Engenharia de Sistemas de Controle - 3ª Edição

Ativar Estudantes com Sistemas de Controle do Mundo Real N Cham 6298 N724e 2002 Título Engenharia de sistemas de controle Norman S Nise Engenharia de Sistemas de Controle 3ª Edição Sistema de Controle de Posicionamento de uma Antena em Azimute Arranjo Físico dos Componentes Potenciômetro θt Entrada do ângulo de azimute desejado θ0t Saída do ângulo de azimute Amplificador diferencial e amplificador de potência Motor Potenciômetro Esquema Entrada do ângulo de azimute desejado θt Amplificador diferencial Vpt V0t v Potenciômetro de n voltas V Amplificador de potência K Vpt Vs K1 sa e0t Motor θmt Campo constante θ0t Saída do ângulo de azimute Diagrama de Blocos Ângulo de azimute desejado θs Kpot Vs Préamplificador Amplificador de potência Vps K L1 sa Es Motor e carga θms K6 Potenciômetro Kpot Ângulo de azimute θps Parâmetros do Esquema Parâmetro Configuração 1 Configuração 2 Configuração 3 V 10 10 10 n 10 1 1 K1 100 150 100 a 100 150 100 Ra 8 5 5 Ja 002 005 005 Da 001 001 001 Kb 05 1 1 K1 05 1 1 N1 25 50 50 N2 250 250 250 N3 250 250 250 ENGENHARIA DE SISTEMAS DE CONTROLE ENGENHARIA DE SISTEMAS DE CONTROLE 3ª Edição Norman S Nise California State Polytechnic University Pomona Tradução Bernardo Severo da Silva Filho Engenheiro Electricista pelo Instituto Militar de Engenharia MSc pela Ecole Nationale Supérieure de lAéronautique França Professor e Coordenador dos Cursos de Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade do Estado do Rio de Janeiro Coordenador do Curso de PósGraduação lato sensu em Engenharia Mecatrônica da Universidade do Estado do Rio de Janeiro LTC EDITORA No interesse de difusão da cultura e do conhecimento o autor e os editores enviaram o máximo esforço para localizar os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado dispondose a possíveis acertos posteriores caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Control Systems Engineering Third Edition Copyright 2000 John Wiley Sons Inc All Rights Reserved Authorized translation from the English language edition published by John Wiley Sons Inc Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 2020 by LTC Livros Técnicos e Científicos Editora SA Travessa do Ouvidor 11 Rio de Janeiro RJ CEP 20040040 Tel 2122219621 Fax 2122213202 Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na Web ou outros sem permissão expressa da Editora À minha esposa Ellen aos meus filhos Benjamin e Alan e à minha filha Sharon Prefácio Este livro apresenta aos estudantes a teoria e a prática da engenharia de sistemas de controle O texto enfatiza as aplicações práticas da matéria e análise e o projeto de sistemas com retroação O estudo de engenharia dos sistemas de controle é essencial para os alunos de graduação em engenharia elétrica mecânica controle e automação aeronáutica e engenharia química Os sistemas de controle são encontrados em uma ampla gama de aplicações nessas áreas desde aviões e espaçonaves a robôs e sistemas de controle de processos Engenharia de Sistemas de Controle é uma obra voltada para estudantes de cursos superiores e para aqueles que desejam dominar o assunto através de estudo próprio Os estudantes usuários deste texto devem ter concluído os cursos básicos em física e em matemática por meio de equações diferenciais Outros materiais que dizem respeito ao conhecimento prévio requerido incluindo transformadas de Laplace e álgebra linear são incorporados ao texto seja ao longo das discussões dos capítulos seja separadamente nos apêndices ou no CDROM que acompanha o livro Este material de revisão pode ser omitido sem perda de continuidade para os estudantes que não precisam dele Características Principais Constituem características principais desta terceira edição Organização padronizada dos capítulos Explicações qualitativas e quantitativas Exemplos exercícios de avaliação e estudos de caso ao longo do texto Ilustrações abundantes Numerosos problemas de fim de capítulo Ênfase no projeto Organização flexível Ênfase na análise e no projeto com auxílio de computador Vejamos cada uma destas características com mais detalhe Organização Padronizada dos Capítulos Cada capítulo começa com uma lista de objetivos do capítulo seguida de uma lista de objetivos dos estudos de caso relacionados aos objetivos do capítulo com o desempenho específico do estudante na solução de um problema prático como o sistema de controle do posicionamento de uma antena em azimute Os tópicos são então divididos em seções numeradas com título contendo explicações exemplos e onde apropriado exercícios de avaliação com respostas Estas seções numeradas são seguidas de um ou mais estudos de caso como resumido a seguir Cada capítulo se encerrará com uma breve revisão com diversas perguntas de revisão que requerem respostas curtas e um conjunto de tarefas a domicílio As explicações são claras e completas e quando apropriado incluem uma breve revisão dos fundamentos Os tópicos são abordados a partir dessa base e se apóiam uns nos outros de forma lógica Os fundamentos e a terminologia sobre novos conceitos são cuidadosamente colocados para evitar sobrecarregar o estudante e facilitar o estudo autodidático Embora as soluções quantitativas sejam como é óbvio importantes uma compreensão qualitativa ou intuitiva dos problemas e dos métodos de solução é vital para produzir uma visão de conjunto necessária para o desenvolvimento completo de projetos Portanto sempre que possível os novos conceitos são discutidos a partir de uma perspectiva qualitativa antes da análise e do projeto quantitativos Por exemplo no Cap 8 o estudante pode simplesmente observar o lugar das raízes e descrever qualitativamente as alterações na resposta transitória que irão ocorrer à medida que um parâmetro de sistema como o ganho é variado Esta habilidade é desenvolvida com o auxílio de algumas equações simples do Cap 4 Os tópicos de projeto da resposta transitória são cobertos de maneira abrangente no texto Incluem Projeto através do ajuste de ganho usando o lugar das raízes Projeto de compensação e de controladores usando o lugar das raízes Projeto através do ajuste de ganho usando métodos de resposta de frequência senoidal Projeto de compensação usando métodos de resposta de frequência senoidal Projeto de controladores no espaço de estados usando técnicas de alocação de pólos Projeto de observadores no espaço de estados usando técnicas de alocação de pólos Projeto de sistemas de controle digital através do ajuste de ganho no lugar das raízes Projeto de compensação de sistemas de controle digital através do projeto no plano e da transformação de Tustin O projeto do erro de estado estacionário é coberto de forma abrangente neste livro e inclu Ajuste de ganho Projeto de compensação usando o lugar das raízes Projeto de compensação usando métodos de resposta de frequência senoidal Projeto de controle integral no espaço de estados Finalmente o projeto de ajuste de ganho que leva à estabilidade é tratado a partir das seguintes perspectivas Critério de RouthHurwitz Lugar das raízes Critério de Nyquist Gráficos de Bode O material neste livro pode ser adaptado para um curso com duração de um trimestre ou de um semestre A organização é flexível permitindo que o professor selecione o material que melhor se ajuste aos requisitos e às restrições de tempo da turma Ao longo do livro as técnicas no espaço de estados são apresentadas juntamente com a abordagem clássica Os capítulos e as seções bem como exemplos exercícios perguntas de revisão e problemas que tratam do espaço de estados são marcados com um ícone e podem ser omitidos sem qualquer perda de continuidade Os que desejarem incluir uma introdução à modelagem no espaço de estados podem incluir o Cap 3 no plano de estudos Nos cursos de um semestre as discussões sobre a análise no espaço de estados nos Caps 4 5 6 e 7 bem como o projeto no espaço de estados no Cap 12 podem ser tratados juntamente com a abordagem clássica Uma outra opção é ensinar espaço de estados separadamente reunindo os capítulos apropriados e as seções marcadas com o ícone em uma única unidade que segue a abordagem clássica Nos cursos de um trimestre o Cap 13 Sistemas de Controle Digital pode ser eliminado Problemas progressivos de análise e de projeto Foi acrescentado ao final do conjunto de problemas de cada capítulo um problema progressivo de análise e de projeto Este problema dá a você a oportunidade de aplicar progressivamente as lições de análise e de projeto de cada capítulo ao mesmo sistema físico CDROM Um CDROM acompanha o texto Apêndices e seções selecionadas da segunda edição foram deslocadas para o CDROM para liberar espaço para o material de texto adicional O disco contém o seguinte Todos os arquivos M Mfiles usados nos tutoriais do MATLAB no Simulink nas Ferramentas GUI e na Toolbox de Matemática Simbólica Arquivos PowerPoint e Acrobat contendo figuras selecionadas do texto Soluções dos exercícios de avaliação Prefácio xiv textos Darren Dawson Clemson University Mahbón D Heller California State University Sacramento Vojislav D Kalanovic South Dakota School of Mines and Technology Leslie R Kovak The University of MissouriRolla Marac J Lan The Cooper Union for the Advancement of Science and Art Li Portadn State University Juraj Medanic University of Illinois from UrbanaChampaign Medhat M Tooty Kansas State University Sashu N Turi University of Missouri Columbia Charles P Neumann Carnegie Mellon J William Ray Jr Louisiana Tech University e Michael J Rider Ohio Northern University Gostaria também de expressar meu reconhecimento a Wayne E Whiteman Academia Militar dos Estados Unidos pelo envolvimento de numerosos sugestões para melhorar o conteúdo e a exatidão Antes da transferência deste título para a John Wiley Sons Inc diversas pessoas nas diversas orientações profissionais me auxiliaram nos estágios iniciais de desenvolvimento desta terceira edição Sou grato por suas contribuições Em particular quero agradecer ao seguinte pessoal da AddisonWesley Paul Becker Editor de Aquisições Anna Eberhardt Friedlander Editora Assistente e Royden Tonomura Assistente de Editorial Durante sua breve transferência para a Prentice Hall Tom Robbins Editor conduziu este título ao longo do seu desenvolvimento E naturalmente o autor gostaria de agradecer a John Wiley Sons Inc e sua equipe pelo suporte profissional fornecido a este projeto ao longo de todas as fases do seu desenvolvimento Especificamente devemos reconhecer as seguintes pessoas por suas contribuições Peter M Janzow Editor que deu pleno suporte executivo a todo o projeto Bill Zobrist Editor de Aquisições que fornece orientação editorial profissional Jennifer Welter Assistente de Editorial que sempre esteve lá para responder provavelmente as minhas inúmeras perguntas e Robin Factor Editor de Produção Senhor que verificou o livro ao longo de todas as fases de produção Gostaria também de agradecer a Karin Kincheloe Projetista Senhor pela contribuição na impressão e capa a Lisa Gee Editora de Fotografia pela pesquisa das novas fotos que você vê no livro e Katherine Hepburn Gerente de Marketing por fazer com que você tome conhecimento da existência deste livro Há outros a agradecer especialmente aqueles com quem meu não tive o prazer de interagir pessoalmente mas cujas contribuições são contudo inestimáveis Finalmente os créditos vão para os Serviços de Publicação e sua equipe pela produção da versão final do livro sob grande pressão e limitação de tempo Especificamente quero agradecer a Jan Fisher Representante do Atendimento ao Cliente por pavimentar suavemente os meios de produção e encampar minhas múltiplas indagações Além disso devo um obrigado a Bilal Dardai Editor e a Ken Churchill Coordenador de Produção pela edição e produções finais do livro em um espírito de colaboração Especialmente apreciada sua disposição de efetuar refinamentos de última hora que serão apreciados pelo leitor Norman S Nise Sumário 1 Introdução 1 11 Introdução 2 12 História dos Sistemas de Controle 4 13 O Engenheiro de Sistemas de Controle 6 14 Características de Resposta e Configurações de Sistema 8 15 Objetivos de Análise e de Projeto 10 Introdução a um Estudo de Caso 13 16 Procedimento de Projeto 16 17 Projeto Assistido por Computador 19 Sumário 20 Perguntas de Revisão 21 Problemas 21 Bibliografia 25 2 Modelagem no Domínio de Frequência 27 21 Introdução 28 22 Revisão sobre Transformada de Laplace 28 23 Função de Transferência 36 24 Funções de Transferência de Circuitos Elétricos 38 25 Funções de Transferência de Sistemas Mecânicos em Translação 50 26 Funções de Transferência de Sistema Mecânico em Rotação 56 27 Funções de Transferência de Sistemas com Engrenagens 60 28 Funções de Transferência de Sistema Eletromecânico 64 29 Circuitos Elétricos Análogos 69 210 Nãolinearidades 72 211 Linearização 73 Estudos de Caso 78 Sumário 81 Perguntas de Revisão 81 Problemas 81 Bibliografia 88 3 Modelagem no Domínio do Tempo 90 31 Introdução 91 32 Algumas Observações 91 33 A Representação Geral no Espaço de Estados 94 34 Aplicando a Representação no Espaço de Estados 96 35 Convertendo uma Função de Transferência para o Espaço de Estados 102 36 Convertendo o Espaço de Estados para a Função de Transferência 108 37 Linearização 109 Estudos de Caso 112 Sumário 115 Perguntas de Revisão 116 Problemas 116 Bibliografia 122 4 Resposta no Domínio do Tempo 123 41 Introdução 124 42 Pólos Zeros e Resposta do Sistema 124 43 Sistemas de Primeira Ordem 127 44 Sistemas de Segunda Ordem Introdução 129 45 O Sistema de Segunda Ordem Subamortecidos 136 46 Resposta de Sistemas com Pólos Adicionais 145 47 Resposta de Sistema com Zeros 148 48 Efeitos das Nãolinearidades sobre a Resposta no Domínio do Tempo 152 410 Solução das Equações de Estado Através da Transformada de Laplace 156 411 Solução das Equações de Estado no Domínio do Tempo 158 Estudos de Caso 164 Sumário 168 Perguntas de Revisão 169 Problemas 170 Problemas de Projeto 175 Bibliografia 177 Estudos de Caso 215 Sumário 220 Perguntas de Revisão 220 Problemas 221 Problemas de Projeto 231 Bibliografia 233 Um Exemplo 321 Projeto de Resposta Transitória Através do Ajuste de Ganho 323 Lugar das Raízes Generalizado 327 Lugar das Raízes para Sistemas com Retroação Positiva 329 Sensibilidade dos Pólos 331 Estudos de Caso 333 Sumário 337 Perguntas de Revisão 338 Problemas 338 Problemas de Projeto 346 Bibliografia 351 Perguntas de Revisão 480 Problemas 480 Bibliografia 488 CAPÍTULO 1 Introdução Objetivos do Capítulo Neste capítulo introdutório estudaremos o seguinte Aplicações de sistemas de controle História dos sistemas de controle Como você pode se beneficiar com o estudo de sistemas de controle Características e configurações básicas dos sistemas de controle Objetivo de análise e de projeto O procedimento de projeto Objetivos do Estudo de Caso Você será apresentado a um estudo de caso repetido o sistema de controle de posição de uma antena em azimute que servirá para ilustrar princípios em cada um dos capítulos subsequentes Neste capítulo o sistema é usado para demonstrar qualitativamente como funciona um sistema de controle bem como definir critérios de desempenho que constituem a base para analisar e projetar este tipo de sistema 11 Introdução Os sistemas de controle são parte integrante da sociedade moderna Numerosas aplicações estão ao nosso redor foguetes são disparados o ônibus espacial decola rumo a uma órbita ao redor da Terra pulverização de água de refrigeração e peças metálicas são unidas automaticamente veículos pilotados automaticamente transportando material para estações de trabalho de uma fábrica montada no espaço deslizam ao longo de andaimes procurando o ponto predeterminado de entrega Estes são alguns exemplos de sistemas controlados automaticamente que podemos criar Não somos os únicos criadores de sistemas controlados automaticamente estes sistemas também existem na natureza Dentro do nosso próprio corpo há numerosos sistemas de controle como o pâncreas que regula o açúcar no sangue Nos instantes de lutar ou fugir a adrenalina aumenta com o ritmo da coração produzindo uma energia e sei entregue às células Nossos olhos seguem um objeto em movimento para mané10 no campo visual nossos mais seguram um objeto e o colocam precisamente em um local predeterminado Mesmo o mundo nãofísico parece ser regulado automaticamente Têm sido sugeridos modelos descrevendo o controle automático de desempenho de um estudante A grandeza de entrada do modelo é o tempo de estudo disponível do estudante e a saída é a nota O modelo pode ser usado para prever o tempo necessário para aumentar a nota se ocorrer de repente uma maior indisponibilidade de tempo para estudo Usando este modelo você pode determinar se vale a pena aumentar o estudo durante a última semana do período Definição de Sistema de Controle Um sistema de controle consiste em subsistemas e processos ou planta1 reunidos com o propósito de controlar as saídas dos processos Por exemplo uma caldeira produz calor como resultado do fluxo de combustível Neste processo subsistemas chamados válvulas de combustíveis e atuadores são usados para regular a temperatura de uma sala controlando a saída de calor da caldeira Outros subsistemas como os termostatos que se comportam como sensores medem a temperatura da sala Na sua forma mais simples um sistema de controle fornece uma saída do resposta para uma dada entrada ou estímulo Benefícios dos Sistemas de Controle Com sistemas de controle podemos mover grandes equipamentos com extrema eficácia Podemos apontar imensas antenas para alcançar os pontos mais fracos controlar estas antenas a mão seria impossível Construímos sistemas de controle por quatro razões principais 1 Amplificação de potência 2 Controle remoto 3 Facilidade de uso da forma de entrada 4 Compensação de perturbações Por exemplo uma antena de radar posicionada pela rotação de baixa potência de um botão de baixa força na entrada requer uma grande potência para sua rotação de saída Um sistema de controle pode produzir a amplificação de potência necessária ou o ganho de potência Robôs projetados com base nos princípios dos sistemas de controle podem compensar deficiências humanas Sistemas de controle são também úteis em localidades remotas ou perigosas Por exemplo um braço robótico controladamente pode ser usado para manipular material em um ambiente radioativo A Fig 1 mostra um exemplo de um sistema de controle xx Sumário 1310 Compensação em Cascata por Intermédio do Plano s 587 1311 Implementação do Compensador Digital 590 Estudos de Caso 593 Sumário 597 Perguntas de Revisão 598 Problemas 598 Problemas de Projeto 601 Bibliografia 602 Apêndice A Lista de Símbolos 603 Apêndice B Tutorial do MATLAB 606 Apêndice C Tutorial do Simulink do MATLAB 642 Apêndice D Tutorial sobre Ferramentas de Interface Gráfica de Usuário GUI do MATLAB 654 Apêndice E Tutorial do Toolbox de Matemática Simbólica do MATLAB 665 Apêndice F Obtenção de um Diagrama Esquemático de um Motor CC 673 Glossário 676 Respostas dos Problemas Selecionados 682 Créditos 687 Índice 689 Apêndice G Matrizes Determinantes e Sistemas de Equações CDROM G1 Definições e Notações de Matrizes G2 Operações com Matrizes G3 Identidades de Matrizes e de Determinantes G4 Sistemas de Equações Bibliografia Apêndice H Auxílios Computacionais para Sistemas de Controle CDROM H1 Resposta ao Grau de um Sistema Representado no Espaço de Estados H2 Lugar das Raízes e Resposta de Frequência Apêndice I Solução das Equações de Estado para t0 0 CDROM Apêndice J Regras do Lugar das Raízes Deduções CDROM J1 Comportamento do Lugar das Raízes no Infinito J2 Dedução do Método de Transição para Pontos de Saída e de Entrada Soluções dos Exercícios de Avaliação CDROM Arquivos do MATLAB CDROM Figuras das Aulas CDROM Fig 12 a Os elevadores primitivos eram controlados por cabos manuais ou por um operador do elevador Aqui uma corda é cortada para demonstrar o freio de segurança uma inovação nos elevadores primitivos b os modernos elevadores do transporte duplo fazem sua subida no Grande Arco em Paris concluído por um motor com cada carro contrabalançando o outro Hoje os elevadores são completamente automáticos usando sistemas de controle para regular posição e velocidade 12 História dos Sistemas de Controle Os sistemas de controle com retroação são mais antigos que a humanidade Numerosos sistemas de controle biológicos fizeram parte dos primeiros habitantes do nosso planeta Vejamos uma breve história dos sistemas de controle Vejamos agora um outro benefício dos sistemas de controle a capacidade de compensar perturbações Usualmente controlamos variáveis como temperatura em sistemas térmicos posição e velocidade em sistemas mecânicos e tensão corrente ou frequência em sistemas elétricos O sistema deve ser capaz de fornecer a saída correta mesmo em presença de perturbações Por exemplo considere um sistema de antena que aponta em uma direção comandada Se um vento força a antena a se deslocar de sua posição comandada ou se algum ruído entra internamente o sistema deve ser capaz de detectar a perturbação e corrigir a posição da antena Obviamente a entrada do sistema não muda para fazer a correção Consequentemente o próprio sistema 1 mede o quanto a perturbação repositiona a antena e 2 retorna a antena para a posição comandada pela entrada o veículo durante sua descida da órbita Um grande número de pequenos jatos que compõem o sistema de controle de reação RCS foi usado inicialmente na exoesfera onde as superfícies aerodinâmicas são ineficientes Mais tarde o controle é passado para as superfícies aerodinâmicas à medida que o veículo orbital ingressa na atmosfera O Engenheiro de Sistemas de Controle a Engenharia de Controle e Automação é um campo emocionante para ele você explorar seus talentos de engenharia porque ele percorre inúmeras áreas de conhecimento e inúmeras funções dentro destas áreas O engenheiro de controle e automação pode ser encontrado no nível mais alto de grandes projetos envolvendo na fase conceitual de determinar ou implementar os requisitos globais do sistema Estes requisitos incluem especificações de desempenho do sistema como um todo funções de subsistemas e interações destas funções incluindo os requisitos de interface projeto de hardware e software e planos e procedimentos de teste A compreensão dos sistemas de controle capacita os alunos de todos os ramos de engenharia a falar uma língua comum e a desenvolver apreciação e conhecimento do trabalho dos outros ramos Você descobrirá que realmente não existe muita diferença entre os ramos da engenharia ao menos no que concerne aos objetivos e aplicações Ao estudar sistemas de controle você verá este aspecto comum Fig 16 Diagrama de blocos dos sistemas de controle a sistema a malha aberta b sistema a malha fechada Sistemas a Malha Fechada Controle com Retroação Fig 17 Acionador de disco rígido de computador mostrando discos e cabeça de leituragravação Os sistemas de controle devem ser projetados para serem estáveis Isto é sua resposta natural deve tender a zero quando o tempo tende a infinito ou oscilar Em muitos sistemas a resposta transitória que você vê em um gráfico da resposta em função do tempo pode ser relacionada diretamente com a resposta natural Assim se a resposta natural tender a zero quando o tempo tende a infinito a resposta transitória também desaparecerá deixando somente a resposta forçada Se o sistema for estável podem ser projetadas as características adequadas do erro de estado estacionário e da resposta transitória Estabelecido é o nosso terceiro objetivo de análise e de projeto Agora que nossos objetivos foram estabelecidos como alcançálos Nesta seção examinaremos um exemplo de um sistema de controle com retroação O sistema apresentado aqui será usado em capítulos subsequentes como um estudo de caso interno para demonstrar os objetivos destes capítulos Uma faixa na topo da página identificará a seção de estudo de caso ao final de cada capítulo A Seção 16 que segue este primeiro estudo de caso explora o procedimento de projeto que ajudará a construir o sistema Desta maneira existe a possibilidade de se ter uma resposta transitória com oscilações amortecidas isto é uma resposta senoidal cuja amplitude diminui com o tempo em torno do valor de estado estacionário se o ganho for alto As respostas para valores de baixo e alto ganho são mostradas na Fig 110 Discutimos a resposta transitória do sistema de controle de posição Dirigimos agora nossa atenção para a posição de estado estacionário para observar o quanto a saída coincide com a entrada depois que os transientes desaparecem A Fig 110 mostra erro zero na resposta de estado estacionário isto é depois de os transientes desaparecerem a posição de saída igual a posição de entrada comandada Fig 19 continuação c esquema d diagrama de blocos funcional 16 Procedimento de Projeto Nesta seção estabelecemos uma sequência ordenada para o projeto de sistemas de controle com retroação que será seguido conforme formos progredindo ao longo do restante do livro A Fig 111 mostra o procedimento descrito bem como os capítulos nos quais os passos são discutidos O sistema de controle de posição da antena em azimute Um motor CC e a carga equivalentes produzem o deslocamento angular de saída A velocidade do motor é proporcional à tensão aplicada ao circuito de armadura do motor A indutância e a resistência são ambas partes do circuito de armadura Mostrando especificamente a resistência da armadura na Fig 19c estamos admitindo que o efeito da indutância na armadura é insignificante no motor CC O projeto fa Passo 5 Reduzir o Diagrama de Bloco os modelos de subsistemas são interconectados para formar diagramas de blocos de grandes sistemas como na Fig 19d onde cada bloco tem uma descrição matemática Note que muitos sinais como tensões e outros proporções são internos ao sistema Também há dois sinais entrada angular e saída angular que estão externos ao sistema A fim de calcular a resposta do sistema neste exemplo precisamos reduzir este grande diagrama de blocos a um único bloco com uma descrição matemática que represente o sistema a partir de sua entrada para a saída conforme mostrado na Fig 112 Uma vez que o diagrama de blocos foi reduzido estamos prontos para analisar e projetar o sistema Passo 6 Analisar e Projetar a próxima fase do procedimento que se segue à redução do diagrama de blocos é analisar e projetar Se você estiver interessado somente no desempenho de um subsistema individual pode pular a redução do diagrama de blocos e ir imediatamente para a análise e projeto Nesta fase o engenheiro analisa o sistema para ver se as especificações de resposta e os requisitos de desempenho podem ser alcançados através de simples ajustes nos parâmetros do sistema Se as especificações não puderem ser atendidas o projetista então projeta hardware adicional à fim de obter o desempenho desejado São usuais combinações de entrada para verificar o projeto inicialmente e durante a fase de ensaios Não é necessariamente prático nem aconselhável escolher sinais de entrada complexos para analisar o desempenho de um sistema Desta maneira o engenheiro geralmente seleciona entradas para testes padronizadas Estas entradas são impulsos degraus rampas parábolas e senóide conforme mostrados na Tabela 11 Um impulso é infinito em t 0 e zero em qualquer outro instante A área sob o impulso infinita é 1 Uma vez que a energia inicial seja somente a resposta transitória do sistema A partir desta resposta o projetista pode derivar um modelo matemático do sistema Tabela 11 Formas de onda de teste usadas em sistemas de controle Entrada Função Descrição Esboço Uso Impulso δt δt para 0 t 0 0 nos demais casos int00 δt dt 1 ft Modelo de Resposta Transitória Degrau ut ut 1 para t 0 0 para t 0 ft Resposta Transitória Erro de estado estacionário Rampa utt utt t para t 0 0 nos demais casos ft Erro de estado estacionário Parabóla frac12ut frac12ut frac12t2 para t 0 0 nos demais casos ft Erro de estado estacionário Senóide sen ωt ft Modelo de Resposta Transitória Erro de estado estacionário 17 Projeto Assistido por Computador O computador representa um importante papel no projeto de sistemas de controle modernos No passado o projeto de sistema de controle era exaustivo Muitas das ferramentas que usamos hoje foram implementadas através de cálculos manuais ou quando muito com o auxílio de ferramentas gráficas de plástico O processo era lento e os resultados nem sempre exatos Computadores centrais de grande porte eram então usados para simular os projetos Hoje temos sorte de dispor de computadores e de programas que nos livram da parte fatigante da tarefa Em nosso próprio computador de mesa podemos realizar análises projetar e simular com um programa Com a capacidade de simular um projeto rapidamente podemos facilmente fazer mudanças e imediatamente testar um novo projeto Podemos executar jogos de tipo o que aconteceria se e tentar soluções alternativas para ver se elas alcançam resultados melhores como por exemplo reduzir a sensibilidade a mudanças de parâmetros Podemos incluir nãolinearidades e outros efeitos e testar nossos modelos quanto à exatidão MATLAB O computador é uma parte integrante do projeto de sistema de controle moderno e muitas ferramentas computacionais estão disponíveis para seu uso Neste livro usamos o MATLAB e a Toolbox de Sistemas de Controle do MATLAB que ampliam o MATLAB para incluir comandos específicos para sistemas de controle Além disso apresentamos várias recursos que ampliam a funcionalidade do MATLAB e a Toolbox de Sistemas de Controle São incluídos o 1 Simulink que utiliza uma interface gráfica de usuário GUI 2 o LTI Viewer permitindo que medições sejam feitas diretamente a partir das curvas de resposta nos domínios de tempo e de frequência 3 o Root Locus Design GUI uma ferramenta de análise e projeto conveniente e intuitiva 4 a Toolbox de Matemática Simbólica que economiza trabalho ao fazer cálculos simbólicos requeridos na análise e no projeto de sistema de controle Alguns destes recursos podem necessitar de software adicional disponível na The MathWorks Inc O MATLAB é apresentado como um método alternativo de solução de problemas de sistemas de controle Você é encorajado a solucionar problemas primeiro manualmente e depois com o MATLAB para que a intuição não seja perdida através do uso mecanizado de programas de computador Para este fim muitos dos exemplos ao longo do livro são resolvidos manualmente seguidos pelo uso sugerido do MATLAB Para evitar confundir o ensino dos princípios dos sistemas de controle com o ensino de métodos computacionais de solução instruções e códigos específicos dos programas são cobertos somente nos apêndices não nos capítulos Ao longo do livro diversos ícones aparecem na margem para identificar referências do MATLAB que direcionam você para o programa adequado no apêndice apropriado e dizem o que você irá aprender Problemas de fim de capítulo selecionados e Desafios de Estudos de Caso para serem resolvidos usando o MATLAB também estão assinalados com ícones apropriados A lista a seguir discrimina os componentes específicos do MATLAB usados neste livro os ícones usados para identificálos e o apêndice no qual pode ser achada essa descrição MATLABToolbox de Sistemas de Controle tutoriais e códigos estão no Apêndice B e identificados no texto com o ícone MATLAB mostrado na margem Simulink tutoriais e diagramas estão no Apêndice C e identificados no texto com o ícone Simulink mostrado na margem Ferramenta GUI MATLAB GUI ferramentas de interface gráfica de usuário tutoriais e exemplos estão no Apêndice D e identificados no texto com o ícone Ferramenta GUI mostrado na margem Matemática Simbólica Toolbox de Matemática Simbólica tutoriais e códigos estão no Apêndice E e identificados no texto com o ícone Symbolic Math mostrado na margem O código do MATLAB não é específico de plataforma O mesmo código roda nos PCs e estações de trabalho nas quais o MATLAB seja instalado Embora existam diferenças na instalação e no manuseio dos arquivos do MATLAB não faremos referência a elas neste livro Também existem utilitários mais conhecidos no MATLAB e nas Toolboxes do MATLAB que não são cobertas nos apêndices Por favor explore a Bibliografia no final do apêndice aplicável para descobrir mais sobre o manuseio de arquivos do MATLAB e instruções do MATLAB não cobertas neste texto Você é encorajado a usar auxílio computacional ao longo deste livro Os que não são usuários do MATLAB devem consultar o Apêndice H no CDROM que acompanha o livro para uma discussão sobre outras alternativas Agora que apresentamos a você os sistemas de controle e estabelecemos a necessidade de ajuda computacional para realizar análise e projeto lancemos um olhar sobre sistemas de controle Sumário Os sistemas de controle contribuem para todos os aspectos da sociedade moderna Em nossos casos os encontramos em tudo desde terraplanagens de sistemas de calefação e de refrigeração até aparelhos de vídeo Os sistemas de controle também encontram aplicações em grande escala na ciência e na indústria desde o pipelagem de navios e dos elevados até mísseis e ônibus espaciais Sistemas de controle também existem naturalmente nossos corpos contêm numerosos sistemas de controle Até mesmo representações de sistemas econômicos e psicológicos estão propostas com base na teoria de sistemas de controle Os sistemas de controle são usados quando o potencial controle remoto ou conversão de forma da entrada são necessários Um sistema de controle tem uma entrada um processo e uma saída Os sistemas de controle podem ser uma malha aberta ou uma malha fechada Sistemas a malha aberta não monitoram ou corrigem a saída de perturbações contudo eles são mais simples e menos dispendiosos que os sistemas a malha fechada Os sistemas a malha fechada monitoram a saída e a comparam com a entrada Se um erro for detectado o sistema corrige a saída e por isso corrigem os efeitos de perturbações A análise e o projeto de sistemas de controle focalizam três objetivos principais 1 Produzir a resposta transitária desejada 2 Reduzir os erros de estado estacionário 3 Alcançar a estabilidade Um sistema deve ser estável a fim de produzir a resposta transitária e a resposta de estado estacionário adequadas A resposta transitória é importante porque afeta a velocidade do sistema e a influência paciência e o conforto humanos para não falar da fadiga mecânica A resposta de estado estacionário determina a exatidão do sistema de controle governa o quanto a saída se aproxima da resposta desejada O projeto de um sistema de controle segue seguintes passos Passo 1 Determinar um sistema físico e especificações a partir dos requisitos Passo 2 Desenhar um diagrama de blocos funcional Passo 3 Representar o sistema físico como um esquema Passo 4 Usar o esquema para obter um modelo matemático como um diagrama de blocos Passo 5 Reduzir o diagrama de blocos Passo 6 Analisar e projetar o sistema para atender os requisitos especificados e as especificações que incluem estabilidade resposta transitória e desempenho de estado estacionário No próximo capítulo continuaremos através da sequência de análise e de projeto e aprenderemos como usar o esquema para obter um modelo matemático Perguntas de Revisão 1 Cite três aplicações de sistemas de controle com retroação 2 Cite três razões para o uso de sistemas de controle com retroação e pelo menos uma razão para não usálos 3 Dê três exemplos de sistemas a malha aberta 4 Funcionalmente como os sistemas a malha fechada se diferenciam dos sistemas a malha aberta 5 Estabeleça uma condição em que o sinal de erro de um sistema de controle com retroação não seja a diferença entre a entrada e a saída 6 Se o sinal de erro não for a diferença entre a entrada e a saída por qual nome geral podemos descrever o sinal de erro 7 Cite duas vantagens de ter um computador na malha 8 Cite os três critérios principais de projeto para sistemas de controle 9 Cite as duas partes de uma resposta de sistema 10 Fisicamente o que acontece a um sistema que é instável 11 A instabilidade é atribuída a qual parte da resposta total 12 O ajuste do ganho do canal direto pode causar mudança na resposta transitória Verdadeiro ou falso 13 Cite três aproximações para a modelagem matemática de sistemas de controle 14 Descreva sucintamente cada uma das suas respostas à Questão 13 1 Um resistor variável chamado potenciômetro é mostrado na Fig P11 A resistência é variada pelo movimento de um cursor de contato deslizante ao longo de uma resistência fixa A resistência entre A e C é fixa mas a resistência entre B e C varia com a posição do cursor Se forem necessárias 10 volts para mover o cursor de contato deslizante de A para C desenhe um diagrama de blocos do potenciômetro mostrando a variável de entrada a variável de saída e dentro do bloco o ganho que é uma constante e é a quantidade pela qual a entrada deve ser multiplicada para se obter a saída 2 Um sistema de controle de temperatura opera sentindo a diferença entre o ajuste do termostato e a temperatura real e em seguida abrindo uma válvula de combustível de uma quantidade proporcional a esta diferença Desenhe um diagrama de blocos funcional a malha fechada semelhante ao da Fig 19d identificando os transdutores de entrada e de saída o controlador e a planta Além disso identifique os sinais de entrada e de saída para todos os subsistemas descritos anteriormente 3 A atitude de uma aeronave varia conforme a quebra de um ganho definido na Fig P12 Desenhe um diagrama de blocos funcional para um sistema a malha fechada que estabilize o rolamento como a seguir o sistema mede o ângulo de rolamento real com um dispositivo giroscópico e compara o ângulo de rolamento real com o ângulo de rolamento desejado Os ailerons respondem ao erro de ângulo 4 Muitos processos operam sobre materiais em rolo que se movem a partir de um carretel alimentador para um carreteiro armazenador Tipicamente estes sistemas chamados bobinadeiras controlam o material para que este se desloque a uma velocidade constante Além da velocidade bobinadeiras complexas também controlam tensão compensam a inércia de rolamento ao acelerar ou desacelerar e regulam a aceleração devida a mudanças súbitas Uma bobinadeira é mostrada na Fig P13 O transdutor de força mede a tensão a bobinadeira tractiona contra os cilindros compressores que fornecem uma força oposta e a brida forca o deslizamento Para compensar mudanças na velocidade o material é preso ao redor de um bailarin O laço evita que variações rápidas ocasionem folga excessiva ou danos ao material A posição do bailarino for sentida por um potenciômetro ou outro dispositivo variações de velocidade devidas ao enchimento do carretel armazenador ou outras causas podem ser controladas comparando a tensão do potenciômetro com a velocidade comandada O sistema então corrige a velocidade e ajusta o bailarino para a posição desejada Ayers 1988 Desenhe um diagrama de blocos funcional para o sistema de controle de velocidade mostrando cada componente e cada sinal Dado o circuito elétrico mostrado na Fig P17 a Escreva a equação diferencial para o circuito se vt ut um grau unitário b Resolva a equação diferencial para a corrente it se não há energia inicial no circuito c Faça um gráfico da sua solução se RL 1 Problema Progressivo de Análise e Projeto 17 Pantógrafo para ferrovia de alta velocidade Alguns sistemas ferroviários de alta velocidade são energizados por eletricidade fornecida a um pantógrafo de modo que não tem a partir de uma catenária área conforme mostrado na Fig P19 A força aplicada pelo pantógrafo à catenária é regulada para evitar perda de contato devido o movimento transfiatório excessivo Um método proposto para regular a força usa um sistema com retroação a malha fechada no qual força Fvent Faplicada à parte inferior do pantógrafo resultando em uma força de saída aplicada à catenária no topo O contato entre a cabeça do pantógrafo e a catenária é representado por uma mola A força de saída é proporcional ao deslocamento desta mola o qual é a diferença entre as posições verticais da catenária e da cabeça do pantógrafo OConnor 1997 Desenhe um diagrama de bloco para a força de saída desejada como entrada a força Fcontato aplicada à parte inferior do pantógrafo a diferença em deslocamento entre a catenária e a cabeça do pantógrafo e a força de contato de saída Mostre também os blocos representando o transdutor de entrada o controlador o atuador gerando Fcontato Bibliografia Ayers J Taking the Mystery Out of Winder Controls Power Transmission Design April 1988 pp 2734 Bahill A T Bioengineering Biomedical Medical and Clinical Engineering PrenticeHall Englewood Cliffs NJ 1981 Bennett S A History of Control Engineering 18001930 Peter Peregrinus Ltd 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Ludwick S J Determination of a Dynamic Grinding Model Journal of Dynamic Systems Measurements and Control vol 119 June 1997 pp 289293 Klapper J and Franke J T PhaseLocked and FrequencyFeedback Systems Academic Press New York 1972 Martin R H Jr Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems McGrawHill New York 1984 Mayr O The Origins of Feedback Control Scientific American October 1970 pp 110118 Mayr O The Origins of Feedback Control MIT Press Cambridge MA 1970 Meier R Nieuwland J Zbinden A M and Hacisalihzade S P Suzzy Logic Control of Blood Pressure during Anesthesia IEEE Control Systems December 1992 pp 1217 Novosad J P Systems Modeling and Decision Making KendallHunt Dubuque IA 1982 Nyquist H Regeneration Theory Bell System Technical Journal January 1932 OConnor D N Eppinger S D Seering W P and Wormly D N Active Control of a HighSpeed Pantograph Journal of Dynamic Systems Measurements and Control vol 119 March 1997 pp 14 Ogata K Modern Control Engineering 2 ed Prentice Hall Englewood Cliffs NJ 1990 Modelagem no Domínio de Frequência 21 Introdução 22 Revisão sobre Transformada de Laplace Tabela 22 Teoremas das transformadas de Laplace Item nº Teorema Nome 1 Lft Fs ₀ ftest dt Definição 2 Laft aFs Teorema da linearidade 3 Lft f2t F1s F2s Teorema da linearidade 4 Leatft Fs a Teorema do deslocamento de frequência 5 Lft T esTFs Teorema do deslocamento no tempo 6 Lfat 1aFsa Teorema do fator de escala 7 Ldfdt sFs f0 Teorema da derivação 8 Ld²fdt² s²Fs sf0 f0 Teorema da derivação 9 Ld³fdt³ s³Fs k1³ jⁱfk0 Teorema da derivação 10 L₀t fτdτ Fss Teorema da integração 11 f lim s Fs s0 Teorema do valor final¹ 12 f0 lim s Fs s Teorema do valor inicial² Além da tabela de transformadas de Laplace Tabela 21 podemos usar os teoremas da transformada de Laplace listados na Tabela 22 para auxiliar na transformação entre ft e Fs No próximo exemplo demonstraremos o uso dos teoremas da transformada de Laplace mostrados na Tabela 22 na obtenção de ft a partir de Fs Exemplo 22 Transformada de Laplace inversa Problema Obter a transformada de Laplace inversa de F1s 1s 3² Solução Neste exemplo usaremos o teorema do deslocamento de frequência Item 4 da Tabela 22 e a transformada de Laplace de ft ut como 3 da Tabela 21 A transformada de Laplace inversa de Fs 1s a é 1s aeaut Em consequência ft 1 2e4t e8tut Expansão em Frações Parciais Para obter a transformada de Laplace inversa de uma função complicada podemos converter a função em uma soma de termos mais simples para cada um dos quais se conhece a transformada de Laplace O resultado é chamado de expansão em frações parciais Cada termo componente da Eq 28 é uma Fs na Tabela 21 Portanto ft é a soma das transformadas de Laplace inversas de cada um dos termos ou seja ft 2et 2e2tut Em geral então dada uma Fs cujo denominador possui raízes reais e distintas é possível efetuar uma expansão em frações parciais Fs NsDs K1s p1s p2s pm K1s p1 K2s p2 Kms pm se a ordem de Ns for inferior à ordem de Ds Para calcular cada um dos resíduos K multiplicase a Eq 211 por s pn e obtemos As raízes de s 2² no denominador são repetidas uma vez que o fator é elevado a uma potência inteira maior que 1 Neste caso a raiz do denominador em 2 é uma raiz múltipla de multiplicidade 2 Podemos escrever a expansão em frações parciais como uma soma de termos onde cada fator do denominador constitui o denominador de cada uma das frações Além disto cada raiz múltipla gera termos adicionais com fatores do denominador de multiplicidade reduzida Por exemplo Fs 2s 1s 2² K1s 1 K2s 2² K3s 2 então K1 2 pode ser obtido como descrito anteriormente K2 pode ser isolado multiplicandose a Eq 223 por s 2 resultando 2s 1 s 2²K1s 1 K2 K3s 2 Esta função pode ser expandida na seguinte forma 3s² 2s 5 K1s K2s² 2s 5 K1 pode ser determinado pelo procedimento habitual e vale 35 K2 K3 podem ser determinados multiplicandose primeiro a Eq 231 pelo mínimo múltiplo comum do denominador s² 2s 5 e simplificando as frações Depois da simplificação com K1 35 obtémse 3 K2 35s² K3 65s 3 Igualandose os coeficientes de mesma potência de s resulta K2 35 0 e K3 65 0 Portanto K2 35 e K3 65 Se a ordem de Ns for inferior à ordem de Ds p for real e s² as b possuir raízes complexas ou imaginárias As raízes complexas ou imaginárias são expandidas com termos da forma Kₗs Kₖ no numerador em vez de simplesmente Kₖ como no caso de raízes reais Os Kₗ na Eq 242 são obtidos igualandose os coeficientes da equação depois de simplificar as frações Depois de completar os quadrados de s² as b pode ser colocada na forma mostrada no número da direita da Eq 236 Finalmente o caso de raízes puramente imaginárias ocorre se a 0 na Eq 242 Problema Obter a transformação de Laplace inversa de Fs 10ss 2s 3 Resposta ft 59e2t 103e3t 409e3t A solução completa está no CDROM que acompanha o livro Problema Obter a função de transferência representada por dctdt 2ct rt Solução Aplicando a transformação de Laplace a ambos os membros supondo condições iniciais iguais a zero temos Gs CsRs 1s 2 MATLAB Os estudantes que estiveram usando o MATLAB devem executar agora os programas ch2p9 até ch2p11 do Apêndice B Você aprenderá como usar o MATLAB para criar funções de transferência com o numerador e o denominador sob forma polinomial ou fatorada MATLAB Simbólico Os estudantes que estiverem fazendo exercícios com o MATLAB e quiserem explorar os recursos adicionais da Toolbox de Matemática Simbólica devem executar agora o programa ch2p53 do Apêndice E Você aprenderá como entrar com uma função de transferência simbólica e convertêla em um objeto linear e invariante no tempo LTI como apresentado no Apêndice B ch2p9 Problema Obter a função de transferência Gs CsRs correspondente à equação diferencial d3Cdt3 3d2Cdt2 7dCdt 5c dx2dt2 4drdt 3r Resposta Gs CsRs s2 4s 3s3 3s2 7s 5 A solução completa está no CDROM que acompanha o livro Circuitos Simples via Método das Malhas Calculando a função de transferência VCsVs obtemos Vamos refazer agora o Exemplo 26 usando o método de circuito transformado recémdescrito para contornar a escrita da equação diferencial Solução A tensão sobre o capacitor é uma parte proporcional da tensão de entrada nominalmente a impedância do capacitor dividida pela soma das impedâncias Assim VCs 1CSLs R 1CS Vs 277 Solucionando em termos da função de transferência VCsVs obtemos o mesmo resultado da Eq 266 Reveja os Exemplos 26 a 29 Que método você julga ser mais fácil para este circuito Circuitos Complexos via Método das Malhas Para resolver circuitos elétricos complexos os de múltiplas malhas e nós usando o método das malhas podemos executar os seguintes passos 1 Substituir todos os valores dos elementos passivos por suas impedâncias 2 Substituir todas as fontes e todas as variáveis no domínio do tempo pelas respectivas transformadas de Laplace 3 Abrir um sentido para a corrente do circuito transformando em cada malha 4 Escrever a lei de Kirchhoff das tensões ao longo de cada malha 5 Resolver o sistema de equações em termos da saída 6 Elaborar a função de transferência Vejamos um exemplo Exemplo 210 Função de transferência múltiplas malhas Problema Dado o circuito da Fig 26a obter a função de transferência I2sVs Solução O primeiro passo na solução consiste em converter o circuito em transformada de Laplace das impedâncias e das variáveis de circuito supondo condições iniciais nulas O resultado está mostrado na Fig 26b O circuito com o qual estamos lidando requer duas equações simultâneas para se obter a função de transferência Estas equações podem ser determinadas somando as tensões ao longo de cada malha através das quais se supõe que circulam as correntes I1s e I2s Ao longo da Malha 1 onde circula I1s R1I1s LsI1s LsI2s Vs 278 Ao longo da Malha 2 onde circula I2s LsI2s R2I2s 1CSI2s LsI1s 0 279 Combinando termos as Eqs 278 e 279 se tornam equações simultâneas em I1s e I2s R1 LsI1s LsI2s Vs 280a LsI1s LS R2 1CSI2s 0 280b Podemos usar a regra de Cramer ou qualquer outro método para resolver sistemas de equações para resolver a Eq 280 em termos de I2s Assim I2s R1 Ls VsLs 0 LsVs 281 onde R1 Ls Ls Ls LS R2 1CS Elaborando a função de transferência Gs resulta Gs I2sVs Ls R1 R2LCS2 R1R2C Ls R1 282 como mostrado na Fig 26c Fig 26 a Circuito elétrico com duas malhas b circuito elétrico com duas malhas transformado c diagrama de blocos O reconhecimento da forma geral ajudará a escrever rapidamente essas equações por exemplo as equações mecânicas de movimento tratadas nas Seções 25 e 26 possuem a mesma forma Matemática Simbólica Os estudantes que estiveram fazendo exercícios com o MATLAB e queriam explorar os recursos adicionais da Toolbox de Matemática Simbólica devem executar agora o programa ch2sp04 do Apêndice E onde o Exemplo 210 é resolvido Você aprenderá como usar a Toolbox de Matemática Simbólica para resolver sistemas de equações usando a Regra de Cramer Especificamente a Toolbox de Matemática Simbólica será usada para resolver a função de transferência na Eq 282 usando os Eqs 280 e Modeloagem no Domínio de Frequência 45