Indutância e Indutores Decio T Santana - Conceitos e Aplicações

10 INDUTÂNCIA Por DECIO T SANTANA Indutância 91 Indutores e Indutância Neste capítulo estudamos os indutores e suas indutâncias cujas propriedades decorrem diretamente da lei de indução de Faraday Capacitores Recapitulação Lembrese que no caso de um capacitor a carga elétrica acumulada nas placas de um capacitor é proporcional à voltagem entre as placas q V A capacitância C foi definida como a constante de proporcionalidade q CV 91 ou C qV Ou seja entre as placas do capacitor temse uma diferença de potencial VC VC qC 92 Indutores Como o capacitor um indutor é um elemento de circuito sob o qual existe uma certa voltagem O exemplo típico é um solenóide pelo qual passa uma corrente variável Esta gera uma variação do fluxo magnético através do indutor que induz uma voltagem induzida em suas extremindas Em analogia ao tratamento dos capacitores o fluxo magnético total em um indutor formado por N espiras é proporcional ao campo magnético que por sua vez é proporcional à corrente elétrica nas espiras ΦBTB i A constante de proporcionalidade é a indutância L ΦBTB Li 93 ou L ΦBTB i Pela Lei de Faraday a diferença de potencial no indutor é VL ΦBTB t ie VL L didt 94 A unidade de indutância é o Henry HTm2AVsA Indução Mútua 921 Solenóide Considere dois solenóides concêntricos de raios R1 e R2 correntes i1 e i2 N1 e N2 espiras e comprimento l O campo criado pelo solenóide 1 é B1 μ0 N1 l i1 0 r R1 95 Portanto o fluxo magnético Φ21 produzido sobre as N2 espiras do solenóide 2 por B1 fica Φ21 N2 B1 dA2 N2 B1π R12 N2 μ0 N1 l i1π R12 μ0 N1 N2 π R12 l i1 96 Portanto Φ21 L12 i1 97 L21 μ0 N1 N2 π R12 l 98 e L21 é a indutância mútua Similarmente Figura 91 Indutância mútua de dois solenóides Nussenzveig B2 μ0 N2 l i2 0 r R2 99 Portanto o fluxo magnético Φ12 produzido sobre as N1 espiras do solenóide 1 por B2 fica Φ12 N1 B2 dA1 N1 B2π R12 μ0 N1 N2 π R12 l i2 910 e temos Φ12 L12 i2 911 L12 μ0 N1 N2 π R12 l L21 912 93 Autoindução 931 Solenóide Se fizermos os dois solenóides coincidirem ie R1 R2 R etc ou se simplesmente considerarmos o fluxo de um solenóide sobre ele mesmo temos Φ μ0 N2 π R2 l i 913 93 AUTOINDUÇÃO 79 Portanto a sua auto indutância fica L μ0 N2 π R2 l 914 Note que L N2 pois o fluxo em cada espira é proporcional a N já que depende de todas as outras e o fluxo total produz mais um N Adiante estaremos sempre nos referindo à autoindutância a qual chamaremos simplesmente de indutância 932 Cabo Coaxial Considere um cabo coaxial como mostrado na Fig 92 formado por um fio condutor cilíndrico de raio a envolvido por capa cilíndrica contutora de raio b A corrente passa em um sentido no condutor interno retornando no outro sentido pela capa externa O campo B tem linhas de campo circulares como no circuito C Pela Lei de Ampere 2πρB μ0i B μ0i 2πτ φ 915 Suponha que a b e o fluxo no fio interno pode ser desprezado Considere o retângulo ADDA onde AD l O fluxo neste retângulo fica Φ B dS AD ab Bρdρ μ0il 2π ab dρ ρ μ0il 2π lnb a 916 Portanto a indutância é dada por L μ0l 2π lnb a Figura 92 Indutância de um cabo coaxial Nussenzveig 933 Toróide Considere o toróide com N espiras circulares mostrado nas Figs 710 e 93 com raio médio a e raio da seção circular b O ponto P tem coordenadas ρφ A linha de campo que passa por P é um círculo de raio r PP onde r a ρ cos φ 918 A Lei de Ampere dá em P 2πrB N μ0i 919 ou seja Bρφ N μ0i 2π 1 a ρ cos φ Portanto o fluxo magnético Φ através das N espiras do toróide fica Φ N B dA N2 μ0i 2π 0b ρ dρ 02π dφ a ρ cos φ A segunda integral é dada por 02π dφ a ρ cos φ 2π a2 ρ2 Portanto Φ N2 μ0i 0b ρ dρ a2 ρ2 N2 μ0i a2 ρ20b N2 μ0i a a2 b2 e a indutância fica L N2 μ0 a a2 b2 Figura 93 Indutância de um toróide Nussenzveig 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑒𝑡𝑅𝐿 𝑅 𝐿 𝑖𝑒𝑡𝑅𝐿 𝜀 𝐿 𝑒𝑡𝑅𝐿 𝑑 𝑖𝑡𝑒𝑡𝑅𝐿 𝜀 𝐿 𝑒𝑡𝑅𝐿 𝑑𝑡 it t 𝜀 𝑅 𝐿 𝑅 2𝐿 𝑅 𝑑𝑖 𝑑𝑡 𝑒𝑡𝑅𝐿 𝑅 𝐿 𝑖𝑒𝑡𝑅𝐿 0 RESOLUÇÃO DA EQUAÇÃO 𝑑 𝑑𝑡 𝑖𝑡𝑒𝑡𝑅𝐿 0 𝑑 𝑖𝑡𝑒𝑡𝑅𝐿 0 𝑖𝑡𝑒𝑡𝑅𝐿 𝐾 𝑖𝑡 𝐾 𝑒𝑡𝑅𝐿 𝑖0 𝜀 𝑅 mas 𝜀 𝑅 𝑖0 𝐾 𝑒0𝑅𝐿 𝐾 𝜀 𝑅 Portanto 𝑖𝑡 𝜀 𝑅 𝑒𝑡𝑅𝐿 it t 𝜀 𝑅 𝐿 𝑅 2𝐿 𝑅 95 Circuito LC Para um circuito LC temos q C L di dt 0 di dt q LC 933 No sentido escolhido o capacitor está descarregando e portanto temos i dq dt Derivando temos d2 i dt2 i LC ω02 i 934 onde ω0 1 LC 935 A solução fica it A cosω0 t φ 936 e portanto a carga qt A ω0 sinω0 t φ 937 Como não há dissipação de energia por resistores as cargas e correntes ficam oscilando transferindo energia do capacitor para o indutor e viceversa Figura 95 Circuito LC Halliday 96 Energia do Campo Magnético Considere um circuito RL conectado a uma bateria E e com corrente crescendo E Ri L didt 0 938 Multiplicando essa equação por i temos E i Ri2 L i didt 0 939 O primeiro termo é a potência provida pela bateria e o segundo termo a potência dissipada pelo resistor Portanto o último termo é a potência armazenada no indutor dUBdt L i didt L2 di2dt ddt L i2 2 UB L i22 940 A densidade de energia magnética em um solenóide de comprimento l e área A fica então uB UBvol L i2 2 A l 941 Para o solenóide L mu0 N2l A e B mu0 Nl i uB L i2 2 A l mu0 N2 l A i2 2 A l mu0 N2 i2 2 l2 B2 2 mu0 942 e podemos interpretar a energia como armazenada no campo magnético 961 Exemplo Cabo coaxial Para o cabo coaxial vimos que B mu0 i 2 pi rho phi o que dá uma densidade de energia uB 12 mu0 mu0 i 2 pi rho2 mu0 8 pi2 i2 rho2 Portanto a energia total em um segmento de comprimento l do cabo fica UB uB dV 0l dz ab rho d rho 02 pi d phi uB 0l dz ab rho d rho 02 pi d phi mu0 8 pi2 i2 rho2 mu0 i2 8 pi2 12 pi ab d rho rho mu0 i2 l 4 pi ln ba 12 mu0 l 2 pi ln ab i2 12 L i2 Transformador Fonte de Tensão CA Tensão CA Induzida Transformador Primário Secundário Símbolo convencion