Geometria Analítica e Álgebra Linear - Unicesumar EAD

Geometria Analítica e Álgebra Linear Dr Ricardo Ramos Fragelli Dr Ronni Geraldo Gomes de Amorim Dr Vinícius de Carvalho Rispoli Coordenador de Conteúdo Fábio Augusto Gentilin e Márcia Fernanda Pappa Designer Educacional Janaína de Souza Pontes e Yasminn Talyta Tavares Zagonel Revisão Textual Érica Ortega e Silvia Gonçalves Editoração Isabela Belido e Thayla Guimarães Cripaldi Ilustração Bruno Pardinho Marta Kakitani e Marcelo Goto Realidade Aumentada Kleber Ribeiro Leandro Naldei e Thiago Surmani C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ Núcleo de Educação a Distância RAGELLI Ricardo Ramos AMORIM Ronni Geraldo Gomes de F RISPOLI Vinícius de Carvalho Geometria Analítica e Álgebra Linear Ricardo Ramos Fragelli Ronni Geraldo Gomes de Amorim Vinícius de Carvalho Rispoli MaringáPR Unicesumar 2018 Reimpresso em 2023 296 p Graduação EAD 1 Geometria Analítica 2 Álgebra 3 Linear 4 EaD I Título ISBN 9788545911630 CDD 22 ed 512 CIP NBR 12899 AACR2 NEAD Núcleo de Educação a Distância Av Guedner 1610 Bloco 4 Jardim Aclimação CEP 87050900 Maringá Paraná unicesumaredubr 0800 600 6360 Impresso por DIREÇÃO UNICESUMAR Reitor Wilson de Matos Silva ViceReitor e PróReitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho PróReitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva PróReitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi NEAD NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff James Prestes e Tiago Stachon Diretoria de Graduação e Pósgraduação Kátia Coelho Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Diretoria de Design Educacional Débora Leite Head de Produção de Conteúdos Celso Luiz Braga de Souza Filho Head de Metodologias Ativas Thuinie Daros Head de Curadoria e Inovação Tania Cristiane Yoshie Fukushima Gerência de Projetos Especiais Daniel F Hey Gerência de Produção de Conteúdos Diogo Ribeiro Garcia Gerência de Curadoria Carolina Abdalla Normann de Freitas Supervisão do Núcleo de Produção de Materiais Nádila de Almeida Toledo Supervisão de Projetos Especiais Yasminn Talyta Tavares Zagonel Projeto Gráfico José Jhonny Coelho e Thayla Guimarães Cripaldi Fotos Shutterstock PALAVRA DO REITOR Em um mundo global e dinâmico nós trabalha mos com princípios éticos e profissionalismo não somente para oferecer uma educação de qualida de mas acima de tudo para gerar uma conversão integral das pessoas ao conhecimento Baseamo nos em 4 pilares intelectual profissional emo cional e espiritual Iniciamos a Unicesumar em 1990 com dois cursos de graduação e 180 alunos Hoje temos mais de 100 mil estudantes espalhados em todo o Brasil nos quatro campi presenciais Maringá Curitiba Ponta Grossa e Londrina e em mais de 300 polos EAD no país com dezenas de cursos de graduação e pósgraduação Produzimos e revi samos 500 livros e distribuímos mais de 500 mil exemplares por ano Somos reconhecidos pelo MEC como uma instituição de excelência com IGC 4 em 7 anos consecutivos Estamos entre os 10 maiores grupos educacionais do Brasil A rapidez do mundo moderno exige dos educadores soluções inteligentes para as ne cessidades de todos Para continuar relevante a instituição de educação precisa ter pelo menos três virtudes inovação coragem e compromisso com a qualidade Por isso desenvolvemos para os cursos de Engenharia metodologias ativas as quais visam reunir o melhor do ensino presencial e a distância Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária Vamos juntos Prezadoa Acadêmicoa bemvindoa à Co munidade do Conhecimento Essa é a característica principal pela qual a Unicesumar tem sido conhecida pelos nossos alu nos professores e pela nossa sociedade Porém é importante destacar aqui que não estamos falando mais daquele conhecimento estático repetitivo local e elitizado mas de um conhecimento dinâ mico renovável em minutos atemporal global democratizado transformado pelas tecnologias digitais e virtuais De fato as tecnologias de informação e comu nicação têm nos aproximado cada vez mais de pessoas lugares informações da educação por meio da conectividade via internet do acesso wireless em diferentes lugares e da mobilidade dos celulares As redes sociais os sites blogs e os tablets ace leraram a informação e a produção do conheci mento que não reconhece mais fuso horário e atravessa oceanos em segundos A apropriação dessa nova forma de conhecer transformouse hoje em um dos principais fatores de agregação de valor de superação das desigualdades propagação de trabalho qualificado e de bemestar Logo como agente social convido você a saber cada vez mais a conhecer entender selecionar e usar a tecnologia que temos e que está disponível Da mesma forma que a imprensa de Gutenberg modificou toda uma cultura e forma de conhecer as tecnologias atuais e suas novas ferramentas equipamentos e aplicações estão mudando a nossa cultura e transformando a todos nós Então prio rizar o conhecimento hoje por meio da Educação a Distância EAD significa possibilitar o contato com ambientes cativantes ricos em informações e interatividade É um processo desafiador que ao mesmo tempo abrirá as portas para melhores oportunidades Como já disse Sócrates a vida sem desafios não vale a pena ser vivida É isso que a EAD da Unicesumar se propõe a fazer Seja bemvindoa caroa acadêmicoa Você está iniciando um processo de transformação pois quando investimos em nossa formação seja ela pessoal ou profissional nos transformamos e consequentemente transformamos também a so ciedade na qual estamos inseridos De que forma o fazemos Criando oportunidades eou estabe lecendo mudanças capazes de alcançar um nível de desenvolvimento compatível com os desafios que surgem no mundo contemporâneo O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de Educação a Distância oa acompa nhará durante todo este processo pois conforme Freire 1996 Os homens se educam juntos na transformação do mundo Os materiais produzidos oferecem linguagem dialógica e encontramse integrados à proposta pedagógica contribuindo no processo educa cional complementando sua formação profis sional desenvolvendo competências e habilida des e aplicando conceitos teóricos em situação de realidade de maneira a inserilo no mercado de trabalho Ou seja estes materiais têm como principal objetivo provocar uma aproximação entre você e o conteúdo desta forma possibilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos conhecimentos necessários para a sua formação pessoal e profissional Portanto nossa distância nesse processo de crescimento e construção do conhecimento deve ser apenas geográfica Utilize os diversos recursos pedagógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possibilita Ou seja acesse regularmente o Stu deo que é o seu Ambiente Virtual de Aprendiza gem interaja nos fóruns e enquetes assista às aulas ao vivo e participe das discussões Além disso lembrese que existe uma equipe de professores e tutores que se encontra disponível para sanar suas dúvidas e auxiliáloa em seu processo de apren dizagem possibilitandolhe trilhar com tranquili dade e segurança sua trajetória acadêmica APRESENTAÇÃO Prezadoa alunoa No decorrer do estudo desta disciplina você se deparará com um universo novo e impressionante Este novo mundo é repleto de aplicações as quais variam desde itens tecnológicos simples que fazem parte do seu cotidiano até grandes projetos científicos Nesse sentido para que você perceba um pouco do alcance dos conteúdos de Geometria Analítica e Álgebra Li near em cada unidade é apresentada pelo menos uma situação na qual o conteúdo nela discutido pode ser utilizado Além disso devido ao caráter prático do conteúdo abordado nesta disciplina ela constitui uma das ba ses que o auxiliará na compreensão de temas mais avançados das outras disciplinas do curso de Engenharia Ou seja os conteúdos e técnicas que serão estudados nesta disciplina aparecerão nas demais disciplinas como importantes ferramentas Nesse arcabouço os principais temas que serão abordados são os seguintes cálculo com matrizes determinante e matriz inversa vetores no plano e no espaço tridimensional geometria analítica no plano estudo da reta e da circunferência geometria analítica em três dimensões espaços vetoriais transformações lineares autovalores e autovetores diagonalização de ma trizes estudo das cônicas Dessa forma a orientação é que se dedique bastante ao estudo desta disci plina tente assimilar bem todos os conceitos que serão apresentados pois essas atitudes farão a diferença no decorrer da sua graduação Além disso aproveite bastante pois os conteúdos apresentados serão demasiadamente interessantes Tenha um bom estudo e porque não uma boa diversão CURRÍCULO DOS PROFESSORES Dr Ronni Geraldo Gomes de Amorim Possui Pósdoutorado pela International Centre of Condensed Matter Physics of University of Brasilia 2012 Doutorado em Física pela Universidade de Brasília 2009 Mestrado em Física pela Universidade de Brasília 2006 Graduação em Física pela Universidade de Brasília 2003 e Graduação em Matemática pela Universidade Católica de Brasília 1999 Atualmente é Professor Adjunto da Universidade de Brasília Para mais informações acesse httplattescnpqbr4086384842130773 Dr Ricardo Ramos Fragelli Possui Doutorado em Ciências Mecânicas 2010 pela Universidade de Brasília UnB onde também fez Mestrado 2003 e Graduação 2000 em Engenharia Mecânica Professor Adjun to da UnB dos cursos de Engenharia da Faculdade UnB Gama e do Mestrado em Design do Departamento de Design Industrial onde orienta trabalhos na área de Design Educacional Desenvolve pesquisas em Sistemas Tutores Inteligentes e Adaptativos técnicas métodos e tecnologias para Educação Por meio de suas pesquisas recebeu onze prêmios nacionais de Instituições como MEC MCT CAPES ABED ABMES e Santander Universidades Para mais informações acesse httplattescnpqbr6119310102978688 Dr Vinícius de Carvalho Rispoli Possui Doutorado 2014 em Engenharia de Sistemas Eletrônicos e Automação pela Univer sidade de Brasília com período sanduíche na University of Michigan EUA Mestrado 2007 e Graduação 2005 em Matemática pela Universidade de Brasília Tem experiência na área de Matemática Aplicada com ênfase em Equações Diferenciais Métodos Numéricos e Oti mização Atua na área da Engenharia BiomédicaMatemática Aplicada e é Professor Adjunto II de Matemática Aplicada na Faculdade UnB Gama Universidade de Brasília Para mais informações acesse httplattescnpqbr1386396456867682 Busque Conhecimento Atenção Quando você encontrar esse ícone no seu material de estudo fique atento pois ele trará pontos de atenção de fatos referentes ao conteúdo que está sendo discutido Conceituando Quando você encontrar esse ícone no seu material de estudo fique atento pois ele trará explicações de termos técnicos aplicação do conteúdo estudado na prática ou de um conceito relacionado ao assunto Saiba Mais Quando você encontrar esse ícone no seu material de estudo fique atento pois ele trará curiosidades ou assuntos que estão ligados ao tema discutido RECURSOS INTERATIVOS Pílula de Aprendizagem Quando você encontrar esse ícone no seu material de estudo esteja conectado e inicie o aplicativo Unicesumar Experience Selecione o ícone QRCode e aproxime seu dispositivo do elemento com o código pois ele trará vídeos que complementam o assunto discutido Realidade Aumentada Quando você encontrar esse ícone no seu material de estudo esteja conectado e inicie o aplicativo Unicesumar Experience Aproxime seu dispositivo móvel da página indicada e veja os recursos em Realidade Aumentada Explore as ferramentas do app para saber das possibilidades de interação de cada objeto Matrizes 13 Determinante Matriz Inversa e Sistemas Lineares 37 Fundamentos de Geometria Analítica no R2 69 Vetores no Plano e no Espaço Retas e Planos do R3 101 137 Espaços e Subespaços Vetoriais 163 Transformações Lineares Diagonalização de Matrizes 229 As Cônicas 257 199 72 Distância entre dois pontos 107 Vetor no R³ 144 Reta no R³ 188 Mistura das cores 217 Rotação do quadrado 261 Elipse 266 Hipérbole Utilize o aplicativo Unicesumar Experience para visualizar a Realidade Aumentada 271 A parábola PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Dr Ronni Amorim Dr Ricardo Fragelli Dr Vinícius Rispoli Definir matriz e identificar os critérios de igualdade matricial Reconhecer os principais tipos de matrizes matriz quadra da matriz diagonal matriz identidade matriz linha matriz coluna matriz triangular superior matriz triangular inferior Estudar as operações de adição subtração multiplicação e transposição de matrizes identificando as propriedades relativas a cada operação Definição de Matriz Classificação das Matrizes Cálculo Matricial Matrizes Definição de Matriz Prezadoa alunoa Nesta unidade você estuda rá o conceito de matriz e aprenderá os principais tipos de matrizes Conforme veremos o cálculo matricial é fundamental ao desenvolvimento de diversas áreas do conhecimento tendo aplicações em física engenharia economia etc Além disso os conceitos que serão desenvolvidos nesta unidade servirão como base para a discussão dos outros conteúdos que abordaremos ao longo da disciplina Como exemplo da importância da matriz em nosso dia a dia consideraremos uma pequena aplicação na prática desportiva Praticar atividades físicas regularmente traz grandes benefícios para a nossa saúde Felizmente frequentar uma academia tem se tornado uma febre Tornouse uma moda a busca por saúde corpo definido e qualidade de vida Nesse sentido suponha que você tenha aderido a um novo programa de treinamento físico o qual deve ser realizado durante a semana Nesse treina mento você deve praticar entre uma e duas horas de atividade diária Dentre as atividades o seu per sonal trainning recomendou as seguintes spinning natação treinamento funcional e corrida na esteira O gasto calórico médio devido à prática de 1h de cada uma das atividades enumeradas segue esboçado na Tabela 1 a seguir Tabela 1 Gasto calórico por atividade Atividade Corrida a 12 kmh Spinning Treinamento Funcional Natação Gasto calórico em 1h 750 cal 600 cal 1000 cal 600 cal Fonte os autores Você está seguindo rigorosamente o programa de treinamento proposto e pratica diariamente um conjunto de atividades O tempo diário gasto por você em cada atividade na primeira semana está descrito na Tabela 2 Tabela 2 Tempo diário gasto em cada atividade Dia Corrida a 12 kmh Spinning Treinamento Funcional Natação segundafeira 0 05h 0 05h terçafeira 1h 0 0 0 quartafeira 0 05h 05h 05h quintafeira 05h 0 05h 0 sextafeira 05h 05h 05h 05h Fonte os autores Podemos sumarizar as informações contidas nas Tabelas 1 e 2 utilizando as matrizes Além disso conhecendo as operações do cálculo matricial podemos calcular de forma prática o seu gasto calórico diário decorrente da prática das atividades físicas elencadas Para isso antes estudaremos um pouco sobre as matrizes De uma forma simples podemos dizer que uma matriz consiste em uma tabela retangular de elementos dispostos em linhas e colunas Organizar elementos no formato de matriz pode repercutir na facilitação de cálculos e na tomada de decisões conforme notaremos em alguns exemplos Representamos uma matriz com m linhas e n colunas da seguinte forma ANTON RORRES 2012 Amn a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn aijmn em que 1 i m e 1 j n Lemos Amn como sendo a matriz A m por n ou seja matriz A com m linhas e n colunas Note que o primeiro subíndice m é referente ao número de linhas da matriz enquanto o segundo índice n referese ao número de colunas Dizemos que m n é a ordem da matriz A Quando representamos o elemento da matriz como aij estamos nos referindo ao elemento que ocupa a iésima linha e jésima coluna da matriz Por exemplo um elemento a24 ocupa a segunda linha e a quarta coluna da matriz Como você deve ter notado os índices i e j são uma espécie de endereço dos elementos numa dada matriz Considere como exemplo a seguinte matriz B 1 3 2 5 2 7 3 0 1 A ordem da matriz B é 3 3 pois ela possui 3 linhas e 3 colunas Em particular b13 2 e b32 0 Você saberia identificar o elemento b21 da matriz acima Se você respondeu que b21 5 a sua resposta está correta Conforme foi mencionado antes as matrizes são bastante úteis na representação de dados em uma forma mais compacta Por exemplo considere uma situação na qual o engenheiro mede o diâmetro e a massa de três esferas constituídas de materiais distintos Esse engenheiro colocou os valores encontrados na tabela a seguir Tabela 3 Massa e diâmetro das esferas Massa kg Diâmetro cm Esfera 1 03 20 Esfera 2 05 27 Esfera 3 04 24 Fonte os autores Perceba que as informações contidas na Tabela 1 podem ser colocadas na matriz C apresentada a seguir C 03 20 05 27 04 24 Conforme você pode notar a ordem da matriz C é 3 2 pois ela possui 3 linhas e 2 colunas e em particular c21 05 Outros exemplos que podem ser considerados são as matrizes correspondentes às Tabelas 1 e 2 No caso da Tabela 1 temos uma matriz de apenas uma coluna dada por A 750 600 1000 600 Enquanto a Tabela 2 pode ser representada pela matriz B 5X4 dada por B 0 05 0 05 1 0 0 0 0 05 05 05 0 05 0 05 0 0 05 05 0 05 Igualdade de Matrizes Dizemos que duas matrizes são iguais quando elas possuem a mesma ordem e seus elementos correspondentes são iguais Por exemplo as matrizes Amxn aijmn é igual a Brs bijrs se m r n s e aij bij para todo i j Para você compreender melhor o conceito de igualdade matricial façamos o exercício a seguir 1 EXEMPLO Determine os valores de x e y de forma que as matrizes A e B sejam iguais A x 2 9 12 B 2 2 9 3y Resolução de acordo com o que aprendemos para que as matrizes sejam iguais primeiramente elas devem ter a mesma ordem e essa exigência é satisfeita pois ambas são de ordem 22 Em segundo lugar seus elementos correspondentes devem ser iguais isso nos leva a concluir que x 2 e 3y 12 ou seja x 2 e y 4 Agora que você já sabe como representar uma matriz estudaremos algumas matrizes especiais 18 Matrizes As matrizes podem ser classificadas de acordo com algumas características que apresentam A seguir você estudará os principais tipos de matrizes FRANCO 2016 A Matriz Quadrada Uma matriz é quadrada quando o número de li nhas é igual ao número de colunas isto é Am n é quadrada quando m n Alguns exemplos de matrizes quadradas são B A 1 3 2 5 2 7 3 0 1 5 1 2 1 Note que a matriz B é de ordem 3 3 e a matriz A é de ordem 2 2 Podemos dizer simplesmente que as matrizes A e B são de ordem 3 e 2 respectivamente Classificação das Matrizes 19 UNIDADE I B Matriz Nula Uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero Como exemplo as matrizes A e B abaixo são nulas B A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C Matriz Linha e Matriz Coluna Outros tipos de matrizes especiais são as matrizes linha e coluna A matriz linha é aquela que possui apenas uma linha A n 1 Como exemplos de matrizes linhas considere as matrizes abaixo A B 1 1 4 2 3 Já a matriz coluna é aquela que possui apenas uma coluna Am1 Você pode visualizar exemplos de matrizes colunas a seguir 1 1 4 2 0 3 5 As matrizes colunas serão importantes na representação de vetores conforme você perceberá na continuidade do nosso curso D Matriz Diagonal Uma matriz diagonal é uma matriz quadrada em que aij 0 para todo i j ou seja os únicos elementos diferentes de zero são aqueles que se encontram na diagonal da matriz A seguir você pode visualizar dois exemplos de matrizes diagonais A B 1 0 0 0 2 0 0 0 5 5 0 0 3 As matrizes A e B dadas acima são diagonais 20 Matrizes E Matriz Identidade A matriz identidade é uma matriz diagonal na qual os elementos nãonulos são iguais a 1 Se uma matriz A é diagonal temos aij 0 se i j e aij 1 se i j Repre sentaremos a matriz identidade de ordem n n simplesmente por In São exemplos de matrizes identidades as indicadas abaixo I I 3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 A matriz I2 é a matriz identidade de ordem 2 e a matriz I3 é a matriz identidade de ordem 3 F Matriz Triangular Superior Uma matriz A é denominada triangular superior se aij 0 se i j Isto é na matriz triangular superior temos que os elementos abaixo da diagonal são todos nulos Alguns exemplos de matrizes triangulares superiores seguem abaixo 3 1 4 0 2 7 0 0 6 3 5 0 9 3 1 4 5 0 2 7 3 0 0 3 6 0 0 0 4 G Matriz Triangular Inferior Uma matriz A é denominada triangular inferior se aij 0 se i j Isto é na matriz triangular inferior temos que os elementos acima da diagonal são todos nulos Alguns exemplos de matrizes triangulares inferiores seguem abaixo 3 0 0 3 3 0 1 5 6 2 0 3 1 3 0 0 0 0 2 0 0 4 9 3 0 1 2 4 π Agora que você já sabe o que é uma matriz e conhece também os principais tipos de matrizes o nosso próximo passo será estudar as operações envolvendo as matrizes A partir deste momento estudaremos as principais operações matriciais O nosso enfo que será nas operações de adição multiplicação multiplicação por escalar e transposição Preste muita atenção pois as operações que estudaremos acompanharão você durante todo o nosso curso 21 UNIDADE I Nesta seção você aprenderá as principais opera ções envolvendo as matrizes quais sejam a adição e subtração a multiplicação de um escalar por uma matriz a multiplicação entre matrizes e a transposição de matrizes Adição de Matrizes Você sabe em quais condições podemos somar duas matrizes A única condição exigida para que duas matrizes sejam adicionadas é que ambas pos suam a mesma ordem Ou seja dadas a matriz Am n e a matriz Br s A e B podem ser adiciona das se e somente se m r e n s Você obtém o resultado da soma adicionando os elementos correspondentes de cada matriz Dessa forma se temos A aij e B bij en tão a matriz C cij obtida pela soma C A B possui os elementos dados por c a b ij ij ij Cálculo Matricial 2 EXEMPLO Como exemplo calculemos a soma das matrizes A e B dadas a seguir A 3 0 1 2 5 7 1 1 3 B 5 3 2 3 9 11 13 7 8 Resolução temos que A B 35 03 12 23 59 711 113 17 38 8 3 1 1 14 4 14 6 5 Propriedades da Adição de Matrizes Sejam A e B duas matrizes de mesma ordem Em relação à adição matricial as seguintes propriedades são satisfeitas 1 Comutatividade A B B A 2 Associatividade A B C A B C 3 Elemento Neutro 0 A A 0 onde 0 é a matriz nula 4 Elemento Oposto existe a matriz A tal que A A 0 Verifique você mesmo as propriedades da adição para as matrizes A e B abaixo A 3 0 1 2 5 7 1 1 3 B 5 3 2 3 9 11 13 7 8 1 DESAFIO Agora vai um desafio para você Dada a matriz A 1 5 3 4 2 0 3 4 9 Desafio você a encontrar a matriz B tal que quando somada com a matriz A origine a matriz nula Multiplicação por Escalar Outra importante operação no cálculo matricial é a multiplicação de uma matriz por um número real o qual denominaremos escalar denominaremos por escalar qualquer número real Para realizar a multiplicação de um número real por uma matriz basta multiplicar cada elemento da matriz por tal número HOLT 2016 Considere então uma matriz A aij e um escalar α Denotaremos o produto αA B onde B bij e bij αaij Você perceberá o quanto é fácil realizar essa operação com a resolução do exemplo a seguir 3 EXEMPLO Seja a matriz A 3 0 2 5 1 1 Calcule 2A Resolução para realizar esse cálculo basta multiplicar os elementos de A por 2 Fazendo isso encontramos 2A 23 0 22 25 21 21 6 0 4 10 2 2 Multiplicação de Matrizes A multiplicação entre matrizes será a operação que você mais utilizará no decorrer dessa disciplina Apesar de sua definição formal não ser tão intuitiva realizar o cálculo conforme você notará não é tão difícil assim Antes de estudarmos a definição do produto matricial é importante que você conheça algumas observações importantes A primeira delas é que a ordem em que as matrizes são multiplicadas é importante ou seja caso você troque a ordem das matrizes em geral o resultado do produto será diferente A essa observação denominamos nãocomutatividade A segunda observação é que conforme você notar na definição do produto ele só é possível de ser realizado quando a matriz da esquerda tiver o número de colunas igual ao número de linhas da matriz da direita E mais a matriz obtida no produto possui o número de linhas da matriz da esquerda e o número de colunas da matriz da direita Observe então a definição de tal produto DEFINIÇÃO 1 O produto de duas matrizes tais que o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda A aij mk e B bij kn é definido pela matriz C AB cij mn calculado da seguinte forma cij ai1b1j ai2b2j aik bkj l1k ail blj Observando a definição percebemos que na multiplicação matricial o elemento ij da matriz resultante do produto AB é obtido da soma dos produtos dos elementos iésima linha de A pela jésima coluna de B Você pode observar como isso é feito a partir do exemplo a seguir 4 EXEMPLO Sejam as matrizes A 3 0 2 5 1 1 e B 5 3 2 3 1 4 3 0 1 calule o produto C BA Antes de calcularmos o produto BA precisamos verificar se ele é definido Para esse fim basta verificar se o número de colunas de B é igual ao número de linhas de A Como B possui 3 colunas e A possui 3 linhas o produto em questão é definido Agora podemos efetuar o cálculo C BA 5 3 2 3 1 4 3 0 1 3 0 2 5 1 1 C BA 7 17 3 9 8 1 Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo Para acessar use seu leitor de QR Code Observe que no resultado por exemplo c12 50 35 21 foi obtido pela soma dos produtos dos elementos da primeira linha de B pela segunda coluna de A É interessante observar que o produto AB não é definido Você saberia explicar o porquê Apresentamos a seguir as propriedades do produto matricial válidas para matrizes quadradas Para isso sejam A B e C três matrizes quadradas nn ordem n e In um número real e A a matriz identidade de ordem n Temos então LIMA 2016 1 Associatividade ABC ABC 2 Elemento neutro AIn In A A 3 Distributividade AB C AB AC 4 αAB αAB AαB 5 Em geral AB BA Nas propriedades acima note que a matriz identidade desempenha o papel de elemento neutro do produto matricial Embora comentamos que as propriedades acima sejam válidas para matrizes quadradas podemos generalizálas para matrizes de qualquer ordem desde que as matrizes tenham tamanho adequado Demonstraremos as duas primeiras propriedades As outras demonstrações são análogas e podem ser encontradas nas referências bibliográficas Demonstração da Propriedade 1 Sejam A aij B bij e C cij Denominemos D AB sendo D dij Assim dij k1n bik ckj Dessa forma temos que ABC AD l1n ail dlj l1n ail k1n blk ckj ABC l1n k1n ail blk ckj k1n l1n ail blk ckj Denominando F AB F fij onde fij k1n aik bkj chegamos a ABC k1n fik ckj FC ABC como queríamos demonstrar 2 DESAFIO Dada a matriz A 2 3 1 1 desafio você a encontrar uma matriz B tal que AB I2 Agora já estamos em condições de retornar ao problema introdutório da unidade Vamos encontrar o seu gasto calórico diário devido às atividades físicas por meio da multiplicação matricial Para esse fim multiplicaremos as matrizes B e A que representam os dados contidos nas Tabelas 1 e 2 BA 0 05 0 05 1 0 0 0 0 05 05 05 05 0 05 0 05 05 05 05 750 600 1000 600 BA 600 750 1100 875 1475 Esse último resultado esboça o seu gasto calórico diário no decorrer da semana Ou seja você gastou 600 calorias na segundafeira 750 calorias na terçafeira 875 calorias na quartafeira 1100 calorias na quintafeira e 1475 calorias na sextafeira Como você percebeu o estudo das matrizes pode nos ajudar em atividades simples do cotidiano No decorrer da disciplina você perceberá que tarefas muito mais complexas serão facilitadas mediante o cálculo matricial Matriz Transposta A matriz transposta é um ingrediente fundamental do cálculo matricial conforme você poderá constatar no decorrer do curso Por exemplo a transposição matricial é utilizada na definição da matriz inversa como também no cálculo do produto escalar Determinar a matriz transposta é muito simples basta trocar as linhas de uma matriz por suas colunas ou seja quem é linha passa a ser coluna e viceversa Dessa forma se uma matriz A tem ordem m n a sua transposta tem ordem n m Façamos então uma definição mais formal DEFINIÇÃO 2 A transposta de uma matriz A aijmn é definida pela matriz At B bijnm obtida trocandose as linhas com as colunas ou seja bij aji Você poderá entender melhor essa operação por meio do exemplo a seguir 51 EXEMPLO Seja a matriz A 3 0 2 2 5 1 Determine a sua transposta Resolução para determinarmos a transposta de A basta trocarmos as linhas com as colunas Assim obtemos neste caso At 3 2 0 5 2 1 52 EXEMPLO Determine a transposta da matriz coluna v 3 2 1 Em seguida calcule o produto vt v Resolução a transposta da matriz coluna é uma matriz linha dada por vt 3 2 1 O produto vt v 3 2 13 2 1 9 4 1 14 Perceba que o resultado do produto vt v é um número real positivo Propriedades da Transposição de Matrizes Algumas propriedades da transposição matricial são elencadas a seguir ANTON RORRES 2012 1 Att A 2 ABt Bt At 3 It I Terminamos o conteúdo dessa unidade Agora é a sua vez de colocálo em prática Para esse fim responda as Atividades de Estudo a seguir Alunoa antes de realizar cálculos envolvendo matrizes lembrese sempre que só é possível adicionarmos ou subtrairmos duas matrizes que tiverem a mesma ordem ou seja as matrizes que serão somadas ou subtraídas devem ter o mesmo número de linhas e colunas A multiplicação de matrizes porém só é definida quando o número de colunas da primeira matriz matriz da esquerda é igual ao número de linhas da segunda matriz matriz da direita Além disso o resultado do produto será uma matriz com o mesmo número de linhas da primeira e o mesmo número de colunas da segunda Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução 1 A matriz A aij de ordem 2X3 tal que aij 2i 3j é dada por a 1 3 0 4 1 2 b 1 4 7 1 2 5 c 1 1 2 7 5 4 d 0 1 1 1 2 0 e 7 4 1 5 2 1 2 Dadas as matrizes A 3y 1 8 x2 2 e B 15 1 8 38 Os valores de x e y tais que a matriz A seja igual à matriz B são a y 5 e x 6 b y 3 e x 7 c y 4 e x 6 d y 3 e x 6 e y 1 e x 2 3 Dadas as matrizes A 5 2 3 4 B 3 2 5 1 e C 1 0 2 3 O resultado da expressão AB 3Ct é a 28 29 14 11 b 28 29 14 11 c 14 11 28 29 d 14 11 28 29 e 28 14 29 11 4 Denominamos de comutador das matrizes A e B a operação AB AB BA Dizemos que as matrizes A e B comutam quando AB 0 Considere as matrizes S1 1 0 0 1 e S2 0 1 1 0 CalculeS1 S2 As matrizes S1 e S2 comutam 31 Álgebra Linear com aplicações Autores Howard Anton e Chris Rorres Editora Bookman Sinopse esta obra traz o conteúdo básico de álgebra linear para estudantes de ciências exatas e engenharia O conteúdo é permeado de interessantes aplicações Comentário a leitura dos capítulos 1 e 2 desta obra é recomendada LIVRO 32 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed São Paulo Editora Bookman 2012 FRANCO N M B Álgebra Linear 1 ed São Paulo Editora Pearson 2016 HOLT J Álgebra Linear com Aplicações 1 ed São Paulo Editora LTC 2016 LIMA E L Álgebra Linear 9 ed Rio de Janeiro Editora SBM 2016 Gabarito 1 Para construir a matriz A observe a sua ordem para saber os valores que i e j podem assumir os quais são i 12 e j 123 Dessa forma os elementos da matriz são construídos de acordo com a lei de formação dada aij 2i 3j Temos então a11 231 a12264 a13297 a21431 a22462 e a23495 Assim a matriz A é dada por A 1 4 7 1 2 5 A alternativa correta é a B 2 Para resolver essa questão basta igualar os elementos correspondentes das matrizes A e B Fazendo isso encontramos 3y 15 e x² 2 38 o que nos fornece y 5 e x 6 A alternativa correta é a letra A 3 Iniciamos a resolução desta questão pelo cálculo do produto AB o que nos fornece AB 25 8 29 2 Na sequência calculamos Ct e multiplicamos o resultado por 3 o que leva a Ct 3 6 0 9 Realizando a subtração AB 3Ct obtemos AB 3Ct 28 14 29 11 Portanto a alternativa correta é a letra E 4 Resolvemos esta questão fazendo separadamente os produtos S1S2 e S2S1 e depois subtraímos os resultados Temos então S1S2 0 1 1 0 e S1S2 0 1 1 0 Dessa forma chegamos a S1 S2 0 2 2 0 Como S1 S2 0 ou seja S1 S2 S2 1as matrizes dadas não comutam A seguir apresentamos as respostas dos desafios Desafio 1 A resposta do desafio decorre da propriedade 4 da adição de matrizes Ou seja a matriz que somada à matriz A leva à matriz nula é a matriz A Dessa forma basta multiplicarmos cada elemento de A por 1 obtendo assim o resultado A 1 5 3 4 2 0 3 4 9 Desafio 2 Esse desafio corresponde ao conteúdo que veremos na próxima unidade Na oportunidade resolveremos tal problema Diário de Bordo 35 Diário de Bordo 36 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Definir determinante de uma matriz e calcular o determi nante de matrizes de segunda e terceira ordem Definir e calcular a matriz dos cofatores bem como utili zar o método de Laplace no cálculo de determinantes de matrizes de ordem arbitrária Definir e calcular a matriz adjunta Definir e calcular a matriz inversa bem como identificar as propriedades da matriz inversa Resolver sistemas de equações lineares usando o méto do de Cramer bem como classificar os sistemas lineares como possíveis e impossíveis Definição de Determinante Cálculo de Determinantes pelo Método de Laplace Matriz Inversa Sistemas de Equações Lineares Matriz adjunta Dr Ronni Amorim Dr Ricardo Fragelli Dr Vinícius Rispoli Determinante Matriz Inversa e Sistemas Lineares Definição de Determinante Prezadoa alunoa Nesta unidade estudare mos sobre determinante e matriz inversa No primeiro momento introduziremos a definição de determinante Na sequência calcularemos a matriz inversa Conforme veremos o cálculo de determinantes constitui um ingrediente essencial para a obtenção da matriz inversa Além disso diversos outros temas que serão estudados em outras unidades utilizam a noção de determi nante dentre os quais podemos citar a resolução de sistemas lineares pelo método de Cramer e o cálculo dos autovalores Digamos que certo dia você esteja observando o céu noturno com a ajuda de um telescópio e o direciona para um planeta que orbita uma estrela específica No mesmo instante há um suposto ha bitante desse planeta observando a Terra Contu do ele detém instrumentos melhores e consegue ver pequenos detalhes da Terra Um dos detalhes visto por este ser extraterrestre foi você Então ele decide enviar uma mensagem para você Contudo a mensagem enviada está codificada A mensagem por ele enviada vem na forma da seguinte matriz M 15 18 18 17 4 0 30 55 31 51 25 1 Além da matriz ele enviou uma tabela contendo números e letras na qual foi atribuída o espaço vazio para o número zero a letra A para o número um a letra B para o número 2 a letra C para o número 3 e assim sucessivamente até associar a letra Z ao número 23 Não foram utilizadas as letras K Y e W Além disso o extraterrestre enviou uma segunda matriz a qual ele denominou chave Essa matriz está logo abaixo C 1 1 2 3 Você conseguiria decifrar essa mensagem Esse será um dos nossos objetivos nesta unidade desenvolver um método para ler o que o extraterrestre quis nos dizer O determinante de uma matriz quadrada n x n é uma função que associa um número real à matriz Perceba que o determinante é definido apenas para matrizes quadradas A seguir apresentaremos uma definição formal para essa função Antes disso definiremos o que é uma inversão LIMA 2016 Dada uma sequência numérica denominaremos de inversão quando um número inteiro precede um menor que ele Por exemplo no conjunto 1 2 não temos inversão contudo no conjunto 2 1 temos uma inversão Então formalmente podemos definir inversão da seguinte forma Dada uma permutação dos inteiros 1 2 n existe uma inversão quando um número inteiro precede um número menor que ele Por exemplo considerando o conjunto 3 2 1 percebemos nele três inversões o dois e o três precedem o um e o três precede do dois Na Tabela 1 apresentamos algumas permutações e o respectivo número de inversões Tabela 1 Permutações e número de inversões Permutação Número de Inversões 123 0 132 1 213 1 231 2 312 2 321 3 Fonte os autores UNIDADE II 39 Observe que para os três números inteiros distintos tivemos 3 6 inversões Logo tornase fácil deduzir que para n inteiros distintos teremos n inversões DEFINIÇÃO 1 Dada uma matriz A nn definimos o determinante de A denotado por detA como detA Σ n n1 1N a1j1 a2j2 anjn onde N Nj1 j2 jn representa o número de inversões da permutação j1 j2 jn Algumas observações importantes acerca da definição são as seguintes o coeficiente 1N define o sinal de cada parcela do somatório em cada parcela do somatório existe somente um elemento de cada linha e somente um elemento de cada coluna da matriz por meio de reordenações podemos definir de forma equivalente detA Σ n n1 1N a1j1 a2j2 ajn A partir da definição podemos escrever uma fórmula que nos permite calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e de ordem 3 Determinante de Matrizes 2x2 Em uma matriz quadrada A a11 a12 a21 a22 de segunda ordem temos que n2 Dessa forma cada permutação terá dois elementos o que totaliza duas 2 permutações as quais são 1 2 e 2 1 Logo o somatório que define o determinante terá duas parcelas Além disso podemos escrever explicitamente como detA 10 a11 a22 11 a12 a21 a11 a22 a12 a21 Como exemplo calculemos o determinante da matriz A 1 1 2 3 Neste caso teremos detA 13 12 3 2 1 Determinante de Matrizes 3 X 3 Utilizando a definição de determinante e procedendo de forma análoga ao que fizemos para matrizes de ordem 2 podemos mostrar que o determinante de uma matriz A 33 escrita na forma A a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 é dado por detA a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33 Você deve obter a fórmula acima como exercício Como exemplo calculemos o determinante da matriz B 1 3 2 5 2 7 3 0 1 Utilizando o último resultado temos detB 121 373 250 223 170 351 detB 2 63 0 12 0 15 64 42 Determinante Matriz Inversa e Sistemas Lineares Propriedades dos Determinantes A seguir apresentamos algumas propriedades dos determinantes 1 detA detAt Dada uma matriz o seu determinante é igual ao da sua transposta Essa pro priedade decorre da definição pois conforme estabelecemos o somatório pode ser realizado em relação aos índices que representam as linhas ou as colunas 2 Se multiplicarmos uma linha de uma matriz por um número real k o deter minante fica multiplicado por k 3 Se permutarmos duas linhas ou duas colunas de uma matriz o determinante dessa matriz muda de sinal 4 Se multiplicarmos todos os elementos de uma matriz por um número real k o determinante da matriz fica multiplicado por kn 5 O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou colunas iguais é igual a zero 6 O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha os elementos correspondentes de outra linha multiplicados por uma constante 7 det AB detAdetB Exercício Utilizando a definição de determinante justifique as propriedades acima Cálculo do Determinante pelo Método de Laplace Você deve ter notado que calcular o determinante pela definição pode ser bastante enfadonho Por isso metodologias alternativas para o cálculo são sempre bemvindas Um desses métodos alternativos consiste no método de Laplace Antes de estudálo precisamos definir alguns conceitos O primeiro conceito que introduziremos é o de submatriz Submatriz Seja uma matriz quadrada A nn Uma submatriz Aij de A é uma matriz obtida eliminando a iésima linha e a jésima coluna de A ANTON RORRES 2012 Como exemplo considere a matriz A 1 3 2 5 2 7 3 0 1 As matrizes A21 3 2 0 1 e A32 1 2 5 7 são submatrizes de A Outro conceito que nos será útil no cálculo de determinantes pelo método de Laplace é o conceito de cofator A definição de cofatores também será importante na definição de matriz adjunta Cofator O cofator de um elemento aij de uma matriz quadrada A n n é o número Δij 1ij det Aij O cofator é também denominado complemento algébrico Para exemplificar tomemos a matriz A 1 3 2 5 2 7 3 0 1 Neste caso temos que Δ22 122 det A22 14 det 1 2 3 1 Δ22 7 e Δ12 112 det A12 13 det 5 7 3 1 Δ12 1 26 26 Exercício Calcule os demais cofatores da matriz acima Método de Laplace O cálculo de determinante de uma matriz A n n via o desenvolvimento de Laplace é realizado por meio da fórmula a seguir det A Σ j1 até n aij Δij para qualquer linha i De forma análoga podemos definir também det A Σ i1 até n aij Δij para qualquer coluna j Para exemplificar calculemos o determinante da matriz A 1 3 2 5 2 7 3 0 1 pelo método de Laplace Segundo a definição para fazer o cálculo podemos escolher qualquer linha ou qualquer coluna e então fazemos o somatório Tomemos a linha 3 Neste caso podemos escrever det A Σ j1 até n a3j Δ3j det A a31 Δ31 a32 Δ32 a33 Δ33 det A 3 17 0 3 1 13 51 13 64 Como exercício calcule o determinante da matriz A pelo método de Laplace utilizando outra linha ou coluna Matriz Adjunto Nesta seção introduziremos o conceito de matriz adjunta Antes disso precisamos definir a matriz dos cofatores Definição Matriz dos Cofatores Seja A aij uma matriz quadrada de ordem n Definimos a matriz dos cofatores de A denotada por Δ a matriz que se obtém substituindo cada elemento aij de A pelo seu respectivo cofator Δij Exemplificaremos essa definição com o cálculo da matriz dos cofatores associada à matriz A 1 3 2 5 2 7 3 0 1 Já conhecemos os cofatores Δ12 26 e Δ22 7 Calculando os demais cofatores obtemos Δ11 111 det A11 12 det 2 7 0 1 Δ11 2 Δ13 113 det A13 14 det 5 2 3 0 Δ13 6 Δ21 121 det A21 13 det 3 2 0 1 Δ21 3 Δ23 123 det A23 15 det 1 3 3 0 Δ23 9 Δ31 131 det A31 14 det 3 2 2 7 Δ31 17 Δ32 132 det A32 15 det 1 2 5 7 Δ32 3 Δ33 133 det A33 16 det 1 3 5 2 Δ33 13 Colocando os cofatores calculados nas posições devidas obtemos a matriz Δ 2 26 6 3 7 9 17 3 13 a qual é a matriz dos cofatores de A Agora para praticar um pouco determine a matriz dos cofatores da matriz B 1 2 5 7 Definição Matriz Adjunta Seja A uma matriz quadrada de ordem n Definimos a matriz adjunta de A denotada por adjA como a transposta da matriz dos cofatores de A isto é FRANCO 2016 adjA Δt Para exemplificar determinemos a matriz adjunta da matriz abaixo A 1 3 2 5 2 7 3 0 1 Note que a matriz A é aquela que determinamos a sua matriz dos cofatores Dessa forma basta calcular a transposta da matriz dos cofatores que neste caso será dada por adjA Δt 2 3 17 26 7 3 6 9 13 É a sua vez de praticar Calcule a matriz adjunta da matriz B 1 2 5 7 Lembrese que você já determinou a matriz dos cofatores de B Na sequência estudaremos um importante teorema que envolve a matriz adjunta Antes disso você está convidado a fazer alguns cálculos Consideremos a mesma matriz A utilizada no exemplo que acabamos de resolver Já sabemos que det A 64 Agora calcule a multiplicação AadjA Você encontrará AadjA 64 0 0 0 64 0 0 0 64 64 1 0 0 0 1 0 0 0 1 det A I3 Será que o resultado encontrado acima AadjA det A In é sempre válido A resposta é positiva Neste caso enunciaremos o seguinte teorema 1 TEOREMA Seja A uma matriz quadrada de ordem n tal que det A 0 Então AadjA det A In Demonstração faremos uma demonstração esquemática para matrizes de ordem dois que pode ser generalizada para matrizes de ordem n Seja a matriz A a11 a12 a21 a22 Temos que a matriz adjunta associada à A é dada por adjA a22 a12 a21 a11 Dessa forma o produto AadjA é dado por AadjA a11 a22 a12 a21 a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22 a11 a22 a12 a21 detA 0 0 detA detA I2 Os resultados para matrizes de ordem superior podem ser obtidos de forma análoga A seguir apresentaremos o conceito de matriz inversa 50 Determinante Matriz Inversa e Sistemas Lineares Seja A uma matriz quadrada de ordem n De nominamos matriz inversa de A denotada por A1 a uma matriz também de ordem n que satisfaz a seguinte propriedade AB BA In Se essa matriz A1 existir A será chamada de matriz invertível HOLT 2016 Matriz Inversa 1 EXEMPLO Calcule a inversa da matriz A 2 1 4 3 Resolução determinaremos a matriz inversa A1 utilizando a definição Para isso denominemos A1 a b c d e determinemos os elementos a b c e d Assim temos que 2 1 a b 4 3 c d 1 0 0 1 O que nos leva a 2a c 2b d 4a 3c 4b 3d 1 0 0 1 Dessa forma temos dois sistemas de equações dados por 2a c 1 4a 3c 0 e 2b d 0 4b 3d 1 O que nos leva a a 310 b 110 c 410 e d 210 Logo concluímos que A1 310 110 410 210 Como exercício calcule o produto entre a matriz A1 calculada e a matriz A original e então confirme se o resultado é realmente a matriz identidade Você deve ter notado que o cálculo da matriz inversa pela definição pode ser uma tarefa enfadonha sobretudo para matrizes de ordens superiores a dois Para isso iremos desenvolver uma expressão que nos permitirá a realização deste cálculo de forma mais direta sem a necessidade de resolver sistemas de equações Para esse fim considere o resultado já encontrado AadjA detAIn podemos reescrevêlo na seguinte forma A adjA detA In Comparando esta expressão com a definição de matriz inversa concluímos que A1 1 detA adjA Essa expressão nos possibilita calcular matrizes inversas de forma mais direta Como exemplo tomemos a matriz A 1 3 2 5 2 7 3 0 1 Já calculamos a sua adjunta a qual é dada por adjA 2 3 17 26 7 3 6 9 13 O seu determinante também já foi calculado para o qual foi obtido detA 64 Dessa forma a inversa de A é dada por A1 1 64 2 3 17 26 7 3 6 9 13 Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo Para acessar use seu leitor de QR Code Como exercício verifique se o produto AA1 para a matriz dada neste exemplo é realmente igual à matriz identidade Com a definição de matriz inversa a partir da matriz adjunta podemos inferir que a condição para que uma matriz tenha inversa é detA 0 Algumas propriedades da matriz inversa serão apresentadas a seguir Propriedades 1 In1 In 2 AB1 B1 A1 3 At1 A1t 4 Se uma matriz A possui inversa a inversa é única 5 detA1 1 detA Demonstrações A primeira propriedade é imediata pois a adjunta da matriz identidade é ela mesma os únicos cofatores nãonulos de uma matriz identidade são aqueles associados à diagonal principal E ainda o determinante da matriz identidade é igual a 1 Neste caso fica provada a propriedade 1 Você pode verificar a segunda propriedade de forma bem fácil Sabemos que pela definição da matriz inversa quando multiplicamos uma matriz por sua inversa devemos obter a matriz identidade Neste caso temos AB1 AB B1 A1 AB B1 In B B1 B In Por outro lado temos ABAB1 ABB1 A1 A In A1 AA1 In E assim fica demonstrada a propriedade 2 A propriedade 3 pode ser demonstrada de forma análoga à anterior Conforme está explicitado na expressão a seguir At A1t A1At Int In A propriedade 4 pode ser demonstrada por contradição Para isso supomos que as matrizes B e C são inversas da matriz A Então AB BA In e AC CA In Com isso podemos escrever B BIn BAC BAC In C C logo B C A quinta propriedade é facilmente demonstrada se utilizarmos a definição de matriz inversa AA1 In e a propriedade do determinante do produto detAB detAdetB Seja então AA1 In Calculando o determinante de ambos os lados da equação obtemos detAA1 detAdetA1 detIn 1 detAdetA1 1 supondo detA eq 0 chegamos a detA1 frac1detA Um exercício interessante do cálculo matricial está colocado a seguir Exercício Isole a matriz X dada na equação AX B Resolução podemos isolar a matriz X multiplicando à esquerda dos dois lados da equação por A1 Como AA1 In e In é o elemento neutro da multiplicação matricial temos que X A1B desde que A1 exista Agora que você já conhece o conceito de matriz inversa podemos retornar ao problema da mensagem por você recebida O seu objetivo é decifrála Para esse fim você deve entender como ela foi elaborada Primeiramente o responsável pela escrita da mensagem trocou as letras por números da maneira que foi estabelecida no início desta unidade Em seguida ele colocou os números em uma matriz a qual foi multiplicada à esquerda pela matriz chave e o resultado obtido foi a matriz enviada Denominemos a matriz segredo por S a matriz chave por C e a matriz mensagem a que foi enviada a você por M Neste caso temos que M CS Neste caso precisamos isolar a matriz S para então deciframos a mensagem Para esse fim multipliquemos à esquerda dos dois lados por C1 Dessa forma temos C1M C1CS Contudo você sabe que C1C I2 Assim sendo C1M I2 S ou seja S C1M Dessa forma percebemos que para decifrar a mensagem você deve multiplicar a matriz M recebida à esquerda pela inversa da matriz chave Como exercício é deixado para você mostrar que a inversa da matriz chave é C1 beginpmatrix 3 1 2 1 endpmatrix Sendo assim a decodificação da mensagem nos fornece S beginpmatrix 3 1 2 1 endpmatrix beginpmatrix 15 18 18 17 4 0 30 55 31 51 25 1 endpmatrix O que nos fornece S beginpmatrix 15 1 23 0 13 1 0 19 5 17 17 1 endpmatrix Associando os números da matriz a letras do alfabeto chegamos a PAZ NA TERRA E essa foi a mensagem enviada pelos extraterrestres 56 Determinante Matriz Inversa e Sistemas Lineares Os sistemas lineares são de extrema importância nas mais variadas áreas do conhecimento Sendo assim compreender como encontrar a solução de um sistema de equações lineares é demasia damente necessário a qualquer profissional de ciência e tecnologia sobretudo a você que será um futuro engenheiro Existem diversos métodos para encontrar a solução de um sistema linear Estudaremos nesta seção um desses métodos denominado Método de Cramer Método de Cramer Nesta seção veremos como se resolve um sistema linear por meio da regra de Cramer A regra de Cramer é aplicável quando o número de equa ções é igual ao número de incógnitas De forma geral é possível resolver um sistema de equações quando o número de equações é maior ou igual ao número de incógnitas Para esse fim considere o sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas dado a seguir ANTON RORRES 2012 Sistemas de Equações Lineares begincases a11x1 a12x2 cdots a1nxn b1 a21x1 a22x2 cdots a2nxn b2 vdots an1x1 an2x2 cdots annxn bn endcases Podemos escrevêlo no formato matricial beginpmatrix a11 a12 cdots a1n a21 a22 cdots a2n vdots vdots ddots vdots an1 an2 cdots ann endpmatrix beginpmatrix x1 x2 x3 vdots xn endpmatrix beginpmatrix b1 b2 b3 vdots bn endpmatrix o qual pode ser escrito como AX B onde A representa a matriz dos coeficientes X representa a matriz das incógnitas ou matriz solução e B representa a matriz dos termos independentes Neste caso temos A beginpmatrix a11 a12 cdots a1n a21 a22 cdots a2n vdots vdots ddots vdots an1 an2 cdots ann endpmatrix X beginpmatrix x1 x2 x3 vdots xn endpmatrix e B beginpmatrix b1 b2 b3 vdots bn endpmatrix A regra de Cramer nos diz que a solução do sistema é dada por x1 fracdetA1detA x2detA2detA xndetAndetA onde detA é o determinante da matriz dos coeficientes e detAi é o determinante da matriz Ai A matriz Ai é obtida de A pela substituição da iésima coluna de A pela matriz dos termos independentes Faremos uma demostração esquemática da regra de Cramer Contudo a demonstração pode ser generalizada para o caso com mais incógnitas e equações Tomaremos um sistema com três incógnitas e três equações dado por a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3 o qual pode ser escrito no formato matricial dado por a11 a12 a13x1 b1 a21 a22 a23x2 b2 a31 a32 a33x3 b3 Escrevemos então AXB XA1B Neste caso x1 x2 x3 1detA Δ11 Δ12 Δ13b1 Δ21 Δ22 Δ23b2 Δ31 Δ32 Δ33b3 Efetuando a multiplicação de A1 por B obtemos x1 x2 x3 1detA Δ11b1 Δ21b2 Δ31b3 Δ12b1 Δ22b2 Δ32b3 Δ13b1 Δ23b2 Δ33b3 Note que utilizando o método de Laplace podemos mostrar que Δ11b1 Δ21b2 Δ31b3 detA1 onde A1 b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33 ou seja é a matriz obtida pela substituição da primeira coluna da matriz A pela matriz B De forma análoga Δ12b1 Δ22b2 Δ32b3 detA2 onde A2 a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33 ou seja é a matriz obtida pela substituição da segunda coluna da matriz A pela matriz B E também Δ13b1 Δ23b2 Δ33b3 detA3 em que A1 a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3 ou seja é a matriz obtida pela substituição da terceira coluna da matriz A pela matriz B Com isso mostramos a regra de Cramer 2 EXEMPLO Utilizando a regra de Cramer resolva o sistema de equações a seguir x 4y z 6 4x y 2z 1 2x 2y 3z 20 Resolução o sistema quando escrito no formato matricial fica dado por 1 4 1 x 6 4 1 2 y 1 2 2 3 z 20 E as matrizes Ax Ay e Az obtidas pela substituição da matriz dos termos independentes na primeira segunda e terceira coluna da matriz A respectivamente são dadas por Ax 6 4 1 1 1 2 20 2 3 Ay 1 6 1 4 1 2 2 20 3 e Az 1 4 6 4 1 1 2 2 20 Você deve verificar como exercício que detA 55 detAx 144 detAy 61 e detAz 230 Dessa forma encontramos a solução x 14455 y 6155 e z 23055 Classificação dos Sistemas Utilizando a regra de Cramer podemos classificar os sistemas de acordo com o valor encontrado para os determinantes da matriz dos coeficientes e das demais matrizes 1 detA 0 Sistema Possível e Determinado o sistema é possível e determinado se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero Neste caso a solução é única 2 detA 0 quando o determinante da matriz dos coeficientes é igual a zero temos duas possibilidades a detAi 0 i quando os demais determinantes são todos nulos temos um sistema com infinitas soluções ou seja o sistema é possível e indeterminado b detAi 0 quando pelo menos um dos demais determinantes é diferente de zero temos um sistema impossível Por exemplo o sistema que resolvemos é possível e determinado Você sabia que a inversa da transposta é igual a transposta da inversa Ou seja se alguém pedir para que você inverta uma matriz e depois calcule a transposta você obteria o mesmo resultado se calculasse primeiro a transposta e depois a invertesse Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução 1 O determinante da matriz A 1 2 3 1 1 2 0 1 2 é igual a a 2 b 2 c 1 d 1 e 0 2 A adjunta da matriz A 1 2 3 1 1 2 0 1 2 é dada por a 0 2 2 1 1 3 1 1 3 b 1 0 1 2 1 4 1 1 2 c 2 1 3 3 2 1 1 2 1 d 0 1 1 2 2 1 1 1 1 e 0 2 1 1 2 1 1 1 1 3 Os valores de x para os quais a matriz A 1 1 0 1 0 1 1 2 x tem inversa são a x 1 b x 1 c x 2 d x 0 e x 1 4 Sobre o sistema linear x y z 6 x y z 4 2x y z 1 podemos afirmar I O sistema é possível e determinado II O sistema é impossível III O sistema é possível e indeterminado IV A solução do sistema é dada por x 1 y 3 z 2 V O sistema admite infinitas soluções Estáão corretas a I e IV b apenas a II c apenas a III d III e IV e apenas a IV 5 Mostre que a inversa da matriz A a b c d é dada por A 1 ad bc d b c a 63 Álgebra Linear Contemporânea Autor Howard Anton e Robert C Busby Editora Bookman Sinopse esta obra traz o conteúdo de álgebra linear para estudantes de ciências exatas e engenharia com aplicações modernas Neste livro há uma interface entre álgebra linear e geometria Comentário a leitura do capítulo 4 desta obra é recomendada LIVRO 64 ANTON H BUSBY R C Álgebra Linear Contemporânea Porto Alegre Editora Bookman 2006 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed São Paulo Editora Bookman 2012 FRANCO N M B Álgebra Linear 1 ed São Paulo Ed Pearson 2016 HOLT J Álgebra Linear com Aplicações 1 ed São Paulo Ed LTC 2016 LIMA EL Álgebra Linear 9 ed Rio de Janeiro Ed SBM 2016 1 A resolução desta atividade consiste em calcular o determinante da matriz dada O cálculo pode ser realizado por diversos métodos Utilizaremos o resultado que encontramos no texto para matrizes de ordem 3 a partir da definição Sendo assim temos detA 211 220 311 013 111 212 detA 1 Portanto a alternativa correta é a letra C 2 Nesta questão devemos calcular a matriz adjunta associada à mesma matriz da questão anterior Para isso precisamos calcular antes os seus cofatores os quais são 11 0 12 2 13 1 21 1 22 2 23 1 31 1 32 1 33 1 Dessa forma a matriz dos cofatores é dada por 0 2 1 1 2 1 1 1 1 Como a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores chegamos ao resultado adjA 0 1 1 2 2 1 1 1 1 Portanto a alternativa correta é a letra D 3 A resolução desta questão consiste em aplicar a condição de existência da matriz inversa a qual é detA 0 O determinante da matriz dada é igual a 1 2 x 0 o que nos fornece x 1 Portanto a resposta correta é a letra B 4 Resolveremos essa atividade utilizando o método de Cramer Como primeiro passo escrevemos o sistema no formato matricial o qual é dado por 1 1 1 1 1 1 2 1 1x y z 6 4 1 Em seguida calculase o determinante da matriz dos coeficientes a qual denominamos por A 1 1 1 1 1 1 2 1 1 Obtemos então detA 4 Como o determinante da matriz dos coeficientes é diferente de zero o sistema dado é possível e determinado Concluímos assim que os itens II III e V estão incorretos e o item I está correto Restanos saber se o item IV está correto Para esse fim calcularemos a solução do sistema Obtemos assim detAx 4 detAy 12 detAz 8 Dessa forma encontramos a solução x 1 y 3 z 2 O item 4 está correto Assim a alternativa correta é a letra A 5 Há várias formas de se resolver esta questão Resolveremos por meio do cálculo da adjunta Antes devemos encontrar os cofatores da matriz A os quais são dados por Δ11 d Δ12 c Δ21 b Δ22 a Assim a matriz dos cofatores é dada por Δ Calculando a adjunta da matriz dos cofatores obtemos a matriz adjunta a qual é dada por adjA Como o determinante de A é dado por detA ad bc obtemos para a inversa de A o seguinte resultado A1 Chegamos ao resultado esperado Diário de Bordo Diário de Bordo PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Calcular a distância entre dois pontos Identificar e construir equações de retas Identificar e construir equações de circunferências O ponto A reta A circunferência Dr Ronni Amorim Dr Ricardo Fragelli Dr Vinícius Rispoli Fundamentos de Geometria Analítica no R2 O Ponto Prezadoa alunoa nesta unidade você estudará os principais elementos da geometria analítica no plano Os conceitos estudados serão fundamentais para a compreensão das demais unidades Os tópi cos serão divididos basicamente em três o ponto a reta e a circunferência De um ponto de vista histórico podese dizer que a geometria analítica teve início com a obra La Geométrie escrita por René Descartes Descartes 15961650 embora fosse licenciado em Direito realizou brilhantes contribuições às áreas de Física e Matemática Des cartes introduziu as bases da geometria analítica ao introduzir as ideias de eixos e de coordenadas o conhecido plano cartesiano que permitiram traduzir um problema geométrico para a lingua gem algébrica e reciprocamente dar uma inter pretação geométrica a determinadas equações Desde então a geometria analítica tem evoluído e se tornado um item de fundamental importância em áreas como engenharia e computação 71 UNIDADE III Como um pequeno exemplo que traduz a importância da geometria analítica até mesmo em nosso dia a dia considere a situação a seguir Suponha que você tenha encontrado um mapa confeccionado pelo seu falecido bisavô o qual traz a locali zação de um tesouro enterrado no sítio da família Contudo a leitura do mapa não é simples e além disso o seu bisavô tinha estabelecido que apenas uma escavação poderia ser feita para retirar o tesouro a fim de conservar as características do sítio O mapa era baseado em um pé de goiaba e dois pés de manga localizados próximos à casa do sítio As instruções do seu bisavô eram as seguintes 1 Partindo do pé de goiaba caminhe até o pé de manga à sua esquerda contando os passos Chegando lá gire à direita 90 graus e caminhe o mesmo número de passos Aonde chegar faça uma marca 2 Voltando novamente ao pé de goiaba ande até chegar ao pé de manga à sua direita contando os passos Chegando lá gire à esquerda 90 graus caminhe o mesmo número de passos e faça uma marca nesta posição 3 O tesouro está enterrado exatamente na reta que liga essas duas marcas e à mesma distância das duas marcas A Figura 1 traz um esboço do problema proposto incluindo às goiabeiras e a mangueira G M2 M1 Figura 1 Mapa do tesouro Fonte os autores 72 E aí como você resolverá o problema do tesouro Antes de solucionar este problema você deve estudar os conteúdos de geometria analítica os quais serão de grande valia na solução desta tarefa Iniciaremos com o estudo do ponto Antes de introduzirmos a representação de um ponto na geometria analítica é impor tante definirmos o sistema de coordenadas no plano A representação gráfica de pontos no plano é feita por meio do plano cartesiano Este nome é homenagem a Renê Descartes o qual foi um dos precursores da geometria analítica O plano cartesiano é constituído de dois eixos perpendiculares que se interceptam Utilizandoo tornase possível realizar a representação da posição de qualquer objeto no plano Diversas atividades utilizam o plano cartesiano como a cartografia por exemplo Nesse sentido a localização de um ponto no plano cartesiano é feita pelas coordenadas do plano P abscissa ordenadaPxy A localização do ponto no eixo x é denominada abscissa enquanto no eixo y é denominada ordenada as quais são denominadas coordenadas do ponto Tais valores correspondem a uma espécie de endereço do ponto É importante que você saiba que a ordem das coor denadas é fundamental caso você troque a ordem da abscissa com a ordenada o ponto representado se modifica Vejamos alguns exemplos O ponto A53 possui as coordenadas 5 e 3 sendo 5 sua abscissa e 3 sua orde nada O ponto B65 possui as coordenadas 6 e 5 sendo 6 sua abscissa e 5 sua ordenada O ponto C45 35 possui as coordenadas 45 e 35 sendo 45 sua abscissa e 35 sua ordenada O ponto D00 possui coordenadas 0 e 0 sendo 0 sua abscissa e 0 sua orde nada O ponto D é denominado origem Fundamentos de Geometria Analítica no R2 Distância entre dois pontos 73 UNIDADE III Os pontos exemplificados estão esboçados na Figura 2 y x C 4535 B 65 A 53 D 00 6 5 4 3 2 1 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Figura 2 Representação gráfica de pontos Fonte os autores Uma consideração importante sobre o plano cartesiano é a seguinte os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes BOULOS CAMARGO 2004 Os pontos pertencentes ao primeiro quadrante possuem abscissas e orde nadas positivas Os pontos pertencentes ao segundo quadrante possuem abscissas negativas e ordenadas positivas Os pontos pertencentes ao terceiro quadrante possuem abscissas e orde nadas negativas Os pontos pertencentes ao quarto quadrante possuem abcissas positivas e ordenadas negativas Distância entre dois pontos Agora que você já sabe representar um ponto no plano cartesiano poderá imaginar como determinar a distância entre dois pontos A pergunta é simples dados dois pontos como você pode calcular a distância entre eles A resposta é bem simples e é baseada no Teorema de Pitágoras Para você perceber isso observe a Figura 3 Figura 3 Distância entre dois pontos Fonte os autores O seu objetivo é descobrir a distância entre os pontos A e B Antes disso note que as coordenadas dos pontos são A x1y1 e B x2y2 Note também que os pontos AB e C formam um triângulo retângulo com o lado AB representando sua hipotenusa Os catetos AC e BC medem respectivamente x1x2 e y1y2 Denominada a medida do lado AB por d temos que a distância entre os pontos A e B é dada por dx1x22y1y22 1 Para que você compreenda melhor façamos um exemplo 1 EXEMPLO Calcule a distância entre os pontos A 11 e B 31 Você pode calcular a distância entre os pontos A e B utilizando a Equação 1 Fazendo isso obtemos d132112 d2222 d8 d2 2 2 EXEMPLO Ache o comprimento do segmento cujos extremos são dados pelos pontos 21 e 13 O comprimento do segmento que possui os pontos dados como extremos nada mais é que a distância entre tais pontos Sendo assim você pode calcular da mesma forma que no exemplo anterior d 212132 d3242 d25 d5 Ponto Médio de um Segmento A pergunta que você deve responder agora é outra dados dois pontos no plano cartesiano como você faria para determinar as coordenadas do ponto médio do segmento que liga esses dois pontos Esse é um problema muito importante da geometria analítica plana e você o utilizará para resolver o problema motivador do início da unidade Para isso considere a Figura 4 a seguir Figura 4 Ponto médio Fonte os autores Para determinar as coordenadas do ponto médio do segmento que une os pontos A e B você deve considerar que a distância entre A e M é a mesma entre B e M Assim denominando dAM como a distância entre A e M dBM como a distância entre B e M e xMyM como as coordenadas do ponto M temos dAMdBM xMx12yMy12x2xM2y2yM2 Elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo os produtos notáveis obtemos xM22xMx1x12yM22yMy1y12x222x2xMxM2y222y2yMyM2 Simplificando a última equação podemos escrever 2xMx1x22yMy1y2x22x12y22y12 reconhecemos do membro direito da equação o produto da soma pela diferença Assim temos 2xMx1x22yMy1y2x1x2x1x2y1y2y1y2 Comparando os dois membros da equação acima percebemos que para a igualdade ser mantida devemos ter 2xM x1 x2 2yM y1 y2 O que nos leva às coordenadas do ponto médio de um segmento xM x1 x22 yM y1 y22 Para que você fixe essa ideia façamos um exemplo 3 EXEMPLO Determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujos extremos são os pontos 21 e 13 Para resolver este exemplo você deve utilizar as equações deduzidas anteriormente Dessa forma xM 2 12 yM 1 32 Com isso as coordenadas do ponto médio do segmento dado são xM 12 yM 1 Ou seja 12 1 A Reta Neste tópico você estudará sobre retas no plano Dessa maneira a seção está organizada com os seguintes tópicos coeficiente angular de uma reta equação da reta retas paralelas e perpendiculares distância entre ponto e reta Como você notou um ponto é representado no plano como um par ordenado Por outro lado uma reta é representada por um conjunto de pontos que satisfazem à equação ax by c 0 No decorrer da seção o estudo sistemático desta equação será detalhado Coeficiente Angular de uma Reta Um ingrediente fundamental na escrita da equação de uma reta é o seu coeficiente angular também conhecido como declividade da reta E o que seria o coeficiente angular de uma reta Para responder a essa questão considere a Figura 5 dada a seguir Figura 5 Coeficiente angular Fonte os autores Considere a reta que passa pelos pontos A e B mostrados na Figura 5 O coeficiente angular dessa reta representado por m é definido como a tangente do ângulo que a reta forma com a horizontal ou seja é igual à tangente do ângulo oposto ao lado com medida y2 y1 Assim utilizando as relações trigonométricas do triângulo retângulo temos que a declividade é dada por m y2 y1 x2 x1 É importante destacar que a declividade deve ser sempre considerada do eixo x para a reta no sentido antihorário Assim se a reta for crescente m 0 pois o ângulo será agudo Se a reta for decrescente m 0 pois o ângulo é obtuso Por outro lado se a reta for horizontal m 0 Outra observação merecedora de destaque é a afirmação que dois pontos distintos determinam uma única reta Ou seja dados dois pontos distintos no plano há apenas uma reta que passe simultaneamente por esses dois pontos A Equação da Reta Nesta seção o objetivo será o estudo da equação da reta Você estudará como determinar a equação da reta sob duas perspectivas no primeiro momento você verá como escrever a equação de uma reta dados um ponto pelo qual ela passa e a sua declividade Em seguida o foco será na obtenção da equação de uma reta conhecendose dois pontos pelos quais ela passa UNIDADE III 79 Equação da reta quando são conhecidos um ponto pelo qual ela passa e sua declividade Suponha que você conheça um ponto P0x0y0 pelo qual uma dada reta passe e o seu coeficiente angular m e queira encontrar uma equação de incógnitas x e y que represente o conjunto de pontos Pxy pelos quais a reta passe Neste caso como sabemos que a reta passa por P0 e também por P temos que a sua declividade m pode ser escrita como m y y0 x x0 Rearranjando essa equação você obtém y y0 mx x0 2 A Equação 2 representa a equação de uma reta no plano Para que você fixe este conceito faremos um exemplo 4 EXEMPLO Determine a equação da reta que passa pelo ponto 15 e tem coeficiente angular 3 Você pode resolver este exemplo utilizando a Equação 2 pois foi fornecido um ponto pelo qual a reta passa e a declividade Dessa forma obtémse y 5 3x 1 Desenvolvendo a última expressão temse y 5 3x 3 a qual pode ser escrita na forma reduzida isolando o y y 3x 8 ou na forma geral colocando todos os fatores no primeiro membro 3x y 8 0 Equação da reta quando são conhecidos dois pontos pelos quais ela passa Digamos que são fornecidos dois pontos pelos quais passa determinada reta e seja solicitado que você escreva a equação da reta Como você resolveria este problema A solução é simples Como você conhece dois pontos que pertencem à reta tais pontos podem ser usados no cálculo do coeficiente angular Após a determinação do coeficiente angular basta você utilizar a Equação 2 e escrever a equação da reta Para que você compreenda este método o exemplo abaixo é apresentado 5 EXEMPLO Escreva a equação da reta que passa pelos pontos 1 3e53 Primeiramente você deve calcular o coeficiente angular da reta que passe por esses pontos Assim temos m 3 31 5 m 1 Agora de posse da declividade da reta podemos utilizar a Equação 2 Uma observação importante é que qualquer um dos dois pontos dados poderão ser utilizados na obtenção da equação da reta y 3 1x 1 Desenvolvendo a última expressão temse y 3 x 1 a qual pode ser escrita na forma reduzida y x 2 ou na forma geral x y 2 0 Retas Paralelas e Perpendiculares Considere a seguinte situação a você foram apresentadas as equações de duas retas e foi perguntado se elas são paralelas O que você faria para responder a essa questão Nessa seção identificaremos quando duas retas são paralelas concorrentes e perpendiculares observando as suas equações Sabemos da geometria plana que retas paralelas não se interceptam Nesse sentido para que duas retas não se interceptem elas devem formar o mesmo ângulo com a horizontal No linguajar da geometria analítica plana as retas paralelas devem possuir o mesmo coeficiente angular ou seja a mesma declividade Uma forma simples de encontrar o coeficiente angular de uma reta é observar o fator que multiplica a incógnita x quando a equação da reta estiver na forma reduzida tente justificar essa última frase De forma simples duas retas r e s com coeficientes angulares iguais a mr e ms respectivamente são paralelas se e somente se mr ms Por exemplo as retas y 3x 2 e y 3x 5 são paralelas pois ambas possuem o mesmo coeficiente angular neste caso igual a 3 Caso os coeficientes angulares sejam diferentes as retas são concorrentes Retas concorrentes especiais são as retas perpendiculares Duas retas r e s com coeficientes angulares iguais a mr e ms respectivamente são perpendiculares se e somente se mr 1ms Por exemplo as retas y 2x 1 e y 12x 2 são perpendiculares A demonstração dessa propriedade será realizada a seguir Para estabelecermos a condição de perpendicularismo entre duas retas tomemos inicialmente uma reta oblíqua r que forme ângulo θr com o eixo das abscissas Seja s r tal que a reta s forme ângulo θs com o eixo das abscissas também no seu sentido positivo conforme apresentado na Figura 6 Temos então θs90θr e mstan θstan90θr Contudo tan90θrcot θr 1tan θr o que nos dá ms 1mr Assim mrms 1 é a condição de perpendicularismo entre duas retas oblíquas ao eixo x Figura 6 Retas perpendiculares Fonte os autores É importante observar que a aplicação de mrms 1 é condicionada ao fato de r e s serem oblíquas ao eixo do x pois não é definida no caso de uma delas ser vertical Entretanto se uma reta é vertical independentemente da condição estabelecida uma perpendicular a ela é horizontal e viceversa No propósito de fixar esses conceitos são apresentados três exemplos 6 EXEMPLO Escreva a equação da reta que é paralela à reta y5x2 e que passe pelo ponto 11 A resolução deste exemplo é bem simples A reta procurada é paralela à reta y5x2 portanto possui coeficiente angular igual a 5 Além disso como ela passa pelo ponto 11 a sua equação pode ser determinada usando a Equação 2 ou seja y15x1 Tenha sua dose extra de conhecimento assistindo ao vídeo Para acessar use seu leitor de QR Code Desenvolvendo a última expressão temse y15x5 a qual pode ser escrita na forma reduzida y5x6 7 EXEMPLO Escreva a equação da reta que é perpendicular à reta 2y4x30 e que passe pelo ponto 23 Como a reta r procurada é perpendicular à reta s 2y4x30 a relação entre os seus coeficientes angulares é dada por mr 1ms Assim no primeiro momento devemos encontrar o coeficiente angular de s Para esse fim isoemos y na equação 2y4x30 Assim obtemos y2x 32 e o coeficiente angular de s é ms 2 Assim o coeficiente angular da reta procurada é igual a mr 12 Com isso estamos procurando uma reta de coeficiente angular igual a 12 e que passa pelo ponto 23 Utilizando a Equação 2 obtemos y312x2 Desenvolvendo a última expressão temse y3 12 x 1 a qual pode ser escrita na forma reduzida y 12 x 2 8 EXEMPLO Determine as coordenadas do ponto P de intercessão das retas de equações y3x10 e 2y5x20 Para encontrar a interseção entre as retas você deve resolver o sistema de equações gerado pelas equações das retas dadas pois no ponto de intercessão as retas possuem mesmas coordenadas Fazendo isso você pode obter Multiplicando a primeira equação por 2 obtémse 2y 6x 2 0 Isolando o 2y 2y 6x 2 Isolando o 2y na segunda equação obtémse 2y 5x 2 Igualandose ambos os 2y temse 5x 2 6x 2 ou seja x 411 Com tal resultado concluise que y 111 Logo as coordenadas de intercessão das retas são x 411 e y 111 Distância Entre Ponto e Reta Nesta seção você determinará a distância entre um ponto e uma reta Conhecer a distância entre reta e ponto será utilizado quando for introduzida a posição relativa entre retas e circunferências A distância entre um ponto P0x0y0 a uma reta de equação y mx n supondo que o ponto não pertença à reta pode ser encontrado por meio da equação dn y0 mx0 m² 1 3 Para fixar este conceito um exemplo é apresentado a seguir 9 EXEMPLO Calcule a distância entre o ponto P11 e à reta de equação y 5x 1 Reconhecendo os parâmetros m5 n1 x0 1 e y0 1 e utilizando a Equação 3 obtémse d 1 1 51 5² 1 d 7 26 UNIDADE III 85 86 Fundamentos de Geometria Analítica no R2 Neste tópico você estudará sobre outro elemen to geométrico muito relevante para a geometria analítica a circunferência Da geometria euclidia na plana sabemos que a definição formal de cir cunferência é o lugar geométrico constituído de pontos equidistantes de um ponto fixo Ao ponto fixo denominamos centro da circunferência e a distância fixa citada denominamos de raio da cir cunferência Essa definição é bastante intuitiva pois em algum dia muitas pessoas já necessita ram desenhar uma circunferência Suponha por exemplo que você necessite desenhar a circunferência central do campo de futebol Como você faria isso Primeiramente você necessitaria de uma corda cujo comprimento fosse do tamanho do raio da circunferência que você deseja plotar A partir de então um procedi mento simples seria amarrar em uma extremida de da corda um objeto que você fixaria no ponto central do campo e na outra extremidade o objeto contendo a tinta Com a corda esticada e presa na extremidade fixa basta dar uma volta completa marcando o percurso com a tinta Pronto você fez a circunferência desejada A Circunferência Equação da Circunferência Agora a meta é utilizar os conhecimentos adquiridos sobre geometria analítica até o momento para escrever uma equação que descreva todos os pontos que pertencam a uma dada circunferência O procedimento será análogo ao que foi feito no estudo da reta WINTERLE 2014 Considere que o ponto Cx₀y₀ represente o centro da circunferência O conjunto de pontos de coordenadas Pxy representam a circunferência de raio R se a distância desses pontos ao centro forem iguais ao raio Dessa forma podemos escrever xx₀²yy₀² R Elevando ao quadrado ambos os membros da equação acima obtémse xx₀²yy₀² R² 4 Essa última equação representa uma equação de uma circunferência de centro Cx₀y₀ e raio R 10 EXEMPLO Obtenha a equação da circunferência de centro em 12 e raio igual a 3 A resolução deste exemplo é bem simples basta substituir na Equação 4 o ponto e o raio dados no enunciado Fazendo isso obtémse x1²y2²3² x1²y2²9 Caso seja de interesse os quadrados da expressão acima podem ser desenvolvidos obtendose a equação x²y²2x4y40 a qual também corresponde à mesma circunferência 11 EXEMPLO Determine o centro o raio e o comprimento da circunferência de equação x²y²6x4y90 O reconhecimento do centro e do raio de uma circunferência quando é fornecida a equação é facilmente realizado se a equação estiver na forma da Equação 4 Então coloquemos a equação neste formato x²y²6x4y90 x²6xy²4y90 O próximo passo é completar os quadrados da equação acima Antes disso lembremos que ab²a²2abb² e ab²a²2abb² Utilizando essas duas expressões verificamos que x3²x²6x9 e y2²y²4y4 Logo a equação da circunferência dada neste problema pode ser escrita como x3²y2²40 ou ainda x3²y2²4 x3²y2²2² Com isso reconhecemos que a circunferência tem raio igual a 2 e centro 32 Conhecendo o raio podemos calcular o seu comprimento por meio da conhecida equação l2πr o que nos fornece l4π unidades de comprimento Posição Relativa Entre Ponto e Circunferência Considere agora que lhe seja fornecido um ponto e a equação de uma circunferência o que você faria para saber se o ponto é externo interno ou está sobre a circunferência A resposta é bem intuitiva Basta você determinar a distância do ponto considerado até o centro da circunferência caso essa distância seja maior que o raio da circunferência o ponto é exterior à circunferência Caso a distância calculada seja menor que o raio o ponto é interior E caso a distância seja igual ao raio o ponto pertence à circunferência Fácil não é mesmo Façamos um exemplo para fixar bem o conceito 12 EXEMPLO Seja a circunferência de equação x3²y2²4 verifique a posição dos pontos A23 B53 em relação à circunferência dada A resolução desta questão é bem simples Primeiramente verifique que a circunferência dada tem centro no ponto 32 e raio igual a 2 Agora basta calcular as distâncias dos pontos A e B até o centro da circunferência A distância deste ponto A ao centro da circunferência é dada por d23²32²2 Como 2 2 segue que o ponto A está no interior da circunferência Por sua vez a distância do ponto B ao centro da circunferência é dada por d53²32²8²1²65 Como 8 2 segue que o ponto B está do lado de fora da circunferência Agora deixaremos uma pergunta a você como você faria para determinar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência Ou melhor como você descobriria se uma reta é secante tangente ou se está no exterior de uma circunferência A resposta é bem simples basta você calcular a distância da reta até o centro da circunferência se a distância encontrada for inferior ao raio da circunferência a reta é secante por outro lado se a distância for igual ao raio da circunferência a reta é tangente e por fim se a distância for maior que o raio da circunferência a reta é externa Para fixar esse conceito veja o seguinte exemplo 13 EXEMPLO Qual é a posição relativa entre a reta y3x2 e a circunferência x3²y2²¼ Observando as equações você nota que a reta possui coeficiente angular igual a 3 e a circunferência possui centro em 32 e raio igual a ½ Utilizando a Equação 3 para determinar a distância da reta à circunferência dada temos d22333²1 d½ Como a distância encontrada foi igual ao raio da circunferência concluímos que a reta dada é tangente à circunferência Tendo em vista que você já se tornou um perito em Geometria Analítica no Plano podemos retornar ao desafio do tesouro proposto no início da unidade Para resolvêlo de forma eficiente vamos definir o eixo x passando pelas mangueiras com a origem do sistema de coordenadas localizado na mangueira 1 conforme mostrado na forma apresentada na Figura 7 A partir daí definamos as coordenadas de cada ponto importante Mangueira 1 M100 Mangueira 2 M2 d0 Goiabeira G ab Ponto A Adbad distância até M2 possui a mesma medida do segmento M2G Ponto B Bbadistância até M1 possui a mesma medida do segmento M1G Figura 7 Mapa do Tesouro Fonte os autores Tente você mesmo explicar porque as coordenadas dos pontos A e B são essas estabelecidas lembrese da geometria do problema Agora você sabe que o tesouro ao qual denominaremos de ponto T xT yT está localizado no ponto médio do segmento com extremos nos pontos A e B Neste caso temos xT b d b2 d2 yT a a d2 d2 Com isso as coordenadas do Tesouro são Td2d2 Você deve ter percebido que as coordenadas do tesouro dependem exclusivamente das coordenadas das mangueiras mais especificamente dependem da distância entre as mangueiras Dessa forma não dependíamos da localização da goiabeira para localizar o tesouro ou seja caso a goiabeira tivesse sido arrancada teríamos encontrado o tesouro Viu como o seu bisavô foi esperto Conhecimento na Prática Você pode utilizar seu diário de bordo para a resolução 1 A equação da reta que passa pelo ponto 11 e que é paralela à reta de equação y 3x 1 é dada por a y 3x 1 b y 3x 2 c y 3x 5 d y 3x 2 e y 3x 1 2 As coordenadas do ponto médio do segmento com extremidades nos pontos A23 e B47 são a 1 5 b 110 c 25 d 210 e 12 3 A equação da reta que passa pelo ponto 23 e é perpendicular à reta de equação y 12 x 3 é dada por a y 3x 1 b y 3x 2 c y 2x 7 d y 2x 1 e y 2x 1 94 Fundamentos da Matemática Elementar Geometria Analítica v 7 Autor Gelson Iezzi Editora Atual Sinopse um livro recomendado aos estudantes que desejam aprofundar no estudo da geometria analítica no plano Comentário excelente livro repleto de exemplos aplicações e exercícios Recomendase a leitura minuciosa dos cinco primeiros capítulos LIVRO 95 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analítica Um Tratamento Vetorial 3 ed São Paulo Editora Pearson 2004 WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica 2 ed São Paulo Editora Pearson 2014 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Definir vetor e calcular a soma de vetores e multiplicação de vetores por um número real identificando as proprie dades dessas operações Definir e calcular o produto escalar entre vetores utilizan doo para identificar o ângulo entre dois vetores Definir e calcular o produto vetorial Definir e calcular o produto misto Soma de vetores e multiplicação por escalar Produto Escalar Produto Misto Produto Vetorial Dr Ronni Amorim Dr Ricardo Fragelli Dr Vinícius Rispoli Vetores no Plano e no Espaço Soma de Vetores e Multiplicação por Escalar Prezadoa alunoa nesta unidade você será introduzido no universo dos vetores Os vetores são entidades matemáticas muito genéricas e ex tremamente relevantes nas mais diversas áreas sobretudo na engenharia Apesar da natureza ge nérica dos vetores nesta unidade o foco será no estudo dos vetores no plano e no espaço ou seja em espaços mais concretos e de fácil visualização A generalização dos vetores será realizada na uni dade denominada espaços vetoriais a qual será estudada em outro momento De um ponto de vista concreto você sabe que quando queremos falar de algumas grandezas fí sicas apenas um valor numérico não é suficiente para representálas Por exemplo se alguém deseja conhecer o movimento de um carro em uma dada estrada não é suficiente que você forneça a essa pessoa apenas o valor da velocidade do carro 80 quilômetros por hora por exemplo Para saber de fato o que se passa com o carro ou seja para descrever de forma completa o seu movimento essa pessoa precisaria saber se o carro está indo da esquerda para a direita ou de baixo para cima 110 Vetores no Plano e no Espaço A B u v u v C Figura 4 Soma de vetores Fonte os autores Caso u e v sejam transladados paralelamente a eles mesmos e colocados sob uma mesma origem obtemos um paralelogramo conforme aparece na Figura 5 A diagonal deste paralelogramo representa o vetor u v A B C u v u v Figura 5 Paralelogramo Fonte os autores Esse procedimento geométrico utilizado para somar vetores é denominado regra do paralelogramo É instrutivo dizer que tal regra é válida para realizar a soma de uma quantidade qualquer de vetores A regra é muito clara para você realizar a soma basta desenhar o primeiro vetor da soma e na extremidade dele colocar a origem do segundo na extremidade do segundo colocar a origem do terceiro e assim su cessivamente até completar a quantidade de vetores que você esteja somando Por fim o vetor soma corresponde ao vetor que sai da origem do primeiro vetor e possui extremidade na extremidade do último vetor 115 UNIDADE IV Nesta seção você estudará uma importante forma de se multiplicar vetores o produto escalar Esse produto recebe este nome porque o resultado da operação entre os dois vetores é um número real Conforme você verá na sequência da unidade o produto escalar proporciona inúmeras aplicações Por exemplo na Geometria tal produto permite o cálculo do ângulo entre dois vetores enquanto que na Física o produto escalar é usado no cálculo do trabalho realizado por uma força constante Produto Escalar 120 Vetores no Plano e no Espaço Nesta seção você estudará o outro tipo de produ to envolvendo vetores o qual será denominado produto vetorial O resultado do produto vetorial é um outro vetor que é perpendicular aos dois vetores que foram multiplicados O produto veto rial possui muitas aplicações geométricas dentre as quais destacase o cálculo da área da região delimitada por dois vetores Além disso também é aplicado na Física na mecânica podese calcular o torque devido uma força e no eletromagnetis mo podese determinar a força magnética sobre uma carga elétrica em movimento por meio do produto vetorial entre o vetor indução magnética e a velocidade da carga Produto Vetorial 126 Vetores no Plano e no Espaço Nesta seção você estudará o produto de três ve tores no espaço A esse produto damos o nome de produto misto A aplicação geométrica mais conhecida que envolve o produto misto é o cál culo de volumes O nome desse produto não é por acaso pois na mesma expressão temos produto escalar e produto vetorial Nesse sentido segue a definição do produto misto Produto Misto 132 Álgebra Linear e suas aplicações Autor Gilbert Strang Editora Cengage Learning Sinopse esta obra traz o conteúdo básico de álgebra linear para estudantes de ciências exatas e engenharia O conteúdo é apresentado de uma maneira alternativa em relação a outros livros Comentário recomendo a leitura dos quatro primeiros capítulos deste livro LIVRO 133 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analítica Um Tratamento Vetorial 3 ed São Paulo Editora Pearson 2004 WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica 2 ed São Paulo Editora Pearson 2014 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Identificar e escrever a equação do plano Identificar e escrever a equação da reta no R3 Identificar as posições relativas entre retas e planos Equação do Plano no Espaço Equação da Reta no R3 Posições Relativas Entre Retas e Planos Dr Ronni Amorim Dr Ricardo Fragelli Dr Vinícius Rispoli Retas e Planos do R3 Equação do Plano no Espaço Prezadoa alunoa Nesta unidade iniciaremos o estudo de geometria analítica no R3 ou seja no espaço tridimensional Estudaremos especifica mente sobre planos e retas Sendo assim o nosso objetivo é compreender como são equacionados os plano e as retas além de identificar as posições relativas entre planos e retas no R3 Antes de iniciar o estudo da unidade consi dere a seguinte situação suponha que você vá com quatro amigos a um bar Chegando lá vocês observam cinco banquinhos dos quais um tem apenas três pernas O seu amigo que é mais peri to em matemática avança logo no banco de três pernas e o pega para sentar Vocês não entendem todo aquele desejo do seu colega por aquele ban co daí ele diz Prefiro o banco de três pernas pois eles nunca mancam Você saberia explicar de um ponto de vista ma temático o porquê da afirmação do seu colega Então estude bem esta unidade pois no final dela você saberá responder a essa misteriosa situação 147 UNIDADE V Agora que você já sabe como identificar as re tas e os planos no espaço tridimensional e além disso sabe como escrever suas equações chegou o momento de estudar as posições relativas en tre tais constructos Nesta seção você verá como identificar retas paralelas e concorrentes planos paralelos e concorrentes bem como identificar a interseção entre retas e planos Iniciemos o estudo pelos planos Quando ana lisamos dois planos podemos encontrar duas si tuações eles podem ser paralelos ou se cortam segundo uma reta Sendo assim dois planos a1 e a2 são paralelos se e somente se os seus ve tores normais são paralelos ou seja se o vetor normal de um for um múltiplo do outro SAN TOS FERREIRA 2009 Nesse caso os planos são ditos paralelos Caso contrário se os vetores normais não forem paralelos o ângulo formado pelos planos é o mesmo ângulo definido pelos vetores normais Para calcular esse ângulo você pode utilizar o produto escalar estudado na Uni dade 4 Para ilustrar essas situações consideremos os exemplos a seguir Posições Relativas Entre Retas e Planos 157 Álgebra Linear Autor David Poole Editora Thomson Pioneira Sinopse esta obra traz o conteúdo de álgebra linear em uma linguagem simples e direta Há muitos problemas resolvidos ao longo do texto Comentário a leitura do Capítulo 3 desta obra é recomendada LIVRO 158 BOULOS P CAMARGO I Geometria Analítica Um Tratamento Vetorial 3 ed São Paulo Ed Pearson 2004 SANTOS F J FERREIRA S F Geometria Analítica 1 ed São Paulo Ed Bookman 2009 WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica 2 ed São Paulo Ed Pearson 2014 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Reconhecer os postulados que definem espaços e subes paços vetoriais Identificar se um dado conjunto corres ponde a um espaço vetorial Identificar a condição para um conjunto de vetores ser linearmente independente Identificar os conceitos de combinação linear base e di mensão de um espaço vetorial Construir a matriz mudança entre bases de um espaço vetorial Espaços e Subespaços Vetoriais Combinação Linear Base e Dimensão Mudança de Base Independência Linear Dr Ronni Amorim Dr Ricardo Fragelli Dr Vinícius Rispoli Espaços e Subespaços Vetoriais Espaços e Subespaços Vetoriais Prezadoa alunoa na Unidade 4 você estudou sobre vetores no plano e no espaço Você percebeu que os vetores satisfaziam algumas propriedades interessantes e peculiares Nesta unidade as ideias apresentadas na Unidade 4 serão generalizadas por meio do conceito de espaços vetoriais Você perceberá ainda que a noção que você possui acerca dos vetores também ficará mais abrangente Sendo assim aproveite o conteúdo desta unidade pois ele lhe será útil no decorrer de todo o curso Antes de ingressar definitivamente no assunto da unidade considere a seguinte história Supo nha que você tenha comentado que estudaria sobre espaços vetoriais nas próximas semanas com um amigo que além de entender de matemática tam bém gosta bastante de pintar Nessa conversa o seu amigo diz que o assunto espaços vetoriais tem muito a ver com a obtenção das cores utilizando cores primárias Seu amigo comenta ainda sobre situações envolvendo combinações lineares e bases de espaços vetoriais Você mesmo confiando na competência do seu amigo fica com um pé atrás desconfiando da suposta relação entre cores e este 173 UNIDADE VI Neste tópico você estudará o conceito de combi nação linear bem como alguns teoremas associa dos Na essência uma combinação linear é uma forma de se obter novos vetores de um espaço vetorial a partir de um conjunto de vetores dados Combinação Linear 176 Espaços e Subespaços Vetoriais Neste tópico você estudará outro ingrediente fun damental no arcabouço de espaços vetoriais O conceito de independência linear conforme será visto é fundamental na definição de base de um espaço vetorial A definição deste conceito será fornecido a seguir Independência Linear 178 Espaços e Subespaços Vetoriais Nesta seção você aprenderá como determinar se em um dado conjunto de vetores que geram um espaço vetorial todos os vetores a ele pertencentes são realmente necessários para construir outros vetores que pertencem a este espaço Em outras palavras você aprenderá se um dado conjunto de vetores constitui uma base de um espaço vetorial No R2 um exemplo de base são os vetores uni tários i e j pois conforme você viu em unida des anteriores por meio deles podemos escrever qualquer outro vetor pertencente ao plano Nesta seção você confirmará que tais vetores unitários de fato satisfazem os requisitos para ser base Base e Dimensão 187 UNIDADE VI No espaço vetorial das cores a base é constituída pelas cores azul z amarelo a e vermelho v pois qualquer outra cor pode ser construída por meio de uma com binação linear desses três vetores Seja c um vetor uma cor qualquer deste espaço tal vetor pode ser representado por c z a v b b b 1 2 3 Os coeficientes b1 b2 e b3 representam a proporção de cada cor primária que constituirá a mistura Figura 1 As cores primárias podem ser vistas como uma base do espaço vetorial das cores A representação por cores primárias é só uma forma de se fazer a representação de vetores neste espaço Outra forma muito usual em computação gráfica é o sistema de coresluz no qual a base é constituída pelas cores verde vermelha e azul Com isso você pode perceber que para algo tão abstrato como um espaço vetorial podemos encontrar aplicações mesmo as mais básicas como no sistema de cores A matemática é realmente aplicável em tudo 192 Álgebra Linear Autor Elon Lages Lima Editora IMPA Sinopse o presente livro apresenta uma exposição introdutória de Álgebra Li near Ele não pressupõe conhecimentos anteriores sobre o assunto Entretanto convém lembrar que a posição natural de um tal curso no currículo universitário vem após um semestre pelo menos de Geometria Analítica a duas e três dimen sões durante o qual o estudante deve adquirir alguma familiaridade em nível elementar com a representação algébrica de ideias geométricas e viceversa Comentário livro recomendado ao estudante que deseja aprofundar os co nhecimentos sobre espaços vetoriais LIVRO 193 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed São Paulo Editora Bookman 2012 FRANCO N M B Álgebra Linear 1 ed São Paulo Editora Pearson 2016 HOLT J Álgebra Linear com Aplicações 1 ed São Paulo Editora LTC 2016 LIMA E L Álgebra Linear 9 ed Rio de Janeiro Editora SBM 2016 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Definir e identificar transformações lineares Reconhecer transformações lineares injetoras e sobrejetoras Identificar o núcleo e a imagem de uma transformação linear Construir a matriz que representa uma transformação linear Transformações Lineares Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear Matrizes e Transformações Lineares Transformações Lineares Injetoras e Sobrejetoras Dr Ronni Amorim Dr Ricardo Fragelli Dr Vinícius Rispoli Transformações Lineares Transformações Lineares Prezadoa alunoa nesta seção estudaremos as transformações lineares Essas transformações es tabelecem uma correspondência entre dois espaços vetoriais ou seja leva vetores de um dado espaço a vetores de outro espaço vetorial Elas possuem di versas aplicações práticas dentre as quais merecem destaque as suas aplicações em computação gráfica Antes de iniciar a discussão do conteúdo propria mente dito considere a interessante situação a seguir Suponha que você esteja jogando videogame com os seus amigos alternando entre o jogo do Sonic e do SuperMario Em um determinado mo mento o seu primo mais novo sabendo que você é uma pessoa culta lhe pergunta como o Sonic gira e como o Super Mario muda de tamanho quan do engole o cogumelo Coincidentemente você está estudando sobre transformações lineares na faculdade Assim você responde ao seu primo Espere aí apresentarei alguns requisitos bá sicos e mostrarei a essência do que faz esses personagens possuírem tais características Então para entender essas e outras aplicações das transformações lineares acompanhe o que será discutido nesta unidade 205 UNIDADE VII Serão apresentadas agora duas definições mui to relevantes no contexto das transformações lineares são elas o núcleo e a imagem da trans formação linear Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear 208 Transformações Lineares Transformações Lineares Injetoras e Sobrejetoras Neste tópico você estudará dois importantes conceitos as transformações lineares injetoras e as sobrejetoras Em particular você verá que as transformações lineares injetoras são essenciais para se definir transformações inversas 211 UNIDADE VII Trabalhar com as transformações lineares escritas em fórmulas é muitas vezes muito complicado Uma alternativa é utilizar matrizes para repre sentar as transformações lineares E isso sempre é possível pois uma vez definidas as bases a uma dada transformação linear está associada apenas uma matriz Isso é muito vantajoso para você pois ao longo das unidades precedentes a ferramenta matemática mais utilizada foram as matrizes Reduzindo o estudo das transformações lineares ao cálculo matricial você poderá utilizar toda a experiência adquirida até aqui para enten der mais esse conceito matemático Nesta seção você aprenderá como representar transformações lineares por meio de matrizes Aí você pergunta como posso encontrar a matriz que representa uma dada transforma ção linear Essa resposta é dada pelo Teorema 4 enunciado a seguir Matrizes e Transformações Lineares 222 Álgebra Linear uma introdução moderna Autor David Poole Editora Cengage Learning Sinopse esta obra traz o conteúdo básico de álgebra linear apresentado de forma flexível O conteúdo é permeado de interessantes aplicações Comentário a leitura do capítulo 6 desta obra é recomendada LIVRO 223 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed São Paulo Editora Bookman 2012 FRANCO N M B Álgebra Linear 1 ed São Paulo Editora Pearson 2016 HOLT J Álgebra Linear com Aplicações 1 ed São Paulo Editora LTC 2016 LIMA E L Álgebra Linear 9 ed Rio de Janeiro Editora SBM 2016 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Calcular os autovalores e os autovetores de uma matriz Reconhecer as condições de diagonalização de uma matriz e aplicálas na solução de problemas Autovalores e autovetores Diagonalização Dr Ronni Amorim Dr Ricardo Fragelli Dr Vinícius Rispoli Diagonalização de Matrizes Autovalores e Autovetores Prezadoa estudante Nesta unidade você estu dará sobre a diagonalização de matrizes Escrever uma matriz na forma diagonal possui diversas aplicações práticas conforme você notará no de senvolvimento desta unidade No entanto algu mas questões surgem será que todas as matrizes podem ser colocadas na forma diagonal Se uma dada matriz admite a forma diagonal como pro ceder para obtêla As respostas a essas perguntas serão dadas ao longo da unidade Contudo um comentário é certo esta unidade talvez seja a que você mais utilizará em aplicações desta disciplina no seu curso de engenharia Portanto aproveite e estude bastante para aprender os conceitos Antes de começar a apresentação do conteúdo considere a seguinte situação Suponha que você esteja conversando com os seus amigos sobre as aplicações desta disciplina Você está muito mo tivado na conversa pois ao longo das unidades percebe a vasta quantidade de aplicações práticas que a disciplina possui Um de seus amigos escu tando o que você está dizendo se lembra de um 238 Diagonalização de Matrizes λ λ λ 3 3 2 3 0 As raízes dessa equação são os autovalores da matriz dada Você se lembra como cal cular as raízes de um polinômio de terceiro grau Primeiramente você deve descobrir uma das raízes Para isso observe o termo independente e o coeficiente do termo de maior grau do polinômio O termo independente é igual a 3 e o coeficiente do termo de maior grau o l3 é igual a 1 Divida o termo independente do polinômio pelo coeficiente do termo de maior grau o que neste caso vai ser 3 dividido por 1 o que é igual a 3 Os divisores inteiros desse resultado são as prováveis raízes da equação Os divisores inteiros de 3 são 3 3 1 1 Agora você deve testar se algum deles é raiz Substitua cada um deles na equação 3³ 33² 3 3 0 Logo 3 é raiz Tendo descoberto uma das raízes calcular as outras é tarefa fácil Para isso divida o polinômio característico por λ 3 Você obterá λ² 1 Calculando as raízes deste polinômio do segundo grau por meio da fórmula de Bháskara obtémse as raízes λ1 1 e λ2 1 Dessa forma os autovalores da matriz dada são λ1 1 λ2 1 e λ3 3 239 UNIDADE VIII Nesta seção você aprenderá sobre a diagonali zação de matrizes Em um primeiro momento o estudo focará em teoremas que garantirão as condições para que uma matriz seja diagonalizá vel Por fim será discutida a metodologia utilizada para diagonalizar matrizes Diagonalização 250 Álgebra Linear Desde o Início Autor Érica A Carlen e Maria C Carvalho Editora LTC Sinopse este livro é voltado à formação de estudantes de ciências e engenharia A sua maior vantagem é a sua metodologia baseada na resolução de problemas Além disso a linguagem é extremamente simples Comentário a leitura do capítulo sobre autovalores é altamente recomendada LIVRO 251 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed São Paulo Editora Bookman 2012 FRANCO N M B Álgebra Linear 1 ed São Paulo Editora Pearson 2016 HOLT J Álgebra Linear com Aplicações 1 ed São Paulo Editora LTC 2016 LIMA E L Álgebra Linear 9 ed Rio de Janeiro Editora SBM 2016 PLANO DE ESTUDOS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Dr Ronni Amorim Dr Ricardo Fragelli Dr Vinícius Rispoli Reconhecer e construir as equações das cônicas Identificar as cônicas a partir das equações bilineares gerais Cônicas elipse hipérbole e parábola Identificação das cônicas As Cônicas Cônicas Elipse Hipérbole e Parábola Prezadoa alunoa Nesta unidade você apren derá a classificar importantes lugares geométricos as cônicas Para se ter uma ideia da importância das cônicas quando os planetas do sistema solar se movem em torno do Sol descrevem uma tra jetória elíptica na qual o Sol ocupa um dos focos A elipse juntamente com a parábola e a hipérbole constituem as denominadas cônicas Sendo assim o objetivo desta unidade é identificar as cônicas a partir de uma forma bilinear dada Entretanto antes de iniciarmos o nosso estudo acerca de tais objetos considere a situação a seguir Quando Raul Garcia tinha 6 anos um grande evento ocorreu nas proximidades da Terra e foi muito anunciado pela mídia Tratavase da pas sagem do Cometa Halley Raul mobilizou toda a família e os amigos para observar o cometa pois sabia que aquele seria um evento singular que se repetiria somente após 76 anos Raul observou o cometa a partir de uma luneta e ficou realmente impressionado A partir de então o garoto tornou 259 UNIDADE IX se um fã de astronomia e estudou algumas características do cometa Raul leu que assim como os planetas do sistema solar o cometa descrevia uma trajetória elíptica em torno do Sol na qual o nosso astrorei ocupava um dos focos Raul também leu que a excentricidade de tal órbita era 0967 e o seu semieixo maior correspondia a 18 UA unidades astronômicas Raul até sabia o que é uma elipse mas não compreendeu o que significava os termos semieixo e excentricidade O objetivo de Raul era utilizar esses dados para descobrir a distância mais próxima que o cometa passava do Sol o periélio bem como a maior distância possível entre o cometa e o Sol o afélio Você poderia ajudar o Raul a compreender esses dados Se ainda não souber certamente no final desta unidade esses termos astronômicos se tornarão mais claros Bom estudo Você sabe o porquê das cônicas receberem este nome Nesta seção você entenderá a razão desta denominação bem como aprenderá a classificar as cônicas a partir de uma equação bilinear geral As cônicas recebem esta denominação por que são obtidas a partir da intersecção de um plano com um cone de revolução De acordo com a forma que o plano inter cepta o cone obtémse uma cônica distinta SANTOS 2009 Veja a Figura 1 abaixo Circunferência Parábola Hipérbole Elipse Figura 1 As cônicas Fonte o autor Você estudará a construção da equação de cada cônica detalhadamente A circunfe rência já foi estudada na Unidade 3 A análise será iniciada pela elipse 271 UNIDADE IX Figura 4 Aplicação da parábola Fonte o autor A seguir você verá a definição da parábola e a utilizará para construir a equação desta cônica DEFINIÇÃO 3 Considere uma reta R e um ponto F pertencentes a um plano b com F não perten cente a R Seja p a distância entre F e R O conjunto de pontos P pertencentes a b equidistante de F e R é denominado parábola Ou seja Parábola P PF Pd β A parábola 281 UNIDADE IX Você já sabe que a trajetória dos planetas do sistema solar em torno do sol é fechada e tem a forma de uma elipse Você também já entendeu o porquê de os faróis dos automóveis serem construídos no formato parabólico Agora você sabe qual é o formato da luz projetada através da cúpula de um abajur em formato de tronco de cone faz na parede Se você chutou que o formato é de uma hipérbole você acertou Utilizando um pouco de álgebra é possível demonstrar que a equação que representa a sombra é da forma da equação de uma hipérbole Essa é só mais uma curiosidade sobre as cônicas Quanto mais você ler mais aplicações dessas curvas tão especiais serão encontradas 284 Geometria Analítica Autor Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle Editora Pearson Sinopse um livro adequado a estudantes de engenharia que almejam adquirir as competências sobre cálculo vetorial e geometria analítica Comentário excelente livro repleto de exemplos e aplicações Recomendase a leitura do capítulo sobre as cônicas LIVRO 285 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed São Paulo Editora Bookman 2012 SANTOS F J dos FERREIRA S F Geometria Analítica 1 ed Porto Alegre Editora Bookman 2009 WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica 2 ed São Paulo Editora Pearson 2014 CONCLUSÃO Com a finalização do conteúdo programático da disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear esperamos que você tenha aprendido bastante e assimilado da melhor forma os conteúdos apresentados Certamente o seu alicerce matemático foi aprimorado de forma que você se tornou apto a conhecer novas aplicações Vamos fazer uma breve recapitulação do conteúdo que foi estudado Na Unidade 1 você estudou sobre matrizes e com isso percebeu a infinidade de assuntos em que o cálculo matricial é fundamental inclusive no restante dos conteúdos da disciplina Na Uni dade 2 o objetivo foi o estudo de determinantes matriz inversa e sistemas lineares Você notou que o determinante é a atribuição de um número real a uma dada matriz quadrada O determinante tem diversas aplicações dentre eles a resolução de sistemas lineares e o cálculo da matriz inversa Como exemplo da matriz inversa você estudou o interessante exemplo de criptografia Nas Unidades 3 e 4 o objeto de estudo foi geometria ana lítica no plano e no espaço sendo na Unidade 4 discutidos os dois tipos de produtos entre vetores e suas aplicações Na Unidade 5 você estudou as retas e os planos no espaço A Unidade 6 foi a mais abstrata de todas porém de extrema relevância pois nela foi estudado sobre espaços vetoriais e teoremas muito importantes da álgebra linear Na Unidade 7 o assunto CONCLUSÃO discutido foram as transformações lineares no qual além de importantes definições e teoremas você estudou as aplicações de tais transformações na computação gráfica A Unidade 8 foi destinada aos autovalores e autove tores bem como às duas aplicações Por fim na Unidade 9 você aprendeu a identificar as cônicas e suas propriedades Gostaríamos de recordálo que os conteúdos apresentados nesta disciplina são fundamentais para a compreensão das diversas disciplinas do curso de Engenharia por isso é sempre recomendado revisálos sempre que possível Além disso lembrese que o fechamento da disciplina não encerra o aprendizado sobre ela sendo assim recomendamos que sempre que possível você procure pesquise em outras fontes bibliográficas por exemplo nas referências citadas ao longo das unidades os aprofundamentos dos temas abordados na disciplina Por fim esperamos que o material tenha o auxiliado no aprendizado dos conteúdos apresentados