógrafo a diferença em deslocamento entre a catenária e a cabeça do pantógrafo e a força de contato de saída Mostre também os blocos representando o transdutor de entrada o controlador o atuador gerando Fclma a dinâmica do pantógrafo a mola descrita acima e o sensor de saída Todas as forças e deslocamentos são medidos a partir do equilíbrio Fig P19 Sistema ferroviário de alta velocidade mostrando pantógrafo e catenária Bibliografia Ayers J Taking the Mystery Out of Winder Controls Power Transmission Design April 1988 pp 2734 Bahill A T Bioengineering Biomedical Medical and Clinical Engineering PrenticeHall Englewood Cliffs NJ 1981 Bennett S A History of Control Engineering 18001930 Peter Peregrinus Ltd Stevenage UK 1979 Bode H W Network Analysis and Feedback Amplifier Design Van Nostrand Princeton NJ 1945 Cannon R H Jr Dynamics of Physical Systems McGrawHill New York 1967 DAzzo J J and Houpis C H Feedback Control System Analysis and Synthesis 2d ed McGrawHill New York 1966 Doebelin E O Measurement Systems Application and Design 4th ed McGrawHill New York 1990 Dorf R C Modern Control Systems 5th ed AddisonWesley Reading MA 1989 DSouza A F Design of Control Systems PrenticeHall Englewood Cliffs NJ 1988 Franklin G F Powell J D and EmamiNaeini A Feedback Control of Dynamic Systems AddisonWesley 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Systems December 1992 pp 1217 Novosad J P Systems Modeling and Decision Making KendallHunt Dubuque IA 1982 Nyquist H Regeneration Theory Bell System Technical Journal January 1932 OConnor D N Eppinger S D Seering W P and Wormly D N Active Control of a HighSpeed Pantograph Journal of Dynamic Systems Measurements and Control vol 119 March 1997 pp 14 Ogata K Modern Control Engineering 2d ed Prentice Hall Englewood Cliffs NJ 1990 Rockwell International Space Shuttle Transportation System 1984 Press Information Shaw D A and Turnbull G A Modern Thickness Control for a Generation III Hot Strip Mill The International Steel Rolling ConferenceThe Science Technology of Flat Rolling vol 1 Association Technique de la Siderurgie Française Deauville France 13 June 1987 Vaughan N D and Gamble J B The Modeling and Simulation of a Proportional Solenoid Valve Journal of Dynamic Systems Measurements and Control vol 118 March 1996 pp 120125 CAPÍTULO 2 Modelagem no Domínio de Freqüência Objetivos do Capítulo Neste capítulo iremos Rever a transformada de Laplace Aprender como obter um modelo matemático chamado função de transferência para sistemas lineares e invariantes no tempo de natureza elétrica mecânica e eletromecânica Aprender como linearizar um sistema nãolinear a fim de obter a função de transferência Objetivos do Estudo de Caso Você deverá ser capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os seguintes estudos de caso Dado o sistema de controle de posicionamento de uma antena em azimute mostrado na contracapa dianteira você deverá ser capaz de obter a função de transferência de cada subsistema Dado um modelo de perna humana ou de um circuito elétrico nãolinear você deverá ser capaz de linearizálo e em seguida obter a função de transferência 21 Introdução No Cap 1 discutimos a sequência de análise e projeto que inclui a obtenção do diagrama do sistema e demonstramos esta etapa em um sistema de controle de posição Para obter um diagrama o engenheiro de sistemas de controle muitas vezes precisa formular hipóteses simplificadoras de modo a fazer com que o modelo resultante seja fácil de manipular e ainda se aproxime da realidade física O próximo passo é desenvolver modelos a partir de diagramas de sistemas físicos Discutiremos dois métodos 1 funções de transferência no domínio de freqüência e 2 equações de estado no domínio do tempo Estes tópicos serão tratados neste e no Cap 3 respectivamente À medida que formos prosseguindo observaremos que em todos os casos a primeira etapa para desenvolver um modelo matemático consiste em aplicar as leis físicas fundamentais de ciência e engenharia Por exemplo ao modelar circuitos elétricos a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff que são as leis básicas de circuitos elétricos serão aplicadas inicialmente Somaremos tensões ao longo de uma malha ou correntes em um nó Ao estudar sistemas mecânicos utilizaremos as leis de Newton com princípiosguia fundamentais Somaremos neste caso forças e torques Com base nestas equações iremos obter a relação entre a saída e a entrada do sistema No Cap 1 vimos que uma equação diferencial pode descrever a relação entre a entrada e a saída de um sistema A forma da equação diferencial e os coeficientes constituem uma formulação ou descrição do sistema Embora a equação diferencial relacione o sistema à sua entrada e à sua saída não constitui uma representação a partir da perspectiva de sistema Observando a Eq 12 a forma geral de uma equação diferencial de ordem n linear e invariante no tempo vemos que os parâmetros do sistema que são os coeficientes bem como a saída ct e a entrada rt aparecem ao longo da equação Seria preferível uma representação matemática como a mostrada na Fig 21a onde a entrada a saída e o sistema são partes distintas e separadas Além disto gostaríamos de representar convenientemente a interligação de diversos subsistemas Por exemplo gostaríamos de representar interligações em cascata como na Fig 21b onde uma função matemática chamada função de transferência está no interior de cada bloco e funções de blocos podem ser combinadas com facilidade para gerar a Fig 21a com o objetivo de facilitar a análise e o projeto Esta conveniência não pode ser obtida com equação diferencial 22 Revisão sobre Transformada de Laplace Um sistema representado por uma equação diferencial é difícil de modelar como diagrama de blocos Assim vamos deixar agora o trabalho de base para transformada de Laplace com a qual podemos representar a entrada a saída e o sistema como entidades distintas Além do mais sua relação será simplesmente algébrica Definamos primeiro a transformada de Laplace e em seguida mostremos como ela simplifica a representação de sistemas físicos Nilsson 1996 A transformada de Laplace é definida como Lft Fs ₀ fteˢᵗ dt 21 em que s σ jω é uma variável complexa Assim conhecendose ft e sabendo que a integral da Eq 21 existe é possível obter uma função Fs chamada transformada de Laplace de ft Entrada rt Sistema Saída ct a Entrada rt Subsistema Subsistema Subsistema Saída ct b Nota A notação rt para a entrada significa entrada de referência A notação ct para a saída significa variável controlada Fig 21 a Representação em diagrama de blocos de um sistema b representação em diagrama de blocos de uma interconexão de subsistemas ¹A transformada de Laplace existe se a integral da Eq 21 convergir A integral irá convergir se ₀ fteσ¹ dt Se ft Me²ᵃ 0 t a integral convergirá se σ₁ σ₂ Chamamos σ₂ a abscissa de convergência o menor valor de σ em s σ jω para o qual a integral existe A notação referente ao limite inferior da integral significa que mesmo se ft for descontínua em t 0 podemos começar a integração antes da descontinuidade desde que a integral convirja Assim podemos obter a transformada de Laplace de funções impulso Esta propriedade apresenta vantagens diferentes ao aplicar a transformada de Laplace na solução de equações diferenciais quando as condições iniciais forem descontínuas em t 0 Usando equações diferenciais é necessário obter solução para as condições iniciais depois da descontinuidade conhecendose as condições iniciais antes da descontinuidade Usando a transformada de Laplace necessitamos conhecer somente as condições antes da descontinuidade Ver Kailath 1980 para uma discussão mais detalhada A transformada de Laplace inversa que nos permite obter ft dada Fs é L¹Fs 12πj σjσj Fsest ds ftut 22 onde ut 1 t 0 0 t 0 é a função degrau unitário A multiplicação de ft por ut conduz a uma função do tempo que é nula para t 0 Tabela 21 Transformadas de Laplace Item n ft Fs 1 δt 1 2 ut 1s 3 tut 1s² 4 tⁿut nsⁿ¹ 5 eᵃᵗut 1s a 6 senωtut ωs² ω² 7 cosωtut ss² ω² Usando a Eq 21 é possível deduzir uma tabela relacionando ft a Fs para casos específicos A Tabela 21 mostra os resultados para uma amostra representativa de funções Se usarmos tabelas não precisaremos empregar a Eq 22 que requer integração complexa para obter ft a partir de Fs No exemplo a seguir demonstraremos o uso da Eq 21 para obter a transformada de Laplace de uma função do tempo Exemplo 21 Transformada de Laplace de uma função do tempo Problema Obter a transformada de Laplace de ft Aeᵃᵗut Solução Como a função do tempo não contém impulsos podese substituir o limite inferior da Eq 21 por 0 Por conseguinte Fs ₀ fteˢᵗ dt ₀ Aeᵃᵗeˢᵗ dt A ₀ esat dt As a esat ₜ₀ As a 23 Tabela 22 Teoremas das transformadas de Laplace Item nº Teorema Nome 1 Lft Fs 0 ftest dt Definição 2 Lkft kFs Teorema da linearidade 3 Lf1t f2t F1s F2s Teorema da linearidade 4 Leatft Fs a Teorema do deslocamento de frequência 5 Lft T esTFs Teorema do deslocamento no tempo 6 Lfat 1a Fsa Teorema do fator de escala 7 Ldfdt sFs f0 Teorema da derivação 8 Ld2fdt2 s2Fs sf0 f0 Teorema da derivação 9 Ldn fdtn sn Fs Σ k 1 a n snk fk1 0 Teorema da derivação 10 L0 fτ dτ Fss Teorema da integração 11 f lim s0 sFs Teorema do valor final¹ 12 f0 lim s sFs Teorema do valor inicial² ¹Para que este teorema seja aplicado corretamente todas as raízes de Fs devem ter parte real negativa e não mais do que uma raiz pode estar na origem ²Para que este teorema seja válido ft deve ser contínua ou ter um degrau de descontinuidade em t 0 isto é sem impulsos ou suas derivadas em t 0 Além da tabela de transformadas de Laplace Tabela 21 podemos usar os teoremas da transformada de Laplace listados na Tabela 22 para auxiliar na transformação entre ft e Fs No próximo exemplo demonstraremos o uso dos teoremas da transformada de Laplace mostrados na Tabela 22 na obtenção de ft a partir de Fs Exemplo 22 Transformada de Laplace inversa Problema Obter a transformada de Laplace inversa de F1s 1s 3² Solução Neste exemplo usaremos o teorema do deslocamento de frequência Item 4 da Tabela 22 e a transformada de Laplace de ft tut Item 3 da Tabela 21 Se a transformada de Laplace inversa de Fs 1s² é tut a transformada de Fs a 1s a² é eatut Em consequência f1t e3ttut Expansão em Frações Parciais Para obter a transformada de Laplace inversa de uma função complicada podemos converter a função em uma soma de termos mais simples para cada um dos quais se conhece a transformada de Laplace O resultado é chamado de expansão em frações parciais Se F1s NsDs onde a ordem de Ns é inferior à ordem de Ds então é possível fazer uma expansão em frações parciais Se a ordem de Ns for superior ou igual à ordem de Ds devese então dividir Ns por Ds sucessivamente até que o resultado apresente um resto cujo numerador seja de ordem inferior ao denominador Por exemplo se F1s s3 2s2 6s 7 s2 s 5 24 devemos efetuar a divisão indicada até obter um resto cujo numerador seja de ordem inferior ao respectivo denominador Portanto F1s s 1 2s2 s 5 25 Tomandose a transformada de Laplace inversa utilizando o Item 1 da Tabela 21 juntamente com o teorema da derivação Item 7 e o teorema da linearidade Item 3 da Tabela 22 obtemos f1t dδtdt δt L1 2s2 s 5 26 Usando a expansão em frações parciais estaremos aptos a expandir funções como Fs 2s2 s 5 em uma soma de termos e em seguida obter a transformada inversa de cada um dos termos Iremos considerar agora três casos e mostrar para cada um deles como expandir Fs em frações parciais Caso 1 Raízes do Denominador de Fs Reais e Distintas Um exemplo de Fs com raízes reais e distintas em denominador é Fs 2s 1s 2 27 As raízes do denominador são distintas uma vez que cada um dos fatores é elevado somente à potência unitária Podemos escrever a expansão em frações parciais como a soma de termos onde cada fator do denominador original constitui o denominador de cada termo e constantes chamadas resíduos formam os numeradores Por conseguinte Fs 2s 1s 2 K1s 1 K2s 2 28 Para obter K1 multiplicase primeiro a Eq 28 por s 1 isolando K1 Assim 2s 2 K1 s 1K2s 2 29 Fazendo s tender a 1 eliminase o último termo resultando K1 2 De modo semelhante podese determinar K2 multiplicando a Eq 28 por s 2 e em seguida fazendo s tender a 2 assim K2 2 Cada termo componente da Eq 28 é uma Fs na Tabela 21 Portanto ft é a soma das transformadas de Laplace inversas de cada um dos termos ou seja ft 2et 2e2t ut 210 Em geral então dada uma Fs cujo denominador possua raízes reais e distintas é possível efetuar uma expansão em frações parciais Fs NsDs Nss p1s p2s pms pn K1s p1 K2s p2 Kms pm Kns pn 211 se a ordem de Ns for inferior à ordem de Ds Para calcular cada um dos resíduos Ki multiplicase a Eq 211 pelo denominador da fração parcial correspondente Assim se quisermos obter Km multiplicamos a Eq 211 por s pm e obtemos s pmFs s pmNss p1s p2s pms pn s pmK1s p1 s pmK2s p2 Km s pmKns pn 212 Se fizermos s tender a pm todos os termos do membro da direita na Eq 212 tenderão a zero exceto o termo Km resultando s pmNss p1s p2s pms pnspm Km 213 O exemplo a seguir ilustra o uso da expansão em frações parciais na solução de equações diferenciais Veremos que a transformada de Laplace reduz a tarefa de obter a solução a operações algébricas simples Exemplo 23 Solução de equação diferencial com transformada de Laplace Problema Dada a seguinte equação diferencial obter a solução yt se todas as condições iniciais forem zero Usar a transformada de Laplace d²ydt² 12 dydt 32y 32ut 214 Solução Substituir o correspondente Fs de cada um dos termos na Eq 214 usando o Item 2 da Tabela 21 os Itens 7 e 8 da Tabela 22 e as condições iniciais de yt e dytdt dadas por y0 0 e ẏ0 0 respectivamente Portanto a transformada de Laplace da Eq 214 é s²Ys 12sYs 32Ys 32s 215 Obtendo a solução para Ys resulta Ys 32ss² 12s 32 32ss 4s 8 216 Para obter a solução yt observase que a Eq 216 não corresponde a nenhum dos termos da Tabela 21 Assim efetuamos a expansão em frações parciais do termo da direita e fazemos a identificação de cada um dos termos resultantes com o Fs correspondente na Tabela 21 Portanto Ys 32ss 4s 8 K1s K2s 4 K3s 8 217 onde com base na Eq 213 K1 32s 4s 8s0 1 218a K2 32ss 8s4 2 218b K3 32ss 4s8 1 218c Portanto Ys 1s 2s 4 1s 8 219 Como cada uma das três frações componentes da Eq 219 é representada por um Fs na Tabela 21 yt é a soma das transformadas inversas de cada um dos termos Por conseguinte yt 1 2e4t e8t ut 220 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem executar agora os programas ch2p1 até ch2p18 do Apêndice B Este é o primeiro exercício MATLAB Você aprenderá como usar o MATLAB para 1 representar polinômios 2 obter raízes de polinômios 3 multiplicar polinômios e 4 obter a expansão em frações parciais Finalmente o Exemplo 23 será resolvido usando o MATLAB O ut na Eq 220 mostra que a resposta é zero até t 0 A menos que sejam especificadas todas as entradas de sistemas no texto não serão iniciadas antes de t 0 Assim as respostas terão valor zero até t 0 Por conveniência abandonaremos daqui em diante a notação com ut Escreveremos então a resposta da saída como yt 1 2e4t e8t 221 Caso 2 Raízes do Denominador de Fs Reais e Repetidas Um exemplo de Fs com raízes reais e repetidas em denominador é Fs 2s 1s 22 222