Modelagem de Sistemas Dinamicos Funcoes de Transferencia e Equacoes de Estado

21 Introdução No Cap 1 discutimos a sequência de análise e projeto que incluiu a obtenção do diagrama do sistema e demonstramos esta etapa em um sistema de controle de posição Para obter um diagrama o engenheiro de sistemas de controle muitas vezes precisa formular hipóteses simplificadoras de modo a fazer com que o modelo resultante seja fácil de manipular e ainda se aproxime da realidade física O próximo passo é desenvolver modelos a partir de diagramas de sistemas físicos Discutiremos dois métodos 1 funções de transferência no domínio de frequência e 2 equações de estado no domínio do tempo Estes tópicos serão tratados neste e no Cap 3 respectivamente À medida que formos prosseguindo observaremos que em todos os casos a primeira etapa para desenvolver um modelo matemático consiste em aplicar as leis físicas fundamentais de ciência e engenharia Por exemplo ao modelar circuitos elétricos a lei de Ohm e as leis de Kirchhoff que são as leis básicas de circuitos elétricos serão aplicadas inicialmente Somaremos tensões ao longo de uma malha ou correntes em um nó Ao estudar sistemas mecânicos utilizaremos as leis de Newton com princípiosguia fundamentais Somaremos neste caso forças e torques Com base nestas equações iremos obter a relação entre a saída e a entrada do sistema No Cap 1 vimos que uma equação diferencial pode descrever a relação entre a entrada e a saída de um sistema A forma da equação diferencial e os coeficientes constituem uma formulação ou descrição do sistema Embora a equação diferencial relacione o sistema à sua entrada e à sua saída não constitui uma representação a partir da perspectiva do sistema Observando a Eq 12 a forma geral de uma equação diferencial de ordem n linear e invariante no tempo vemos que os parâmetros do sistema que são os coeficientes bem como a saída ct e a entrada rt aparecem ao longo da equação Seria preferível uma representação matemática como a mostrada na Fig 21a onde a entrada a saída e o sistema são partes distintas e separadas Além disto gostaríamos de representar convenientemente a interligação de diversos subsistemas Por exemplo gostaríamos de representar interligações em cascata como na Fig 21b onde uma função matemática chamada função de transferência está no interior de cada bloco e funções de blocos podem ser combinadas com facilidade para gerar a Fig 21a com o objetivo de facilitar a análise e o projeto Esta conveniência não pode ser obtida com equação diferencial 22 Revisão sobre Transformada de Laplace Um sistema representado por uma equação diferencial é difícil de modelar como diagrama de blocos Assim vamos deixar agora o trabalho de base para transformada de Laplace com a qual podemos representar a entrada a saída e o sistema como entidades distintas Além do mais sua relação será simplesmente algébrica Definimos primeiro a transformada de Laplace e em seguida mostramos como ela simplifica a representação de sistemas físicos Nilsson 1996 A transformada de Laplace é definida como 𝒩ft Fs ₀ ftest dt 21 em que s σ jω é uma variável complexa Assim conhecendose ft e sabendo que a integral da Eq 21 existe é possível obter uma função Fs chamada transformada de Laplace de ft Entrada Sistema Saída rt ct a Entrada r t Subsistema Subsistema Subsistema Saída c t b Nota A notação rt para a entrada significa entrada de referência A notação ct para a saída significa variável controlada Fig 21 a Representação em diagrama de blocos de um sistema b representação em diagrama de blocos de uma interconexão de subsistemas ¹A transformada de Laplace existe se a integral da Eq 21 convergir A integral irá convergir se ₀ fteστ jωt dt Se ft Meσt 0 t a integral convergirã so σ σ₁ σ₂ Chamamos σ₂ a abcissa de convergência o menor valor de σ em s σ jω para o qual a integral existe A notação referente ao limite inferior da integral significa que mesmo se ft for descontínua em t 0 podemos começar a integração antes da descontinuidade desde que a integral converja Assim podemos obter a transformada de Laplace de funções impulso Esta propriedade apresenta vantagens diferentes ao aplicar a transformada de Laplace na solução de equações diferenciais quando as condições iniciais forem descontínuas em t 0 Usando esta propriedade é necessário obter solução para as condições iniciais depois da descontinuidade conhecendose as condições iniciais antes da descontinuidade Usando a transformada de Laplace necessitamos conhecer somente as condições antes da descontinuidade Ver Kailath 1980 para uma discussão mais detalhada A transformada de Laplace inversa que nos permite obter ft dada Fs é ℒ¹Fs 1 2πj σjσj Fsest ds ftut 22 onde ut 1 t 0 0 t 0 é a função degrau unitário A multiplicação de ft por ut conduz a uma função do tempo que é nula para t 0 Tabela 21 Transformadas de Laplace Item n ft Fs 1 δt 1 2 ut 1s 3 tut 1s² 4 tⁿut n sn1 5 eatut 1 s a 6 sen ωut ω s² ω² 7 cos ωut s s² ω² Usando a Eq 21 é possível deduzir uma tabela relacionando ft a Fs para casos específicos A Tabela 21 mostra os resultados para uma amostra representativa de funções Se usarmos tabelas não precisaremos empregar a Eq 22 que requer integração complexa para obter ft a partir de Fs No exemplo a seguir demonstraremos o uso da Eq 21 para obter a transformada de Laplace de uma função do tempo Exemplo 21 Transformada de Laplace de uma função do tempo Problema Obter a transformada de Laplace de ft Aeatut Solução Como a função do tempo não contém impulsos podese substituir o limite inferior da Eq 21 por 0 Por conseguinte Fs 0 ftest dt 0 Aeatest dt A 0 esat dt Asa esatt0 A s a 23 Tabela 22 Teoremas das transformadas de Laplace Item nº Teorema Nome 1 ℒft Fs ₀ ftest dt Definição 2 ℒkft kFs Teorema da linearidade 3 ℒf₁t f₂t F₁s F₂s Teorema da linearidade 4 ℒeatft Fs a Teorema do deslocamento de frequência 5 ℒft T esTFs Teorema do deslocamento no tempo 6 ℒfat 1a Fsa Teorema do fator de escala 7 ℒ ddt sFs f0 Teorema da derivação 8 ℒ d²dt² s²Fs sf0 f0 Teorema da derivação 9 ℒ dⁿdtⁿ sⁿFs k1n snkfk10 Teorema da derivação 10 ℒ ₀t fτ dτ Fss Teorema da integração 11 ℒf lims0 sFs Teorema do valor final¹ 12 ℒf0 lims sFs Teorema do valor inicial² ¹Para que este teorema seja aplicado corretamente todas as raízes de Fs devem ter parte real negativa e não mais do que uma raiz pode estar na origem ²Para que este teorema seja válido ft deve ser contínua ou ter um degrau de descontinuidade em t 0 isto é sem impulsos ou suas derivadas em t 0 Além da tabela de transformadas de Laplace Tabela 21 podemos usar os teoremas da transformada de Laplace listados na Tabela 22 para auxiliar na transformação entre ft e Fs No próximo exemplo demonstraremos o uso dos teoremas da transformada de Laplace mostrados na Tabela 22 na obtenção de ft a partir de Fs Exemplo 22 Transformada de Laplace inversa Problema Obter a transformada de Laplace inversa de F₁s 1 s 3² Solução Neste exemplo usaremos o teorema do deslocamento de frequência Item 4 da Tabela 22 e a transformada de Laplace de ft tut Item 3 da Tabela 21 Se a transformada de Laplace inversa de Fs 1s² é tut a transformada de Fs a 1s a² é eattut Em consequência f₁t e3ttut Expansão em Frações Parciais Para obter a transformada de Laplace inversa de uma função complicada podemos converter a função em uma soma de termos mais simples para cada um dos quais se conhece a transformada de Laplace O resultado é chamado de expansão em frações parciais Se F₁s NsDs onde a ordem de Ns é inferior à ordem de Ds então é possível fazer uma expansão em frações parciais Se a ordem de Ns for superior ou igual à ordem de Ds devese então dividir Ns por Ds sucessivamente até que o resultado apresente um resto cujo numerador seja de ordem inferior ao denominador Por exemplo se F₁s s³ 2s² 6s 7 s² s 5 24 devemos efetuar a divisão indicada até obter um resto cujo numerador seja de ordem inferior ao respectivo denominador Portanto F₁s s 1 2 s² s 5 25 Tomandose a transformada de Laplace inversa utilizando o Item 1 da Tabela 21 juntamente com o teorema da derivação Item 7 e o teorema da linearidade Item 3 da Tabela 22 obtemos f₁t dδt dt δt ℒ¹ 2 s² s 5 26 Usando a expansão em frações parciais estaremos aptos a expandir funções como Fs 2s² s 5 em uma soma de termos e em seguida obter a transformada inversa de cada um dos termos Iremos considerar agora três casos e mostrar para cada um deles como expandir Fs em frações parciais Caso 1 Raízes do Denominador de Fs Reais e Distintas Um exemplo de Fs com raízes reais e distintas em denominador é Fs 2 s 1s 2 27 As raízes do denominador são distintas uma vez que cada um dos fatores é elevado somente à potência unitária Podemos escrever a expansão em frações parciais como a soma de termos onde cada fator do denominador original constitui o denominador de cada termo e constantes chamadas resíduos formam os numeradores Por conseguinte Fs 2 s 1s 2 K₁ s 1 K₂ s 2 28 Para obter K₁ multiplicase primeiro a Eq 28 por s 1 isolando K₁ Assim 2 s 2 K₁ s 1K₂ s 2 29 Fazendo s tender a 1 eliminase o último termo resultando K₁ 2 De modo semelhante podese determinar K₂ multiplicando a Eq 28 por s 2 e em seguida fazendo s tender a 2 assim K₂ 2 Cada termo componente da Eq 28 é uma Fs na Tabela 21 Portanto f₁t é a soma das transformadas de Laplace inversas de cada um dos termos ou seja ft 2et 2e2tut 210 Em geral então dada uma Fs cujo denominador possua raízes reais e distintas é possível efetuar uma expansão em frações parciais Fs NsDs Ns s p₁s p₂ s pₙ K₁ s p₁ K₂ s p₂ Kₘ s pₘ Kₙ s pₙ 211 se a ordem de Ns for inferior à ordem de Ds Para calcular cada um dos resíduos Kₘ multiplicase a Eq 211 pelo denominador da fração parcial correspondente Assim se quisermos obter Kₘ multiplicamos a Eq 211 por s pₘ e obtemos s pₘFs s pₘNs s p₁s p₂ s pₘ s pₙ s pₘK₁ s p₁ s pₘK₂ s p₂ Kₘ s pₘKₙ s pₙ 212 Se fizermos s tender a pₘ todos os termos do membro da direita na Eq 212 tenderão a zero exceto o termo Kₘ resultando s pₘNs s p₁s p₂ s pₘ s pₙ spₘ Kₘ 213 O exemplo a seguir ilustra o uso da expansão em frações parciais na solução de equações diferenciais Veremos que a transformada de Laplace reduz a tarefa de obter a solução a operações algébricas simples Exemplo 23 Solução de equação diferencial com transformada de Laplace Problema Dada a seguinte equação diferencial obter a solução yt se todas as condições iniciais forem zero Usar a transformada de Laplace d²ydt² 12 dydt 32y 32ut 214 Solução Substituir o correspondente Fs de cada um dos termos na Eq 214 usando o Item 2 da Tabela 21 os Itens 7 e 8 da Tabela 22 e as condições iniciais de yt e dytdt dadas por y0 0 e y0 0 respectivamente Portanto a transformada de Laplace da Eq 214 é s²Ys 12sYs 32Ys 32s 215 Obtendo a solução para Ys resulta Ys 32 ss² 12s 32 32 ss 4s 8 216 Para obter a solução yt observase que a Eq 216 não corresponde a nenhum dos termos da Tabela 21 Assim efetuamos a expansão em frações parciais do termo da direita e fazemos a identificação de cada um dos termos resultantes com o Fs correspondente na Tabela 21 Portanto Ys 32 ss 4s 8 K₁ s K₂ s 4 K₃ s 8 217 onde com base na Eq 213 K₁ 32 s 4s 8 s0 1 218a K₂ 32 s 8 s4 2 218b K₃ 32 s 4 s8 1 218c Portanto Ys 1s 2 s 4 1 s 8 219 Como cada uma das três frações componentes da Eq 219 é representada por um Fs na Tabela 21 yt é a soma das transformadas inversas de cada um dos termos Por conseguinte yt 1 2e4t e8tut 220 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem executar agora os programas ch2p1 até ch2p18 do Apêndice B Este é o primeiro exercício MATLAB Você aprenderá como usar o MATLAB para 1 representar polinômios 2 obter raízes de polinômios 3 multiplicar polinômios e 4 obter a expansão em frações parciais Finalmente o Exemplo 23 será resolvido usando o MATLAB O ut na Eq 220 mostra que a resposta é zero até t 0 A menos que sejam especificadas todas as entradas de sistemas no texto não serão iniciadas antes de t 0 Assim as respostas terão valor zero até t 0 Por conveniência abandonaremos daqui em diante a notação com ut Escreveremos então a resposta da saída como yt 1 2e4t e8t 221 Caso 2 Raízes do Denominador de Fs Reais e Repetidas Um exemplo de Fs com raízes reais e repetidas em denominador é Fs 2 s 1s 2² 222 As raízes de s 2² no denominador são repetidas uma vez que o fator é elevado a uma potência inteira maior que 1 Neste caso a raiz do denominador em 2 é uma raiz múltipla de multiplicidade 2 Podemos escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos onde cada fator do denominador constitui o denominador de cada uma das frações Além disto cada raiz múltipla gera termos adicionais com fatores do denominador de multiplicidade reduzida Por exemplo se Fs 2 s 1s 2² K₁ s 1 K₂ s 2 K₃ s 2² 223 então K₁ 2 pode ser obtido como descrito anteriormente K₂ pode ser isolado multiplicandose a Eq 223 por s 2² resultando 2 s 1 s 2 K₁ s 1 K₂ s 2 K₃ 224 Fazendo s tender a 2 K₂ 2 Para obter K₃ constatamos que se derivarmos a Eq 224 em relação a s 2 s 1² s 2 s K₁ s 1 K₃ 225 é possível isolar e determinar K₃ fazendo s tender a 2 Portanto K₃ 2 Cada uma das partes componentes da Eq 223 é uma Fs na Tabela 21 em consequência ft é a soma das transformadas de Laplace inversas de cada termo ou seja ft 2et 2te2t 2e2t 226 Se a raiz do denominador for de multiplicidade superior a 2 as derivações sucessivas irão isolar cada um dos resíduos na expansão da raiz múltipla Em geral então dada uma Fs cujo denominador possua raízes reais e repetidas uma expansão em frações parciais Fs Ns Ds Ns s p₁ʳs p₂ s pₙ K₁ s p₁ʳ K₂ s p₁r1 Kᵣ s p₁ Kr1 s p₂ Kₙ s pₙ 227 pode ser efetuada se a ordem de Ns for inferior à ordem de Ds e as raízes repetidas forem de multiplicidade r em p₁ Para determinar as constantes K₁ a Kᵣ referentes às raízes de multiplicidade superior à unidade multiplicase primeiro a Eq 227 por s p₁ʳ obtendo F₁s Fs s p₁ʳ Fs s p₁ʳ Ns s p₁ʳ s p₂ s pₙ K₁ s p₁ K₂ s p₁² K₃ s p₁r1 Kᵣ Kr1 s p₂ Kₙ s pₙ 228 De imediato é possível determinar K₁ fazendo s tender a p₁ Podemos determinar K₂ derivando a Eq 228 com relação a s e em seguida fazendo s tender a p₁ As derivações subsequentes permitirão determinar os valores de K₃ a Kᵣ A expressão geral de Kᵢ a Kᵣ para raízes múltiplas é Kᵢ 1 i 1 di1dsi1 F₁s sp₁ i 1 2 r 0 1 229 Caso 3 Raízes do Denominador de Fs Complexas ou Imaginárias Um exemplo de Fs com raízes complexas em denominador é Fs 3 ss² 2s 5 230 34 Modelagem no Dominio de Frequencia Esta função pode ser expandida na seguinte forma 3 ss2 2s 5 K1 s K2s K3 s2 2s 5 231 Ki pode ser determinado pelo procedimento habitual e vale 35 K2 e K3 podem ser determinados multiplicandose primeiro a Eq 231 pelo mínimo múltiplo comum do denominador ss2 2s 5 e simplificando as frações Depois da simplificação com Ki 35 obtémse 232 Igualandose os coeficientes de mesma potência de s resultam K2 35 0 e K3 65 0 Portanto K2 35 e K3 65 Assim 233 É possível mostrar que o último termo é igual a soma das transformadas de Laplace de um seno e de um coseno exponencialmente amortecidos Usando o Item 7 na Tabela 21 e os Itens 2 e 4 na Tabela 22 obtemos 234 De modo semelhante 235 Adicionando as Eqs 234 e 235 obtemos 236 Convertemos agora o último termo da Eq 233 à forma sugerida pela Eq 236 completando os quadrados no denominador e ajustando termos no numerador sem alterar o seu valor Por conseguinte 237 Comparando a Eq 237 com a Tabela 21 e com a Eq 236 encontramos 238 Para visualizar a solução é preferível uma forma alternativa de ct obtida através de identidades trigonométricas Usando as amplitudes dos termos seno e coseno pomos em evidência o fator nos termos entre parênteses e obtemos 239 Fazendo 240 ou 241 onde ϕ arc tg 05 2657 Assim ct é igual a uma constante mais uma senóide exponencialmente amortecida Em geral então dada uma Fs cujo denominador possua raízes complexas ou raízes imaginárias é possível efetuar uma expansão em frações parciais 242 35 Modelagem no Dominio de Frequencia se a ordem de Ns for inferior à ordem de Ds p1 for real e s2 as b possuir raízes complexas ou imaginárias As raízes complexas ou imaginárias são expandidas com termos da forma K2s K3 no numerador em vez de simplesmente Ki como no caso de raízes reais Os Ki na Eq 242 são obtidos igualandose os coeficientes da equação depois de simplificar as frações Depois de completar os quadrados de s2 as b e ajustar o numerador K2s K3 s2 as b pode ser colocada na forma mostrada no membro da direita da Eq 236 Finalmente o caso de raízes puramente imaginárias ocorre se a 0 na Eq 242 Os cálculos são os mesmos Um outro método que segue a técnica usada para a expansão em frações parciais de Fs com raízes reais em denominador pode ser usado para o caso de raízes complexas e imaginárias Contudo os resíduos de raízes complexas e imaginárias são também conjugados complexos Então depois de obter a transformada de Laplace inversa os termos resultantes podem ser identificados como 243 e 244 Por exemplo a Fs anterior também pode ser expandida como 245 Determinando K2 246 De modo semelhante K3 é obtido como o conjugado complexo de K2 e Ki é determinado como descrito anteriormente Por conseguinte 247 onde 248 Usando as Eqs 243 e 244 obtemos 249 onde ϕ arctg 05 2657 Matemática Simbólica Os estudantes que estiverem usando exercícios com o MATLAB e quiserem explorar os recursos adicionais da Toolbox de Matemática Simbólica devem executar agora os programas ch2sp e ch2sp2 do Apêndice E Vocé aprenderá como construir objetos simbólicos e em seguida obter a transformada de Laplace inversa e as transformadas de Laplace de funções nos domínios de frequência e do tempo respectivamente Os exemplos no Caso 2 e no Caso 3 desta seção serão resolvidos usando a Toolbox de Matemática Simbólica Exercício de Avaliação 21 Problema Obter a transformada de Laplace de ft te5t Resposta Fs 1s 52 A solução completa está no CDROM que acompanha o livro 36 Modelagem no Dominio de Frequência Exercício de Avaliação 22 Problema Obter a transformada de Laplace inversa de Fs 10ss 2s 32 Resposta ft 59 5e2t 103 te3t 409 e3t A solução completa está no CDROM que acompanha o livro 23 Função de Transferência Na seção anterior definimos a transformada de Laplace e sua inversa Apresentamos a idéia da expansão em frações parciais e aplicamos os conceitos na solução de equações diferenciais Agora estamos prontos para formular a representação de sistema mostrada na Fig 21 através do estabelecimento de uma definição viável de uma função que relacione algebricamente a saída de um sistema à sua entrada Esta função permitirá a separação da entrada do sistema e da saída em três partes separadas e distintas diferentemente da equação diferencial A função nos permitirá também combinar algebricamente representações matemáticas de subsistemas para obter uma representação total do sistema Comecemos escrevendo a forma geral de uma equação diferencial de ordem n linear e invariante no tempo 250 onde ct é a saída rt é a entrada e os ai os bi e a forma da equação diferencial representam o sistema Aplicando a transformada de Laplace a ambos os lados da equação 251 A Eq 251 é uma expressão puramente algébrica Admitindose que todas as condições iniciais sejam iguais a zero a Eq 251 se reduz a 252 Forme agora a relação entre a transformada da saída Cs dividida pela transformada da entrada Rs 253 Observe que a Eq 253 separa a saída Cs a entrada Rs e o sistema a relação de polinômios em s na direita Chamamos esta relação Gs de função de transferência e o seu cálculo é feito com condições iniciais iguais a zero A função de transferência pode ser representada por um diagrama de blocos como mostrado na Fig 22 com a entrada à esquerda a saída à direita e a função de transferência do sistema no interior do bloco Observe que o denominador da função de transferência é idêntico ao polinômio característico da equação diferencial Além disto podemos obter a saída Cs usando 254 Apliquemos o conceito de função de transferência a um exemplo e em seguida usemos o resultado para obter a resposta do sistema Fig 22 Diagrama de blocos de uma função de transferência 37 Modelagem no Dominio de Frequência Exemplo 24 Função de transferência de uma equação diferencial Problema Obter a função de transferência representada por 255 Solução Aplicando a transformada de Laplace a ambos os membros supondo condições iniciais iguais a zero temos 256 A função de transferência Gs é 257 MATLAB Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem executar agora os programas ch2p9 até ch2p11 do Apêndice B Você aprenderá como usar o MATLAB para criar funções de transferência com o numerador e o denominador sob forma polinomial ou fatorada Aprenderá também a realizar a conversão entre as formas polinomial e fatorada Matemática Simbólica Os estudantes que estiverem fazendo exercícios com o MATLAB e quiserem explorar os recursos adicionais da Toolbox de Matemática Simbólica devem executar agora o programa ch2sp3 do Apêndice E Você aprenderá como usar a Toolbox de Matemática Simbólica para simplificar a entrada de funções de transferência complicadas bem como melhorar a legibilidade Você aprenderá como entrar com uma função de transferência simbólica e convertêla em um objeto linear e invariante no tempo LTI como apresentado no Apêndice B ch2p9 Exemplo 25 Resposta do sistema a partir da função de transferência Problema Usar o resultado do Exemplo 24 para obter a resposta ct a uma entrada rt ut a um degrau unitário supondo condições iniciais iguais a zero Solução Para resolver o problema usamos a Eq 254 onde Gs 1s 2 como encontrado no Exemplo 24 Como rt ut Rs 1s com base na Tabela 21 Como as condições iniciais são nulas 258 Expandindo em frações parciais obtemos 259 Finalmente aplicando a transformada de Laplace inversa a cada um dos termos resulta 260 Exercício de Avaliação 23 Problema Obter a função de transferéncia Gs CsRs correspondente à equação diferencial 261 Resposta 262 A solução completa está no CDROM que acompanha o livro Calculando a função de transferência VcsVs obtemos VcsVs 1LC s2 RLs 1LC 266 Desenvolvamos agora a técnica de simplificação da solução de problemas no futuro Primeiro selecione a transformada de Laplace das equações na coluna tensãocorrente da Tabela 23 supondo condições iniciais nulas Para o capacitor Vs 1Cs Is 267 Para o resistor Vs R Is 268 Para o indutor Vs Ls Is 269 Defina agora a seguinte função de transferência VsIs Zs 270 Observe que esta função é semelhante à definição de resistência isto é à relação da tensão pela corrente Porém diferentemente da resistência esta função é aplicável a capacitores e indutores e transporta informação sobre o comportamento dinâmico do componente uma vez que representa uma equação diferencial equivalente Chamamos esta função de transferência particular de impedância A impedância de cada um dos elementos elétricos está mostrada na Tabela 23 Mostremos agora como o conceito de impedância simplifica a solução para obter a função de transferência A transformada de Laplace da Eq 261 supondo condições iniciais nulas é Ls R 1Cs Is Vs 271 Observe que a Eq 271 que está sob a forma Soma de impedâncias Is Soma de tensões aplicadas 272 sugere o circuito série mostrado na Fig 25 Observe também que o circuito da Fig 25 poderia ter sido obtido imediatamente a partir do circuito da Fig 23 simplesmente pela substituição de cada elemento por sua impedância Chamamos este circuito modificado de circuito transformado Finalmente observe que o circuito transformado conduz imediatamente à Eq 271 se somarmos impedâncias em série como somamos resistências em série Portanto no lugar de escrever primeiro a equação diferencial e depois aplicar a transformada de Laplace podemos desenhar o circuito transformado e obter a transformada de Laplace da equação diferencial simplesmente aplicando a lei de Kirchhoff das tensões ao circuito transformado Resumimos os passos a seguir 1 Redesnehe o circuito original mostrando todas as variáveis no domínio do tempo como vt it e vCt como transformadas de Laplace Vs Is e Vcs respectivamente 2 Substitua os valores dos componentes por seus valores de impedância Esta substituição é semelhante ao caso de circuitos de corrente contínua onde representamos os resistores por seus valores de resistência Fig 25 Circuito transformado via Laplace 38 Modelagem no Dominio de Frequência Exercício de Avaliação 24 Problema Obter a equação diferencial correspondente à função de transferência 263 Resposta 264 A solução completa está no CDROM que acompanha o livro Exercício de Avaliação 25 Problema Obter a resposta a uma rampa de um sistema cuja função de transferência é Gs s 4s 8 Resposta 265 A solução completa está no CDROM que acompanha o livro Em geral os sistemas físicos que podem ser representados por meio de equação diferencial linear e invariante no tempo podem ser modelados através de função de transferência O restante deste capítulo será dedicado à tarefa de modelar subsistemas individuais Aprenderemos como representar através de função de transferência circuitos elétricos sistemas mecânicos em translação sistemas mecânicos em rotação e sistemas eletromecânicos Na medida do necessário o leitor poderá consultar a Bibliografia no final do capítulo para a discussão de outros tipos de sistema como os sistemas pneumáticos hidráulicos e de transferência de calor Cannon 1967 24 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos Nesta seção aplicaremos formalmente a função de transferência à modelagem matemática de circuitos elétricos incluindo as redes passivas e os circuitos com amplificadores operacionais As seções seguintes irão tratar dos sistemas mecânicos e eletromecânicos Os circuitos equivalentes às redes elétricas com as quais trabalhamos consistem basicamente em três componentes lineares passivos resistores capacitores e indutores A Tabela 23 resume os componentes e as relações entre tensão e corrente e entre tensão e carga sob condições iniciais iguais a zero Vamos agora combinar componentes elétricos em circuitos decidir a respeito da entrada e da saída e obter a função de transferência Nossos princípiosguias são as leis de Kirchhoff Somamos tensões ao longo de malhas ou correntes em nós dependendo da técnica que envolva o menor esforço de manipulação algébrica e em seguida Vamos refazer agora o Exemplo 26 usando o método do circuito transformado recémdescrito para contornar a escrita da equação diferencial Exemplo 27 Função de transferência malha única via método da transformada Problema Repetir o Exemplo 26 usando os métodos das malhas e do circuito transformado sem escrever a equação diferencial Solução Empregando a Fig 25 e escrevendo a equação de malha com as impedâncias como faríamos ao usar os valores de resistores em um circuito puramente resistivo obtemos Ls R 1Cs Is Vs 273 Resolvendo em função de IsVs IsVs 1 Ls R 1Cs 274 Porém a tensão sobre o capacitor Vcs é o produto da corrente pela impedância do capacitor Por conseguinte Vcs Is 1Cs 275 Solucionando a Eq 275 para Is substituindo Is na Eq 274 e simplificando obtemos o mesmo resultado da Eq 266 Circuitos Simples via Método dos Nós As funções de transferência também podem ser obtidas usando a lei de Kirchhoff das correntes e somando as correntes que fluem nos nós Chamamos este método de método dos nós Vamos mostrar agora este princípio refazendo o Exemplo 26 com a aplicação da lei de Kirchhoff das correntes e os métodos de circuito transformado recémdescrito para evitar escrever as equações diferenciais Exemplo 28 Função de transferência nó único via método da transformada Problema Repetir o Exemplo 26 usando os métodos dos nós sem escrever a equação diferencial Solução A função de transferência pode ser obtida somando as correntes que saem do nó cuja tensão é Vcs na Fig 25 Admita que as correntes que deixam o nó sejam positivas e que as correntes que chegam ao nó sejam negativas As correntes são as que circulam através do capacitor e a que flui através do resistor e do indutor em série Com base na Eq 270 para cada corrente Is VsZs Portanto Vcs1Cs Vcs VsR Ls 0 276 onde Vcs1Cs é a corrente que deixa o nó fluindo através do capacitor e Vcs VsR Ls é a corrente que sai do nó fluindo através do resistor em série com o indutor Solucionando a Eq 276 em termos da função de transferência VcsVs chegamos ao mesmo resultado da Eq 266 Circuitos Simples via Divisão de Tensão O Exemplo 26 pode ser resolvido diretamente usando divisão de tensão no circuito transformado Vamos mostrar esta técnica a seguir Exemplo 29 Função de transferência malha única via divisão de tensão Problema Repetir o Exemplo 26 usando divisão de tensão e o circuito transformado 39 Modelagem no Dominio de Frequência igualamos o resultado a zero A partir destas relações podemos escrever as equações diferenciais do circuito Aplicase então a transformada de Laplace das equações e finalmente se soluciona a função de transferência Circuitos Simples via Método das Malhas As funções de transferência podem ser obtidas usando a lei de Kirchhoff das tensões e somando as tensões ao longo de laços ou malhas3 Chamamos este método de análise pelo método das malhas Ele é mostrado no exemplo a seguir Exemplo 26 Função de transferência malha única via equação diferencial Problema Obter a função de transferência relacionando a tensão Vcs no capacitor à tensão de entrada Vs na Fig 23 Fig 23 Circuito RLC Solução Em todo problema o projetista deve primeiro decidir quais devem ser a entrada e a saída Neste circuito diversas variáveis poderiam ser escolhidas como saída por exemplo a tensão no indutor a tensão no capacitor a tensão no resistor ou a corrente O enunciado do problema contudo é claro neste caso devemos tratar a tensão do capacitor como saída e a tensão aplicada como entrada Somando as tensões ao longo da malha supondo condições iniciais iguais a zero resulta a equação integrodiferencial deste circuito 265 Aplicando a transformada de Laplace admitindo condições iniciais nulas rearrumando os termos e simplificando resulta Fig 24 Diagrama de blocos de um circuito elétrico RLC série 3Um laço loop particular que lembra os espaços de uma moldura ou de uma cerca é chamado de malha mesh Solução A tensão sobre o capacitor é uma parte proporcional da tensão de entrada nominalmente a impedância do capacitor dividida pela soma das impedâncias Assim Vcs 1Cs Ls R 1Cs Vs 277 Solucionando em termos da função de transferência VcsVs obtemos o mesmo resultado da Eq 266 Reveja os Exemplos 26 a 29 Que método você julga ser mais fácil para este circuito O exemplo anterior envolve um circuito elétrico simples com uma única malha Muitos circuitos elétricos consistem em diversas malhas e nós e para eles devemos escrever e resolver um sistema de equações diferenciais simultâneas a fim de obter a função de transferência ou a solução em termos da saída Circuitos Complexos via Método das Malhas Para resolver circuitos elétricos complexos os de múltiplas malhas e nós usando o método das malhas podemos executar os seguintes passos 1 Substituir todos os valores dos elementos passivos por suas impedâncias 2 Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas respectivas transformadas de Laplace 3 Arbitr ar um sentido para a corrente do circuito transformado em cada malha 4 Escrever a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha 5 Resolver o sistema de equações em termos da saída 6 Elaborar a função de transferência Vejamos um exemplo Exemplo 210 Função de transferência múltiplas malhas Problema Dado o circuito da Fig 26a obter a função de transferência I2sVs Solução O primeiro passo na solução consiste em converter o circuito em transformada de Laplace das impedâncias e das variáveis de circuito supondo condições iniciais nulas O resultado está mostrado na Fig 26b O circuito com o qual estamos lidando requer duas equações simultâneas para se obter a função de transferência Estas equações podem ser determinadas somando as tensões ao longo de cada malha através das quais se supõe que circulem as correntes I1s e I2s Ao longo da Malha 1 onde circula I1s R1 I1s Ls I1s Ls I2s Vs 278 Ao longo da Malha 2 onde circula I2s Ls I2s R2 I2s 1Cs I2s Ls I1s 0 279 Combinando termos as Eqs 278 e 279 se tornam equações simultâneas em I1s e I2s R1 Ls I1s Ls I2s Vs 280a Ls I1s Ls R2 1Cs I2s 0 280b Podemos usar a regra de Cramer ou qualquer outro método para resolver sistemas de equações para resolver a Eq 280 em termos de I2s Assim I2s R1 Ls Vs Ls 0 Δ Ls Vs Δ 281 onde Δ R1 Ls Ls Ls Ls R2 1Cs Elaborando a função de transferência Gs resulta Gs I2sVs Ls R1 R2 LCs2 R1 R2 C L s R1 282 como mostrado na Fig 26c Conseguimos modelar um circuito físico como função de transferência o circuito da Fig 26a está agora modelado como uma função de transferência da Fig 26c Antes de deixar o exemplo observamos a ocorrência de um padrão ilustrado em primeira mão pela Eq 272 A forma tomada pela Eq 280 é Soma das impedâncias ao longo da Malha 1 I1s Soma das impedâncias comuns às duas malhas I2s Soma das tensões aplicadas ao longo da Malha 1 283a I1s Soma das impedâncias comuns às duas malhas I1s Soma das impedâncias ao longo da Malha 2 I2s Soma das tensões aplicadas ao longo da Malha 2 283b O reconhecimento da forma geral ajudará a escrever rapidamente essas equações por exemplo as equações mecânicas de movimento tratadas nas Seções 25 e 26 possuem a mesma forma Matemática Simbólica Os estudantes que estiverem fazendo exercícios com o MATLAB e quiserem explorar os recursos adicionais da Toolbox de Matemática Simbólica devem executar agora o programa ch2sp4 do Apêndice E onde o Exemplo 210 é resolvido Você aprenderá como usar a Toolbox de Matemática Simbólica para resolver sistemas de equações usando a Regra de Cramer Especificamente a Toolbox de Matemática Simbólica será usada para resolver a função de transferência na Eq 282 usando as Eqs 280 Circuitos Complexos via Método dos Nós Frequentemente o meio mais fácil de obter a função de transferência é utilizar o método dos nós em vez do método das malhas O número de equações diferenciais simultâneas que devem ser escritas é igual ao número de nós cujas tensões são desconhecidas No exemplo anterior escrevemos as equações de malha usando a lei de Kirchhoff das tensões Para nós múltiplos usamos a lei de Kirchhoff das correntes e somamos as correntes que deixam cada um dos nós Novamente por convenção as correntes que saem do nó são consideradas positivas e as correntes que chegam ao nó são consideradas negativas Antes de prosseguir com um exemplo definamos primeiro admitância Ys como o inverso da impedância ou seja Ys 1Zs IsVs 284 Ao escrever as equações dos nós poderá ser mais conveniente representar os elementos de circuitos por suas admitâncias As admitâncias dos componentes elétricos básicos estão mostradas na Tabela 23 Vejamos um exemplo Exemplo 211 Função de transferência nós múltiplos Problema Obter a função de transferência VcsVs para o circuito na Fig 26b Usar o método dos nós Solução Neste problema somamos correntes nos nós em vez de somar tensões ao longo das malhas Com base na Fig 26b as somas das correntes que saem dos nós designados por VLs e Vcs são respectivamente VLs Vs R1 VLs Ls VLs Vcs R2 0 285a Cs Vcs Vcs VLs R2 0 285b Rearrumando e expressando as resistências como condutâncias G1 1R1 e G2 1R2 obtemos G1 G2 1Ls VLs G2 Vcs Vs G1 286a G2 VLs G2 Cs Vcs 0 286b Resolvendo em termos da função de transferência VcsVs resulta VcsVs G1 G2 C s G1 G2 s2 G1 G2 L Cs G2 LC 287 como mostrado na Fig 27 Fig 27 Diagrama de blocos do circuito da Fig 26 Uma outra forma de escrever as equações de nós é substituir as fontes de tensão por fontes de corrente Uma fonte de tensão apresenta uma tensão que independe da carga reciprocamente uma fonte de corrente entrega uma corrente que independe da carga Na prática podese construir uma fonte de corrente a partir de uma fonte de tensão colocandose uma resistência bem grande em série com a fonte de tensão Teoricamente nos usamos no teorema de Norton que estabelece que uma fonte de tensão Vs em série com uma impedância Zss pode ser substituída por uma fonte de corrente Is VsZss em paralelo com Zss Para manipular circuitos elétricos de múltiplos nós devemos executar os seguintes passos 1 Substituir todos os valores dos elementos passivos por suas admitâncias 2 Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas respectivas transformadas de Laplace 3 Substituir as fontes de tensão transformadas por fontes de corrente transformadas 4 Escrever a lei de Kirchhoff das correntes em cada nó 5 Resolver o sistema de equações em termos da saída 6 Elaborar a função de transferência Vejamos um exemplo Exemplo 212 Função de transferência múltiplos nós com fontes de corrente Problema Para o circuito da Fig 26 obter a função de transferência VcsVs usando o método dos nós e um circuito transformado com fontes de corrente Solução Converter todas as impedâncias em admitâncias e todas as fontes de tensão em série com uma impedância em fontes de corrente em paralelo com uma admitância usando o teorema de Norton Fig 28 Circuito transformado para o método dos nós Redesenhando a Fig 26b para retratar as alterações obtemos a Fig 28 onde G1 1R1 G2 1R2 e as tensões de nó as tensões sobre o indutor e sobre o capacitor foram identificadas como VLs e Vcs respectivamente Usando a relação geral Is YsVs e somando as correntes no nó VLs G1 VLs 1Ls VLs G2 VLs Vcs Vs G1 288 Somando as correntes no nó Vcs resulta Cs Vcs G2 Vcs VLs 0 289 Combinando os termos as Eqs 288 e 289 se tornam as equações simultâneas em Vcs e VLs que são idênticas às Eqs 286 e conduzem à mesma solução que a da Eq 287 Uma vantagem de desenhar este circuito reside na forma das Eqs 286 e na sua relação direta com a Fig 28 ou seja Soma das admitâncias conectadas ao Nó 1 VLs Soma das admitâncias comuns aos dois nós Vcs Soma das correntes aplicadas ao Nó 1 290a Soma das admitâncias comuns aos dois nós VLs Soma das admitâncias conectadas ao Nó 2 Vcs Soma das correntes aplicadas ao Nó 2 290b Fig 29 Circuito elétrico com três malhas Solução Ressaltamos em cada um dos problemas anteriores que as equações de malha e as equações de nó possuem uma forma previsível Usamos esse conhecimento para resolver este problema de três malhas A equação para a Malha 1 terá a seguinte forma Substituindo os valores da Fig 29 nas Eqs 291 a 293 resulta que pode ser resolvida simultaneamente para qualquer função de transferência desejada por exemplo I3sVs Circuitos elétricos passivos foram o tópico da discussão até este ponto Vamos discutir agora uma classe de circuitos ativos que podem ser usados para implementar funções de transferência Estes são circuitos construídos em torno de um amplificador operacional Amplificadores Operacionais Um amplificador operacional esboçado na Fig 210a é um amplificador eletrônico usado como bloco construtivo básico para implementar funções de transferência Possui as seguintes características 1 Entrada diferencial v2t v1t 2 Elevada impedância de entrada Zi ideal 3 Baixa impedância de saída Zo 0 ideal 4 Elevado ganho de amplificação A ideal A saída vot é dada por Amplificador Operacional Inversor Se v2t for aterrada como mostrado na Fig 210b o amplificador é chamado amplificador operacional inversor Para o amplificador operacional inversor temos Se duas impedâncias forem conectadas ao amplificador operacional inversor como mostrado na Fig 210c podemos deduzir um resultado interessante se o amplificador possuir as características mencionadas no início desta subseção Se a impedância de entrada do amplificador for elevada então pela lei de Kirchhoff das correntes Igs Fig 210 a Amplificador operacional b esquema de um amplificador operacional inversor c amplificador operacional inversor configurado para a realização de uma função de transferência Comumente o ganho A do amplificador é omitido Uma Técnica para Solução de Problemas Em todos os exemplos anteriores vimos a repetição de um padrão nas equações que podemos usar a nosso favor Se reconhecermos este padrão não teremos necessidade de escrever as equações componente por componente podemos somar impedâncias ao longo de uma malha no caso das equações de malha ou somar admitâncias em um nó no caso das equações de nó Vejamos agora um circuito elétrico com três malhas e escrevamos as equações de malha por inspeção para demonstrar o procedimento Exemplo 213 Equações de malha via inspeção Problema Escrever mas não resolver as equações de malha do circuito mostrado na Fig 29 0 e Iis I2s Além disto como o valor do ganho A é elevado v1t 0 Em consequência Iis VisZis e I2s VosZ2s Igualando as duas correntes VosZ2s VisZis ou seja a função de transferência do amplificador operacional inversor configurado como na Fig 210c é V0sVis Z2sZ1s 297 Exemplo 214 Função de transferência circuito com amplificador operacional Problema Obter a função de transferência VosVis para o circuito dado na Fig 211 Solução A função de transferência do circuito amplificador operacional é dada pela Eq 297 Como as admitâncias de componentes em paralelo se somam Zis é o inverso da soma das admitâncias ou seja Z1s 1C1s1R1 56 x 106s 1360 x 1032016s1 Para Z2s as impedâncias se somam ou seja Z2s R2 1C2s 220 x 103 107s Substituindo as Eqs 298 e 299 na Eq 297 e simplificando obtemos O circuito resultante é chamado controlador PID e pode ser usado para melhorar o desempenho de um sistema de controle Exploramos esta possibilidade mais adiante no Cap 9 Fig 212 Circuito amplificador operacional nãoinversor genérico Amplificador Operacional Nãoinversor Um outro circuito que pode ser analisado para se obter a função de transferência é o circuito amplificador operacional nãoinversor mostrado na Fig 212 Vamos agora deduzir a função de transferência Vemos que Porém usando divisão de tensão V0s AVis Vis 2101 Substituindo a Eq 2102 na Eq 2101 rearrumando e simplificando obtemos Para valores elevados de A desprezase a unidade no denominador e a Eq 2103 se torna V0sVis Z1s Z2sZ1s 2104 Vejamos agora um exemplo Exemplo 215 Função de transferência circuito amplificador operacional nãoinversor Problema Obter a função de transferência VosVis para o circuito dado na Fig 213 Solução Obtemos cada uma das funções impedância Z1s e Z2s e em seguida as substituímos na Eq 2104 Assim Substituindo as Eqs 2105 e 2106 na Eq 2104 resulta Exercício de Avaliação 26 Problema Obter a função de transferência Gs VLsVs no circuito dado na Fig 214 Solucionar o problema de duas formas pelo método das malhas e pelo método dos nós Mostrar que os dois métodos conduzem ao mesmo resultado Resposta VLsVs s2 2s 1s2 5s 2 A solução completa está no CDROM que acompanha o livro Exercício de Avaliação 27 Problema Se Z1s é a impedância de um capacitor de 10 µF e Z2s é a impedância de um resistor de 100 kΩ obter a função de transferência Gs VosVis se estes componentes forem usados com a um amplificador operacional inversor e b com um amplificador operacional nãoinversor como está mostrado nas Figs 210c e 212 respectivamente Resposta Gs s para um amplificador operacional inversor Gs s 1 para um amplificador operacional nãoinversor A solução completa está no CDROM que acompanha o livro Nesta seção obtivemos funções de transferência em circuitos elétricos com diversas malhas e diversos nós bem como em circuitos com amplificadores operacionais Desenvolvemos as equações de malhas e de nós observamos sua forma geral e as escrevemos por inspeção Na próxima seção iniciaremos nosso trabalho com os sistemas mecânicos Veremos que muitos dos conceitos aplicados aos circuitos elétricos também podem ser aplicados aos sistemas mecânicos através de analogias dos conceitos básicos à escrita das equações diferenciais por inspeção Esta descoberta lhe trará confiança para ir além deste livro e estudar sistemas não tratados aqui como os sistemas hidráulicos ou os sistemas pneumáticos Tabela 24 Relações forçavelocidade forçadeslocamento e impedância de translação de molas amortecedores viscosos e massa dar uma olhada nestes elementos mecânicos que estão mostrados na Tabela 24 Na tabela K fv e M são chamadas respectivamente de constante de mola coeficiente de atrito viscoso e massa Criamos agora analogias entre os sistemas elétricos e mecânicos comparando as Tabelas 23 e 24 Comparando a coluna forçavelocidade da Tabela 24 com a coluna tensãocorrente da Tabela 23 vemos que a força mecânica é análoga à tensão elétrica e a velocidade mecânica é análoga à corrente elétrica A comparação da coluna forçadeslocamento da Tabela 24 com a coluna tensãocarga da Tabela 23 conduz à analogia entre o deslocamento mecânico e a carga elétrica Vemos também que a mola é análoga ao capacitor o amortecimento viscoso é análogo ao resistor e a massa é análoga ao indutor Portanto a soma de forças escritas em termos de velocidade é análoga à soma de tensões escritas em termos de corrente e as equações diferenciais resultantes para o sistema mecânico são análogas às equações de malha Se as forças forem escritas em termos de deslocamentos as equações resultantes para o sistema mecânico lembrarão mas não serão análogas às equações de malha Contudo usaremos este modelo para sistemas mecânicos de modo que possamos escrever as equações diretamente em termos de deslocamento Uma outra analogia pode ser extraída comparando a coluna forçavelocidade da Tabela 24 com a coluna correntetensão da Tabela 23 na ordem inversa Aqui a analogia é entre força e corrente e entre velocidade e tensão Além disto a mola é análoga ao indutor o amortecedor viscoso é análogo ao resistor e a massa é análoga ao capacitor Em consequência a soma de forças escritas em termos de velocidade é análoga à soma de correntes escritas em termos de tensões e as equações diferenciais resultantes para o sistema mecânico são análogas às equações de nós Discutiremos estas analogias com mais detalhe na Seção 29 Agora estamos prontos para obter funções de transferência de sistemas mecânicos em translação Nosso primeiro exemplo mostrado na Fig 215a é semelhante ao circuito RLC simples do Exemplo 26 ver Fig 23 O sistema mecânico requer para descrevêlo uma única equação diferencial chamada equação de movimento Iniciaremos arbitrando um sentido positivo para o movimento por exemplo para a direita Esta escolha arbitrária do sentido positivo do movimento é semelhante à escolha do sentido positivo da corrente em uma malha elétrica Usando o sentido escolhido como positivo para o movimento desenhamos em primeiro lugar um diagrama de corpo livre posicionando sobre o corpo todas as forças que agem sobre ele no sentido do movimento ou no sentido oposto Em seguida utilizamos a lei de Newton para construir a equação diferencial do movimento somando as forças e igualando a soma a zero Finalmente supondo condições iniciais nulas aplicamos a transformada de Laplace à equação diferencial separamos as variáveis e chegamos à função de transferência A seguir um exemplo Exemplo 216 Função de transferência uma equação de movimento Problema Obter a função de transferência XsFs para o sistema da Fig 215a Fig 215 a Sistema massa mola e amortecedor b diagrama de blocos Solução Comece a solução desenhando o diagrama de corpo livre mostrado na Fig 216a Coloque na massa todas as forças sentidas por ela Supomos que a massa está se deslocando para a direita Assim somente a força aplicada aponta para a direita todas as outras forças impedem o movimento e agem para se opor a ele Assim a mola o amortecedor e a força devida à aceleração apontam para a esquerda Fig 216 a Diagrama de corpo livre do sistema massa mola e amortecedor b diagrama de corpo livre transformado Escrevemos agora a equação diferencial do movimento usando a lei de Newton para somar e igualar a zero todas as forças mostradas sobre a massa da Fig 216a Aplicando a transformada de Laplace supondo nulas todas as condições iniciais Resolviendo para obter a função de transferência resulta que é representada na Fig 215b Seria agora possível estabelecer um paralelo entre o nosso trabalho e os circuitos elétricos evitando escrever as equações diferenciais e definindo impedâncias para os componentes mecânicos Em caso afirmativo poderíamos aplicar aos sistemas mecânicos as técnicas de solução de problemas aprendidas na seção anterior Aplicando a transformada de Laplace à coluna forçadeslocamento da Tabela 24 obtemos para a mola para o amortecedor viscoso e para a massa Se definirmos impedância para componentes mecânicos como Raven 1995 e aplicarmos a definição às Eqs 2112 a 2114 chegamos à impedância de cada componente como resumido na Tabela 24 Substituindo cada uma das forças na Fig 216a por sua transformada de Laplace que está no formato obtemos a Fig 216b a partir da qual poderíamos ter obtido imediatamente a Eq 2109 sem escrever a equação diferencial Daqui em diante usaremos esta abordagem Finalmente observe que a Eq 2110 está sob a forma que é semelhante mas não o análogo a uma equação de malha ver nota de rodapé 7 Muitos sistemas mecânicos são semelhantes a circuitos elétricos com diversas malhas e diversos nós circuitos multilmalhas e multinós onde é necessária mais de uma equação para descrever o sistema Em sistemas mecânicos o número necessário de equações de movimento é igual ao número de movimentos linearmente independentes A independência linear implica que um ponto de movimento em um sistema em movimento pode continuar a se mover mesmo se todos os outros pontos forem mantidos parados Um outro nome para o número de movimentos linearmente independentes é o número de graus de liberdade Esta discussão não significa que estes movimentos não estejam acoplados uns aos outros em geral estão Por exemplo em um circuito elétrico com duas malhas cada corrente de malha depende da outra corrente de malha mas se for aberto o circuito de somente uma das malhas a outra corrente pode continuar a existir se houver uma fonte de tensão nessa malha De forma semelhante em um sistema mecânico com dois graus de liberdade um ponto do movimento pode ser mantido parado enquanto o outro ponto se mover sob a influência de uma força aplicada Para tratar um problema assim desenhamos o diagrama de corpo livre para cada um dos pontos e em seguida usamos a superposição Para cada um dos diagramas de corpo livre começamos fixando todos os outros pontos e determinando as forças que atuam sobre o corpo devidas somente ao próprio movimento Em seguida mantemos o corpo parado e ativamos um a um os outros pontos colocando no corpo original as forças criadas pelo movimento adjacente Usando a lei de Newton somamos as forças de cada corpo e fazemos a soma igual a zero O resultado é um sistema de equações simultâneas do movimento Estas equações sob a forma de transformada de Laplace são então resolvidas em função da variável de saída de interesse a partir da qual se calcula a função de transferência Demonstramos isto com um exemplo Fig 218 a Forças sobre M1 devidas somente ao movimento do M1 b forças sobre M1 devidas somente ao movimento de M2 c todas as forças sobre M1 mas As duas equações vêm dos diagramas de corpo livre de cada massa É usada a superposição para desenhar os diagramas de corpo livre Por exemplo as forças sobre M1 são devidas a 1 seu movimento próprio e 2 ao movimento de M2 transmitido a M1 através do sistema Consideraremos estas duas fontes separadamente Se mantivermos M2 parada e deslocarmos M1 para a direita veremos as forças mostradas na Fig 218a Se mantivermos M1 parada e deslocarmos M2 para a direita veremos as forças mostradas na Fig 218b A força total sobre M1 é a superposição ou soma das forças recémdiscutidas Este resultado está mostrado na Fig 218c Com relação a M2 procedemos de maneira semelhante primeiro deslocamos M2 para a direita mantendo M1 parada em seguida movimentamos M1 para a direita mantendo M2 parada Calculamos para cada uma das situações as forças sobre M2 Os resultados aparecem na Fig 219 A transformada de Laplace das equações de movimento podem ser escritas agora a partir das Figs 218c e 219c como Com base nisto a função de transferência X2sFs é como mostrado na Fig 217b onde Δ Observe novamente nas Eqs 2118 que a forma geral das equações é semelhante às equações elétricas de malha Fig 219 a Forças sobre M2 devidas somente ao movimento de M2 b forças sobre M2 devidas somente ao movimento de M1 c todas as forças sobre M2 Fig 221 Sistema mecânico em translação para o Exercício de Avaliação 28 Resposta A solução completa está no CDROM que acompanha o livro 26 Funções de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação Após ter tratado dos sistemas elétricos e dos sistemas mecânicos em translação vamos considerar agora os mas mecânicos em rotação Os sistemas mecânicos em movimento de rotação são manipulados da mesma maneira que os sistemas mecânicos em translação exceto que torque substitui força e deslocamento angular substitui deslocamento de translação Os componentes mecânicos dos sistemas em rotação são os mesmos dos sistemas em translação exceto que os componentes efetuam rotação em vez de translação A Tabela 25 mostra os componentes juntamente com as relações entre torque e velocidade angular bem como entre torque e deslocamento angular Observe que os símbolos dos componentes são os mesmos do sistema em translação mas são submetidos à rotação e não à translação Observe também que o termo associado a massa foi substituído por inércia Os valores de K D e J são chamados constante de mola coeficiente de atrito viscoso e momento de inércia respectivamente As impedâncias dos componentes mecânicos estão também resumidas na última coluna da Tabela 25 Os valores podem ser obtidos aplicando a transformada de Laplace à coluna torquedeslocamento angular da Tabela 25 supondo condições iniciais nulas O conceito de graus de liberdade continua válido nos sistemas em rotação com exceção de que testamos um ponto de movimento por meio de uma rotação mantendo todos os outros pontos de movimento parados O número de pontos de movimento que podem ser submetidos a deslocamentos angulares enquanto se mantém parados todos os demais é igual ao número de equações de movimento necessário para descrever o sistema Escrever as equações de movimento para sistemas em rotação é semelhante a escrevêlas para os sistemas em translação a única diferença é que o diagrama de corpo livre consiste em torques em vez de forças Obtemos estes torques usando superposição Primeiro giramos um corpo mantendo parados todos os demais e pondo no diagrama de corpo livre todos os torques devidos ao próprio movimento Em seguida mantendo o corpo parado giramos os pontos de movimento adjacentes um a um e acrescentamos os torques devidos ao movimento adjacente ao corpo livre O processo é repetido para cada um dos pontos de movimento Para cada um dos diagramas de corpo livre estes torques são somados e igualados a zero para formar as equações de movimento Dois exemplos irão mostrar a solução de sistemas em movimento de rotação O primeiro utiliza os diagramas de corpo livre o segundo emprega o conceito de impedâncias para escrever as equações de movimento por inspeção Tabela 25 Relações torquevelocidade angular torquedeslocamento angular e impedância de rotação de molas amortecedores viscosos e inércia que os sistemas mecânicos em translação exceto que torque substitui força e deslocamento angular substitui deslocamento de translação Os componentes mecânicos dos sistemas em rotação são os mesmos em translação exceto que os componentes efetuam rotação em vez de translação A Tabela 25 mostra os componentes juntamente com as relações entre torque e velocidade angular bem como entre torque e deslocamento angular Observe que os símbolos dos componentes são os mesmos do sistema em translação mas são submetidos à rotação e não à translação Observe também que o termo associado a massa foi substituído por inércia Os valores de K D e J são chamados constante de mola coeficiente de atrito viscoso e momento de inércia respectivamente As impedâncias dos componentes mecânicos estão também resumidas na última coluna da Tabela 25 Os valores podem ser obtidos aplicando a transformada de Laplace à coluna torquedeslocamento angular da Tabela 25 supondo condições iniciais nulas O conceito de graus de liberdade continua válido nos sistemas em rotação com exceção de que testamos um ponto de movimento por meio de uma rotação mantendo todos os outros pontos de movimento parados O número de pontos de movimento que podem ser submetidos a deslocamentos angulares enquanto se mantém parados todos os demais é igual ao número de equações de movimento necessário para descrever o sistema Escrever as equações de movimento para sistemas em rotação é semelhante a escrevêlas para os sistemas em translação a única diferença é que o diagrama de corpo livre consiste em torques em vez de forças Obtemos estes torques usando superposição Primeiro giramos um corpo mantendo parados todos os demais e pondo no diagrama de corpo livre todos os torques devidos ao próprio movimento Em seguida mantendo o corpo parado giramos os pontos de movimento adjacentes um a um e acrescentamos os torques devidos ao movimento adjacente ao corpo livre O processo é repetido para cada um dos pontos de movimento Para cada um dos diagramas de corpo livre estes torques são somados e igualados a zero para formar as equações de movimento Dois exemplos irão mostrar a solução de sistemas em movimento de rotação O primeiro utiliza os diagramas de corpo livre o segundo emprega o conceito de impedâncias para escrever as equações de movimento por inspeção Fig 222 a Sistema físico b esquema c diagrama de blocos Tt θ1t θ2t J1 J2 Mancal Mancal D1 Torção D2 a Tt θ1t θ2t J1 J2 D1 K D2 b Ts K θ2s Δ c Solução Primeiro obtenha o diagrama esquemático a partir do sistema físico Embora a torção ocorra ao longo do eixo na Fig 222a aproximamos o sistema admitindo que a torção atua como uma mola concentrada em um ponto particular do eixo com uma inércia J1 à esquerda e uma inércia J2 à direita Admitimos também que o amortecimento no interior do eixo elástico é insignificante O diagrama esquemático está mostrado na Fig 222b Há dois graus de liberdade uma vez que cada inércia pode girar enquanto a outra permanece parada Portanto teremos duas equações simultâneas para resolver o sistema Em seguida desenhe o diagrama de corpo livre de J1 usando superposição A Fig 223a mostra os torques sobre J1 e J2 for mantida parada e J1 girar A Fig 223b mostra os torques sobre J1 se J1 for mantida parada e J2 girar Finalmente a soma das Figs 223a e 223b está mostrada na Fig 223c o diagrama de corpo livre final para J1 O mesmo processo é repetido na Fig 224 para J2 Somando os torques respectivamente a partir das Figs 223c e 224c obtemos as equações de movimento J1s2 D1s K θ1s Kθ2s Ts 2127a Kθ1s J2s2 D2s K θ2s 0 2127b Fig 223 a Torques sobre J1 devidos somente ao movimento de J1 b torques sobre J1 devidos somente ao movimento de J2 c todos os torques sobre J1 Sentido θ1s Ts J1 J1s2 θ1s D1sθ1s Kθ1s Sentido θ1s Ts J1 J1s2 θ1s D1sθ1s Kθ1s Sentido θ1s Ts J1 J1s2 θ1s D1sθ1s Kθ1s a b c Fig 224 a Torques sobre J2 devidos somente ao movimento de J2 b torques sobre J2 devidos somente ao movimento de J1 c todos os torques sobre J2 Sentido θ2s J2 J2s2 θ2s D2sθ2s Kθ2s Sentido θ2s J2 Sentido θ2s J2 J2s2θ2s D2sθ2s Kθ2s a b c Neste caso o parâmetro ε referido como parâmetro distribuído O parâmetro ε agora referido com parâmetro concentrado a partir das quais se obtém a função de transferência pedida θ2s K Ts Δ 2128 como mostrado na Fig 222c onde Δ J1s2 D1s K K K J2s2 D2s K Observe que as Eqs 2127 possuem a agora bem conhecida forma geral Soma das impendâncias conectadas ao movimento em θ1 Soma das impendâncias entre θ1 e θ2 Soma dos torques aplicados em θ1 2129a Soma das impendâncias entre θ1 e θ2 Soma das impendâncias conectadas ao movimento em θ2 Soma dos torques aplicados em θ2 2129b Exemplo 220 Equações de movimento por inspeção Problema Escrever mas não resolver a transformada de Laplace das equações de movimento para o sistema mostrado na Fig 225 Solução As equações tomarão a seguinte forma semelhante a equações de malha de circuitos elétricos Soma das impedâncias conectadas ao movimento em θ1 Soma das impedâncias entre θ1 e θ2 θ1s θ2s Soma das impedâncias entre θ1 e θ3 Soma das impedâncias conectadas ao movimento em θ2 θ3s Soma dos torques aplicados em θ1 2130a Soma das impedâncias entre θ1 e θ2 Soma das impedâncias conectadas ao movimento em θ2 θ2s Soma das impedâncias entre θ2 e θ3 2130b Soma dos torques aplicados em θ2 Fig 225 Sistema mecânico em rotação com três graus de liberdade θ1t Tt θ2t θ3t J1 K J2 J3 D1 D2 D3 Soma das impedâncias entre θ1 e θ3 θ1s θ2 s Soma das impedâncias conectadas ao movimento em θ3 θ3s Soma dos torques aplicados em θ3 2130c Portanto J1s2 D1s K θ1s Kθ2s 0 θ3s Ts Kθ1s J2s2 D2s K θ2s D2s θ3s 0 0 θ1s D2s θ2s J3s2 D3s D2s θ3s 0 2131a b c Exercício de Avaliação 29 Problema Obter a função de transferência Gs θ 2sTs para o sistema em rotação mostrado na Fig 226 Fig 226 Sistema mecânico em rotação para o Exercício de Avaliação 29 Tt 1 kg m2 1 Nmrad θ2t 1 Nmrad 1 Nm srad J1 Nmsrad Resposta Gs 12s2 s 1 A solução completa está no CDROM que acompanha o livro 27 Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens Agora que somos capazes de obter a função de transferência de sistemas em rotação percebemos que estes sistemas especialmente os acionados por motores raramente são vistos sem trens de engrenagens acionando a carga Esta seção trata deste importante tópico As engrenagens propiciam vantagens mecânicas aos sistemas em rotação Qualquer um que tenha dirigido uma bicicleta com 10 marchas de velocidade conhece o efeito das engrenagens Ladeira acima você troca de marcha para fornecer mais torque e menos velocidade Em linha reta você troca de marcha para obter mais velocidade e menos torque Portanto as engrenagens permitem que você adapte o sistema de acionamento à carga um compromisso entre velocidade e torque Em muitas aplicações as engrenagens apresentam folgas backlash que ocorrem devido a um ajustamento inadequado entre os dentes das engrenagens A engrenagem tratora gira um pequeno ângulo antes de fazer contato com a engrenagem acionada O resultado é que o movimento angular da engrenagem de saída não ocorre até que um movimento angular pequeno da engrenagem de entrada tenha ocorrido Nesta seção o comportamento das engrenagens será ideal e se admite que não haverá folga A interação linearizada entre duas engrenagens está esboçada na Fig 227 Uma engrenagem de entrada de raio r1 e N1 dentes gira de um ângulo θ1t devido a um torque T1t Uma engrenagem de saída de raio r2 e N2 dentes responde girando de um ângulo θ2t e entregando um torque T2t Obtenhamos agora a relação entre o ângulo de rotação da Engrenagem 1 θ1t e o da Engrenagem 2 θ2t Fig 227 Sistema de engrenagens T1t θ1t N1 N2 Engrenagem de entrada Engrenagem 1 Engrenagem acionada de saída Engrenagem 2 T2t Fig 228 Funções de transferência para a deslocamento angular em engrenagens sem perdas e b torques em engrenagens sem perdas Com base na Fig 227 à medida que as engrenagens giram a distância percorrida ao longo de cada circunferência das engrenagens é a mesma Portanto r1θ1 r2θ2 2132 ou θ2θ1 r1r2 N1N2 2133 uma vez que a razão do número de dentes ao longo da circunferência está na mesma proporção da razão dos raios Concluímos que a relação entre os deslocamentos angulares das engrenagens é inversamente proporcional à razão do número de dentes Qual é a relação entre o torque de entrada T1 e o torque fornecido T2 Se admitirmos que as engrenagens não absorvem nem armazenam energia a energia que entra na Engrenagem 1 é igual à energia que sai na Engrenagem 2 Como a energia de translação de força vezes deslocamento se torna energia de rotação de torque vezes deslocamento angular T1θ1 T2θ2 2134 Resolvendo a Eq 2134 para obter a relação de torques e usando a Eq 2133 obtemos T2T1 θ1 θ2 N1N2 2135 Por conseguinte os torques são diretamente proporcionais à relação do número de dentes Todos os resultados estão resumidos na Fig 228 Vejamos o que acontece com as impedâncias mecânicas que são acionadas por engrenagens A Fig 229a mostra engrenagens acionando uma inércia uma mola e um amortecedor viscoso Para maior clareza as engrenagens são mostradas por meio de uma vista em corte simplificada Desejamos representar a Fig 229a como um sistema equivalente referido a θ1 sem engrenagens Em outras palavras será possível refletir as impedâncias mecânicas de saída para o eixo de entrada eliminando assim as engrenagens Com base na Fig 228b é possível refletir T2 na saída multiplicandoo por N2N1 O resultado está mostrado na Fig 229b a partir da qual se escreve a equação de movimento como Js2 Ds K θ2s T1s N2N1 2136 Converta agora θ2s em um θ1s equivalente de modo que a Eq 2136 pareça ter sido escrita em relação à entrada Usando a Fig 228a para obter θ2s em função de θ1s temos Js2 Ds K N1N2 θ1s T1s N2N1 2137 Depois das simplificações JN1N22 s2 DN1N2 s KN1N22 θ1s T1s 2138 Fig 227 Sistema de engrenagens T1t θ1t N1 N2 T2t Engrenagem Engrenagem tratora de entrada Engrenagem 1 acionada de saída Engrenagem 2 Fig 228 Funções de transferência para a deslocamento angular em engrenagens sem perdas e b torques em engrenagens sem perdas 11 Isto é equivalente a dizer que as engrenagens possuem inércia e amortecimento insignificantes Fig 229 a Sistema em rotação acionado por engrenagens b sistema equivalente referido à saída após reflexão do torque de entrada c sistema equivalente referido à entrada após reflexão das impedâncias que sugere um sistema equivalente visto da entrada e sem engrenagens mostrado na Fig 229c Assim a carga pode ser vista como tendo sido refletida da saída para a entrada Generalizando os resultados podemos elaborar o seguinte enunciado As impedâncias mecânicas em rotação podem ser refletidas por meio de trens de engrenagens multiplicandose a impedância mecânica pela relação Número de dentes da engrenagem do eixo de destinoNúmero de dentes da engrenagem do eixo de origem2 onde a impedância a ser refletida está anexada ao eixo fonte e está sendo refletida no eixo de destino O próximo exemplo mostra a aplicação do conceito de impedâncias refletidas ao se obter a função de transferência de um sistema mecânico em rotação com engrenagens Exemplo 221 Função de transferência sistema com engrenagens sem perdas Problema Obter a função de transferência θ2sT1s para o sistema da Fig 230a Fig 230 a Sistema em rotação com engrenagens b sistema de torques e impedâncias ao eixo de saída c diagrama de blocos T1t θ1t N1 N2 θ2t T1tN2N1 θ2t J1 J2 D2 De D1N2N12 D2 J1 N2N12 J2 Ke K2 J e J1 N2N12 J2 D e D1 N2N12 D2 Solução Pode ser tentador neste ponto buscar duas equações simultâneas correspondentes às inércias Estas contudo não são submetidas a movimentos linearmente independentes uma vez que estão ligadas pelas engrenagens Por conseguinte há um único grau de liberdade e em decorrência disto uma única equação de movimento Reflitamos primeiramente as impedâncias J1 e D1 e o torque T1 do eixo de entrada para a saída como mostrado na Fig 230b onde as impedâncias são refletidas pelo fator N2N12 e o torque é refletido pelo fator N2N1 A equação de movimento pode ser escrita como Jes2 Des K e θ2s T1s N2N1 2139 onde Je J1 N2N12 J2 De D1 N2N12 D2 Ke K2 Resolvendo em θ2sT1s obtemos a função de transferência Gs θ2sT1s N2N1 Jes2 Des Ke 2140 como mostrado na Fig 230c No sentido de eliminar engrenagens com raios muito grandes usase um trem de engrenagens para implementar valores elevados de relação de transmissão colocando em cascata relações de transmissão menores O diagrama esquemático de um trem de engrenagens é mostrado na Fig 231 Ao lado de cada deslocamento angular foi calculado o deslocamento angular relativo a θ1 Com base na Fig 231 θ4 N1N3N5N2N4N6 θ1 2141 Concluímos que nos trens de engrenagens a relação de engrenagem equivalente τ é o produto das relações de engrenagem individuais Agora vamos aplicar este resultado para obter a função de transferência de um sistema dotado de engrenagens com perdas Fig 231 Trem de engrenagens θ1 θ2 N1N2 θ3 N3N4 θ4 N1N3N5N2N4N6 θ5 N5N6 θ6 θ1 N2 N3 N4 N5 N6 Exemplo 222 Função de transferência engrenagens com perdas Problema Obter a função de transferência θ1sT1s para o systema da Fig 232a Fig 232 a Sistema usando um trem de engrenagens b sistema equivalente referido à entrada c diagrama de blocos T1t θ1t N1 N2 J 1 D1 N3 J3 N4 J4 T1t J e D e J e J1 J2 J3 N1N22 J4 J5 N1N3N2N42 D e D1 D2 N1N22 c Solução Neste sistema que utiliza um trem de engrenagens não há engrenagens sem perdas Todas elas possuem inércia e para alguns eixos há atrito viscoso Para solucionar o problema devemos refletir todas as impedâncias no eixo de entrada θ1 A relação de engrenagem não é a mesma para todas as impedâncias Por exemplo D2 é refletida somente através de uma relação como D2 N1N22 enquanto J4 mais J5 são refletidas através de duas relações de engrenagem como J4 J5N3N4N1N22 O resultado de refletir todas as impedâncias para θ1 está mostrado na Fig 232b cuja equação de movimento é Je s2 De s θ1 s T1s 2142 onde Je J1 J2 J3N1N22 J4 J5N1N3N2N42 e De D1 D2 N1N22 Da Eq 2142 a função de transferência é Gs θ1sT1s 1 Je s2 De s 2143 como mostrado na Fig 232c Exercício de Avaliação 210 Problema Obter a função de transferência Gs θ2sTs para o sistema mecânico em rotação com engrenagens mostrado na Fig 233 Resposta Gs 1 s2 s 1 A solução completa está no CDROM que acompanha o livro 28 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico Na última seção tratamos de sistemas em rotação com engrenagens o que completou nossa discussão de sistemas puramente mecânicos Agora vamos nos deslocar para sistemas em que há mistura de variáveis elétricas e mecânicas os sistemas eletromecânicos Vimos uma aplicação de sistema eletromecânico no Cap 1 o sistema de controle de posicionamento de uma antena em azimute Outras aplicações em sistemas dotados de componentes eletromecânicos são controles de robôs rastreadores do Sol e rastreadores estelares e controle de posição de acionadores de fita e de disco para computadores Um exemplo de sistema de controle que utiliza componentes eletromecânicos está mostrado na Fig 234 Um motor é um componente eletromecânico que fornece um deslocamento de saída para uma tensão de entrada isto é uma saída mecânica gerada por uma entrada elétrica Iremos deduzir a função de transferência de uma espécie particular de sistema eletromecânico o servomotor de corrente contínua controlado pela armadura Makebos 1980 O esquema do motor está mostrado na Fig 235a e a função de transferência a ser deduzida aparece na Fig 235b Na Fig 235a o campo magnético é produzido por ímãs permanentes estacionários ou por meio de um eletroímã estacionário chamado campo fixo Um circuito rotativo chamado armadura através do qual circula a corrente ia t corta o campo magnético segundo um ângulo reto e experimenta uma força F B I iat onde B Fig 234 Braço robótico de um simulador de vôo da NASA com componentes de sistema de controle eletromecânico Fig 235 Motor CC a esquema b diagrama de blocos é a intensidade do campo magnético e l é o comprimento do condutor O torque resultante aciona o rotor o elemento girante do motor Há um outro fenômeno que ocorre no motor quando um condutor se desloca perpendicularmente a um campo magnético é gerada uma tensão nos terminais do condutor igual a e Blv onde e é a tensão e v é a velocidade do condutor perpendicular ao campo magnético Como a armadura conduzindo corrente está girando no interior de um campo magnético sua tensão é proporcional à velocidade Portanto vbt Kb dθmtdt 2144 Chamamos vbt de força contraeletromotriz fcem Kb é uma constante de proporcionalidade chamada constante de fcem e dθmtdt ωmt é a velocidade angular do motor Aplicando a transformada de Laplace obtemos Vbs Kbsθms 2145 A relação entre a corrente de armadura iat a tensão aplicada na armadura eat e a fcem vbt é obtida escrevendo a transformada de Laplace da equação de malha do circuito de armadura ver Fig 235a RaIas LsIas Vbs Eas 2146 O torque produzido pelo motor é proporcional à corrente de armadura assim Tms KtIas 2147 19 onde Tm é o torque gerado pelo motor e Kt é uma constante de proporcionalidade chamada constante de torque do motor a qual depende de detalhes construtivos do motor e das características do campo magnético Em um sistema de unidades consistente o valor de Kt é igual ao valor Kb Rearrumando a Eq 2147 resulta Ias 1Kt Tms 2148 Para obter a função de transferência do motor substituímos primeiro as Eqs 2145 e 2148 na Eq 2146 resultando Ra LsTmsKt Kbsθms Eas 2149 Agora devemos obter Tms em termos de θms se quisermos separar as variáveis de entrada e de saída e obter a função de transferência θmsEas A Fig 236 mostra um carregamento mecânico típico de um motor Jm é a inércia equivalente na armadura e inclui os valores da inércia própria da armadura e também como veremos adiante os da inércia da carga refletida na armadura Dm é o amortecimento viscoso equivalente na armadura e inclui os valores do amortecimento próprio da armadura e também como veremos adiante os do amortecimento viscoso da carga refletida na armadura Da Fig 236 Tms Jms2 Dms θms 2150 Substituindo a Eq 2150 na Eq 2149 resulta Ra LsJms2 Dms θmsKt Kbsθms Eas 2151 Se admitirmos que a indutância da armadura La é pequena em comparação com a sua resistência Ra o que é usual em um motor CC a Eq 2151 se torna RaKt Jms2 Dm Kb sθms Eas 2152 Depois das simplificações determinase a função de transferência desejada θm sEas θmsEas Kt RaKt ss 1Jm Dm Kt Kb Ra 2153 Embora a forma da Eq 2153 seja relativamente simples isto é θmsEas K ss α 2154 o leitor deve saber como calcular as constantes Discutamos primeiramente as constantes mecânicas Jm e Dm Considere a Fig 237 que mostra um motor de inércia Ja e de amortecimento Da na armadura acionando uma carga de inércia JL e amortecimento DL Admitindo que sejam conhecidos todos os valores de inércia e de amortecimento JL e DL podem ser refletidos para a armadura como inércia e amortecimento equivalentes a serem adicionados respectivamente a Ja e Da Portanto a inércia equivalente Jm e o amortecimento equivalente Dm referidos à armadura são Jm Ja JL N1 N22 Dm Da DL N1 N22 2155 Agora que você calculou as constantes mecânicas Jm e Dm que tal tratar das constantes elétricas da função de transferência da Eq 2153 Mostraremos que estas constantes podem ser obtidas através de um teste do motor em dinamômetro no qual um dinamômetro mede o torque e a velocidade de um motor ao qual é aplicada uma tensão constante Desenvolvamos primeiro a relação que governa o uso de um dinamômetro Substituindo as Eqs 2145 e 2148 na Eq 2146 com La 0 resulta Ra Kt Tms Kb θms Eas 2156 Tomando a transformada de Laplace inversa obtemos Ra Kt Tmt Kb ωmt eat 2157 onde a transformada de Laplace inversa de sθms é dθmtdt ou alternativamente ωmt Se uma tensão CC ea for aplicada o motor irá girar a uma velocidade constante ωm com um torque constante Tm Em consequência deixando de lado a relação funcional baseada no tempo da Eq 2157 existe a seguinte relação quando o motor estiver operando em estado estacionário com uma tensão CC aplicada na entrada Ra Kt Tm Kb ωm ea 2158 Extraindo o valor de Tm vem Tm Kb Kt Ra ωm Kt Ra ea 2159 A Eq 2159 é uma reta Tm em função de ωm e está mostrada na Fig 238 Este gráfico é chamado de curva torquevelocidade A interseção com o eixo dos torques ocorre quando a velocidade angular alcança o valor zero Esse valor de torque é chamado torque de partida ou torque com rotor bloqueado Tbloq Assim Tbloq Kt Ra ea 2160 A velocidade angular que ocorre quando o torque é zero é chamada de velocidade sem carga ou velocidade em vazio ωvazio Assim ωvazio ea Kb 2161 Fig 238 Curvas torquevelocidade tendo como parâmetro a tensão de armadura ea 20 As constantes elétricas da função de transferência do motor podem ser determinadas a partir das Eqs 2160 e 2161 como Kt Ra Tbloq ea 2162 e Kb ea ωvazio 2163 As constantes elétricas KtRa e Kb podem ser determinadas com um teste dinamométrico do motor o qual forneceria Tbloq e ωvazio para um dado valor de ea Exemplo 223 Função de transferência motor CC e carga Problema Dado o sistema e a curva torquevelocidade das Figs 239a e b obter a função de transferência θLsEas Solução Comece obtendo as constantes mecânicas Jm e Dm na Eq 2153 Com base nas Eqs 2155 a inércia total referida à armadura do motor é Jm Ja JL N1N22 5 700 1102 12 2164 Fig 239 a Motor CC e carga b curva torquevelocidade c diagrama de blocos onde e o amortecimento total referido à armadura do motor é Dm Da DL N1N22 2 800 1102 10 2165 Agora obteremos as constantes elétricas KtRa e Kb Da curva torquevelocidade na Fig 239b Tbloq 500 2166 ωvazio 50 2167 ea 100 2168 Portanto as constantes elétricas são KtRa 500100 5 2169 e Kb 10050 2 2170 Substituindo as Eqs 2164 2165 2169 e 2170 na Eq 2153 resulta θmsEas 512 s s 112 10 52 0417 ss 1667 2171 A fim de determinar θLsEas usamos a relação de engrenagens N1N2 110 e encontramos θLsEas 00417 ss 1667 2172 como mostrado na Fig 239c Exercício de Avaliação 211 Problema Obter a função de transferência Gs θLsEas de um motor e carga mostrados na Fig 240 A curva torquevelocidade é dada por Tmu 8 ωm 200 quando a tensão de entrada for 100 volts Resposta Gs 120 ss 152 A solução completa está no CDROM que acompanha o livro 29 Circuitos Elétricos Análogos Nesta seção mostraremos aspectos comuns a sistemas de vários campos do conhecimento mostrando que os sistemas mecânicos com os quais trabalhamos podem ser representados por circuitos elétricos equivalentes Destacamos a semelhança entre as equações resultantes das leis de Kirchhoff para os sistemas elétricos e as equações de movimento dos sistemas mecânicos Mostramos agora estes aspectos comuns de um modo bem mais convincente através da produção de circuitos elétricos equivalentes a sistemas mecânicos As variáveis dos circuitos elétricos se comportam exatamente como as variáveis análogas do sistema mecânico Na realidade a conversão de sistemas mecânicos em circuitos elétricos antes de escrever as equações que os descrevem constitui uma abordagem de solução de problemas que você deve perseguir O circuito elétrico que é análogo a um sistema de outra natureza é chamado circuito elétrico análogo Os análogos podem ser obtidos comparandose as equações de descrição como as equações de movimento de um sistema mecânico com as equações de malha ou de nó Ao se comparar com as equações de malha o circuito elétrico resultante é chamado análogo série Quando comparado com as equações de nó o circuito elétrico resultante é chamado análogo paralelo Análogo Série Considere o sistema mecânico em translação mostrado na Fig 241a cuja equação de movimento é M s2 fv s K Xs Fs 2173 A equação de malha de Kirchhoff para o circuito RLC série mostrado na Fig 241b é L s R 1Cs Is Es 2174 Como havíamos destacado anteriormente a Eq 2173 não é diretamente análoga à Eq 2174 porque deslocamento e corrente não são grandezas análogas Podemos criar uma analogia direta operando na Eq 2173 para converter deslocamento em velocidade dividindo e multiplicando o lado esquerdo por s obtendo M s2 fv s Ks M s fv Ks Vs Fs 2175 Comparando as Eqs 2174 e 2175 reconhecemos a soma de impedâncias e desenhamos o circuito mostrado na Fig 241c A conversão está resumida na Fig 241d Quando se tem mais de um grau de liberdade as impedâncias associadas com o movimento aparecem como elementos elétricos em série de uma malha mas as impedâncias entre movimentos adjacentes são desenhadas como impedâncias elétricas em série entre as duas malhas correspondentes Mostramos isto com um exemplo Fig 241 Desenvolvimento de um análogo série a sistema mecânico b representação elétrica desejada c análogo série d parâmetros para o análogo série massa M indutor M henries amortecedor viscoso fv resistor fv ohms mola K capacitor 1K farads força aplicada ft fonte de tensão ft velocidade vt corrente de malha vt Exemplo 224 Convertendo um sistema mecânico em um análogo série Problema Desenhe um análogo série do sistema mecânico da Fig 217a Solução As Eqs 2118 são análogas às equações elétricas de malha depois da conversão de velocidade Assim M1 s fv1 fv3 K1 K2s V1 s fv3 K2s V2 s Fs 2176a fv3 K2s V1 s M2 s fv2 fv3 K2 K3s V2 s 0 2176b Fig 242 Análogo série do sistema mecânico da Fig 217a Os coeficientes representam somas de impedâncias elétricas As impedâncias mecânicas associadas a M1 formam a primeira malha onde as impedâncias entre as duas massas são comuns às duas malhas As impedâncias associadas a M2 formam a segunda malha O resultado está mostrado na Fig 242 onde v1t e v2t são as velocidades de M1 e M2 respectivamente Análogo Paralelo Um sistema também pode ser convertido em um análogo em paralelo equivalente Considere o sistema mecânico em translação mostrado na Fig 243a cuja equação de movimento é dada pela Eq 2175 A equação de nó de Kirchhoff para o circuito RLC paralelo simples mostrado na Fig 243b é C s 1R 1Ls Es Is 2177 Comparando as Eqs 2175 e 2177 identificamos a soma de admitâncias e desenhamos o circuito mostrado na Fig 243c As conversões estão resumidas na Fig 243d Fig 243 Desenvolvimento de um análogo paralelo a sistema mecânico b representação elétrica desejada c análogo paralelo d parâmetros para o análogo paralelo massa M capacitor M farads amortecedor viscoso fv resistor 1fv ohms mola K indutor 1K henries força aplicada ft fonte de corrente ft velocidade vt tensão do nó vt Quando se tem mais de um grau de liberdade os componentes associados com o movimento aparecem como elementos elétricos em paralelo conectados a um nó mas os componentes de movimentos adjacentes são desenhados como elementos elétricos em paralelo entre os dois nós correspondentes Mostraremos isto com um exemplo Exemplo 225 Convertendo um sistema mecânico em um análogo em paralelo Problema Desenhe um análogo em paralelo do sistema mecânico da Fig 217a Solução As Eqs 2176 são também análogas às equações elétricas de nós Os coeficientes representam somas de admitâncias elétricas As admitâncias associadas a M1 formam os elementos conectados no primeiro nó enquanto as admitâncias mecânicas entre as duas massas são comuns aos dois nós As admitâncias mecânicas associadas a M2 formam os elementos conectados ao segundo nó O resultado está mostrado na Fig 244 onde v1t e v2t são as velocidades de M1 e M2 respectivamente Fig 244 Análogo paralelo do sistema mecânico da Fig 217a Exercício de Avaliação 212 Problema Desenhar um análogo série e um análogo em paralelo para o sistema mecânico da Fig 222 Resposta A solução completa está no CDROM que acompanha o livro 210 Nãolinearidades Até aqui foram elaborados modelos de sistemas que podem ser descritos aproximadamente por equações diferenciais lineares invariantes no tempo Uma hipótese de linearidade estava implícita no desenvolvimento destes modelos Nesta seção definimos formalmente os termos linear e nãolinear e mostramos como distinguir entre os dois Na Seção 211 mostraremos como aproximar um sistema nãolinear com um sistema linear de modo que possamos utilizar as técnicas de modelagem tratadas anteriormente neste capítulo Hsu 1968 Um sistema linear possui duas propriedades superposição e homogeneidade A propriedade de superposição significa que a resposta na saída de um sistema é a soma das entradas é a soma das respostas às entradas individuais Assim se uma entrada r1t gerar uma saída c1t e uma entrada r2t gerar uma saída c2t então uma entrada r1t r2t produzirá uma saída c1t c2t A propriedade da homogeneidade descreve a resposta de um sistema a uma multiplicação da entrada por um escalar Especificamente em um sistema linear a propriedade da homogeneidade é demonstrada se para uma entrada r1t que gera uma safda c1t uma entrada Ar1t produzir uma saída Ac1t isto é a multiplicação da entrada por um escalar faz com que a resposta seja multiplicada pelo mesmo escalar Podemos visualizar a linearidade como mostrado na Fig 245 A Fig 245a é um sistema linear onde a saída é sempre metade da entrada ou fx 05x qualquer que seja o valor de x Em conseqüência calar uma das propriedades dos sistemas lineares se aplica Por exemplo uma entrada de valor 1 produz uma saída de valor 12 e uma entrada de valor 2 produz uma saída de valor 1 Usando a superposição uma entrada com valor igual à soma das entradas originais ou seja 3 produziria uma saída igual à soma das saídas individuais isto é 15 Com base na Fig 245a uma entrada de valor 3 produz na realidade uma saída de 15 Para testar a propriedade da homogeneidade admita uma entrada com valor 2 que conduz a uma saída de valor 1 A multiplicação do valor desta entrada por 2 deverá produzir um valor de saída duas vezes maior Com base na Fig 245a uma entrada de valor 4 produz na realidade uma saída de valor 2 O leitor pode verificar que as propriedades da linearidade não se aplicam à relação mostrada na Fig 245b Fig 245 a Sistema linear b sistema nãolinear O autor considera nos gráficos que x terá sempre valor positivo NT Fig 246 Algumas nãolinearidades físicas Saturação de amplificador Zona morta de motor Folga de engrenagens A Fig 246 mostra alguns exemplos de nãolinearidades físicas Um amplificador eletrônico é linear sobre uma faixa específica mas apresenta a nãolinearidade chamada saturação para valores elevados de tensão de entrada Um motor que não responde a valores muito baixos de tensão de entrada devido ao atrito apresenta uma nãolinearidade chamada zona morta Engrenagens que não se ajustam perfeitamente apresentam uma nãolinearidade chamada folga backlash como já explicada a entrada se desloca sobre uma pequena faixa de valores sem que a saída responda O leitor deve comprovar que as curvas mostradas na Fig 246 não se ajustam às definições de linearidade sobre toda a faixa de valores Um outro exemplo de subsistema nãolinear é o detector de fase usado no sistema PLL phaselocked loop de um receptor de rádio FM cuja saída é o sinal senoidal da entrada O projetista pode muitas vezes construir uma aproximação linear de um sistema nãolinear As aproximações lineares simplificam a análise e o projeto do sistema e são usadas desde que os resultados produzam uma boa aproximação da linearidade Por exemplo podese estabelecer uma relação linear em um ponto de uma curva nãolinear se a faixa de valores de entrada em torno desse ponto for pequena e se a origem for transladada para esse ponto Os amplificadores eletrônicos são um exemplo de dispositivos físicos que executam amplificação linear com pequenas excursões em torno de um ponto 211 Linearização Os sistemas elétricos e mecânicos tratados até aqui foram considerados lineares Em conseqüência se estiver presente algum componente nãolinear devemos linearizar o sistema antes de poder encontrar a função de transferência Na última seção definimos e discutimos nãolinearidades nesta seção mostraremos como conseguir aproximações lineares de sistemas nãolineares a fim de obter funções de transferência O primeiro passo é reconhecer o componente nãolinear e escrever a equação diferencial nãolinear Ao linearizar uma equação diferencial nãolinear fazemos isto para valores pequenos do sinal de entrada em torno da solução de estado estacionário situação na qual o pequeno sinal de entrada é igual a zero Esta solução em estado estacionário é chamada de equilíbrio e é escolhida como o segundo passo no processo de linearização Por exemplo quando um motor está em repouso está em equilíbrio O deslocamento angular é descrito por uma equação diferencial nãolinear mas pode ser expresso por uma equação diferencial linear para pequenas excursões em torno desse ponto de equilíbrio Em seguida linearizamos a equação diferencial nãolinear e depois aplicamos a transformada de Laplace sobre a equação diferencial linearizada supondo condições iniciais nulas Finalmente separamos as variáveis de entrada e de saída e elaboramos a função de transferência Vejamos primeiro como linearizar uma função mais adiante você aplicará o método para a linearização de equações diferenciais Se supusermos um sistema nãolinear operando em um ponto A x0 fx0 na Fig 247 é possível relacionar pequenas variações na entrada a variações na saída em torno do ponto por intermédio da inclinação da curva no Fig 247 Linearização em torno de um ponto A que é uma relação linear entre δfx e δx para pequenas excursões a partir de x0 É interessante notar que as Eqs 2182 e 2183 são idênticas as Eqs 2178 e 2179 que foram deduzidas intuitivamente Os exemplos a seguir ilustram a linearização O primeiro mostra a linearização de uma equação diferencial enquanto o segundo exemplo aplica a linearização para obter uma função de transferência ponto A Assim se a inclinação da curva no ponto A for ma então uma pequena excursão da entrada em torno do ponto A δx acarreta pequenas variações na saída δfx relacionado pela inclinação no ponto A Portanto fx fx0 max x0 2178 da qual δfx ma δx 2179 e fx fx0 max x0 fx0 ma δx 2180 Esta relação é mostrada graficamente na Fig 247 onde o novo conjunto de eixos δx e δfx é criado no ponto A e fx0 é aproximadamente igual a fx0 a ordenada da nova origem mais pequenas excursões ma δx em torno do ponto A Vejamos um exemplo Exemplo 226 Linearizando uma função Problema Linearizar fx 5 cosx em torno de x π2 Solução Achamos primeiro que a derivada de fx é dfdx 5 sen x Em x π2 a derivada é 5 Além disso fx0 fπ2 5 cosπ2 0 Por conseguinte com base na Eq 2180 o sistema pode ser representado como fx 5 δx para pequenas excursões de x em torno de π2 O processo é mostrado graficamente na Fig 248 onde a curva do coseno se assemelha na verdade à reta de inclinação 5 próximo de π2 A discussão anterior pode ser formalizada usando a expansão em série de Taylor que exprime o valor de uma função em termos do valor dessa função em um ponto particular da excursão em torno desse ponto e das derivadas calculadas nesse ponto A série de Taylor é mostrada na Eq 2181 fx fx0 dfdxx x0 x x01 d2 fdx2xx0 x x022 2181 Para pequenas excursões de x em torno de x0 podemos desprezar os termos de ordem mais alta A aproximação resultante conduz a uma relação em forma de reta entre a variação em fx e as excursões em torno de x0 Desprezando os termos de ordem mais elevada na Eq 2181 obtemos fx fx0 dfdxx x0 x x0 2182 ou δfx mx x0 δ x 2183 Fig 248 Linearização de 5 cos x em torno de x π2 Exemplo 227 Linearização de uma equação diferencial Problema Linearizar a Eq 2184 para pequenas excursões em torno de x π4 d2 xdt2 2 dxdt cos x 0 2184 Solução A presença do termo cos x torna esta equação nãolinear Como desejamos linearizar a equação em torno de x π4 fazemos x δx π4 onde δx é uma pequena excursão em torno de π4 e substituímos x na Eq 2184 d2dt2 δ x π4 ddt δ x π4 cos δ x π4 0 2185 Mas d2dt2 δ x π4 d2 δxdt2 2186 e ddt δ x π4 dδxdt 2187 Finalmente o termo cosδ x π4 pode ser linearizado por meio de uma série de Taylor truncada Substituindo fx cosx π 4 fx0 fπ4 cosπ4 e x x0 δx na Eq 2182 resulta cosδ x π4 cosπ4 d cos xdxx π4 δx senπ4 δx 2188 Resolvendo a Eq 2188 para cosδ x π4 obtemos cosδ x π4 cosπ4 senπ4 δx 22 22 δx 2189 Substituindo as Eqs 2186 2187 e 2189 na Eq 2185 resulta a seguinte equação diferencial linearizada d2 δxdt2 2 dδxdt 22 δx 22 2190 Esta equação pode agora ser solucionada para δx de onde se pode obter x δx π4 Embora a Eq 2184 nãolinear seja homogênea a Eq 2190 linearizada não é homogênea A Eq 2190 possui uma função forçante no lado direito da igualdade Este termo adicional pode ser encarado como uma entrada do sistema representado pela Eq 2184 Uma outra observação a respeito da Eq 2190 é o sinal negativo no lado esquerdo da igualdade O estudo de equações diferenciais nos diz que se as raízes da equação característica forem positivas a solução homogênea crescerá sem limites em vez de tender para zero Assim este sistema linearizado em torno de x π4 não é estável Exemplo 228 Função de transferência circuito elétrico nãolinear Problema Obter a função de transferência VLsVs para o circuito elétrico mostrado na Fig 249 que contém um resistor nãolinear cuja relação tensãocorrente é definida por ir 2e01 vr onde ir e vr são respectivamente a corrente e a tensão no resistor Além disto vt na Fig 249 é uma fonte de pequenos sinais Fig 249 Circuito elétrico nãolinear Solução Usaremos a lei de Kirchhoff das tensões para somar as tensões ao longo da malha e obter a equação diferencial nãolinear mas primeiro devemos resolver em termos da tensão sobre o resistor nãolinear Tomando o logaritmo natural da relação correntetensão do resistor obtemos vr 10 ln ir Aplicando a lei de Kirchhoff das tensões ao longo da malha onde ir i resulta L didt 10 ln 12 i 20 vt 2191 Em seguida calculamos a solução de equilíbrio Primeiro fazemos a fonte de pequenos sinais vt igual a zero Calculamos agora a corrente de estado estacionário Com vt 0 o circuito consiste em uma bateria de 20 V em série com o indutor e com o resistor nãolinear Em estado estacionário a tensão sobre o indutor será zero uma vez que vLt L didt e didt é zero no estado estacionário admitindo uma bateria com tensão constante Portanto a tensão sobre o resistor vr é 20 V Usando a característica do resistor ir 2e0ivir Obtemos ir 1478 A Esta corrente i0 é o valor da corrente de equilíbrio do circuito Portanto i i0 δi Substituindo esta corrente na Eq 2191 resulta L di0 δidt 10 ln 12 i0 δi 20 vt 2192 Usando a Eq 2182 para linearizar ln 12 i0 δi obtemos ln 12 i0 δi ln 12 i0 dln 12 idii i0 δi 1ii i0 δi 1i0 δi 2193 ou ln 12 i0 δi ln 12 1i0 δi 2194 Substituindo na Eq 2192 a equação linearizada se torna L dδidt 10 ln ln 12 i0 1i0 δi 20 vt 2195 Fazendo L 1 e i0 1478 a equação diferencial linearizada final é dδidt 0677δi vt 2196 Aplicando a transformada de Laplace supondo condições iniciais nulas e resolvendo em função de δis obtemos δis Vss 0677 2197 Mas a tensão sobre o indutor em torno do ponto de equilíbrio é vLt L ddt i0 δi L dδidt 2198 Aplicando a transformada de Laplace VLs Lsδis sδis 2199 Substituindo a Eq 2197 na Eq 2199 resulta VLs ss 0677 Vs 2200 da qual a função de transferência final é VLsVs ss 0677 2201 para pequenas excursões em torno de i 1478 ou de forma equivalente em torno de vt 0 Exercício de Avaliação 213 Problema Obter a função de transferência linearizada Gs VsIs para o circuito elétrico mostrado na Fig 250 O circuito contém um resistor nãolinear cuja relação tensãocorrente é definida por ir evr A fonte de corrente it é um gerador de pequeno sinal Resposta Gs 1s 2 A solução completa está no CDROM que acompanha o livro Fig 250 Circuito elétrico nãolinear para o Exercício de Avaliação 213 Estudos de Caso Controle de Antena Função de Transferência Este capítulo mostrou que os sistemas físicos podem ser modelados matematicamente com funções de transferência De um modo geral os sistemas são compostos de subsistemas de diferentes tipos como os elétricos os mecânicos e os eletromecânicos O primeiro estudo de caso utiliza nosso problema em andamento do sistema de controle de posicionamento de uma antena em azimute para mostrar como representar cada subsistema por uma função de transferência Problema Obter a função de transferência de cada subsistema do sistema de controle de posição de uma antena em azimute mostrado na contracapa dianteira Use a Configuração 1 Solução Primeiro identificamos os subsistemas individuais para os quais devemos obter funções de transferência eles estão resumidos na Tabela 26 Prosseguimos no sentido de obter a função de transferência de cada subsistema Potenciômetro de Entrada Potenciômetro de Saída Como os potenciômetros de entrada e de saída são configurados da mesma forma suas funções de transferência serão iguais Desprezamos a dinâmica dos potenciômetros e obtemos simplesmente a relação entre a tensão de saída e o deslocamento angular de entrada Na posição central a tensão de saída é zero Cinco voltas no sentido de 10 volts ou no sentido de 10 volts produzem uma variação de tensão de 10 volts Portanto a função de transferência Visθis dos potenciômetros é obtida dividindo a va Visθis 1010π 1π 2202 Préamplificador Amplificador de Potência As funções de transferência dos amplificadores são dadas no enunciado do problema Dois fenômenos são desconsiderados Primeiro admitimos que a saturação nunca é alcançada Segundo a dinâmica do préamplificador é desprezada uma vez que sua velocidade de resposta é muito maior que a do amplificador de potência As funções de transferência de ambos os amplificadores foram dadas no enunciado do problema e são a relação da transformada de Laplace da tensão de saída pela transformada de Laplace da tensão de entrada Portanto para o préamplificador VpsVes K 2203 e para o amplificador de potência EasVps 100s 100 2204 Motor e Carga O motor e sua carga são os seguintes A função de transferência relacionando o deslocamento angular do eixo da armadura e a tensão de armadura é dada na Eq 2153 A inércia equivalente Jm é Jm Ja JL252502 002 1100 003 2205 onde JL 1 é a inércia da carga em θo O coeficiente de amortecimento equivalente Dm referido à armadura é Dm Da DL252502 001 1100 002 2206 tabela 26 Subsistemas do sistema de controle de posicionamento de uma antena em azimute Subsistema Entrada Saída Potenciômetro de entrada Rotação angular vista pelo usuário θit Tensão para o préamplificador vit Préamplificador Tensão a partir dos potenciômetros vit vot Tensão para o amplificador de potência vpt Amplificador de potência Tensão do préamplificador vpt Tensão para o motor eat Motor Tensão do amplificador de potência eat Rotação angular para a carga θot Potenciômetro de saída Rotação angular vista da carga θot Tensão para o préamplificador vot onde Df é o coeficiente de amortecimento viscoso referido a θo Do enunciado do problema Kt 05 NmA Kf 05 Vsrad e a resistência da armadura Ra 8 ohms Estes valores juntamente com Jm e Dm são substituídos na Eq 2153 resultando a função de transferência da tensão de armadura para o deslocamento angular ou seja θmsEas KtRa Jmss 1JmDm Kf KtRa 2083ss 171 2207 Para completar a função de transferência do motor multiplicamos pela relação de engrenagem para chegar à função de transferência relacionando o deslocamento angular da carga à tensão de armadura θosEas 01 θmsEas 02083ss 171 2208 Os resultados são resumidos no diagrama de blocos e na tabela de parâmetros do diagrama de blocos Configuração 1 mostrados na contracapa dianteira Desafio Damos agora a você um problema para testar seus conhecimentos sobre os objetivos do capítulo Consultando o diagrama esquemático do sistema de controle de posicionamento de uma antena em azimute mostrado na contracapa da frente calcular a função de transferência de cada subsistema Use a Configuração 2 Registre seus resultados na tabela dos parâmetros do diagrama de blocos para uso em desafios de estudo de caso nos capítulos subsequentes Função de Transferência de uma Perna Humana Neste estudo de caso vamos obter a função de transferência de um sistema biológico O sistema é uma perna humana que pivota em torno da articulação com o quadril Neste problema a componente do peso é nãolinear de modo que o sistema requer linearização antes do cálculo da função de transferência Problema A função de transferência de uma perna humana relaciona o deslocamento angular de saída em torno da articulação do fêmur com o quadril a um torque de entrada fornecido pelos músculos da perna Um modelo simplificado da perna está mostrado na Fig 251 O modelo admite um torque muscular aplicado Tmt amortecimento viscoso D na articulação do quadril e inércia J em torno da mesma articulação Além disso uma componente do peso da perna M g onde M é a massa da perna e g é a aceleração da gravidade cria um torque nãolinear Supondo que a perna possua densidade uniforme o peso pode ser aplicado em L2 onde L é o comprimento da perna Milsum 1996 Faça o seguinte a Calcule o torque nãolinear b Obtenha a função de transferência θsTms para pequenos ângulos de rotação onde θs é o deslocamento angular da perna em torno da articulação do fêmur com o quadril Fig 251 Modelo cilíndrico de uma perna humana Articulação do quadril 15 Perna Tm θ Mg sen θ Mg 15 conveniente enfatizar que J não é considerado em relação ao centro de massa como foi suposto anteriormente no cálculo de momento de inércia nos sistemas mecânicos em rotação Fig 252 Diagrama de corpo livre do modelo de perna Solução Primeiro calculamos o torque devido ao peso O peso total da perna é M g atuando verticalmente A componente do peso na direção da rotação é M g sen θ Esta força é aplicada a uma distância L2 da articulação Portanto o torque no sentido da rotação Twt é M gL2 sen θ Em seguida desenhamos o diagrama de corpo livre da perna mostrando o torque aplicado Tmt o torque devido ao peso Twt e os torques resistentes devidos à inércia e ao amortecimento viscoso ver Fig 252 Somando os torques obtemos J d2θdt2 D dθdt Mg L2 sen θ Tmt 2209 Linearizamos o sistema em torno do ponto de equilíbrio θ 0 a posição vertical da perna Usando a Eq 2182 sen θ sen 0 cos 0 δθ 2210 da qual sen θ δθ Por outro lado J d2θdt2 J d2δθdt2 e D dθdt D dδθdt Logo a Eq 2209 se torna J d2δθdt2 D dδθdt Mg L2 δθ Tmt 2211 Observe que o torque devido ao peso se aproxima de um torque de mola sobre a perna Aplicando a transformada de Laplace com condições iniciais nulas resulta Js2 Ds Mg L2 δθs Tms 2212 da qual se tem a função de transferência δθsTms 1Js2 DJ s MgL2J 2213 para pequenas excursões em torno do ponto de equilíbrio θ 0 Desafio Apresentamos agora um desafio de estudo de caso para testar seus conhecimentos dos objetivos deste capítulo Embora o sistema físico seja diferente do de uma perna humana o problema mostra os mesmos princípios linearização seguida do cálculo da função de transferência Dado o circuito nãolinear mostrado na Fig 253 obter a função de transferência relacionando a tensão de saída sobre o resistor nãolinear VLs com a tensão da fonte de entrada Vs Fig 253 Circuito elétrico nãolinear Sumário Neste capítulo discutimos como obter um modelo matemático chamado função de transferência para sistemas lineares e invariantes no tempo de natureza elétrica mecânica e eletromecânica A função de transferência é definida como Gs CsRs ou seja a relação da transformada de Laplace da saída pela transformada de Laplace da entrada Esta relação é algébrica e também se adapta à modelagem de subsistemas interconectados Temos consciência de que o mundo físico consiste em mais sistemas do que os que ilustramos neste capítulo Por exemplo poderíamos ter aplicado a função de transferência na modelagem de sistemas hidráulicos pneumáticos térmicos e até mesmo econômicos Naturalmente devemos admitir que estes sistemas sejam lineares ou possamos elaborar aproximações lineares para usar essa técnica de modelagem Agora que dispomos da função de transferência podemos calcular sua resposta a uma entrada específica A resposta dos sistemas será tratada no Cap 4 Para os que buscam a abordagem no espaço de estados continuamos nossa discussão de modelagem no Cap 3 onde usamos o domínio do tempo em vez do domínio de frequência Perguntas de Revisão 1 Que modelos matemáticos permitem fácil interconexão de sistemas físicos 2 A que classificação de sistemas se pode aplicar melhor a função de transferência 3 Que transformação converte a solução de equações diferenciais em manipulações algébricas 4 Defina a função de transferência 5 Que hipótese é feita com respeito às condições iniciais ao se lidar com funções de transferência 6 De que são chamadas as equações de sistemas mecânicos escritas para se calcular a função de transferência 7 Se soubermos a forma geral que as equações de sistemas mecânicos tomam que etapa evitamos no cálculo da função de transferência 8 Por que as funções de transferência dos sistemas mecânicos parecem idênticas às funções de transferência de circuitos elétricos 9 Qual a função executada pelas engrenagens 10 Quais são as partes componentes das constantes mecânicas da função de transferência de um motor 11 A função de transferência de um motor relaciona o deslocamento angular do eixo de saída com a tensão aplicada à armadura Como é possível determinar a função de transferência que relaciona o deslocamento angular da carga a a tensão de armadura 12 Resuma os passos seguidos para linearizar um sistema nãolinear Problemas 1 Deduza a transformada de Laplace das seguintes funções do tempo a ut b tut c sen ωt ut d cos ωt ut e ωt ut 2 Usando os pares da transformada de Laplace da Tabela 21 e os teoremas da transformada de Laplace da Tabela 22 deduza a transformada de Laplace das seguintes funções do tempo a eat sen ωt ut b eat cos ωt ut c t3 ut 3 Repita o Problema 15 no Cap 1 usando a transformada de Laplace Admita que as funções forçantes são zero antes de t 0 4 Repita o Problema 16 no Cap 1 usando a transformada de Laplace Admita que as funções forçantes são zero antes de t 0 5 Use o MATLAB e a Toolbox de Matemática Simbólica para obter a transformada de Laplace das seguintes funções no domínio do tempo a ft 5t2 cos3t 45 b ft 5 te2t sen4t 60 6 Use o MATLAB e a Toolbox de Matemática Simbólica para obter a transformada de Laplace inversa das seguintes funções no domínio de frequência a Gs s2 3s 7s 2s 3s 4s2 2s 100 b Gs s3 4s2 6s 5s 8s2 8s 3s2 5s 7 7 Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial d3ydt3 3 d2ydt2 5 dydt y d3xdt3 4 d2xdt2 6 dxdt 8x Obter a expressão da função de transferência do sistema YsXs 8 Para cada uma das seguintes funções de transferência escreva a equação diferencial correspondente a XsFs 1s2 2s 7 b XsFs 10s 7s 8 c XsFs s 2s3 8s2 9s 15 9 Escreva a equação diferencial do sistema mostrado na Fig P21 10 Escreva a equação diferencial que é matematicamente equivalente ao diagrama de blocos da Fig P22 Admita que rt 3 t3 11 Um sistema é descrito pela seguinte equação diferencial d2xdt2 2 dxdt 3x 1 com as condições iniciais x0 1 dx0 1 Mostre um diagrama de blocos do sistema dando sua função de transferência e todas as entradas e saídas pertinentes Sugestão as condições iniciais se mostrarão como entradas adicionais de um sistema efetivo com condições iniciais nulas 12 Use o MATLAB para gerar a função de transferência Gs 5s 15s 26s 72s 55s2 5s 30s 56s2 27s 52 nas seguintes formas a Relação de fatores b Relação de polinômios 13 Repita o Problema 12 para a seguinte função de transferência Gs s4 25s3 20s2 15s 42s5 13s4 9s3 37s2 35s 50 14 Use o MATLAB para gerar a expansão em frações parciais da seguinte função Fs 10s 10s 60s 40s 50s2 7s 100s2 6s 90 15 Use o MATLAB e a Toolbox de Matemática Simbólica para digitar e construir objetos LTI nas formas polinomial e fatorada das seguintes funções no domínio de frequência a Gs 45s2 37s 74s3 28s2 32s 16s 39s 47s2 2s 100s3 27s2 18s 15 b Gs 56s 14s3 49s2 62s 53s3 81s2 76s 65s2 88s 33s2 56s 77 16 Obter a função de transferência Gs VosVis para cada circuito mostrado na Fig P23 17 Obter a função de transferência Gs VLsVs para cada circuito mostrado na Fig P24 18 Obter a função de transferência Gs VosVis para cada circuito mostrado na Fig P25 Resolver o problema usando o método das malhas 19 Repita o Problema 18 usando o método dos nós 20 a Escreva mas não resolva as equações de malha e de nós para o circuito da Fig P26 Matemática Simbólica b Use o MATLAB a Toolbox de Matemática Simbólica e as equações obtidas em a para calcular a função de transferência Gs VosVis Use as equações de malha e as equações de nós e mostre que ambas as escolhas levam à mesma função de transferência 21 Obter a função de transferência Gs VosVis para cada circuito com amplificador operacional mostrado na Fig P27 22 Obter a função de transferência Gs VosVis para cada circuito com amplificador operacional mostrado na Fig P28 23 Obter a função de transferência Gs X1sFs para o sistema mecânico em translação mostrado na Fig P29 24 Obter a função de transferência Gs X1sFs para o sistema mecânico em translação mostrado na Fig P210 25 Obter a função de transferência Gs X2sFs para o sistema mecânico em translação mostrado na Fig P211 Sugestão Posicione uma massa nula em x2t 26 Para o sistema da Fig P212 obtenha a função de transferência Gs X1sFs 27 Obter a função de transferência Gs X3sFs para o sistema mecânico em translação mostrado na Fig P213 28 Obter a função de transferência Gs X3sFs para cada um dos sistemas mostrados na Fig P214 29 Escreva mas não resolva as equações de movimento para o sistema mecânico em translação mostrado na Fig P215 30 Para cada um dos sistemas mecânicos em rotação mostrados na Fig P216 escreva mas não resolva as equações de movimento 31 Para o sistema mecânico em rotação mostrado na Fig P217 calcule a função de transferência Gs Θ2sTs 32 Para o sistema mecânico em rotação com engrenagens mostrado na Fig P218 calcule a função de transferência Gs θ3sTs As engrenagens possuem inércia e atrito como mostrado 33 Para o sistema mecânico em rotação mostrado na Fig P219 calcule a função de transferência Gs Θ6sTs 34 Obtenha a função de transferência Gs Θ2sTs para o sistema mecânico em rotação mostrado na Fig P220 35 Obtenha a função de transferência Gs Θ1Ts para o sistema mecânico em rotação mostrado na Fig P221 36 Para o sistema mecânico em rotação mostrado na Fig P222 calcule a função de transferência Gs θ1sTs 37 Para o sistema mecânico em rotação mostrado na Fig P223 escreva as equações de movimento a partir das quais a função de transferência Gs θ1sTs pode ser calculada 38 Dado o sistema mecânico em rotação mostrado na Fig P224 obter a função de transferência Gs Θ6sθ1s 39 No sistema mostrado na Fig P225 a inércia J de raio r é obrigada a se mover somente sobre o eixo estacionário A Entre os corpos J e M existe uma força de amortecimento viscoso em translação de valor fv Se uma força externa ft for aplicada à massa obtenha a função de transferência Gs Θ5sFs 40 Para o sistema misto dotado de rotação e de translação mostrado na Fig P226 obter a função de transferência Gs XsTs 41 Dado o sistema combinado de rotação e de translação mostrado na Fig P226 obter a função de transferência Gs XsTs 42 Para o motor a carga e a curva torquevelocidade mostrados na Fig P228 obter a função de transferência Gs θLsEas 43 O motor cuja característica torquevelocidade está mostrada na Fig P229 aciona a carga mostrada no diagrama Algumas das engrenagens possuem inércia Obter a função de transferência Gs θLsEas 44 Um motor CC fornece 50 Nm de torque a uma velocidade de 500 rads quando se aplicam 10 volts na armadura Ele pára de girar sob essa tensão quando se solicita um torque de 100 Nm Se a inércia e o amortecimento da armadura forem respectivamente 5 kgm2 e 1 Nmsrad obter a função de transferência Gs θLsEas deste motor quando ele aciona uma carga com inércia de 100 kgm2 através de um trem de engrenagens como está mostrado na Fig P230 45 Neste capítulo deduzimos a função de transferência de um motor CC relacionando o deslocamento angular de saída com a tensão de armadura como entrada Frequentemente se deseja controlar o torque em vez do deslocamento angular Deduza a função de transferência do motor que relaciona o torque de saída com a tensão de armadura na entrada 46 Obtenha a função de transferência Gs XsEas para o sistema mostrado na Fig P231 Fig P235 a Acoplamento do pantógrafo com a catrêmaria b representação simplificada da força de controle ativo 50 Considere a equação diferencial d2xdt2 3 dxdt 2x fx onde fx é a entrada e é uma função da saída x Se fx senx linearize a equação diferencial para pequenas excurações nas proximidades de a x 0 b x π 51 Considere a equação diferencial d3xdt3 10 d2xdt2 31 dxdt 30x fx onde fx é a entrada e é uma função da saída x Se fx ex linearize a equação diferencial para x nas proximidades de 0 52 Muitos sistemas são seccionalmente lineares lineares por trechos Isto é sobre uma grande faixa de valores da variável o sistema pode ser descrito linearmente Um sistema com saturação de amplificador é um exemplo disto Dada a equação diferencial d2xdt2 15 dxdt 50x fx admita que fx se comporta como mostrado na Fig P232 Escreva a equação diferencial para cada uma das seguintes faixas de x a x 2 b 2 x 2 c 2 x Problema Progressivo de Análise e Projeto 55 Pantógrafo para ferrovia de alta velocidade O Problema 17 no Cap 1 discute o controle ativo de um mecanismo de pantógrafo para sistemas ferroviários de alta velocidade O diagrama para o acoplamento do pantógrafo e da catenária está mostrado na Fig P235a Admita o modelo simplificado mostrado na Fig P235b onde a catenária é representada pela mola Kmdl OConnor 1997 53 Para o sistema mecânico em translação com uma mola nãolinear mostrado na Fig P233 obter a função de transferência Gs XsFs para pequenas excursões em torno de ft 1 A mola é definida por x 1 eft onde x1t é o deslocamento da mola e f1t é a força da mola 54 Considere o distribuidor de bandejas para restaurantes mostrado na Fig P234 que consiste em uma pilha vertical de bandejas sustentada por uma mola comprimida À medida que cada uma das bandejas vai sendo removida a redução do peso sobre o distribuidor faz com que as bandejas restantes sejam elevadas Admita que a massa do sistema menos a massa da bandeja superior seja M o atrito viscoso entre o êmbolo e as paredes laterais do cilindro seja fv a constante de mola seja K e o peso de uma única bandeja seja WD Obter a função de transferência YsFs onde Fs é a redução de força em degrau sentida pelo sistema quando a bandeja superior da pilha é removida e Ys é o deslocamento vertical do distribuidor no sentido para cima CAPÍTULO 3 Modelagem no Domínio do Tempo a Obtenha a função de transferência G1s YcarrsFcarrs onde ycarrt é o deslocamento da catenária do carrinho e é a força para cima aplicada ao pantógrafo sob controle ativo b Obtenha a função de transferência G2s YksFcarrs onde ykt é o deslocamento da parte superior do pantógrafo c Obtenha a função de transferência G3s Yks YcarrsFcarrs Fig 31 Circuito RL 5 As equações de estado 312 combinadas e a equação de saída 313 constituem uma representação viável do circuito a qual chamamos de uma representação no espaço de estados Uma outra escolha de duas variáveis de estado pode ser feita por exemplo com vRt e vCt tensão no resistor e no capacitor respectivamente O sistema de equações diferenciais de primeira ordem simultâneas resultante será Novamente estas equações diferenciais podem ser resolvidas para se obter as variáveis de estado se forem conhe cidas as condições iniciais juntamente com a entrada vt Além disso todas as outras variáveis do circuito podem ser calculadas com combinação linear dessas variáveis de estado Há alguma restrição na escolha das variáveis de estado Sim A restrição é que nenhuma das variáveis de esta do possa ser escrita como uma combinação linear das outras variáveis de estado Por exemplo se vRt for escolhi da como variável de estado então it não pode ser escolhida porque vRt pode ser escrita como uma combinação linear de it ou seja vRt Rit Nestas circunstâncias dizemos que as variáveis de estado são linearmente dependentes As variáveis de estado devem ser linearmente independentes isto é nenhuma das variáveis de esta do pode ser escrita como combinação linear das outras variáveis de estado ou não teríamos informação suficiente para resolver as outras variáveis do sistema e teríamos até mesmo alguma dificuldade em escrever as próprias equações simultâneas As equações de estado e de saída podem ser escritas na forma matricial se o sistema for linear Assim as equa ções de estado Eqs 312 podem ser escritas como onde A equação de saída Eq 313 pode ser escrita como onde Chamamos a combinação das Eqs 315 e 316 de uma representação no espaço de estados do circuito da Fig 32 Portanto uma representação no espaço de estados consiste 1 nas equações diferenciais de primeira ordem a partir das quais se pode obter a solução das variáveis de estado e 2 na equação algébrica de saída a partir da qual se pode obter a solução para as outras variáveis do sistema A representação no espaço de estados não é única uma vez que uma outra escolha de variáveis de estado conduz a uma representação diferente do mesmo sistema Nesta seção usamos dois circuitos elétricos para demonstrar alguns princípios que constituem os fundamentos da representação no espaço de estados As representações desenvolvidas nesta seção foram de sistemas com uma única entrada e uma única saída nos quais y D e u nas Eqs 315 e 316 são grandezas escalares Em geral os sistemas possuem múltiplas entradas e múltiplas saídas Nestes casos y e u se transformam em grandezas na forma de vetor e D se torna uma matriz Na Seção 33 iremos generalizar a representação para sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas e resumir o conceito de representação no espaço de estados 33 A Representação Geral no Espaço de Estados Agora que representamos um circuito físico no espaço de estados e temos uma boa idéia sobre a terminologia e sobre o conceito resumamos e generalizemos a representação por meio de equações diferenciais lineares Primei ramente vamos formalizar algumas das definições com as quais nos deparamos na última seção 4 Como vRt iRtR e vCt 1C iCdt derivando vRt resulta dvRdt Rdidt RLvi RLvLt v vR vC e derivando vC t vem dvcdt 1C i 1RCvR Combinação linear Uma combinação linear de n variáveis xi para i 1 a n é dada pela seguinte soma S onde cada Ki é uma constante Independência linear Dizse que um conjunto de variáveis é linearmente indepen dente se nenhuma das variáveis puder ser escrita como uma combinação linear das outras Por exemplo dados x1 x2 e x3 se x2 5x1 6x3 então as variáveis não são linearmente independentes uma vez que uma delas pode ser escrita como combinação linear das outras duas Agora o que deve ser verdade para que uma variável não possa ser escrita como combinação linear das outras variáveis Considere o exemplo K2x2 K3x3 Se nenhum xi 0 então qualquer xi pode ser escrito como combinação linear das outras variáveis a menos que todos Ki 0 Formalmente então dizse que as variáveis xi para i 1 a n são linearmente independentes se sua combinação linear S for igual a zero somente se todos os Ki 0 e nenhum xi 0 Variável de sistema Qualquer variável que responda a uma entrada ou a condições iniciais em um sistema Variáveis de estado O menor conjunto linearmente independente de variáveis de sistema tal que os valores dos membros do conjunto no instante t0 juntamente com as funções forçantes conhecidas determinam completan te o valor de todas as variáveis do sistema para todos os instantes de tempo t t0 Vetor de estado Um vetor cujos elementos são as variáveis de estado Espaço de estados O espaço ndimensional cujos eixos são as variáveis de estado Este é um termo novo e está ilustrado na Fig 33 onde se admitiu que as variáveis de estado são uma tensão no resistor vR e uma tensão em capacitor vC Estas variáveis formam os eixos do espaço de estados Uma trajetória pode ser imaginada como sen do mapeada pelo vetor xt para uma faixa de valores de t Está mostrado também o vetor de estado no instante particular t 4 Equações de estado Um conjunto de n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas com n variáveis onde as n variáveis a serem resolvidas são as variáveis de estado Equação de saída A equação algébrica que exprime as variáveis de saída de um sistema como combinações lineares das variáveis de estado e das entradas Agora que as definições foram estabelecidas formalmente definimos a representação de um sistema no espaço de estados Um sistema é representado no espaço de estados pelas seguintes equações para t t0 e as condições iniciais xt0 onde A Eq 318 é chamada equação de estado e o vetor x o vetor de estado contém as variáveis de estado A Eq 318 pode ser resolvida para as equações de estado o que será mostrado no Cap 4 A Eq 319 é chamada equa ção de saída Esta equação é usada para calcular quaisquer outras variáveis do sistema Esta representação fornece o conhecimento completo de todas as variáveis do sistema em qualquer instante de tempo t t0 Como exemplo para um sistema de segunda ordem linear invariante no tempo com uma entrada vt as equa ções de estado poderiam ter a seguinte forma onde x1 e x2 são as variáveis de estado Se houver uma única saída a equação de saída poderá ter a seguinte forma A escolha de variáveis de estado para um dado sistema não é única O requisito a ser atendido ao se escolherem as variáveis de estado é que elas sejam linearmente independentes e que se escolha um número mínimo 34 Aplicando a Representação no Espaço de Estados Nesta seção vamos aplicar a formulação do espaço de estados à representação de sistemas físicos mais complica dos O primeiro passo para representar um sistema consiste em selecionar o vetor de estado que deve ser escolhido de acordo com as seguintes considerações 1 Devemos selecionar um número mínimo de variáveis de estado como componentes do vetor de estado Este número mínimo de variáveis de estado é suficiente para descrever completamente o estado do sistema 2 Os componentes do vetor de estado isto é este número mínimo de variáveis de estado devem ser linearmente independentes Façamos uma revisão e esclareçamos estas declarações Variáveis de Estado Linearmente Independentes Os componentes do vetor de estado devem ser linearmente independentes Por exemplo seguindo a definição de independência linear da Seção 33 se x1 x2 e x3 forem escolhidas como variáveis de estado mas x2 5x1 4x2 então x3 não é linearmente independente de x1 e de x2 uma vez que o conhecimento dos valores de x1 e de x2 produz o conhecimento do valor de x3 Variáveis relacionadas por derivada são linearmente independentes Por exemplo a tensão em um indutor vL é linearmente independente da corrente iL através do indutor uma vez que vL Ldidt Assim vL não pode ser calculado como uma combinação linear da corrente iL Número Mínimo de Variáveis de Estado Como saber qual o número mínimo de variáveis de estado a selecionar Geralmente o número mínimo necessário é igual à ordem da equação diferencial que descreve o sistema Por exemplo se o sistema for descrito por uma equação diferencial de terceira ordem serão necessárias três equações diferenciais de primeira ordem simultâ neamente com três variáveis de estado Segundo a perspectiva da função de transferência a ordem da equação diferencial é a ordem do denominador da função de transferência depois do cancelamento dos fatores comuns ao numerador e ao denominador Na maioria dos casos uma outra forma de determinar o número de variáveis de estado é contar o número de elementos armazenadores de energia independentes existentes no sistema O número destes elementos armazenadores de energia é igual à ordem da equação diferencial e ao número das variáveis de estado Na Fig 32 há dois elementos armazenadores de energia o capacitor e o indutor Por conseguinte são necessárias duas variáveis de estado e duas equações de estado para o sistema Se for selecionado um número muito pequeno de variáveis de estado pode ser impossível escrever equações de saída particulares uma vez que algumas variáveis de sistema não poderão ser escritas como combinação linear de um número reduzido de variáveis de estado Em muitos casos não se poderá nem mesmo terminar de escrever as equações de estado uma vez que as derivadas das variáveis de estado não podem ser expressas como combinações lineares do número reduzido de variáveis de estado Se você selecionar um número mínimo de variáveis de estado mas que não sejam linearmente independentes no melhor dos casos você não conseguirá calcular todas as outras variáveis do sistema No pior caso não conse guirá terminar de escrever as equações de estado 4 Algumas vezes não é evidente em um diagrama esquemático o número de elementos armazenadores de energia independentes existentes É possível que seja selecionado um número de elementos armazenadores de energia maior que o mínimo levando a um vetor de estado cujo número de componentes é maior que o mínimo necessário e que as variáveis não sejam linearmente independentes A escolha de elementos armazenadores de energia adicionais e dependentes acarreta uma matriz de sistema mais complexa e de maior ordem que as necessárias às sú lução das equações de estado Exemplo 31 Representação de um circuito elétrico Problema Dado o circuito elétrico da Fig 35 obter uma representação no espaço de estados e a saída for a corrente através do resistor Frequentemente o vetor de estado inclui mais que o número mínimo necessário de variáveis de estado Há dois casos possíveis Quase sempre as variáveis de estado escolhidas são variáveis físicas do sistema como posição e velocidade em sistemas mecânicos Ocorrem casos em que estas variáveis embora linearmente independentes são também desacopladas Isto é algumas variáveis linearmente independentes não são necessárias para obter a solução das outras variáveis linearmente independentes ou de outras variáveis dependentes do sistema Considere o caso de uma massa e de um amortecedor viscoso cuja equação diferencial é M dvdt Dv ft onde v é a velocidade da massa Como esta é uma equação diferencial de primeira ordem uma equação de estado é tudo o que é necessário para definir o sistema no espaço de estados com a velocidade como variável de estado Além disso como há um único elemento armazenador de energia a massa é necessária somente uma variável de estado para representar o sistema no espaço de estados Contudo a massa possui também um posição associada que é linearmente independente da velocidade Se você quiser incluir a posição no vetor de estado junto com a velocida de acrescentaremos então a posição como variável de estado que é linearmente independente da outra variável de estado a velocidade A Fig 34 ilustra o que está ocorrendo O primeiro bloco é a função de transferência equiva lente a M dvdt Dv ft O segundo bloco mostra que integramos a velocidade de saída para obter a saída em posição ver Tabela 22 Item 10 Assim se quisermos o deslocamento como saída o denominador ou a equação característica aumenta a ordem de um para 2 em função do produto das duas funções de transferência Muitas vezes a inclusão de variáveis de estado adicionais torna mais simples escrever as equações de estado Um outro caso que aumenta o tamanho do vetor de estado ocorre quando a variável adicional não é linearmente independente dos outros membros do vetor de estado Isto ocorre usualmente ao se escolher uma variável como variável de estado mas não se torna evidente de imediato a dependência em relação às outras variáveis Por exemplo ao se usarem elementos armazenadores de energia para selecionar as variáveis de estado a dependência da variável associada a um elemento armazenador em relação às variáveis dos outros elementos pode não ser reconhecida Assim a dimensão da matriz de sistema é aumentada desnecessariamente e a solução para obter o vetor de estado a ser tratada no Cap 4 se torna mais difícil Além do mais o acréscimo de variáveis de estado dependentes influi na capacidade do projetista de utilizar os métodos de projeto no espaço de estados 6 Vimos na Seção 32 que a representação no espaço de estados não é única O exemplo a seguir mostra uma técnica para selecionar variáveis de estado e representar sistemas no espaço de estados Nossa abordagem consiste em escrever a equação simples da derivada para cada um dos elementos armazenadores de energia e expressar a derivada como uma combinação linear das variáveis de sistema e da entrada presentes na equação Em seguida selecionamos cada uma das variáveis que foram derivadas em relação ao tempo como variável de estado Expres samos então todas as outras variáveis de sistema presentes nas equações em termos das variáveis de estado e de entrada Finalmente escrevemos as variáveis de saída como combinações lineares das variáveis de estado e de entrada Fig 34 Diagrama de blocos de um sistema massa e amortecedor Fig 35 Circuito elétrico para representação no espaço de estados Fig 33 Representação gráfica do espaço de estados e de um vetor de estado Fig 36 Circuito elétrico para o Exemplo 32 7 Veja o Apêndice G para uma discussão da transposta de matrizes e de vetores O Apêndice G está no CDROM que acompanha o livro 6 Ver o Cap 12 sobre as técnicas de projeto no espaço de estados Solução Os passos seguintes conduzirão a uma representação viável do circuito no espaço de estados Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito Elas incluem iR iL e iC como mostrado na Fig 35 Passo 2 Selecionar as variáveis de estado escrevendo a equação da derivada relativa a todos os elementos ar mazenadores de energia isto é o indutor e o capacitor Assim Com base nas Eqs 322 e 323 escolha como variáveis de estado as grandezas diferenciáveis ou seja vC e iL Usando a Eq 320 como guia vemos que a representação no espaço de estados estará completa se o lado direito das Eqs 322 e 323 puder ser escrito como uma combinação linear das variáveis de estado e da entrada Como iC e vL não são variáveis de estado nosso próximo passo é expressar iC e vL como combinações lineares das variáveis de estado vC e iL e da entrada vt Passo 3 Aplicar a teoria de circuitos como as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes para obter iC e vL em termos das variáveis de estado vC e iL No Nó 1 que produz ic em termos das variáveis de estado vC e iL Ao longo da malha externa que produz vL em termos da variável de estado vC e da fonte de tensão vt Passo 4 Substituir os resultados das Eqs 324 e 325 nas Eqs 322 e 323 para obter as seguintes equa ções de estado ou Passo 5 Obter a equação de saída Como a saída é iRt O resultado final da representação no espaço de estados é encontrado representando as Eqs 327 e 328 sob a forma matricial vetorial que se segue onde o ponto sobre a derivada indica derivação em relação ao tempo A fim de tornar mais clara a representação de sistemas físicos no espaço de estados veremos mais dois exem plos O primeiro é um circuito elétrico com uma fonte controlada Embora adotemos o mesmo procedimento do problema anterior este exemplo conduzirá a uma maior complexidade na aplicação da análise de circuitos para obter as equações de estado No segundo exemplo obteremos a representação de um sistema mecânico no espaço de estados Exemplo 32 Representação de um circuito elétrico com fonte dependente Problema Obter as equações de estado e de saída do circuito elétrico mostrado na Fig 36 e o vetor de saída for y vR2 iR2 T onde T significa a transposta do vetor Solução Observase de pronto que este circuito possui uma fonte dependente de tensão Passo 1 Nomear as correntes de todos os ramos do circuito como mostrado na Fig 36 Passo 2 Selecionar as variáveis de estado listando as relações tensãocorrente de todos os elementos armaze nadores de energia Com base nas Eqs 330 escolha como variáveis de estado as grandezas diferenciáveis Portanto as variáveis de estado x1 e x2 são Passo 3 Lembrando que a forma das equações de estado é vemos que a tarefa restante consiste em transformar o membro da direita das Eqs 330 em combinações line ares das variáveis de estado e da fonte de corrente na entrada Aplicando as leis de Kirchhoff das tensões e das correntes obtemos vL e iC em termos das variáveis de estado e da fonte de corrente na entrada Ao longo da malha que contém L e C Mas no Nó 2 iR2 iC 4vL Substituindo esta relação de iR2 na Eq 333 resulta Resolvendo para vL obtemos Como vC é uma variável de estado observe que precisamos somente obter iC em termos das variáveis de estado Assim teremos obtido o valor de vL em termos das variáveis de estado Por conseguinte no Nó 1 podemos escrever a soma das correntes como iC it iR1 iL it vR1R1 iL it vLR1 iL 336 onde vR1 vL As Eqs 335 e 336 são duas equações relacionando vL e iC com as variáveis de estado iL e vC Reescrevendo as Eqs 335 e 336 obtemos duas equações simultâneas que produzem vL e iC como combinações lineares das variáveis de estado iL e vC 1 4R2vL R2iC vC 337a 1R1 vL iC iL it 337b Resolvendo as Eqs 337 simultaneamente para vL e iC resulta vL 1Δ R2iL vC R2it 338 e iC 1Δ 1 4R2iL 1R1 vC 1 4R2it 339 onde Δ 1 4R2 R2R1 340 Substituindo as Eqs 338 e 339 nas Eqs 330 simplificando e escrevendo o resultado em forma matricial vetorial obtemos as seguintes equações de estado iL vC R2LΔ 1LΔ 14R2CΔ 1R1 CΔ iL vC R2LΔ 14R2CΔ it 341 Passo 4 Deduz a equação de saída Como as variáveis de saída especificadas são vR2 e iR2 observamos que ao longo da malha contendo C L e R2 vR2 vC vL 342a iR2 iC 4vL 342b Substituindo as Eqs 338 e 339 nas Eqs 342 obtemos vR2 e iR2 como combinações lineares das variáveis de estado iL e vC A equação de saída sob forma matricial vetorial é vR2 iR2 R2Δ 1 1Δ 1Δ 1 4R1ΔR1 iL vC R2Δ 1Δ it 343 No próximo exemplo vamos obter a representação no espaço de estados de um sistema mecânico Ao lidar com sistemas mecânicos é mais conveniente obter as equações de estado diretamente das equações de movimento em vez de usar os elementos armazenadores de energia Por exemplo considere um elemento armazenador de energia como uma mola onde F Kx Esta relação não contém a derivada de uma variável física como no caso de circuitos elétricos onde i Cdvdt para os capacitores e v Ldidt para os indutores Assim nos sistemas mecânicos mudamos a escolha das variáveis de estado para posição e velocidade de cada ponto com movimento linearmente independente No exemplo veremos que embora haja três elementos armazenadores de energia haverá quatro variáveis de estado uma variável de estado adicional linearmente independente é incluída por conveniência ao se escrever as equações de estado Deixamos para o leitor a tarefa de mostrar que este sistema conduz a uma função de transferência de quarta ordem se for estabelecida uma relação entre o deslocamento de qualquer das massas e a força aplicada e de terceira ordem se relacionarmos a velocidade de qualquer uma das massas à força aplicada Exemplo 33 Representação de um sistema mecânico em translação Problema Obter as equações de estado para o sistema mecânico em translação mostrado na Fig 37 Sem atrito Fig 37 Sistema mecânico em translação Solução Primeiro escreva as equações diferenciais para o circuito na Fig 37 usando os métodos do Cap 2 para obter as equações do movimento no domínio da transformada de Laplace Em seguida aplique a transformada de Laplace inversa a essas equações supondo condições iniciais nulas e obtenha M1 d2x1 dt2 D dx1dt Kx1 Kx2 0 344 Kx1 M2 d2x2 dt2 Kx2 ft 345 Faça agora d2x1dt2 dv1dt dx1dt v1 x1 x2 e v2 como variáveis de estado Em seguida forme as duas equações de estado resolvendo a Eq 344 para dv1dt e a Eq 345 para dv2dt Finalmente acrescente dx1dt v1 e dx2dt v2 para completar o conjunto de equações de estado Portanto dx1dt v1 346a dv1 dt KM1 x1 DM1 v1 KM1 x2 346b dx2 dt v2 346c dv2 dt KM2 x1 KM2 x2 1M2 ft 346d Na forma matricial ẋ1 ṽ1 ẋ2 ṽ2 0 1 0 0 KM1 DM1 KM1 0 0 0 0 1 KM2 0 KM2 0 x1 v1 x2 v2 0 0 0 1M2 ft 347 onde o ponto indica derivação em relação ao tempo Qual a equação da saída se a variável de saída for x2t Exercício de Avaliação 31 Problema Obter a representação no espaço de estados do circuito elétrico mostrado na Fig 38 A saída é vot Fig 38 Circuito elétrico para o Exercício de Avaliação 31 Resposta ẋ 1C1 1C1 1C1 1L 0 0 1C2 0 1C2 x 0 1 0 vit y 0 0 1x A solução completa está no CDROM que acompanha o livro Exercício de Avaliação 32 Problema Obter a representação no espaço de estados do sistema mecânico mostrado na Fig 39 onde a saída é x3t Fig 39 Sistema mecânico em translação para o Exercício de Avaliação 32 Resposta ż 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 z 0 1 0 0 0 0 ft y 0 0 0 0 1 0 z onde z x1 ṡx1 x2 ṡx2 x3 ṡx3T A solução completa está no CDROM que acompanha o livro 35 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados Na última seção aplicamos a representação no espaço de estados a sistemas elétricos e mecânicos Nesta seção vamos aprender como passar de uma representação em função de transferência para uma representação no espaço de estados Uma vantagem da representação no espaço de estados é que ela pode ser usada para simular sistemas físicos em computador digital Portanto se quisermos simular um sistema representado por uma função de transferência devemos primeiro converter a representação por função de transferência em representação no espaço de estados Primeiramente selecionamos um conjunto de variáveis de estado chamadas variáveis de fase onde cada variável de estado subsequente é a derivada da variável de estado anterior No Cap 5 iremos mostrar outras escolhas de variáveis de estado Comecemos mostrando como representar uma equação diferencial linear genérica de ordem n e coeficientes constantes no espaço de estados sob a forma de variáveis de fase Mostraremos então como aplicar esta representação a funções de transferência Considere a equação diferencial dn ydtn an1 dn1 y dtn1 a1 dydt a0 y b0 u 348 Uma forma conveniente de selecionar variáveis de estado é escolher a saída yt e suas n 1 derivadas como variáveis de estado Esta opção é chamada de escolha de variáveis de fase Escolhendo as variáveis de estado xp obtemos x1 y 349a x2 dydt 349b x3 d2 y dt2 349c xn dn1 y dtn1 349d e derivando ambos os membros ẋ1 dydt 350a ẋ2 d2 y dt2 350b ẋ3 d3 y dt3 350c ẋn dn y dtn 350d onde o ponto sobre o x significa derivada em relação ao tempo Substituindo as definições das Eqs 349 nas Eqs 350 calculamos as equações de estado como ẋ1 x2 351a ẋ2 x3 351b ẋn1 xn 351c ẋn a0 x1 a1 x2 an1 xn b0 u 351d onde a Eq 351d foi obtida da Eq 348 explicitando o valor de dn ydtn e usando as Eqs 349 As Eqs 351 se transformam sob forma matricial vetorial em ẋ1 ẋ2 ẋ3 ẋn1 ẋn 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 a0 a1 a2 a3 a4 a5 an1 x1 x2 x3 xn1 xn 0 0 0 0 b0 u 352 A Eq 352 é a forma em variáveis de fase das equações de estado Esta forma é reconhecida facilmente pelo padrão exclusivo de 1s e 0s e do negativo dos coeficientes da equação diferencial escritos na ordem inversa na última linha da matriz de sistema Estudos de Caso Controle de Antena Representação no Espaço de Estados Neste capítulo tratamos da representação no espaço de estados de subsistemas físicos individuais No Cap 5 iremos reunir subsistemas individuais em sistemas de controle com retroação e representar o sistema total com retroação no espaço de estados O Cap 5 também irá mostrar como utilizar a representação no espaço de estados via diagrama de fluxo de sinal para interconectar esses subsistemas e permitir a representação no espaço de estados do sistema inteiro a malha fechada No estudo de caso a seguir daremos uma olhada no sistema de controle de posição da antena cm azimute e demonstraremos os conceitos deste capítulo através da representação de cada subsistema no espaço de estados Problema Obter a representação no espaço de estados sob a forma de variáveis de fase para cada subsistema dinâmico do sistema de controle de posição da antena em azimute mostrado na contracapa dianteira Configuração 1 Por dinâmico entendese o sistema que não alcança instantaneamente o estado estacionário Por exemplo um sistema descrito por uma equação diferencial de primeira ordem ou de ordem superior é um sistema dinâmico Um ganho puro por outro lado constitui um exemplo de sistema nãodinâmico uma vez que o estado estacionário é alcançado instantaneamente Solução No problema de estudo de caso do Cap 2 foram identificados todos os subsistemas do sistema de controle de posição da antena em azimute Descobrimos que o amplificador de potência e o motor com carga eram sistemas dinâmicos O préamplificador e os potenciómetros são ganhos puros e assim respondem instantaneamente Portanto iremos obter a representação no espaço de estados somente do amplificador de potência e do motor com a carga Amplificador de Potência A função de transferência do amplificador de potência é dada na contracapa dianteira por Gs 100s 100 Converteremos esta função de transferência em uma representação correspondente no espaço de estados Designando a entrada do amplificador de potência por vpt e a saída por eat Multiplicando em cruz s 100Eas 100Vps de onde se obtém a equação diferencial Rearrumando a Eq 386 chegase à equação de estado com ea como variável de estado Como a saída do amplificador de potência é eat a equação de saída é Motor e Carga Determinamos agora a representação no espaço de estados para o motor e a carga Poderíamos naturalmente usar o diagrama de blocos do motor com a carga mostrado na contracapa para obter o resultado Contudo é mais informativo deduzir a representação no espaço de estados diretamente da física do motor sem ter de primeiro obter a função de transferência Os elementos para a dedução foram tratados na Seção 28 mas são repetidos aqui por motivo de continuidade de raciocínio Começando com a lei de Kirchhoff das tensões aplicada ao circuito da armadura obtemos onde eat é a tensão de entrada da armadura iat é a corrente de armadura Ra é a resistência da armadura Kb é a constante da armadura e θm é o deslocamento angular da armadura rotor O torque Tmt produzido pelo motor é relacionado separadamente à corrente de armadura e à carga vista pela armadura Conforme a Seção 28 onde Jm é a inércia equivalente e Dm é o amortecimento viscoso equivalente como vistos pela armadura Resolvendo a Eq 390 para iat e substituindo o resultado na Eq 389 vem Definindo as variáveis de estado x1 e x2 como e substituindo na Eq 391 obtemos Resolvendo para dx2dt vem Usando as Eqs 392 e 394 escrevemos as equações de estado como A saída θot é 110 do deslocamento da armadura que é x1 Portanto a equação de saída é Em forma matricial vetorial Mas conforme o problema de estudo de caso do Cap 2 Jm 003 e Dm 002 Além disso KRRA 00625 e Kb 05 Substituindo os valores nas Eqs 397 obtemos a representação final no espaço de estados Desafio Apresentamos agora um problema para testar seus conhecimentos dos objetivos deste capítulo Consultando o sistema de controle mostrado na contracapa dianteira obtenha a representação no espaço de estados de cada subsistema dinâmico Use a Configuração 2 Absorção de Medicamentos Uma vantagem da representação no espaço de estados sobre a representação através de função de transferência é a capacidade de enfocar as partes componentes de um sistema e escrever n equações diferenciais de primeira ordem simultâneas em vez de tentar representar o sistema por uma única equação diferencial de ordem n como fizemos com a função de transferência Além do mais os sistemas com múltiplas entradas e múltiplas saídas podem ser representados no espaço de estados com facilidade Este estudo de caso demonstra ambos os conceitos Problema Na indústria farmacêutica desejase descrever a distribuição de medicamentos pelo organismo Um modelo simples divide o processo em compartimentos a dosagem o local de absorção o sangue os compartimentos periféricos e a urina A taxa de variação da quantidade de medicamento em um compartimento é igual à vazão de entrada menos a vazão de saída A Fig 316 resume o sistema Aqui cada xi é a quantidade de medicamento nesse compartimento particular Lordi 1972 Represente o sistema no espaço de estados onde as saídas são as quantidades de medicamento em cada compartimento 43 Fig 316 Níveis de concentração de medicamentos em um ser humano Solução A vazão de entrada de medicamento em um dado compartimento é proporcional à concentração do medicamento no compartimento anterior e a vazão de saída de um dado compartimento é proporcional à concentração do medicamento no próprio compartimento Escrevemos agora a vazão de cada compartimento A dosagem é liberada para o local de absorção a uma taxa proporcional à concentração na dosagem ou seja A vazão de entrada no local de absorção é proporcional à concentração do medicamento no local de dosagem A vazão de saída do local de absorção que entra no sangue é proporcional à concentração de medicamento no local de absorção Portanto De modo semelhante a vazão líquida de entrada no sangue e no compartimento periférico é onde K4x4 K5x3 é a vazão líquida que entra no sangue vinda do compartimento periférico Por fim a quantidade de medicamento na urina aumenta à medida que o sangue libera o medicamento para a urina a uma taxa proporcional à concentração do medicamento no sangue Portanto As Eqs 399 a 3103 são as equações de estado A equação de saída é um vetor que contém cada uma das quantidades xi Assim em forma matricial vetorial Você deve estar imaginando como pode haver solução para estas equações sem que haja uma entrada No Cap 4 quando formos tratar da solução das equações de estado veremos que as condições iniciais conduzem a soluções sem funções forçantes Para este problema uma condição inicial sobre a quantidade na dosagem x1 irá gerar as quantidades de medicamento em todos os outros compartimentos Desafio Apresentamos agora um problema para testar seus conhecimentos dos objetivos deste capítulo O problema diz respeito ao armazenamento de água em aquíferos Os princípios são semelhantes aos usados para modelar a absorção de medicamentos Reservatórios subterrâneos de água chamados aquíferos podem ser usados em regiões áridas pela agricultura e pela indústria O sistema aquífero consiste em um certo número de cisternas naturais interconectadas A água natural flui através das rochas e do solo do sistema aquífero variando os níveis de água das cisternas a caminho do mar Pode ser estabelecida uma política de conservação de água mediante a qual a água é bombeada entre as cisternas para evitar que se perca no mar Um modelo para o sistema aquífero está mostrado na Fig 317 Neste modelo o aquífero é representado por três cisternas com nível de água h1 chamado altura de carga Cada qi é a vazão natural de água para o mar e é proporcional à diferença de alturas de carga entre duas cisternas contíguas ou qn Gnhn hn 1 onde Gne uma constante de proporcionalidade e as unidades de qn são m3ano A vazão resultante após o trabalho de engenharia consiste em três componentes também medidos em m3ano 1 a vazão que sai das cisternas para irrigação e atividades industriais qon 2 o recomeplemento das cisternas a partir de poços qin e 3 a vazão q21 criada pela política de conservação de água para evitar a perda no mar Neste modelo a água para irrigação e para a indústria será retirada somente dos Reservatórios 2 e 3 A conservação de água ocorrerá somente entre os Reservatórios 1 e 2 como a seguir Seja H1 a altura de carga referência para o Reservatório 1 Se o nível de água no Reservatório 1 cair abaixo de H1 a água será bombeada do Reservatório 2 para o Reservatório 1 para repor a altura de carga Se h1 for maior que H1 a água será bombeada de volta ao Reservatório 2 para evitar a perda para o mar Chamando isto de vazão de conservação q21 podemos dizer que esta vazão é proporcional à diferença entre a altura de carga do Reservatório 1 h1 e a altura de carga de referência H1 ou q21 G2H1 h1 A vazão líquida em um reservatório é proporcional à taxa de variação da altura de carga em cada reservatório Portanto Kandel 1973 Representar o sistema aquífero no espaço de estados onde as variáveis de estado e as saídas são as alturas de carga de cada reservatório Fig 317 Modelo do sistema aquífero Sumário Neste capítulo tratamos da representação de sistemas físicos no espaço de estados que tomou a forma de uma equação de estado e de uma equação de saída para t ts e condição inicial x0 O vetor x é chamado vetor de estado e contém variáveis chamadas variáveis de estado As variáveis de estado podem ser combinadas algebricamente com a entrada para formar a equação de saída Eq 3106 da qual as outras variáveis de sistema podem ser obtidas As variáveis de estado que podem representar grandezas físicas como corrente ou tensão devem ser escolhidas linearmente independentes A 44 escolha das variáveis de estado não é única e afeta a forma tomada pelas matrizes A B C e D Solucionaremos as equações de estado e de saída x e y no Cap 4 Neste capítulo as funções de transferência foram representadas no espaço de estados A forma escolhida foi a das variáveis de fase que consiste em variáveis de estado derivadas sucessivas de cada uma delas No espaço de estados tridimensional a matriz de sistemas resultante A para a representação em variáveis de fase possui a forma onde os ai são os coeficientes do polinômio característico ou o denominador da função de transferência Discutimos também como passar da representação no espaço de estados para a representação em função de transferência Concluindo então para os sistemas lineares e invariantes no tempo a representação no espaço de estados é simplesmente uma outra maneira de modelar um sistema matematicamente Uma grande vantagem de aplicar a representação no espaço de estados a esses sistemas lineares é que isto permite a simulação em computador Programar o sistema em um computador digital e observar a resposta dele constitui uma ferramenta inestimável para análise e projeto A simulação é tratada no Apêndice H no CDROM que acompanha o livro Perguntas de Revisão 1 Dê duas razões para modelar sistemas no espaço de estados 2 Assinale uma vantagem da abordagem em função de transferência sobre a representação no espaço de estados 3 Defina variáveis de estado 4 Defina estado 5 Defina vetor de estado 6 Defina espaço de estados 7 O que é necessário para representar um sistema no espaço de estados 8 Um sistema de oitava ordem poderia ser representado no espaço de estados com quantas equações de estado 9 Se as equações de estado são um sistema de equações diferenciais de primeira ordem cuja solução fornece as variáveis de estado qual então a função exercida pela equação de saída 10 O que significa independência linear 11 Que fatores influenciam a escolha das variáveis de estado em todo sistema 12 Qual a escolha conveniente de variáveis de estado para circuitos elétricos 13 Se um circuito eléctrico possuir três elementos armazenadores de energia é possível ter uma representação com mais de três variáveis de estado Explique 14 O que significa a forma em variáveis de fase da equação de fase Problemas 1 Represente o circuito elétrico mostrado na Fig P31 no espaço de estados onde vtt é a saída 2 Represente o circuito elétrico mostrado na Fig P32 no espaço de estados onde iRt é a saída 3 Obtenha a representação do circuito elétrico mostrado na Fig P33 no espaço de estados onde vtt é a saída 4 Represente o sistema mostrado na Fig P34 no espaço de estados onde xit é a saída 5 Represente o sistema mecânico em translação mostrado na Fig P35 no espaço de estados onde xit é a saída 6 Represente o sistema mecânico em rotação mostrado na Fig P36 no espaço de estados onde t é a saída 7 Represente o sistema mostrado na Fig P37 no espaço de estados onde t é a saída 8 Mostre que o sistema da Fig 37 no texto conduz a uma função de transferência de quarta ordem se relacionarmos o deslocamento de qualquer das massas à força aplicada e a um sistema de terceira ordem se relacionarmos a velocidade á força aplicada 9 Obtenha a representação no espaço de estados em variáveis de fase para cada um dos sistemas mostrados na Fig P38 10 Repita o Problema 9 usando o MATLAB 11 Obtenha a representação no espaço de estados em variáveis de fase para cada um dos sistemas mostrados na Fig P39 12 Repita o Problema 11 usando o MATLAB 13 Represente a seguinte função de transferência no espaço de estados Dê sua resposta na forma matricial vetorial 14 Obtenha a função de transferência GsYsRs para cada um dos sistemas representados no espaço de estados 15 Use o MATLAB para obter a função de transferência Gs YsRs para cada um dos sistemas representados no espaço de es estados 16 Repita o Problema 15 usando o MATLAB a Toolbox de Matemática Simbólica e a Eq 373 17 Os giroscópios são usados em veículos espaciais aviões e navios para fazer navegação inercial O giroscópio mostrado na Fig P310 é um giroscópio cujo movimento angular do quadro interno é restringido por meio de molas fixadas entre os quadros interno e externo carcaça como mostrado Uma velocidade angular em torno do eixo z faz com que o rotor execute uma precessão em torno do eixo x Assim a entrada é uma velocidade angular em torno do eixo z e a saída é um deslocamento angular em torno do eixo x Como o quadro externo é solidário ao veículo o deslocamento angular em torno do eixo x é uma medida da velocidade angular do veículo em torno do eixo z A equação do movimento é Represente o giroscópio no espaço de estados 18 Um míssil em vôo como mostrado na Fig P311 está submetido a diversas forças empuxo sustentação arrasto e ação da gravidade O míssil voa com um ângulo de ataque a em relação ao eixo longitudinal criando sustentação Para manobrar o míssil controlase o ângulo ø do corpo do míssil em relação à vertical movendo angularmente o motor propulsor na parte traseira A função de transferência relacio nando o ângulo ø ao deslocamento do motor é da forma 19 Dados o servomotor CC e a carga mostrados na Fig P312 representar o sistema no espaço de estados onde as variáveis de estado são a corrente de armadura ia o deslocamento angular da carga e a velocidade angular da carga wL Admitir que a saída seja o deslocamento angular da armadura Não desprezar o efeito da indutância 20 Considerar o sistema mecânico da Fig P313 Se a mola for nãolinear e a força Fs necessária para deformála for Fs 2x12 representar o sistema no espaço de estados linearizado em torno de x1 1 se a saída for x2 21 O retorno de robôs a um ponto de referência baseado em imagens pode ser implementado gerandose os comandos de entrada de rumo para um sistema de manobra baseado no seguinte algoritmo de guiamento suponha que o robô mostrado na Fig P314a deva ir do ponto R para um alvo ponto T como mostrado na Fig P314b Se Rx Ry e Rz são vetores do robô a cada marco de referência X Y e Z respectivamente e Tx Ty e Tz são vetores do alvo a cada marco de referência respectivamente então os comandos de rumo devem acionar o robô para minimizar Rx Tx Ry Ty e Rz Tz simultaneamente uma vez que as diferenças tenderão a zero se o robô alcançar o alvo Hong 1992 Se a Fig P314c representa o sistema de controle que manobra o robô represente cada bloco controlador rodas e veículo no espaço de estados 22 Considerar a aeronave militar F4E mostrada na Fig P315a onde a aceleração normal an e a velocidade angular em arfagem q são controladas pela deflexão do profundor de sobre os estabilizadores horizontais e pela deflexão das superfícies aerodinâmicas dianteiras canards dc Um comando de deflexão dcmd como mostrado na Fig P315b é usado para efetuar uma alteração em ambas as deflexões de e dc As relações são Estas deflexões produzem através da dinâmica longitudinal da aeronave an e q As equações de estado descrevendo os efeitos de dcmd sobre an e q são dadas por Cavallo 1992 P316 represente no espaço de estados o manipulador e o ambiente sob as seguintes condições Chiu 1997 a O manipulador não está em contato com o ambientealvo b O manipulador está em contato constante com o ambientealvo Problema Progressivo de Análise e Projeto 24 Pantógrafo para ferrovia de alta velocidade A Fig P235b mostra um modelo de sistema mecânico em translação relativo a um pantógrafo para ferrovia de alta velocidade usado para fornecer energia elétrica a um trem a partir de uma catenária suspensa OConnor 1997 Representar o pantógrafo no espaço de estados onde a saída é o deslocamento da parte superior do pantógrafo ybt ycant Carlson L E and Griggs G E Aluminum Catenary System Quarterly Report Technical Report Contract Number DOTFR9154 US Department of Transportation 1980 Cavallo A De Maria G and Verde L Robust Flight Control Systems A Parameter Space Design Journal of Guidance Control and Dynamics vol 15 no 5 SeptemberOctober 1992 pp 12071215 Cereijo M R State Variable Formulations Instruments and Control Systems December 1969 pp 8788 Chiu D K and Lee S Design and Experimentution of a Jump Impact Controller IEEE Control Systems June 1997 pp 99106 Cochin I Analysis and Design of Dynamic Systems Harper Row New York 1980 Elkins J A A Method for Predicting the Dynamic Response of a Pantograph Running at Constant Speed under a Finite Length of Overhead Equipment Technical Report TN DA36 British Railways 1976 Franklin G F Powell J D and EmamiNaeini A Feedback Control of Dynamic Systems AddisonWesley Reading Mass 1986 Hong J Tan X Pinette B Weiss R and Riseman E M ImageBased Homing IEEE Control Systems February 1992 pp 3845 Inigo R M Observer and Controller Design for DC Positional Control Systems Using State Variables Transactions AnalogHybrid Computer Educational Society December 1974 West Long Branch NJ pp 177189 Kailath T Linear Systems Prentice Hall Englewood Cliffs NJ 1980 Kandel A Analog Simulation of Groundwater Mining in Coastal Aquifers Transactions AnalogHybrid Computer Educational Society November 1973 West Long Branch NJ pp 175183 Lordi N G Analog Computer Generated Lecture Demonstrations in Pharmacokinetics Transactions AnalogHybrid Computer Educational Society November 1972 West Long Branch NJ pp 217222 OConnor D N Eppinger S D Seering W P and Wormly D N Active Control of a HighSpeed Pantograph Journal of Dynamic Systems Measurements and Control vol 119 March 1997 pp 14 Philco Technological Center Servomechanism Fundamentals and Experiments Prentice Hall Englewood Cliffs NJ 1980 Riegelman S et al Shortcomings in Pharmacokinetic Analysis by Conceiving the Body to Exhibit Properties of a Single Compartment Journal of Pharmaceutical Sciences vol 57 no 1 1968 pp 117123 Timothy L K and Bona B E State Space Analysis An Introduction McGrawHill New York 1968 CAPÍTULO 4 Resposta no Domínio do Tempo Objetivos do Capítulo Neste capítulo iremos aprender o seguinte Como obter a resposta no domínio do tempo a partir da função de transferência Como usar pólos e zeros para determinar a resposta de um sistema de controle Como descrever quantitativamente a resposta transitória de sistemas de primeira e de segunda ordem Como aproximar sistemas de maior ordem por sistemas de primeira e de segunda ordem Como visualizar os efeitos de nãolinearidades na resposta de sistemas no domínio do tempo Como obter a resposta no domínio do tempo a partir da representação no espaço de estados Objetivos do Estudo de Caso Você deverá ser capaz de demonstrar seu conhecimento dos objetivos do capítulo com os seguintes estudos de caso Dado o sistema de controle de posição da antena em azimute mostrada na contracapa dianteira você deverá ser capaz de 1 prever por inspeção a forma da resposta de velocidade angular da carga à malha aberta devida a uma entrada de tensão em degrau no amplificador de potência 2 descrever quantitativamente a resposta transitória do sistema a malha aberta 3 deduzir a expressão da saída em velocidade angular a malha aberta para uma entrada em degrau de tensão 4 obter a representação no espaço de estados do sistema a malha aberta 5 plotar a resposta do sistema a malha aberta a um degrau de velocidade usando simulação em computador Dada a malha de controle em arfagem do Veículo Submersível Nãotripulado UFSS mostrada na contracapa traseira você deverá ser capaz de prever obter e plotar a resposta da dinâmica do veículo a um comando de entrada em degrau Além disso você será capaz de calcular o efeito de zeros e de pólos de maior ordem do sistema sobre a resposta Você também será capaz de calcular a resposta em rolamento de um navio no mar Do inglês Unmanned FreeSwimming Submersible NT 41 Introdução No Cap 2 mostramos como as funções de transferência podem representar sistemas lineares e invariantes no tempo No Cap 3 os sistemas foram representados diretamente no domínio do tempo por intermédio das equações de estado e de saída Depois que o engenheiro obtém uma representação de um subsistema este é analisado através das respostas transitória e de estado estacionário para ver se estas características conduzem ao comportamento desejado Este capítulo se destina à análise da resposta transitória de sistemas Pareceria mais lógico prosseguir com a modelagem de sistemas a malha fechada tratada no Cap 5 do que interromper a seqüência de modelagem com a análise apresentada aqui Contudo o leitor não deverá ir tão longe na representação de sistemas sem conhecer como aplicar o esforço despendido Em conseqüência este capítulo demonstra as aplicações da representação de sistemas no cálculo da resposta transitória a partir do modelo do sistema Logicamente esta abordagem não está distante da realidade uma vez que o engenheiro precisa de fato calcular a resposta de um subsistema antes de inserilo no sistema a malha fechada Depois de descrever uma ferramenta valiosa de análise e de projeto pólos e zeros começaremos a analisar nossos modelos para obter a resposta ao degrau de sistemas de primeira e de segunda ordem A ordem se refere à ordem da equação diferencial equivalente que representa o sistema a ordem do denominador da função de transferência depois do cancelamento de fatores comuns com o numerador ou o número de equações diferenciais de primeira ordem simultâneas necessárias para a representação no espaço de estados 42 Pólos Zeros e Resposta do Sistema A resposta de saída de um sistema é a soma de duas respostas a resposta forçada e a resposta natural2 Embora diversas técnicas como a solução de equações diferenciais ou a aplicação da transformada de Laplace inversa permitam calcular essa resposta tais técnicas são trabalhosas e consomem muito tempo A produtividade é favorecida pelas técnicas de análise e de projeto que produzam resultados com um mínimo de tempo Se a técnica for tão rápida que seja possível obter o resultado desejado por inspeção usamos algumas vezes o atributo qualitativo para descrever o método O uso de pólos e zeros e de sua relação com a resposta de sistemas no domínio do tempo é uma dessas técnicas O aprendizado dessa relação permite o manuseio qualitativo de problemas O conceito de pólos e zeros fundamental na análise e no projeto de sistemas de controle simplifica o cálculo da resposta de um sistema O leitor é encorajado a dominar os conceitos de pólos e zeros e suas aplicações a problemas ao longo do texto Comecemos com duas definições Pólos de uma Função de Transferência Os pólos de uma função de transferência são 1 os valores da variável s da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se torne infinita ou 2 quaisquer raízes do denominador da função de transferência que sejam comuns às raízes do numerador Estritamente falando os pólos de uma função de transferência satisfazem o 1 da definição Por exemplo as raízes do polinômio característico no denominador são valores de s que tornam a função de transferência infinita portanto são pólos Contudo se um fator do denominador puder ser cancelado com um fator igual do numerador a raiz desse fator não mais fará com que a função de transferência se torne infinita Em sistemas de controle nos referimos à raiz do fator cancelado em denominador como pólo mesmo que a função de transferência não se torne infinita para este valor Daf termos incluído 2 na definição Zeros de uma Função de Transferência Os zeros de uma função de transferência são 1 os valores da variável s da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se torne igual a zero ou 2 quaisquer raízes do numerador da função de transferência que sejam comuns às raízes do denominador Estritamente falando os zeros de uma função de transferência satisfazem o 1 da definição Por exemplo as raízes do polinômio do numerador são valores de s que tornam a função de transferência nula portanto são zeros Contudo se um fator do numerador puder ser cancelado com um fator igual do denominador a raiz desse fator não mais fará com que a função de transferência se torne nula Em sistemas de controle nos referimos à raiz do fator cancelado em numerador como zero mesmo que a função de transferência não se torne nula para este valor Daf termos incluído 2 na definição Pólos e Zeros de um Sistema de Primeira Ordem Um Exemplo Dada a função de transferência Gs na Fig 41a há um pólo em s 5 e um zero em 2 Estes valores são plotados no plano complexo s na Fig 41b usando um X para o pólo e um O para o zero Para mostrar as propri 2A resposta forçada é também chamada de resposta em estado estacionário ou solução particular A resposta natural é também chamada solução homogênea 125 edades dos pólos e zeros obtemos a resposta do sistema a um degrau unitário Multiplicando a função de transferência da Fig 41 a pela transformada de um degrau resulta Cs s 2 ss 5 As Bs 5 25s 35s 5 41 onde A s 2 s5 s0 25 B s 2 s s 5 35 Assim ct 25 35e5t 42 Com base no desenvolvimento resumido na Fig 41c tiramos as seguintes conclusões 1 Um pólo da função de entrada gera a forma da resposta forçada isto é o pólo na origem gerou a função degrau na saída 2 Um pólo da função de transferência gera a forma da resposta natural isto é o pólo em 5 gerou e5 3 Um pólo sobre o eixo real gera uma resposta exponencial da forma eαt onde α é a localização do pólo sobre o eixo real Assim quanto mais à esquerda fique situado o pólo sobre o semieixo real negativo tanto mais rápido será o decaimento da resposta transitória exponencial para zero isto é uma vez mais o pólo em 5 gerou e5t ver Fig 42 para o caso geral 4 Os pólos e zeros geram as amplitudes para ambas as respostas natural e forçada isto pode ser visto a partir dos cálculos de A e B na Eq 41 Pólo da entrada 1s Zero do sistema s2 Pólo do sistema 1 s5 jw jw jw Plano s σ Plano s σ Plano s σ Transformada da saída Resposta no domínio do tempo Fig 41 a Sistema mostrando entrada e saída b diagrama de pólos e zeros do sistema c evolução de uma resposta de sistema Siga as setas voltadas para baixo para ver a evolução dos componentes da resposta gerada pelo pólo ou pelo zero Resposta forçada Resposta natural 126 Resposta no Domínio do Tempo Fig 42 Efeito de um pólo real sobre a resposta transitória jw Pólo em α gera a resposta Keαt Plano s σ Vejamos agora um exemplo para mostrar a técnica de utilizar pólos para obter a forma da resposta do sistema Aprenderemos a escrever a forma da resposta por inspeção Cada pólo da função de transferência do sistema sobre o eixo real gera uma resposta exponencial que é uma componente da resposta natural O pólo da entrada gera a resposta forçada Exemplo 41 Cálculo da resposta usando pólos Problema Dado o sistema da Fig 43 escrever a saída ct em termos genéricos Especificar as partes forçada e natural da solução Fig 43 Sistema para o Exemplo 41 Solução Por inspeção cada pólo do sistema gera uma exponencial como parte da resposta natural O pólo da entrada gera a resposta forçada Por conseguinte Cs K1 K2 K3 K4 43 s s 2 s4 s 5 Resposta forçada Resposta natural Aplicando a transformada de Laplace inversa obtemos ct K1 K2e2t K3e4t K4e5t 44 Resposta forçada Resposta natural Exercício de Avaliação 41 Problema Um sistema possui uma função de transferência Gs 10s 4s 6 s 1s 7s 8s 10 Escrever por inspeção a saída ct em termos genéricos se a entrada for um degrau unitário Resposta ct A Bet Ce7t De8t Ee10t Nesta seção você aprendeu que os pólos determinam a natureza da resposta no domínio do tempo os pólos da função de entrada determinam a forma da resposta forçada e os pólos da função de transferência determinam a forma da resposta natural Os zeros e pólos da função de entrada ou da função de transferência contribuem para as amplitudes das partes componentes da resposta total Para concluir pólos sobre o eixo real geram respostas exponenciais Discutiremos agora sistemas de primeira ordem sem zeros para definir uma especificação de desempenho deste sistema 49 Fig 43 Sistema para o Exemplo 41 43 Sistemas de Primeira Ordem Um sistema de primeira ordem sem zeros pode ser descrito pela função de transferência mostrada na Fig 44a Se a entrada for um degrau unitário onde Rs 1s a transformada de Laplace da resposta ao degrau será Cs onde Cs RsGs a ss a 45 Aplicando a transformada de Laplace inversa a resposta ao degrau é dada por ct cft cnt 1 eat 46 onde o pólo da entrada situado na origem gerou a resposta forçada ct 1 e o pólo do sistema em a como mostra a Fig 44b gerou a resposta natural cnt eat A Eq 46 está plotada na Fig 45 Examinemos a importância do parâmetro a o único parâmetro necessário para descrever a resposta transitória Quando t 1a e at t la e1 037 47 ou ct t la 1 eat t la 1 037 063 48 Usamos agora as Eqs 46 47 e 48 para definir três especificações de desempenho da resposta transitória Fig 44 a Sistema de primeira ordem b gráfico do pólo Constante de Tempo Chamamos 1a de constante de tempo da resposta Com base na Eq 47 podemos descrever a constante de tempo como o tempo necessário para que a resposta eαt se reduza a 37 do seu valor inicial Alternativamente com base na Eq 48 a constante de tempo é o tempo necessário para que a resposta ao degrau alcance 63 do seu valor final ver Fig 45 Fig 45 Resposta de um sistema de primeira ordem a um degrau unitário 128 Resposta no Domínio do Tempo O inverso da constante de tempo é homogêneo a 1segundos ou seja a freqüência Assim podemos chamar o parâmetro a de frequência exponencial Como a derivada de eat t 0 a é a taxa inicial de variação da exponencial em t 0 Portanto a constante de tempo pode ser considerada uma especificação da resposta transitória de um sistema de primeira ordem uma vez que ela está relacionada com a velocidade com que o sistema responde a uma entrada em degrau A constante de tempo também pode ser calculada a partir do diagrama de pólos ver Fig 44b Como o pólo da função de transferência é a podemos dizer que o pólo fica localizado no inverso da constante de tempo quanto mais longe do eixo imaginário ele se situe tanto mais rápida será a resposta transitória Vejamos outras especificações da resposta transitória como tempo de subida Tr e tempo de assentamento Ts como mostrado na Fig 45 Tempo de Subida Tr O tempo de subida é definido como o tempo necessário para que a forma de onda vá de 01 a 09 do seu valor final O tempo de subida é obtido resolvendo a Eq 46 para a diferença entre os valores de t para os quais ct 09 e ct 01 Portanto Tr 231 a 011 a 22 a 49 Tempo de Assentamento Ts O tempo de assentamento é definido como o tempo necessário para que a resposta alcance uma faixa de valores de 2 em torno do valor final e aí permaneça3 Fazendo ct 098 na Eq 46 e resolvendo em função de t obtemos o tempo de assentamento como Ts 4 a 410 Funções de Transferência de Primeira Ordem Obtidas Experimentalmente Frequentemente não é possível ou prático obter analiticamente a função de transferência de um sistema Possivelmente o sistema é fechado e as partes componentes não são identificáveis facilmente Como a função de transferência é uma representação do sistema relacionando a entrada à saída a resposta do sistema ao degrau pode levar à obtenção de uma representação mesmo que não seja conhecida a construção interna Com uma entrada em degrau podemos medir a constante de tempo e o valor de estado estacionário a partir de cujos valores podemos calcular a função de transferência Considere um sistema de primeira ordem simples Gs Ks a cuja resposta ao degrau é Cs K ss a e K a s K a s a 411 Se pudermos identificar os valores de K e de a a partir de ensaios em laboratório poderemos obter a função de transferência do sistema Por exemplo suponha que a resposta ao degrau unitário seja dada na Fig 46 Constatamos que ela possui as características de primeira ordem vistas anteriormente como ausência de ultrapassagem e inclinação inicial nula A partir da resposta medimos a constante de tempo isto é o tempo necessário para que a amplitude alcance 63 do seu valor final Como o valor final é cerca de 072 a constante de tempo é calculada onde a curva atinge o valor 063 072 045 ou seja cerca de 013 s Em conseqüência a 1013 77 Para determinar K nos damos conta de que com base na Eq 411 a resposta forçada alcança o valor estacionário Ka 072 Substituindo o valor de a obtemos K 554 Assim a função de transferência do sistema é Gs 554 s 77 É interessante observar que a resposta da Fig 46 foi gerada usando a função de transferência Gs 5s 7 Estendamos agora os conceitos de pólos e zeros e de resposta transitória aos sistemas de segunda ordem Fig 46 Resultados de laboratório de um ensaio com resposta de um sistema ao degrau Tempo s Amplitude Exercício de Avaliação 42 Problema Um sistema possui uma função de transferência Gs 50 s 50 Obter a constante de tempo Tc o tempo de assentamento Ts e o tempo de subida Tr Respostas Tc 002 s Ts 008 s e Tr 0044 s A solução completa está no CDROM que acompanha este livro 44 Sistemas de Segunda Ordem Introdução Comparado com a simplicidade dos sistemas de primeira ordem os sistemas de segunda ordem apresentam uma ampla gama de respostas que deve ser analisada e descrita Enquanto nos sistemas de primeira ordem a variação de um parâmetro muda simplesmente a velocidade da resposta as mudanças nos parâmetros do sistema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta Por exemplo um sistema de segunda ordem pode apresentar características muito semelhantes às de um sistema de primeira ordem ou dependendo dos valores dos componentes apresentar oscilações puras ou amortecidas como resposta transitória Visando familiarizar o leitor com a gama variada de respostas antes de formalizar nossa discussão na próxima seção veremos exemplos numéricos das respostas dos sistemas de segunda ordem mostradas na Fig 47 Todos os exemplos são deduzidos a partir da Fig 47a o caso geral que tem dois pólos finitos e nenhum zero O termo do numerador é simplesmente um escalar ou um fator multiplicativo da entrada que pode ter qualquer valor sem afetar a forma dos resultados deduzidos Atribuindo valores apropriados a a e ab podemos mostrar todas as formas possíveis de resposta transitória A resposta ao degrau pode ser encontrada usando Cs GsRs onde Rs 1s seguida de uma expansão em frações parciais e da aplicação da transformada de Laplace inversa Os detalhes são deixados como problema de fim de capítulo para o qual você deve rever a Seção 22 Explicaremos agora cada uma das respostas e mostraremos como usar os pólos para determinar a natureza da resposta sem precisar executar o procedimento da expansão em frações parciais seguido da transformada de Laplace inversa Resposta Superamortecida Fig 47b Para esta resposta Cs 9 ss2 9s 9 9 ss 7854s 1146 412 Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitário e dois pólos reais provenientes do sistema O pólo na origem devido à entrada gera uma resposta forçada de valor constante cada um dos dois pólos do sistema situados sobre o eixo real gera uma resposta natural exponencial cuja freqüência exponencial é igual 129 Fig 47 Sistemas de segunda ordem gráficos de pólos e respostas ao degrau Sistema Diagrama de pólos e zeros Resposta a Rs 1s Gs b Cs s² as b Geral Gs jω Plano s X σ 7854 1146 0 ct ct 1 0171e7854t 1171e1146t 1 05 0 1 2 3 4 5 t b Rs 1s 9 Cs s² 9s 9 Superamortecido Gs jω Plano s X j8 σ 1 X j8 ct ct 1 ecos8 t 8 sen8t 14 12 1 08 06 04 02 0 1 2 3 4 5 t c Rs 1s Gs 9 Cs s² 2s 9 Subamortecido jω Plano s X j3 σ j3 ct ct 1 cos 3t 2 1 0 1 0 1 2 3 4 5 t d Rs 1s Gs 9 Cs s² 9 Sem amortecimento jω Plano s X σ ct 1 08 06 04 02 0 ct 1 3te3t e3t 0 1 2 3 4 5 t e Rs 1s Gs 9 Cs s² 6s 9 Criticamente amortecido jω Plano s 3 σ ct ct 1 3te3t K3te146t à localização do pólo Por conseguinte a saída seria escrita como ct K1 K2e7854t K3e1146t Esta resposta mostrada na Fig 47b é chamada superamortecida ⁴ Observamos que os pólos nos falam da forma da resposta sem o cálculo enfadonho da transformada de Laplace inversa ⁴Assim chamada porquê o termo superamortecido se refere a uma grande absorção de energia pelo sistema o que o impede de apresentar ultrapassagem e oscilação em torno do valor de estado estacionário para uma entrada em degrau A medida que se reduz a absorção de energia o sistema superamortecido se torna subamortecido e apresenta ultrapassagem Resposta Subamortecida Fig 47c Para esta resposta Cs 9 ss² 2s 9 413 Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitário e dois pólos complexos provenientes do sistema Compararemos agora a resposta do sistema de segunda ordem com os pólos que a produziram Primeiro iremos comparar a localização do pólo com a função no domínio do tempo e em seguida compararemos a posição do pólo com o gráfico Com base na Fig 47c os pólos que geram a resposta natural estão situados em s 1 j8 Comparando estes valores com ct na mesma figura vemos que a parte real do pólo coincide com a frequência do decaimento exponencial da amplitude da senóide enquanto a parte imaginária do pólo coincide com a frequência da oscilação senoidal Comparamos agora a localização do pólo com o gráfico A Fig 48 mostra uma resposta senoidal amortecida genérica de um sistema de segunda ordem A resposta transitória consiste em uma amplitude que decai exponencialmente gerada pela parte real do pólo do sistema multiplicada por uma forma de onda senoidal gerada pela parte imaginária do pólo A constante de tempo do decaimento exponencial é igual ao inverso da parte real do pólo do sistema O valor da parte imaginária é a frequência real da senóide como mostrado na Fig 48 A esta frequência da senóide é dado o nome de frequência de oscilação amortecida ωd Para finalizar a resposta em estado estacionário ao degrau unitário foi gerada pelo pólo devido à entrada localizada na origem Chamamos este tipo de resposta mostrado na Fig 48 de resposta subamortecida que tende ao valor de estado estacionário através de uma resposta transitória que é uma oscilação amortecida O exemplo seguinte demonstra como o conhecimento da relação entre a localização do pólo e a resposta transitória pode levar rapidamente à forma da resposta sem calcular a transformada de Laplace inversa Fig 48 Componentes da resposta ao degrau de sistema de segunda ordem gerados por pólos complexos Decaimento exponencial gerado pela parte real do par de pólos complexos Oscilação senoidal gerada pela parte imaginária do par de pólos complexos Exemplo 42 Forma da resposta subamortecida usando os pólos Problema Escreva por inspeção a forma da resposta ao degrau do sistema da Fig 49 Fig 49 Sistema para o Exemplo 42 Rs 1 s Gs 200 Cs s² 10s 200 Solução Primeiro constatamos que a forma da resposta forçada do sistema é um degrau Em seguida obtemos a forma da resposta natural Fatorando o denominador da função de transferência na Fig 49 descobrimos que os pólos são s 5 j1323 A parte real 5 é a frequência exponencial do amortecimento É também o inverso da constante de tempo do decaimento das oscilações A parte imaginária 1333 é a frequência das oscilações senoidais em radianos por segundo⁵ Usando nossa discussão anterior e a Fig 47c como guia obtemos ct K1 e5t K2 cos 1323t K3 sen 1323t K1 K4 e5t cos 1323t ϕ onde ϕ tg1 K3K2 K4 K2² K3² e ct é uma constante mais uma senóide amortecida exponencialmente Voltaremos à resposta subamortecida do sistema de segunda ordem nas Seções 45 e 46 onde iremos generalizar a discussão e deduzir alguns resultados que relacionam a posição do pólo a outros parâmetros da resposta Resposta sem Amortecimento Fig 47d Para esta resposta Cs 9 ss² 9 414 Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitário e dois pólos reais provenientes do sistema O pólo na origem devido à entrada gera uma resposta forçada de valor constante e os dois pólos do sistema situados sobre o eixo imaginário em j3 geram uma resposta natural senoidal cuja frequência é igual à localização do pólo sobre o eixo imaginário Por conseguinte a saída pode ser estimada como ct K1 K2cos3t ϕ Este tipo de resposta mostrado na Fig 47d é chamado sem amortecimento Observe que a ausência de uma parte real no par de pólos corresponde a uma exponencial que não decai Matematicamente a exponencial é e0t 1 Resposta Criticamente Amortecida Fig 47e Para esta resposta Cs 9 ss² 6s 9 9 ss 3² 415 Esta função possui um pólo na origem que vem da entrada em degrau unitário e dois pólos reais múltiplos provenientes do sistema O pólo na origem devido à entrada gera uma resposta forçada de valor constante e os dois pólos situados sobre o eixo real em 3 geram uma resposta natural consistindo em uma exponencial e uma exponencial multiplicada pelo tempo onde a frequência exponencial é igual à localização dos pólos reais Por conseguinte a saída seria escrita como ct K1 K2e3t K3te3t Este tipo de resposta mostrado na Fig 47e é chamado criticamente amortecido Respostas criticamente amortecidas são as mais rápidas possíveis sem a ultrapassagem e é característica da resposta subamortecida Resumiremos agora nossas observações Nesta seção definimos as seguintes respostas naturais e obtivemos suas características 1 Respostas superamortecidas Pólos Dois reais em σ1 e σ2 Resposta natural Duas exponenciais com constantes de tempo com valor igual ao inverso das localizações dos pólos ou seja ct K1eσ1t K2eσ2t 2 Respostas subamortecidas Pólos Dois complexos em σd jωd Resposta natural Senóide amortecida com uma envoltória exponencial cuja constante de tempo é igual ao inverso da parte real do pólo A frequência angular da senóide freqüência da oscilação amortecida é igual à parte imaginária dos pólos ou seja ct Aeσdt cos ωd t ϕ 3 Respostas sem amortecimento Pólos Dois imaginários em jωn Resposta natural Senóide não amortecida com frequência angular igual à parte imaginária dos pólos ou seja ct A cos ωn t ϕ 4 Respostas criticamente amortecidas Pólos Dois reais em σn ⁵Também chamada de freqüência angular NT Fig 410 Respostas ao degrau de sistemas de segunda ordem para os casos de amortecimento Sem amortecimento Subamortecido Criticamente amortecido Superamortecido Resposta natural Um termo é uma exponencial cuja constante de tempo é igual ao inverso da localização do pólo Um outro termo é o produto do tempo t pela exponencial cuja constante de tempo é igual ao inverso da localização do pólo ou seja ct K1eσ1t K2teσ1t As respostas ao degrau para os quatro casos de amortecimento discutidos nesta seção estão superpostas na Fig 410 Observe que o caso criticamente amortecido caracteriza a separação entre os casos superamortecidos e os casos subamortecidos e constitui a resposta mais rápida sem ultrapassagem Exercício de Avaliação 43 Problema Escreva por inspeção a forma geral da resposta ao degrau para cada uma das seguintes funções de transferência a Gs 400 s² 12s 400 b Gs 900 s² 90s 900 c Gs 225 s² 30s 225 d Gs 625 s² 625 Respostas a ct A Be6t cos 1908t ϕ b ct A Be7854t Ce1146t c ct A Be15t Cte15t d ct A Bcos25t ϕ A solução completa está no CDROM que acompanha este livro Na próxima seção iremos formalizar e generalizar a discussão das respostas de segunda ordem e definir duas especificações usadas na análise e no projeto de sistemas de segunda ordem Na Seção 46 focalizaremos o caso subamortecido e deduziremos algumas das especificações exclusivas desta resposta que utilizaremos mais adiante para análise e projeto 45 O Sistema de Segunda Ordem Geral Agora que nos familiarizamos com os sistemas de segunda ordem e suas respostas iremos generalizar a discussão e estabelecer especificações quantitativas definidas de modo que a resposta de um sistema de segunda ordem possa ser descrita para um projetista sem a necessidade de esboçar a resposta Nesta seção definimos duas especificações com significado físico Estas grandezas podem ser usadas para descrever as características da resposta transitória de segunda ordem exatamente da mesma forma como as constantes de tempo descrevem a resposta de sistemas de primeira ordem As duas grandezas são chamadas frequência natural e relação de amortecimento Definamos as grandezas formalmente Frequência Natural ωn A frequência natural de um sistema de segunda ordem é a frequência de oscilação do sistema sem amortecimento Por exemplo a frequência de oscilação de um circuito RLC série com a resistência curtocircuitada será a frequência natural Relação de Amortecimento ζ Antes de estabelecer nossa próxima definição é necessária uma explicação Já vimos que a resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido é caracterizada por oscilações amortecidas Nossa próxima definição é deduzida com base na necessidade de descrever quantitativamente esta oscilação de forma independente da escala de tempo Assim um sistema cuja resposta transitória durasse três ciclos em um millisegundo antes de atingir o estado estacionário teria a mesma medida de um sistema que percorresse três ciclos em um milênio antes de alcançar o estado estacionário Por exemplo a curva subamortecida na Fig 410 apresenta uma medida associada que define sua forma Esta medida permanece constante mesmo se mudarmos a base de tempo de segundos para millisegundos ou para milênios Uma definição viável para esta grandeza é a que compara a frequência de decaimento exponencial da envoltória com a frequência natural Esta relação é constante qualquer que seja a escala de tempo da resposta Além disso o inverso que é proporcional à relação entre o período natural e a constante de tempo exponencial permanece o mesmo qualquer que seja a base de tempo Definimos a relação de amortecimento ζ como sendo Frequência exponencial de decaimento rads Frequência natural rads 1 2π Período natural s Constante de tempo exponencial s Revisemos agora nossa descrição do sistema de segunda ordem para levar em conta as novas definições O sistema de segunda ordem geral mostrado na Fig 47a pode ser transformado para mostrar as grandezas ζ e ωn Considere o sistema genérico Gs b s² as b 416 Sem amortecimento os pólos estariam sobre o eixo jω e a resposta seria uma senóide sem amortecimento Para que os pólos sejam puramente imaginários a 0 Portanto Gs b s² b 417 Por definição a frequência natural ωn é a frequência de oscilação deste sistema Como os pólos deste sistema estão sobre o eixo jω em jωn b ωn b 418 Portanto b ωn² 419 Agora o que é o termo a na Eq 416 Supondo o sistema subamortecido os pólos complexos possuem uma parte real σ igual a a2 A magnitude deste valor é então a frequência de decaimento exponencial descrita na Seção 44 Por conseguinte ζ Frequência exponencial de decaimento rads Frequência natural rads σ ωn a2 ωn 420 de onde a 2ζωn 421 Nossa função de transferência de segunda ordem genérica finalmente adquire a forma Gs ωn² s² 2ζωn s ωn² 422 No exemplo a seguir determinamos os valores numéricos para ζ e ωn igualando a função de transferência à Eq 422 Exemplo 43 Determinando ζ e ωn para um sistema de segunda ordem Problema Dada a função de transferência da Eq 423 obter ζ e ωn Gs 36 s² 42s 36 423 Solução Comparando as Eqs 423 e 422 ωn² 36 de onde ωn 6 Além disso 2ζωn 42 Substituindo o valor de ωn ζ 035 Agora que definimos ζ e ωn relacionemos estas grandezas à localização do pólo Calculando os pólos da função de transferência na Eq 422 resulta s12 ζωn ωn ζ² 1 424 Da Eq 424 constatamos que os vários casos de resposta de segunda ordem são uma função de ζ e estão resumidos na Fig 411⁶ No exemplo seguinte obteremos o valor numérico de ζ e determinaremos a natureza da resposta transitória ζ Pólos Resposta ao degrau 0 jω jωn Plano s X jωn X jωn Sem amortecimento ζωn σ 0 ζ 1 jω jωn 1 ζ² Plano s X ζωn X jωn 1 ζ² Subamortecido σ ζ 1 jω Plano s X ζωn Criticamente amortecido σ ζ 1 jω Plano s X ζωn ωn ζ² 1 X ζωn ωn ζ² 1 Superamortecido σ Fig 411 Respostas de segunda ordem em função da relação de amortecimento ⁶O leitor deve verificar a Fig 411 como exercício Exempl 0 44 Caracterizando a resposta com base no valor de Problema Para cada um dos sistemas mostrados na Fig 412 obter o valor de r e relatar o tipo de resposta espe Solucão Primeiro identifique a forma desses sistemas com as formas mostradas nas Eqs 416 e 422 Como a 2w e S b Fig 412 Sistemas para o Exemplo 44 a b c Usando os valores de a e de b de cada um dos sistemas da Fig 412 obtemos 1155 para o sistema a que é portanto superamortecido uma vez que 1 1 para o sistema b que é portanto criticamente amorteci do e 0894 para o sistema c que é portanto subamortecido uma vez que 1 Exercício de Avaliaçâo 44 Problema Para cada uma das funções de transferência do Exercício de Avaliaçâo 43 faça o seguinte 1 Obte nha os valores de e de w 2 Caracterize a natureza da resposta Respostas a 03 wo 20 sistema subamortecido b 15 wo 30 sistema superamortecido c 1 w 15 sistema criticamente amortecido d 0 wo 25 sistema sem amortecimento A soluçao completa está no CDROM que acompanha este livro Nesta sequa definimos duas especificações ou parâmetros de sistemas de segunda ordem a frequênca natural e a relação de amortecimento Vimos que a natureza da resposta obtida estava relacionada ao valor de gama completa de respostas superamortecida criticamente amortecida subamortecida e sem amortecimento p produzida variando apenas a relação de amortecimento Agora que generalizamos a função de transferência de segunda ordem em termos de e wo analisemos a res posta ao degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido Não será obtida apenas essa resposta em termos de e de wo mas serão definidas também outras especificações próprias do caso subamortecido 46 Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos O sistema de segunda ordem subamortecido um modelo comum de problemas físicos apresenta um compor tamento único que deve ser desdobrado em itens Tanto para a análise quanto para o projeto se faz necessári uma descrição detalhada da resposta subamortecida Nosso primeiro objetivo é definir especificações associ adas ao regime transitório de respostas subamortecidas Em seguida iremos relacionar estas especificações à localização de pólos extraindo uma associação entre a localização dos pólos e a forma da resposta de segu da ordem subamortecida Para finalizar iremos vincular a localização dos pólos aos parâmetros do sistem fechando assim a malha uma resposta desejada gera os componentes do sistema que serão necessários pa atendêla Comecemos obtendo a resposta ao degrau do sistema de segunda ordem genérico da Eq 422 A transformada da resposta Cs é a transformada da entrada multiplicada pela função de transferência ou seja Cs w2sK1 K2s K3ss2 2zwos won2 426 onde se supõe 1 isto é o caso subamortecido Expandindose em frações parciais através dos métodos des critos na Seção 22 Caso 3 resulta Cs 1s s zwon 1 2 won sqrt1 2 s won2 won21 2 427 A aplicação da transformada de Laplace inversa deixada como exercício para o leitor fornece ct 1 ezwont cos won sqrt1 2t 1 2 sen won sqrt1 2t 1 1 sqrt1 2 ezwont coswon sqrt1 2t 428 onde tg1 sqrt1 2 Na Fig 413 aparece um gráfico desta resposta para diversos valores de traçado em função do eixo dos tem pos normalizado wont Vemos agora a relação entre o valor de e o tipo de resposta obtido quanto menor o valor de tanto mais oscilatória será a resposta A frequência natural é um fator de escala do eixo dos tempos e não afeta a natureza da resposta em nenhum aspecto exceto o de colocála em escala no tempo Definimos dois parâmetros e w2 associados aos sistemas de segunda ordem Outros parâmetros associados à resposta subamortecida são a ultrapassagem percentual o instante de pico o tempo de assentamento e o tempo de subida Estas especificações estão definidas como a seguir ver também a Fig 414 1 Instante de pico Tp Tempo necessário para alcançar o primeiro valor de pico máximo 2 Ultrapassagem percentual UP O quanto a forma de onda no instante de pico ultrapassa o valor de estado estacionário final expresso como uma percentagem do valor do estado estacionário 3 Tempo de assentamento Ts Tempo necessário para que as oscilações amortecidas do regime transitório entrem e permaneçam no interior de uma faixa de valores de 2 em torno do valor de estado estacionário 4 Tempo de subida Tr Tempo necessário para que a forma de onda vá de 01 a 09 do valor final Observe que as definições de tempo do assentamento e de tempo de subida são fundamentalmente as mesmas para a resposta de primeira ordem Todas as definições são também válidas para sistemas de ordem superior a 2 embo ra as expressões analíticas desses parâmetros não possam ser obtidas a menos que a resposta do sistema de orde mais elevada possa ser aproximada como a de um sistema de segunda ordem o que fizemos nas Seções 47 e 48 Fig 414 Especificações da resposta de segunda ordem subamortecida ct cmaf 102cfinal cfinal 098cfinal 09cfinal 01cfinal Tr Tp Ts t O tempo de subida o tempo de assentamento e o instante de pico fornecem informação a respeito da velocidade da resposta transitória Esta informação pode ajudar o projetista a determinar se a velocidade e a natureza da resposta degra dam ou não o desempenho do sistema Por exemplo a velocidade total de um sistema de computação depende do tempo consumido pela cabeça de leitura e gravação de um acionador de disco flexível para alcançar o estado estacionário e efectuar uma leitura de dados o conforto dos passageiros no interior de um carro depende em parte do sistema de suspen são e do número de oscilações produzidas ao passar sobre uma irregularidade na pista de rolamento Calculamos agora os valores de Tp UP e Ts como funções de e de wo Mais adiante neste capítulo relacionamos estas especificações à localização dos pólos do sistema Não é possível obter uma expressão analítica precisa para o tempo de subida em consequência apresentamos um gráfico e uma tabela mostrando a relação entre e o tempo de subida Cálculo de Tp O valor de Tp é encontrado derivando ct na Eq 428 e obtendo o primeiro instante de passagem por zero depois de t 0 Esta tarefa é simplificada através da derivação no domínio de frequência usando o Item 7 da Tabela 22 Supondo condições iniciais nulas e usando a Eq 426 obtemos ct sCs w2 s2 2zwos w2n 429 Completando os quadrados no denominador temos ct w2s zwn2 wo21 z2 wonsqrt1 z2 s zwon2 won21 z2 430 Portanto c t wosqrt1 z2 ezwt sen won sqrt1 z2t 431 Igualando a derivada a zero resulta wo sqrt1 z2t np 432 ou t nnp wo sqrt1 z2 433 Cada valor de n fornece o instante da ocorrência de máximos e de mínimos locais Fazendo n 0 temse t 0 o primeiro ponto na curva da Fig 414 que possui inclinação nula O primeiro ponto de pico que ocorre no instante de pico Tp é encontrado fazendo n 1 na Eq 433 Tp np wo sqrt1 z2 434 Cálculo de UP Com base na Fig 414 a ultrapassagem percentual UP é dada por UP cmax cfinal cfinal 100 435 O termo cfinal é obtido calculando o valor de ct no instante de pico cTp Usando a Eq 434 para Tp e substitui ndo na Eq 428 vem cmax cTp 1 ez p sqrt1p2 cos tp sqrt12 sen p 1 ezT sqrt1p2 436 Pela resposta ao degrau calculada na Eq 428 cfinal 1 437 Substituindo as Eqs 436 e 437 na Eq 435 obtemos finalmente UP ezTrsqrt1p2 100 438 Observe que a ultrapassagem percentual é uma função somente da relação de amortecimento Enquanto a Eq 438 permite que se calcule o valor de UP dada a relação de amortecimento o inverso da equação permite que se calcule o valor de dada a ultrapassagem percentual UP O inverso é dado por lnUP 100 np2 ln2 UP 100 439 A dedução da Eq 439 é deixada como exercício para o leitor A Eq 438 ou de forma equivalente a Eq 439 está plotada na Fig 415 Cálculo de Ts Para obter o tempo de assentamento devemos encontrar o instante a partir do qual o valor de ct na Eq 428 entra e perma nece no interior de uma faixa de 2 em torno do valor do estado estacionário cfinal Usando a nossa definição o tempo de assentamento é o tempo necessário para que a amplitude da senóide amortecida da Eq 428 alcance o valor 002 ou seja ez wot 1 sqrt1p2 002 440 Esta equação é uma estimativa conservadora uma vez que estamos admitindo que cos won sqrt1p2 t 1no tempo de assentamento Resolvendo a Eq 440 para obter o valor de t resulta o tempo de assentamento Ts ln 002 sqrt1p2 zwon 441 A mesma envoltória ct Plano s Movimentação do pólo A mesma frequência ct Plano s Movimentação do pólo A mesma ultrapassagem ct Plano s Movimentação do pólo Fig 419 Respostas ao degrau de sistemas de segunda ordem subamortecidos à medida que os pólos se movem a com parte real constante b com parte imaginária constante c com relação de amortecimento constante Exemplo 46 Determinar TpUP e Ts com base na localização de pólos Problema Dado o diagrama de pólos mostrado na Fig 420 determinar ζ ωn Tp UP e Ts Fig 420 Diagrama de pólos para o Exemplo 46 Plano s Solução A relação de amortecimento é dada por ζ cos θ cos arc tg73 0394 A frequência natural ωn é a distância radial da origem ao pólo ou seja ωn 72 32 7616 O instante de pico é Tp πωd π7 0449 segundo 446 A ultrapassagem percentual é UP eζπ1ζ2 x 100 26 447 O tempo de assentamento aproximado é Ts 4ζωn 43 1333 segundo 448 Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem executar agora o programa cap4p1 no Apêndice B Você aprenderá como gerar um polinômio de segunda ordem a partir dos dois pólos complexos bem como extrair e usar os coeficientes do polinômio para calcular Tp UP e Ts Este exercício usa o MATLAB para resolver o problema no Exemplo 46 Exemplo 47 Projeto Resposta transitória através do projeto de componente Problema Dado o sistema mostrado na Fig 421 obter J e D para uma ultrapassagem percentual de 20 e um tempo de assentamento de 2 segundos para um torque de entrada Tt em degrau Fig 421 Sistema mecânico em rotação para o Exemplo 47 Solução Primeiro a função de transferência do sistema é Gs 1J s2 DJ s KJ 449 Da função de transferência ωn KJ 450 e 2ζωn DJ 451 Mas do enunciado do problema Ts 2 4ζωn 452 ou ζωn 2 Por conseguinte 2ζωn 4 DJ 453 Além disso das Eqs 450 e 452 ζ 42ωn 2JK 454 Com base na Eq 439 uma ultrapassagem de 20 implica ζ 0456 Em consequência da Eq 454 ζ 2JK 0456 455 Portanto JK 0052 456 Do enunciado do problema K 5 Nmrad Combinando este valor com as Eqs 453 e 456 D104 Nmsrad e J026 kgm2 Fig 423 Respostas dos componentes do um sistema com três pólos a diagrama de pólos b respostas dos componentes o pólo nãodominante está próximo de um par de segunda ordem dominante Caso I longe do par Caso II e no infinito Caso III Plano s Caso I Caso II Caso III Resposta Tempo À medida que o pólo não dominante tende a ou c A 1 B 1 C a D 0 461 Portanto neste exemplo D o resíduo do pólo nãodominante e sua resposta se torna zero à medida que o pólo nãodominante tende para infinito O projetista também pode preferir desistir de uma análise rigorosa de resíduos uma vez que todos os projetos de sistema devem ser simulados para determinar a aceitação final Neste caso o engenheiro de sistemas de controle pode usar a regra prática das cinco vezes como uma condição necessária mas não suficiente para aumentar a confiança na aproximação de segunda ordem durante o projeto mas em seguida simular o projeto concluído Vejamos um exemplo que compara as respostas de dois sistemas com três pólos com a de um sistema de segunda ordem Exemplo 48 Comparação das respostas de sistemas com três pólos Problema Obter a resposta ao degrau de cada uma das funções de transferência mostradas nas Eqs 462 a 464 e comparálas T1s 24542 s2 4s 24542 462 T2s 24542 s 10s2 4s 24542 463 T3s 73626 s 3s2 4s 24542 464 Solução A resposta ao degrau Cis para a função de transferência Tis pode ser obtida multiplicandose a função de transferência por 1s uma entrada em degrau Usando a expansão em frações parciais seguida da aplicação da transformada de Laplace inversa obtémse a resposta cit Deixando os detalhes como exercício para o leitor os resultados são c1t 1 109 e2t cos 4532t 238 465 c2t 1 029 e10t 1189 e2t cos 4532t 5334 466 c3t 1 114 e3t 0707 e2t cos 4532t 7863 467 As três respostas estão plotadas na Fig 424 Observe que c2t com um terceiro pólo em 10 e o mais afastado em relação aos pólos dominantes é a melhor aproximação para c1t a resposta de um sistema de segunda ordem puro c3t com um terceiro pólo próximo dos pólos dominantes produz o maior erro Os estudantes que estiverem usando o MATLAB devem executar agora o programa cap4p2 no Apêndice B Você aprenderá como gerar resposta ao degrau de uma função de transferência e como plotar a resposta diretamente ou coletar os pontos para 00 05 10 15 20 25 30 Tempo s Resposta normalizada c1t c2t c3t 02 04 06 08 10 12 14