Disciplina Cálculo 1 - Avaliação Presencial

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ UECE SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA SEAD UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL UAB Disciplina Cálculo I AVALIAÇÃO PRESENCIAL Nome Data Matricula 1 Calcule o limite das seguintes funções abaixo a lim x 0 2tg ²x x² b lim x 1 x 21 x1 2 Um pedaço de fio com 80 cm de comprimento deve ser dobrado para formar um retangulo Ache as dimensões do retângulo com maior área possível 3 Calcule a derivada da seguinte função f x x 5senx 3 4 Utilizando o método da derivação implícita atentando que yf x calcule dy dx da seguinte equação x e yxy3 5 Calcule as integrais abaixo a 1 4 t 1t dt b 1 0 2 xe xdx Cálculo I 1 a Temos que lim x0 2tg²x x² 2 lim x0 tg²x x² 2 lim x0 tgxx³ 2 lim x0 tgxx² Para calcular este limite vamos utilizar a regra de LHopital visto que 0 lim x0 x 0 e lim x0 tgx 0 Assim lim x0 tgxx lim x0 ddx tgx ddx x lim x0 sec²x 1 sec²0 1 secx 1cosx Portanto lim x0 2tg²xx² 2 b Vamos usar produto notável a²b² abab lim x1 x²1 x1 lim x1 x1x1 x1 lim x1 x 1 1 1 2 2 Como o fio tem 80cm o perímetro do retângulo será 80 Logo x 2y 80 2y 80 2x y 40 x A área do retângulo é A xy x40x 40x x² Para encontrar a maior área possível vamos determinar os pontos críticos de A Derivada de A igual a zero dAdx ddx 40x x² 40 2x dAdx0 402x0 x20 y402020 Portanto as dimensões do retângulo que maximizam a área são x y 20cm 3 A derivada de f será ddx fx ddx x⁵ senx 3 ddx x⁵ ddx senx ddx 3 5x⁴ cosx 4 Vamos derivar os dois lados da equação ddx x ey x y ddx 3 ddx x ey ddx x y 0 1 ey x ey y 1 y x y 0 Regra do produto regra da cadeia y x ey x ey y 0 y ey y x ey x Portanto dydx ey y x ey x 5 a Observe que t t 12 logo ₁⁴ t 1t dt ₁⁴ t12 1t dt ₁⁴ t12 t32 dt t32 32 t52 52 ₁⁴ 2 t³ 3 2 t⁵ 5 ₁⁴ 2 4³ 3 2 4⁵ 5 2 1³ 3 2 1⁵ 5 283 2325 23 25 163 645 23 25 143 625 514 623 25615 b ₁⁰ 2x ex dx ₁⁰ 2x dx ₁⁰ ex dx 2x²2 ₁⁰ ex ₁⁰ 0² 1² e0 e¹ 1 1 e¹ 2 1e