Introdução à Álgebra Linear - Versão Digital

ACESSE AQUI O SEU LIVRO NA VERSÃO DIGITAL PROFESSORES Me Elaine Cristina Sturion Me Nelidy Motizuki Introdução à Álgebra Linear NEAD Núcleo de Educação a Distância Av Guedner 1610 Bloco 4 Jd Aclimação Cep 87050900 Maringá Paraná wwwunicesumaredubr 0800 600 6360 DIREÇÃO UNICESUMAR NEAD NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Diretoria Executiva Chrystiano Mincoff James Prestes Tiago Stachon Diretoria de Graduação e Pósgraduação Kátia Coelho Diretoria de Cursos Híbridos Fabricio Ricardo Lazilha Diretoria de Permanência Leonardo Spaine Head de Graduação Marcia de Souza Head de Metodologias Ativas Thuinie Medeiros Vilela Daros Head de Tecnologia e Planejamento Educacional Tania C Yoshie Fukushima Head de Recursos Digitais e Multimídias Franklin Portela Correia Gerência de Planejamento e Design Educacional Jislaine Cristina da Silva Gerência de Produção Digital Diogo Ribeiro Garcia Gerência de Recursos Educacionais Digitais Daniel Fuverki Hey Supervisora de Design Educacional e Curadoria Yasminn T Tavares Zagonel Supervisora de Produção Digital Daniele Correia Reitor Wilson de Matos Silva ViceReitor Wilson de Matos Silva Filho PróReitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho PróReitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva PróReitor de Ensino de EAD Janes Fidélis Tomelin Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi EXPEDIENTE C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ Núcleo de Educação a Distância STURION Elaine Cristina MOTIZUKI Nelidy Introdução à Álgebra Linear Elaine Cristina Sturion e Nelidy Motizuki Maringá PR UniCesumar 2021 192 p Graduação EaD 1 Introdução 2 Álgebra 3 Linear 4 EaD I Título CDD 22 ed 512 CIP NBR 12899 AACR2 ISBN 9786556154794 Impresso por Bibliotecário João Vivaldo de Souza CRB 91679 Coordenadora de Conteúdo Flavia Lumi Matuzawa Projeto Gráfico e Capa André Morais Arthur Cantareli e Matheus Silva Editoração Lavígnia da Silva Santos Design Educacional Ivana Cunha Martins Revisão Textual Carla Cristina Farinha Ilustração André Azevedo Fotos Shutterstock FICHA CATALOGRÁFICA A UniCesumar celebra os seus 30 anos de história avançando a cada dia Agora enquanto Universidade ampliamos a nossa autonomia e trabalhamos diaria mente para que nossa educação à distância continue como uma das melhores do Brasil Atuamos sobre quatro pilares que consolidam a visão abrangente do que é o conhecimento para nós o intelectual o profissional o emocional e o espiritual A nossa missão é a de Promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento for mando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária Neste sentido a UniCesumar tem um gênio impor tante para o cumprimento integral desta missão o coletivo São os nossos professores e equipe que produzem a cada dia uma inovação uma transforma ção na forma de pensar e de aprender É assim que fazemos juntos um novo conhecimento diariamente São mais de 800 títulos de livros didáticos como este produzidos anualmente com a distribuição de mais de 2 milhões de exemplares gratuitamente para nos sos acadêmicos Estamos presentes em mais de 700 polos EAD e cinco campi Maringá Curitiba Londrina Ponta Grossa e Corumbá o que nos posiciona entre os 10 maiores grupos educacionais do país Aprendemos e escrevemos juntos esta belíssima história da jornada do conhecimento Mário Quin tana diz que Livros não mudam o mundo quem muda o mundo são as pessoas Os livros só mudam as pessoas Seja bemvindo à oportu nidade de fazer a sua mudança Reitor Wilson de Matos Silva Tudo isso para honrarmos a nossa missão que é promover a educação de qualidade nas diferentes áreas do conhecimento formando profissionais cidadãos que contribuam para o desenvolvimento de uma sociedade justa e solidária Elaine Cristina Sturion Sou graduada em Matemática pela Universidade Estadual do Paraná especialista no Ensino de Matemática e Física e Mestre em Matemática pela Universidade Estadual de Ma ringá Atualmente estou finalizando a minha graduação em Física pela Universidade Estadual de Maringá Desde pequena eu sempre gostei de Matemática sendo esta a disciplina que eu possuía mais afinidade nos meus tem pos escolares Então iniciei a graduação em Matemática onde eu tive a oportunidade de participar de Projetos de Iniciação Científica PIC e Iniciação à Docência PIBID No PIC eu me aprofundei na questão do ensino de mate mática para alunos surdos e no PIBID tive contato com novas metodologias do ensino de matemática como a Resolução de Problemas e a Investigação Matemática Na graduação em Física também participei do PIC desenvol vendo um estudo introdutório à Geometria Diferencial Eu possuo afinidade com as áreas de Cálculo Álgebra e Geometria sendo que no Ensino Superior ministrei disci plinas relacionadas a estas áreas e também já tive o pra zer de produzir material didático sobre as mesmas Sou apaixonada pela minha profissão de professora pois o ato de compartilhar aquilo que sei para mim é fantástico httplattescnpqbr5027056561893003 Nelidy Motizuki Sou formada na área de matemática e em especial amo a Álgebra Estudei a minha graduação de Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá Durante a graduação fui bolsista trabalhando com o En sino Médio e no curso prévestibular Também atuei no Ensino Superior ministrando a disciplina de Estruturas Algébricas Geometria Euclidiana e PréCálculo Gosto tanto dessa área de exatas que fiz mestrado na mesma área pela mesma universidade em que fiz a minha gra duação e tenho especialização em Educação a Distância e Novas Tecnologias Escrevi livros relacionados aos as suntos de Geometria Euclidiana Geometria Analítica e Álgebra Linear A minha formação tem grande influência de meu pai que é engenheiro naval e também profes sor de matemática Ele também me influenciou em outra das minhas grandes paixões que é o esporte amo jogar tênis de campo Todo mundo já conhece o velho ditado corpo são mente sã e acredito piamente que com o corpo saudável a mente funciona melhor e assim po demos fazer escolhas assertivas para nossa vida pessoal e principalmente para nossa família Além do esporte sou apaixonada por música e desenho considero a arte essencial para colorir os nossos dias httplattescnpqbr8950573119148502 Olá estudante bemvindoa a sua disciplina de Introdução à Álgebra Linear Você como futuroa cientista de dados deve ser capaz de coletar gerenciar e transformar dados em informações relevantes para a área de Inteligência de Negócios Que res ponsabilidade você terá em mãos Você já parou para pensar como os conhecimentos de Álgebra Linear poderão oa ajudar na sua capacitação profissional Não Como você acha que fará a organização e o gerenciamento dos dados coletados Essa organização pode ser feita por meio de estruturas matemáticas conhecidas como vetores e matrizes E esses conceitos fazem parte da Álgebra Linear Além de que algumas técnicas estatísticas de tratamento de dados também são embasadas nos conceitos de vetores e matrizes Imagine a seguinte situação em uma pesquisa sobre a preferência de marcas de café descobriuse a porcentagem de consumidores que compram a marca A a marca B e outras marcas bem como a porcentagem na qual esses consumidores tendem a manter ou trocar a marca Sabendo a preferência atual do mercado de cada marca é possível fazer uma previsão de como essa preferência estará após alguns meses Essa previsão pode ser feita por meio de operações que envolvem as matrizes e os vetores Você tem alguma ideia de como isso pode ser feito Uma técnica de previsão de como o mercado pode apresentar as preferências destas marcas de café pode ser feita usando o conceito de Cadeias de Markov um procedi mento estatístico que faz uso de conceitos de Álgebra Linear Pesquise sobre as Cadeias de Markov e tente entender como é possível fazer essa previsão de mercado Dentre as técnicas que podemos utilizar para trabalhar com esta situação temos as Cadeias de Markov que são fundamentadas em conceitos da Álgebra Linear Na Uni dade 5 deste material veremos com mais detalhes como resolver este problema Este é apenas um exemplo de como você utilizará os conceitos de Álgebra Linear para transformar dados em informações relevantes para a área de Inteligência de Negócios INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR Quando identificar o ícone de QRCODE utilize o aplicativo Unicesumar Experience para ter acesso aos conteúdos online O download do aplicativo está disponível nas plataformas Google Play App Store Ao longo do livro você será convida doa a refletir questionar e trans formar Aproveite este momento PENSANDO JUNTOS NOVAS DESCOBERTAS Enquanto estuda você pode aces sar conteúdos online que amplia ram a discussão sobre os assuntos de maneira interativa usando a tec nologia a seu favor Sempre que encontrar esse ícone esteja conectado à internet e inicie o aplicativo Unicesumar Experien ce Aproxime seu dispositivo móvel da página indicada e veja os recur sos em Realidade Aumentada Ex plore as ferramentas do App para saber das possibilidades de intera ção de cada objeto REALIDADE AUMENTADA Uma dose extra de conhecimento é sempre bemvinda Posicionando seu leitor de QRCode sobre o códi go você terá acesso aos vídeos que complementam o assunto discutido PÍLULA DE APRENDIZAGEM OLHAR CONCEITUAL Neste elemento você encontrará di versas informações que serão apre sentadas na forma de infográficos esquemas e fluxogramas os quais te ajudarão no entendimento do con teúdo de forma rápida e clara Professores especialistas e convi dados ampliando as discussões sobre os temas RODA DE CONVERSA EXPLORANDO IDEIAS Com este elemento você terá a oportunidade de explorar termos e palavraschave do assunto discu tido de forma mais objetiva VETORES E MATRIZES 9 41 APRENDIZAGEM CAMINHOS DE 1 2 OUTRAS OPERAÇÕES COM MATRIZES 71 DETERMINANTES 3 4 99 SISTEMAS LINEARES 5 133 APLICAÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR 1Vetores e Matrizes Me Elaine Cristina Sturion Me Nelidy Motizuki Caroa estudante iniciaremos o nosso estudo sobre a Álgebra Li near conhecendo os conceitos de vetores e matrizes Nesta unidade definiremos o que são vetores bem como matrizes e apresentare mos alguns tipos comuns de matrizes Estudaremos como efetuar as operações de soma subtração e multiplicação por escalar usando vetores e matrizes além de conhecer propriedades relativas a estas operações Estudaremos os conceitos destes objetos matemáticos de maneira que as propriedades algébricas tanto de vetores quanto de matrizes nos permitam a sua manipulação podendo relacionar um vetor a uma matriz e viceversa Lembrando que as matrizes terão um papel importante na Álgebra Linear relacionado à solução de sistemas de equações lineares UNIDADE 1 10 Olá estudante você já parou para pensar como uma organização bemfeita pode oa auxiliar em diferen tes momentos de sua vida tanto em questões pessoais quanto profissionais Observe sua rotina no seu dia a dia não é mais fácil localizar objetos e roupas quando o seu guardaroupa ou cômoda está organizado A organização pode otimizar seu tempo e evitar erros desnecessários na realização de qualquer tarefa por exemplo quando um código dentro da progra mação é mais organizado tornase mais fácil locali zar um erro O mesmo acontece para os assuntos que estudaremos nesta unidade que são os conceitos de vetores e matrizes Estes conceitos matemáticos são relacionados à organização de dados No ano de 2020 nós sofremos com a pande mia ocasionada pela Covid19 Este vírus impactou mudanças na organização de nossa sociedade pois tivemos que nos adaptar a ele para evitar sua trans missão uma vez que é um vírus letal Você deve ter reparado que tabelas informando a quantidade de casos confirmados recuperados e óbitos como a ta bela a seguir passaram a ser demonstradas frequen temente em jornais UNICESUMAR 11 Cidade Casos Recuperados Óbito Itabira 504 66 1 João Monlevade 121 69 0 Santa Bárbara 94 47 0 Barão de Cocais 74 06 0 Rio Piracicaba 49 19 0 Nova Era 33 NI 0 São Gonçalo do Rio Abaixo 28 11 0 Catas Altas 13 NI 0 Santa Maria de Itabira 10 07 0 Alvinópolis 07 02 0 Dionísio 05 05 0 Bela Vista de Minas 03 02 0 Bom Jesus do Amparo 03 00 0 São Domingos da Prata 03 01 0 Tabela 1 Número de casos de Coronavírus na região do Médio PiracicabaMG Fonte A notícia regional 2020 online As tabelas têm como finalidade organizar as informações sobre um determinado assunto Uma tabela é um exemplo clássico de matriz Estudaremos agora formalmente os conceitos de vetores e matrizes e entenderemos como eles nos auxiliam na organização de dados Caroa estudante uma das formas de organizar dados pode ser feita com o uso de vetores Estes são objetos matemáticos que podem ser descritos geometricamente ou algebricamente Neste texto daremos ênfase ao estudo de vetores em sua forma algébrica Podemos indicar um vetor por meio de uma letra minúscula acom panhada de uma seta por exemplo v ou podemos simplesmente usar a letra minúscula em negrito como v As representações v e v são equivalentes Em nosso material optaremos por denotar os vetores em negrito porém é importante que você saiba que este objeto matemáti co pode ser representado de outras formas Por isso quando consultar outro material de álgebra fique atento às notações Algébricamente podemos representar um vetor por meio de uma das seguintes formas v v1 v2 v3 ou v v1 v2 v3 A representação à esquerda é chamada vetor linha enquanto que a representação à direita é chamada vetor coluna Um vetor é composto por uma lista de elementos que são devidamente ordenados assim os vetores v v1 v2 v3 e v v3 v1 v2 são diferentes pois a ordem em que os elementos v1 v2 e v3 aparecem são diferentes Os elementos v1 v2 e v3 são chamados componentes do vetor v Um vetor que possui duas componentes como o vetor u xu yu ou três componentes como o vetor v xv yv zv pode ser representado geometricamente com o auxílio de um sistema de coordenadas Um vetor no entanto pode apresentar quantas componentes forem necessárias para descrevêlo Assim se n é um número natural maior do que zero podemos escrever um vetor com n componentes da seguinte forma v v1 v2 vn ou v v1 v2 vn onde cada valor é designado como a iésima componente do vetor Como um vetor pode ser utilizado para organizar informações em forma de lista não precisamos nos preocupar se será possível ou não fazer sua representação geométrica um cientista ao realizar um experimento repeteo n vezes Para cada tentativa ele obtém uma medida que pode ser organizada da seguinte forma v v1 v2 vn Cada componente v1 do vetor v indica o resultado que foi obtido para o experimento na tentativa i isto é a componente v1 indica a medida obtida na primeira tentativa a componente v2 indica a medida obtida na segunda tentativa e assim por diante No caso do cientista ele não tem interesse em obter uma visão geométrica do vetor Por isso não é necessário que nos preocupemos em exibila para um vetor com mais do que três componentes Agora que sabemos o que é um vetor e como representálo veremos que podemos aplicar as operações básicas conhecidas adição subtração e multiplicação aos vetores A primeira operação com vetores que estudaremos é a igualdade de vetores Dados os vetores u u1 u2 un e v v1 v2 vn temos que eles serão ditos iguais quando suas respectivas componentes forem iguais isto é u v se e somente se u1 v1 primeira componente do vetor u com a primeira componente do vetor v sendo as demais componentes obtidas da mesma forma Na notação de vetor linha temos u v u₁u₂uₙ v₁v₂vₙ ou na notação de vetor coluna u v u₁ v₁u₂ v₂uₙ vₙ De acordo com a definição de adição de vetores só é possível somar vetores do mesmo tipo vetor linha com vetor linha e vetor coluna com vetor coluna e com mesma quantidade de componentes dados os vetores u 0 1 2 e v 1 2 6 não é possível somálos Observe que apesar de possuir a mesma quantidade de componentes o vetor u é um vetor linha enquanto o vetor v é um vetor coluna Em relação aos vetores u e v do Exemplo 3 estudaremos na Unidade 2 de nosso livro uma forma de efetuar a operação de soma entre estes dois vetores pois apesar de serem de tipos diferentes eles possuem a mesma quantidade de componentes u v 2 3 1 2 0 2 u v 2 3 12 0 2 u v 5 1 2 De modo semelhante ao que foi feito com a adição podemos subtrair vetores Assim dados os vetores u u₁u₂uₙ e v v₁v₂vₙ temos que para a subtração de vetores valem as mesmas condições da adição A subtração de dois vetores é obtida efetuandose a subtração de suas respectivas componentes Dessa forma a primeira componente do vetor diferença é obtida pela subtração da primeira componente do vetor u com a primeira componente do vetor v sendo as demais componentes obtidas da mesma forma Na notação de vetor linha temos u v u₁u₂uₙ v₁v₂vₙ ou na notação de vetor coluna u v u₁ v₁u₂ v₂uₙ vₙ u v u₁ v₁ u₂ v₂ uₙ vₙ Solução os vetores u e v são vetores colunas com a mesma quantidade de componentes Logo para efetuar a operação de subtração entre eles subtrairemos as respectivas componentes de cada vetor Assim u v 3 1 2 2 0 2 u v 3 1 2 1 0 2 u v 2 1 2 Agora que sabemos somar e subtrair vetores aprenderemos a multiplicar A multiplicação de vetores pode ser entendida de duas formas multiplicando um vetor por outro ou multiplicando um vetor por um número real o qual denominamos escalar Neste momento estudaremos apenas a multiplicação de vetor por um escalar Assim dado o vetor u u₁u₂uₙ e o escalar α temos que a multiplicação de um vetor por um escalar é obtida multiplicandose o escalar em cada componente do vetor Assim na notação de vetor linha αu αu₁u₂uₙ αu₁αu₂αuₙ ou na notação de vetor coluna αu u₁ u₂ uₙ 3u 3 1 3u 33 31 3u 9 3 Agora que sabemos como operar com os vetores estudaremos algumas propriedades das operações de vetores Porém antes de apresentálas vale ressaltar que matematicamente a operação de subtração é vista como uma adição logo as propriedades destacadas nesta seção são definidas para as operações de adição e multiplicação por escalar Outras propriedades podem ser obtidas consultando as obras de Anton e Rorres 2012 e Poole 2016 Consideraremos os vetores u v e w de mesmo tipo e com n componentes e os escalares reais α e β Então são válidas as seguintes propriedades para as operações com vetores Propriedade comutativa Adição u v v u Multiplicação por escalar αu uα Propriedade associativa Adição u v w u v w Multiplicação por escalar αβu αβu Propriedade do elemento neutro Adição u 0 u UNIDADE 1 Multiplicação por escalar 1u u Cuidado com a notação aqui Observe que na propriedade do elemento neutro da adição o zero está negado ou seja este zero se trata do vetor nulo um vetor onde todas as componentes são iguais a zero 0 0 0 0 Neste caso para ser possível a soma entre o vetor u e o vetor nulo 0 eles devem possuir a mesma quantidade de componentes Por exemplo se o vetor u tem três componentes para somálo ao vetor nulo 0 precisaremos de um vetor nulo de três componentes Propriedade do elemento oposto da soma u u 0 Novamente cuidado com a notação Observe que na propriedade o zero está negado ou seja quando somamos um vetor com o seu inverso o resultado deve ser o vetor nulo Propriedade distributiva Adição αu v αu αv Multiplicação por escalar α βu αu βu dados os vetores u e v simplifique a expressão 3u v 4u 2u v Solução utilizando a propriedade distributiva temos que 3u v 4u 2u v 3u 3v 4u 2u v Agora fazendo uso das propriedades associativa e comutativa agrupemos as operações feitas com um mesmo vetor assim Portanto podemos escrever 3u v 4u 2u v u 2v Do Exemplo 8 podemos observar que as operações efetuadas com os vetores u e v deram origem a um novo vetor o vetor u 2v Se escrevermos w u 2v temos que o vetor w é chamado combinação linear dos vetores u e v De modo geral dizemos que um vetor w é combinação linear dos vetores v₁ v₂ vₙ se pudermos escrever w a₁v₁ a₂v₂ aₙvₙ onde a₁ a₂ aₙ são escalares o vetor w u 2v é combinação linear dos vetores u e v pois o vetor w pode ser escrito multiplicandose o vetor u por 1 e somandoo com o vetor v multiplicado por 2 escreva o vetor w 8 2 como combinação linear dos vetores u 3 1 e v 1 0 1 Solução para expressar o vetor w como combinação linear dos vetores u e v devemos encontrar os escalares a₁ e a₂ tais que w a₁u a₂v Assim w a₁u a₂v Equação de Primeiro Grau a tabela a seguir descreve a produção de grãos em um determinado ano Solução o elemento a₁₂ é o valor localizado na primeira linha e segundo da coluna o qual é representado por 45 No caso este é o valor que a Gráfica 1 cobra pela produção do Livro 2 Para a₂₃ temos o valor 75 que está na segunda linha e terceira coluna representando o valor que a Gráfica 2 cobra pela produção do Livro 3 Podemos associar essa tabela a uma matriz M com três linhas e duas colunas dada por M3x2 beginpmatrix 1 1 5 1 2 4 endpmatrix Dada uma matriz Am imes n de m linhas e n colunas podemos classificála de duas formas pelo tamanho e pela característica de seus elementos Começaremos estudando a classificação pelo tamanho De acordo com a quantidade de linhas e colunas podemos classificar as matrizes pelo seu tamanho da seguinte forma Matriz coluna é a matriz que possui uma coluna e m linhas Podemos associála ao vetor coluna Am imes 1 beginpmatrix a11 a21 vdots am1 endpmatrix Matriz linha é a matriz que possui uma linha e n colunas Podemos associála ao vetor linha A1 imes n beginpmatrix a11 a12 cdots a1n endpmatrix Matriz quadrada é a matriz que possui as mesmas quantidades de linhas e colunas A forma geral de escrever essa matriz é dada por Am imes m Am beginpmatrix a11 a12 cdots a1m a21 a22 cdots a2m vdots vdots ddots vdots am1 am2 cdots amm endpmatrix Numa matriz quadrada de ordem m chamamos diagonal principal os elementos aij onde i j e chamamos diagonal secundária os elementos aij onde i j m 1 Por exemplo Outra forma de classificação de matrizes é em relação à característica de seus elementos Quando os elementos de uma matriz estão dispostos em uma certa ordem ou possuem um determinado valor classificamos as matrizes da seguinte forma Matriz nula é a matriz em que todos os elementos aij são iguais a zero Podemos denotála simplesmente por 0m imes n Por exemplo a matriz nula de dimensão 2 imes 2 é dada por 02 imes 2 beginpmatrix 0 0 0 0 endpmatrix Matriz diagonal é a matriz quadrada que tem os elementos aij 0 quando i eq j Assim a matriz diagonal a seguir possui os elementos 1 4 e 2 M3 beginpmatrix 1 0 0 0 4 0 0 0 2 endpmatrix Matriz identidade é a matriz diagonal que tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 Escrevemos a matriz identidade de ordem m por Im Por exemplo I3 beginpmatrix 1 0 0 0 1 0 0 0 1 endpmatrix dada a igualdade de matrizes a seguir determine os valores de x e y A adição de matrizes é definida apenas para matrizes que possuam a mesma dimensão Assim dadas as matrizes A aij e B bij de mesma dimensão m n a matriz soma A B é definida como sejam as matrizes A 4 1 3 e B 1 2 3 determine a matriz diferença A B A B 4 1 3 2 3 3 4 1 1 2 3 3 3 1 0 5 2 0 1 2 6 5 2 1 4 2 A B 2 1 2 0 5 21 22 25 21 0 5 2 4 10 1 0 5 2 1 7 0 1 Propriedade comutativa A B B A A B B A 2 Propriedade associativa A B C A B C α β A α β A 3 Propriedade do elemento neutro A 0 0 A A 1 A A UNICESUMAR 33 Nesta unidade estudamos os vetores e as matrizes e como realizar as operações básicas com eles No entanto quando falamos de operações básicas você deve se recordar das operações com números reais as quais são soma subtração multiplicação e divisão No entanto não mencionamos a operação de divisão entre vetores ou entre matrizes Por que será Será que não é possível realizar a operação de divisão com estes objetos matemáticos Faça uma pesquisa sobre o assunto e escreva suas conclusões a respeito da operação de divisão de vetores e matrizes NOVAS DESCOBERTAS Khan Academy Olá estudante Não seria ótimo ter uma plataforma de estudos online que possui vários materiais incluindo vídeos e exercícios para oa auxiliar nos estudos e ainda de forma gratuita Isso já é possível com o site da Khan Aca demy o qual disponibiliza cursos de Artes História Biologia Programação de Computadores Matemática Medicina Economia entre outros Para saber mais acesse httpswwwistoedinheirocombrkhanacademy oscursosgratuitosonlinequesetornaramindispensaveisduranteapan demia Para auxiliar em seus estudos separamos dois links da plataforma Khan Academy No primeiro link você terá acesso aos materiais referentes ao conteúdo de vetores e no segundo link você encontrará os materiais refe rentes ao conteúdo de matrizes Nestes links você também encontrará outros conteúdos referentes ao tema de nossa unidade que não foram tratados Propriedade distributiva αA B αA αB α βA αA βA Conhecendo o Cientista de Dados Neste podcast falaremos um pouco sobre como você irá aplicar os conceitos de matrizes e vetores na prática Agora é com você 1 Nesta unidade estudamos os vetores e a forma de operálos em relação às operações de adição subtração e multiplicação por escalar Com relação a estas operações considere os seguintes vetores u 3 1 2 v 1 2 w 1 1 x 0 2 Agora responda a a É possível efetuar a soma u v Se sim apresente o vetor soma b b É possível efetuar a diferença w x Se sim apresente o vetor diferença c c É possível efetuar a soma u 0 Se sim apresente o vetor soma d d É possível efetuar a multiplicação 2v Se sim apresente o vetor multiplicação por escalar 2 As propriedades de vetores para as operações de soma e multiplicação por escalar são regras que nos permitem manipular os vetores em uma expressão de modo a simplificála Dada a expressão vetorial 2u 3v 32v u simplifiquea e indique a propriedade utilizada 3 De acordo com Poole 2016 p12 um vetor que é uma soma de múltiplos escalares de outros vetores é chamado combinação linear desses vetores De acordo com esta definição o vetor w escrito como w 3v1 2v2 v3 é combinação linear dos vetores v1 v2 e v3 Se definirmos os vetores v1 1 0 1 v2 2 3 1 v3 5 x 0 e w 2 2 1 determine o valor x para que seja verdadeira a igualdade w 3v1 2v2 v3 Agora é com você 4 Podemos pensar que as matrizes são vários vetores com a mesma quantidade de componentes justapostos Os primeiros estudos formais sobre matrizes foram feitos por Arthur Cayley 18211895 com o intuito de estudar a teoria das transformações NUNES 2016 NUNES D M A abordagem histórica dos tópicos matriz determinante e sistemas lineares presentes nos livros didáticos In ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 12 2016 São Paulo 2016 Anais São Paulo ENEM 2016 Disponível em httpwwwsbencombrenem2016anaispdf70653067IDpdf Acesso em 3 maio 2021 Sobre o que foi estudado com relação a operações de matrizes e suas dimensões analise as afirmativas a seguir I Dada a igualdade 2x 1 2 1 3 2 2 1 3 o valor de x é 32 II Podemos sempre somar uma matriz linha com uma matriz coluna III Dada uma matriz identidade de ordem 3 se multiplicarmos essa matriz pelo escalar 5 obtemos uma matriz diagonal de ordem 4 IV Por meio das propriedades de operações com matrizes temos I A A sendo do a matriz I a matriz identidade de mesma dimensão da matriz A É correto apenas o que se afirma em a I apenas b I e II apenas c I II e III apenas d I III e IV apenas e I II III e IV Agora é com você 5 Toda igualdade é quando temos duas operações ou quantidades iguais entre si isto é quando uma ou outra possuem o mesmo número Utilizamos o símbolo para denotar essa relação NADAI 2020 NADAI N O que é uma igualdade Khan Academy 2020 Disponível em httpsptkhanacademyorgmathpt3anoalgebra3anocompreendendoaideiadeigualdadeaoqueumaigualdade Acesso em 3 maio 2021 Dadas as seguintes matrizes responda aos itens a seguir A 1 2 x B 1 0 3 7 e C 2y 7 3 7 a É possível calcular o valor de x dada a igualdade A B Justifique b É possível calcular o valor de y dada a igualdade B C Justifique c Após responder aos dois itens anteriores calcule o valor da incógnita que é possível determinar Agora é com você 6 Normalmente uma matriz é utilizada para organizar dados tabulares para facilitar a resolução de problemas O conjunto formado pelas matrizes possui as operações de adição subtração e multiplicação com a característica de ter o elemento neutro e o elemento inverso e isso permite formar uma estrutura matemática que possui diversas possibilidades de aplicação em várias áreas da ciência LUIZ 2020 LUIZ R Matriz Brasil Escola 2020 Disponível em httpsbrasilescolauolcombrmatematicamatrizhtm Acesso em 3 maio 2021 Dadas as matrizes a seguir responda aos itens seguintes A 3 1 B 1 13 4 e C 0 2 3 3 a Dada a expressão 3A B podemos calcular a matriz que resulta dessa operação Justifique b Dada a expressão 2B C podemos calcular a matriz que resulta dessa operação Justifique c Dos itens anteriores calcule o resultado da expressão que é possível operar MEU ESPAÇO MEU ESPAÇO MEU ESPAÇO Meu Espaço 2 Outras Operações com Matrizes Me Elaine Cristina Sturion e Me Nelidy Motizuki Caroa estudante nesta unidade estudaremos outras operações envol vendo as matrizes e conheceremos outros tipos de matrizes Começaremos estudando a operação de multiplicação entre matrizes e suas propriedades em seguida apresentaremos a operação de transposição de matrizes e com ela definiremos a matriz transposta e a matriz simétrica Estudaremos como efetuar operações que envolvem apenas as linhas ou colunas de uma matriz essas operações são conhecidas como operações elementares e possuem características específicas Finalizaremos nosso estudo apre sentando a matriz inversa e como obtêla Convém lembrar que as matrizes vão além de objetos matemáticos que auxiliam na resolução de sistemas de equações lineares Elas possuem uma vasta variedade de aplicações inclusive na área de computação uma vez que os computadores são excelentes ferramentas para manipular tabelas com informações numéricas 42 UNIDADE 2 Você já está acostumadoa com as operações básicas da Matemática soma sub tração multiplicação e divisão e habituadoa a trabalhar com essas operações manipulando números reais porém nós estamos estudando as matrizes então será que estas operações aplicadas às matrizes podem ser efetuadas de maneira semelhante à realizada com números reais Vimos a soma e a subtração de matrizes e que elas podem ser tratadas de forma semelhante à soma e à subtração de números reais Porém as matrizes são objetos matemáticos diferentes dos números reais portanto é de se esperar que as operações realizadas com matrizes não se comportem da mesma maneira que as operações com números reais Podemos por exemplo considerar a seguinte situação conforme Poole 2016 como motivação para entendermos como funciona a operação de mul tiplicação entre matrizes Elaine e Nelidy desejam comprar algumas frutas para a próxima semana Elas querem comprar mangas laranjas e pêssegos de acordo com a quantidade dada na Tabela 1 Nas proximidades existem duas bancas de frutas a do Pedro e a do João cujos preços estão apresentados na Tabela 2 Mangas Laranjas Pêssegos Elaine 2 10 5 Nelidy 4 5 12 Tabela 1 Quantidade de frutas a comprar Fonte as autoras Pedro João Mangas 050 080 Laranjas 020 015 Pêssego 030 025 Tabela 2 Preço unitário em reais das frutas em cada banca Fonte as autoras Preencha a Tabela 3 a seguir com as informações de quanto Elaine e Nelidygas tarão para fazer suas compras em cada uma das duas bancas Tabela 3 Valor a ser pago pelas frutas em cada banca Fonte as autoras Como você resolveu o problema proposto Sabia que para resolvêlo você pode usar a operação de multiplicação de matrizes Escreva as tabelas dadas no problema como matrizes sendo a matriz A a Tabela 1 matriz B a Tabela 2 e matriz C a Tabela 3 Observe que AB C então você consegue descobrir alguma regra para o resultado apresentado na matriz C Caroa estudante você deve se lembrar que na Unidade 1 estudamos as operações de soma e subtração entre matrizes e que para realizar estas operações precisamos que as matrizes envolvidas possuam a mesma dimensão e para obter os elementos da nova matriz precisamos somar ou subtrair os elementos que ocupem as mesmas posições em ambas as matrizes Dessa forma dadas as matrizes A 1 2 3 3 0 e B 2 3 4 1 temos A B 1 2 3 3 0 2 3 4 1 12 23 34 01 3 1 7 1 A B 1 2 3 3 0 2 3 4 1 12 23 34 01 1 5 1 1 Se nos basearmos nas operações anteriores poderíamos pensar que para multiplicar duas matrizes basta multiplicar os elementos que ocupam as mesmas posições no entanto isto não é válido Veremos que a multiplicação entre matrizes possui uma regra específica que é justificada pela multiplicação de vetores Apresentaremos a seguir de forma breve esta ideia e mais detalhes sobre este assunto podem ser obtidos com Kolman e Hill 2018 O produto entre dois vetores é chamado produto interno ou produto escalar e ele é definido da seguinte forma Dado os vetores a a1 a2 an e b b1 b2 bn com n componentes cada o produto interno entre os vetores a e b denotado por a b é definido como a b a1b1 a2b2 anbn ni1 aibi Ou seja o produto interno é obtido pela soma do produto das componentes correspondentes dos vetores vamos usar a definição 11 para calcular o produto escalar dos vetores u 2 1 3 e v 3 1 1 Solução o produto escalar é dado como a soma do produto dos elementos que ocupam a mesma posição nos vetores linha Então u v 23 11 31 10 A definição 11 se aplica quando os vetores considerados são ambos vetores linha ambos vetores coluna ou quando um é vetor linha e o outro é vetor coluna O que deve ser levado em consideração para poder ser possível efetuar o produto entre vetores é que os vetores envolvidos tenham a mesma quantidade de componentes Da definição de produto interno tomando algumas modificações podemos dizer que a multiplicação entre as matrizes A aij de dimensão m p e B bij de dimensão p n gera a matriz C cij de dimensão m n onde cij aib1j a2b2j qipbpj pk1 aikbkj Neste caso para efetuar a multiplicação entre matrizes consideraremos que as linhas da matriz A são vetores enquanto na matriz B consideraremos suas colunas como vetores Repare também que só é possível efetuar a multiplicação se a quantidade de colunas da matriz A for igual à quantidade de linhas da matriz B Vamos resolver um exemplo dadas as matrizes A 1 2 0 3 0 e B 2 3 4 1 determine o produto A B e B A Solução a Cálculo do produto A B As matrizes são ambas de dimensão 22 logo é possível efetuar o produto entre elas o que gerará uma nova matriz de dimensão 22 Para determinar cada elemento da matriz produto consideraremos que as linhas da matriz A são e as colunas da matriz B são vetores Assim O vetor linha 1 da matriz A vezes o vetor coluna 1 da matriz B gerará o elemento da primeira linha e primeira coluna da matriz produto A B elemento ab11 Onde ab11 1 2 2 4 6 O vetor linha 1 da matriz A vezes o vetor coluna 2 da matriz B gerará o elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz produto A B elemento ab12 Onde ab12 1 3 2 1 5 O vetor linha 2 da matriz A vezes o vetor coluna 1 da matriz B gerará o elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz produto A B elemento ab21 Onde ab21 3 2 0 4 6 O vetor linha 2 da matriz A vezes o vetor coluna 2 da matriz B gerará o elemento da segunda linha e segunda coluna da matriz produto A B elemento ab22 Onde ab22 3 3 0 1 9 Assim A B 6 5 6 9 b Cálculo do produto B A As matrizes são ambas de dimensão 22 logo é possível efetuar o produto entre elas o que gerará uma nova matriz de dimensão 22 Para determinar cada elemento da matriz produto consideraremos que as linhas da matriz B são e as colunas da matriz A são vetores Assim B A 2 3 4 1 1 2 3 0 2 1 3 3 2 2 3 0 4 1 1 3 4 2 1 0 11 4 1 8 Repare que os produtos A B e B A não são iguais Pelo Exemplo 2 podemos afirmar que o produto de matrizes geralmente não é comutativo c Cálculo do produto A B Analisando a dimensão das matrizes temos que a matriz A tem dimensão 23 e a matriz B 34 Como a quantidade de colunas da matriz A é igual à quantidade de linhas da matriz B o produto A B é possível e gerará uma nova matriz de dimensão 24 Para determinar cada elemento da matriz produto consideraremos que as linhas da matriz A e as colunas da matriz B são vetores Assim O vetor linha 1 da matriz A vezes o vetor coluna 1 da matriz B gerará o elemento da primeira linha e primeira coluna da matriz produto A B elemento ab11 Onde ab11 1 1 1 2 0 1 3 O vetor linha 1 da matriz A vezes o vetor coluna 2 da matriz B gerará o elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz produto A B elemento ab12 Onde ab12 1 3 1 6 0 2 3 Onde ab₁₃ 12 11 00 3 O vetor linha 1 da matriz A vezes o vetor coluna 4 da matriz B gerará o elemento da primeira linha e quarta coluna da matriz produto A B elemento ab₁₄ A B 1 1 0 2 4 5 1 3 2 0 2 6 1 5 1 2 0 3 ab₁₄ Onde ab₁₄ 10 15 03 5 O vetor linha 2 da matriz A vezes o vetor coluna 1 da matriz B gerará o elemento da segunda linha e primeira coluna da matriz produto A B elemento ab₂₁ A B 1 1 0 2 4 5 1 3 2 0 2 6 1 5 1 2 0 3 ab₂₁ Onde ab₂₁ 21 42 51 1 O vetor linha 2 da matriz A vezes o vetor coluna 2 da matriz B gerará o elemento da segunda linha e segunda coluna da matriz produto A B elemento ab₂₂ A B 1 1 0 2 4 5 1 3 2 0 2 6 1 5 1 2 0 3 ab₂₂ Onde ab₂₂ 23 46 52 20 O vetor linha 2 da matriz A vezes o vetor coluna 3 da matriz B gerará o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz produto A B elemento ab₂₃ A B 1 1 0 2 4 5 1 3 2 0 2 6 1 5 1 2 0 3 ab₂₃ Onde ab₂₃ 22 41 50 0 O vetor linha 2 da matriz A vezes o vetor coluna 4 da matriz B gerará o elemento da segunda linha e quarta coluna da matriz produto A B elemento ab₂₄ A B 1 1 0 2 4 5 1 3 2 0 2 6 1 5 1 2 0 3 ab₂₄ Onde ab₂₄ 20 45 53 5 Assim A B 1 1 0 2 4 5 1 3 2 0 2 6 1 5 1 2 0 3 3 3 3 5 1 20 0 5 d Cálculo do produto B A Analisando a dimensão das matrizes temos que a matriz B tem dimensão 3 4 e a matriz A 2 3 Como a quantidade de colunas da matriz B é diferente da quantidade de linhas da matriz A o produto B A não é possível O Exemplo 3 também serve para reforçar que o produto de matrizes não é comutativo pois o produto A B é definido enquanto o produto B A não existe No próximo exemplo analisaremos quando a multiplicação de matrizes é definida ou não Para isso basta verificarmos se as dimensões das matrizes satisfazem as condições da definição da operação dadas as matrizes A₃₄ B₄₇ e C₇₃ verifique se são definidos os produtos a A B b A C c B A d B C e C A f C B Solução o produto entre matrizes é definido quando a quantidade de colunas da primeira matriz é igual à quantidade de linhas da segunda matriz Então a A₃₄B₄₇ A B₃₇ é um produto definido b A₃₄C₇₃ não é definido pois a quantidade de colunas da matriz A é diferente da quantidade de linhas da matriz C c B₄₇A₃₄ não é definido pois a quantidade de colunas da matriz B é diferente da quantidade de linhas da matriz A d B₄₇C₇₃ BC₄₃ é um produto definido e C₇₃A₃₄ CA₇₄ é um produto definido f C₇₃B₄₇ não é definido pois a quantidade de colunas da matriz C é diferente da quantidade de linhas da matriz B A operação de potência de matrizes é fundamentada na operação de multiplicação assim A² A A Logo a operação de potência de matrizes é resumida à operação de multiplicação entre matrizes Vejamos um exemplo para entendermos melhor dadas as matrizes A 3 1 0 2 0 e B 0 2 1 1 3 2 a A² b B² Solução a Queremos calcular A² A A então observe que a matriz A possui dimensão 2 2 ou seja a quantidade de linhas e colunas da matriz A é igual logo o produto A A é possível e gerará uma matriz de dimensão 2 2 Assim A2 A A 3 1 3 1 2 0 2 0 3312 3110 2302 2100 7 3 6 2 c ABC ABC a matriz resultante tem dimensão mr d αAB αAB ABα a matriz resultante tem dimensão mp Propriedade Distributiva à direita dadas as matrizes Amn Bmn e Cmp temos que ABC ACBC A matriz resultante tem dimensão mp AT de uma matriz A de dimensão mn é uma matriz AT de dimensão nm obtida pela troca entre linhas e colunas da matriz A A terceira linha da matriz A corresponde à terceira coluna da matriz AT A 3 1 2 1 0 4 2 4 AT 3 1 2 1 0 4 Assim a matriz transposta é AT 3 1 2 1 0 4 Na Unidade 1 vimos que não era possível somar os vetores u0 1 2 e v1 2 pois são vetores de dimensões diferentes isto é o vetor u tem dimensão 1x3 enquanto que o vetor v tem dimensão 3x1 No entanto como os vetores são casos particulares de matrizes se aplicarmos a operação de transposição ao vetor u é possível efetuar a soma entre os vetores O vetor transposto u é ur 0 1 2 então podemos efetuar a soma uT v uT v 0 1 2 2 6 1 1 8 a matriz M 1 1 2 1 2 não é simétrica pois sua matriz transposta é MT 1 1 2 1 2 M Pelos exemplos anteriores podemos reparar que em uma matriz simétrica a iésima linha é igual à iésima coluna Repare que no Exemplo 8 a primeira linha da matriz A é igual à sua primeira coluna a segunda linha da matriz A é igual à sua segunda coluna e a terceira linha da matriz A é igual à sua terceira coluna Já no Exemplo 9 este padrão de igualdade entre linhas e colunas não pode ser encontrado na matriz M Como a matriz transposta pode ser considerada um tipo de operação de matrizes a operação de transposição possui algumas propriedades Apresentaremos algumas propriedades para a matriz transposta Considere as matrizes A e B cujas dimensões são tais que as operações indicadas podem ser realizadas e seja α um escalar Para a transposição de matrizes valem as seguintes propriedades a ATT A b A BT AT BT c ABT BTAT d αAT αAT e ATR A e A ATR são matrizes simétricas f A AT é uma matriz simétrica se A for uma matriz quadrada dada a matriz A 1 3 1 2 calcule A AT Solução temos que a matriz transposta é obtida trocandose as linhas e as colunas da matriz A assim AT 1 1 3 2 Calculando a soma obtemos A AT 1 3 1 2 1 1 3 2 2 4 4 4 Observe que a matriz soma resultante é uma matriz simétrica verifique dada a matriz M 1 0 2 2 1 3 calcule MTM e MMT Solução temos que a matriz transposta é obtida trocandose as linhas e as colunas da matriz M assim MT 1 2 0 1 2 3 Calculando os produtos dados temos que MTM 1 2 0 1 2 3 1 0 2 5 2 4 2 1 3 4 3 13 MMT 1 0 2 2 1 3 1 2 0 1 5 4 4 14 Repare que a matriz M não é quadrada no entanto as matrizes produto MT M e MMT são simétricas satisfazendo a propriedade e de matriz transposta Após abordarmos as multiplicações de matrizes estudaremos um pouco sobre as operações elementares sobre uma matriz Estas operações serão fundamentais para calcular a matriz inversa e também para resolver sistemas Podemos efetuar as operações elementares envolvendo as linhas ou colunas de uma matriz mn São três os tipos de operações elementares existentes dadas por I Permutar duas linhas entre si Vejamos um exemplo permutando a segunda e a terceira linha da matriz a seguir temos 1 3 4 0 1 1 2 3 1 L2 L3 1 3 4 2 3 1 0 1 1 Utilizaremos a notação L2 L3 para indicar a troca da linha 2 pela linha 3 II Multiplicar uma linha por um número real diferente de zero Um exemplo é multiplicar a terceira linha por 3 na matriz a seguir 1 2 3 9 2 7 L3 3L3 1 2 3 6 21 Para indicar a multiplicação da terceira linha denominamos da seguinte maneira L3 3L3 III Adicionar a uma linha outra linha multiplicada por um número real não nulo Agora nesse exemplo somaremos duas vezes a primeira linha com a segunda linha da matriz a seguir 1 1 3 0 L1 L1 2L2 7 1 3 0 Utilizamos a notação L1 L1 2L2 para indicar esta operação Observação para a resolução de exercícios utilizaremos as seguintes notações para as operações elementares Trocar uma linha m por uma linha n Lm Ln Multiplicar uma linha m por uma constante c 0 Lm cLm Adicionar a uma linha outra linha n multiplicada por um número real c não nulo Lm Lm cLn As operações elementares podem ser efetuadas tanto com as linhas quanto com as colunas da matriz considere a matriz 1 3 1 0 2 0 3 4 1 aplique a operação L3 L3 2L1 e em seguida efetue L2 L3 Solução primeiramente temos que multiplicar a primeira linha por 2 e depois efetuar a soma desses elementos com a linha 3 1 3 1 0 2 0 3 4 1 L3 L3 2L1 1 3 1 0 2 0 5 10 1 Em seguida com a matriz resultante da operação anterior trocaremos a segunda linha com a terceira 1 3 1 0 2 0 5 10 1 1 3 1 5 10 1 0 2 0 considere a matriz elementar E 1 0 e a matriz A 1 3 1 0 2 4 Note que a matriz elementar é o resultado de somar duas vezes a primeira linha com a segunda de I2 Efetuando o produto EA obtemos EA 1 0 1 3 1 110 0 104 2 1 2 1 2 0 2 4 1 3 1 2 8 6 Assim a matriz resultante é a mesma quando somamos duas vezes a primeira linha com a terceira da matriz A Sabemos calcular o inverso de um número real por exemplo na operação de multiplicação em que temos um número real n diferente de zero o seu inverso é 1n Assim se temos o número 5 o inverso desse número é 15 na operação de multiplicação Nesta seção estudaremos a matriz inversa mas será que o cálculo da matriz inversa segue o mesmo modelo Seja uma matriz A de ordem n podemos obter a matriz inversa A1 utilizando operações elementares Para isso colocamos ao lado da matriz original a matriz identidade separada por uma barra vertical AI Usando operações elementares manipulamos a matriz A de modo a transformála na matriz identidade assim a matriz resultante onde se encontrava a matriz identidade é a matriz inversa IA1 Chamamos matriz elemental a matriz obtida por meio de uma operação elementar feita com a matriz identificada seguem alguns exemplos de matrizes elementares E1 2 0 0 é uma matriz elementar porque é a matriz identid de ordem 2 com a primeira linha multiplicada por 2 E2 1 0 0 é uma matriz elementar de maneira que temos a matriz identidade de ordem 3 com a troca da terceira com a segunda linha E3 1 0 0 é uma matriz elementar porque é matriz identid de de ordem 3 cuja terceira linha está somada três vezes com a primeira linha E4 1 0 0 a matriz identidade I3 também é uma matriz elementar Falaremos um pouco sobre as operações elementares por multiplicação matricial Neste tipo de operação tomamos o produto de uma matriz qualquer com uma matriz elementar Formalizando este conceito temos que dada uma matriz elementar E de ordem m originada por certa operação elementar e uma matriz Amn o produto EA é a matriz resultante quando essa mesma operação elementar é feita com a matriz A Agora utilizaremos as operações elementares para conseguir deixar a matriz identidade ao lado esquerdo Inicialmente trocaremos a primeira linha com a segunda 0 1 1 0 L1 L2 1 2 0 1 1 2 0 0 1 1 0 Depois somaremos duas vezes a segunda linha com a primeira linha 1 2 0 1 L1 L12L2 1 0 2 1 0 0 1 0 Como conseguimos obter a identidade ao lado esquerdo então a matriz inversa é dada por 2 1 1 0 determine a matriz inversa de A 3 2 0 2 1 0 0 3 1 utilizando as operações elementares Solução calcularemos agora a matriz inversa de A por meio das operações elementares Depois de inserirmos a matriz identidade ao lado da matriz A realizaremos as operações elementares com o objetivo de obter a matriz identidade ao lado direito Começaremos pela primeira coluna Manteremos o elemento a11 3 e zeraremos os demais assim 3 2 0 1 0 0 2 1 0 0 1 0 0 3 1 0 0 1 L2 3L2 3 2 0 3 0 0 6 3 0 3 0 0 3 1 0 0 1 L2 L2 2L1 3 2 0 1 0 0 6 3 0 0 1 0 0 3 1 0 0 1 Note que para obtermos a identidade ao lado esquerdo é necessário que o elemento a11 3 seja igual a 1 Dessa forma 3 0 0 3 6 0 0 1 0 2 0 0 0 0 1 0 1 0 L3 13 L3 L3 1 0 0 2 0 0 0 1 0 23 0 0 0 1 6 9 1 Logo a matriz inversa é A1 1 2 0 2 3 0 6 9 1 Note que para obtermos a matriz identidade ao lado esquerdo da barra o objetivo é zerar todos os elementos aij tais que i j Para tanto começamos a fazer esse processo coluna por coluna assim na coluna 1 mantêmse o elemento a11 e zeramse os demais na coluna 2 mantêmse o elemento a22 e zeramse os demais repetese esse processo até a coluna n na qual mantêmse o elemento anm e zeramse os demais Ao final quando necessário dividese a linha pelo valor não nulo para obter o número 1 como elemento da diagonal principal Repare que nos dois exemplos anteriores foi possível calcular a inversa da matriz mas será que toda matriz é invertível Você deve tomar cuidado com relação a esse conceito pois nem toda matriz possui sua inversa Caso uma matriz A for não invertível não será possível reduzir a matriz A à matriz identidade In com as operações elementares Isso será evidenciado em algum ponto do cálculo de maneira que aparecerá uma linha de zeros ao lado esquerdo da barra Se isso ocorrer podemos parar o cálculo e concluir que a matriz A não é invertível considere a matriz A 1 0 2 3 1 1 2 0 4 e mostre que ela não é invertível Solução utilizando o mesmo procedimento do exercício anterior temos 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1 0 0 2 0 4 0 1 Zeraremos os elementos da primeira coluna abaixo do elemento 1 assim 1 0 2 1 0 0 3 1 1 1 0 0 2 0 4 0 1 L2 L2 3L1 1 0 2 1 0 0 0 1 5 3 1 0 2 0 4 0 1 1 0 2 1 0 0 0 1 5 3 1 0 2 0 4 0 1 L3 L3 2L1 Como apareceu uma linha de zeros ao lado esquerdo portanto A não é invertível Podemos estender a teoria das matrizes inversas para matrizes quadradas Assim seja uma matriz A quadrada de ordem n e uma matriz quadrada B de mesma ordem tal que AB I ou BA I então A é invertível e B A¹ Exemplo 18 verifique se as matrizes A 0 1 2 1 e B 2 1 1 0 são inversas uma da outra Solução multiplicaremos as duas matrizes A e B AB 0 1 2 1 2 1 1 0 0211 0110 1221 1120 O resultado do produto é AB I então as matrizes são inversas uma da outra Como exercício para você estudante calcule o produto BA e verifique que neste caso o produto entre matrizes é comutativo Criptografia Você já ouviu falar em criptografia ou sabe como ela surgiu A Criptografia nos oferece métodos para realizar comunicação privada mesmo que o canal meio usado seja público Por exemplo podemos usar Criptografia para enviar mensagens secretas pela Internet acessar sistemas bancários sem que intrusos obtenham nossa senha entre outros O uso de matrizes em codificação é apenas uma das formas de criptografar mensagens no áudio a seguir apresentaremos outras técnicas de criptografia além de outros fatos interessantes sobre este assunto Aperte o play para saber mais UNICESUMAR 65 Caroa estudante estudamos nesta unidade o produto de matrizes e vimos que ele pode ser aplicado ao conceito de matrizes inversas Podemos perceber que nas operações com matrizes a dimensão das matrizes é importante para verificar se a operação é definida ou não No caso da multiplicação de matrizes o produto entre as matrizes A e B só é possível quando a quantidade de colunas da matriz A for igual à quantidade de linhas da matriz B Assim dentre as propriedades estu dadas vimos que geralmente a propriedade comutativa não se aplica ao produto de matrizes Porém um dos casos em que o produto de ma trizes é comutativo é quando as matrizes envolvidas são inversas pois uma matriz inversa se existir será única Se a matriz A for inversa da matriz B sendo que ambas são matrizes quadradas de mesma ordem o produto AB será igual ao produto BA e terá como resultado a matriz identidade de mesma ordem que as matrizes A e B 1 O produto entre duas matrizes quaisquer A e B só é possível se à quantidade de colunas da matriz A for igual à quantidade de linhas da matriz B Considere as matrizes A B e C ambas quadradas de mesma ordem e analise as afirmativas a seguir I A B² A² 2AB B² II A BA B A² B² III AB C B CA IV A B² A² B² É correto o que se afirma em a II apenas b I e III apenas c I II e III apenas d I e IV apenas e IV apenas 2 Nesta unidade estudamos a operação de multiplicação entre matrizes e a transposição de matrizes Baseandose nessas duas operações e em suas propriedades bem como considerando as matrizes A 1 1 1 1 e B 1 2 1 2 determine a O produto AB b A matriz M tal que ABᵀ Mᵀ 3 Por meio das propriedades de matriz transposta sabemos que o produto entre uma matriz qualquer e sua transposta resulta em uma matriz simétrica Com base nesta propriedade determine a matriz M AAT e verifique que ela é simétrica sendo A 1 0 2 1 3 2 As matrizes são tabelas que ajudam a organizar dados os quais são utilizados muitas vezes na Ciência na Administração na Tecnologia entre outros As matrizes são objetos matemáticos com uma teoria rica e de vasta aplicabilidade em que os computadores são muito bons para manipular essas tabelas ANTON RORRES 2012 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 Sobre as matrizes elementares e a matriz inversa analise as afirmativas a seguir I A matriz A 1 0 0 7 é uma matriz elementar II Seja A uma matriz quadrada de ordem n e B uma matriz quadrada de mesma ordem então o produto AB é igual à matriz identidade I de ordem n III As operações elementares só podem ser efetuadas em uma matriz quadrada IV Dada a matriz A 2 1 3 7 aplicando a operação elementar L2 L2 3L1 obtemos como resultado a matriz 2 9 1 10 É correto o que se afirma em a I apenas b I e IV apenas c III e IV apenas d I II e III apenas e I II III e IV 5 Relacione as colunas da respectiva operação elementar feita na matriz identidade com a sua respetiva matriz elementar resultante dessa operação 1 L1 L2 1 0 5 0 1 0 0 0 1 2 L2 3L2 0 1 1 0 3 L1 L1 5L3 1 0 0 0 1 0 0 2 1 4 L3 L3 2L2 1 0 0 3 6 Utilizando as operações elementares verifique se as matrizes são invertíveis ou não Caso a matriz seja invertível determine a sua matriz inversa Utilizando as operações elementares verifique se as matrizes são invertíveis ou não Caso a matriz seja invertível determine a sua matriz inversa a A 0 2 6 1 2 1 0 1 2 b B 1 1 0 0 0 1 1 1 2 MEU ESPAÇO 3 Determinantes Me Elaine Cristina Sturion Me Nelidy Motizuki Caroa estudante esta unidade é dedicada ao estudo dos deter minantes Diferentemente do que já foi estudado o determinante é um número real associado a uma matriz quadradaNesta unida deinicialmente definiremos o que é um determinante e depois apresentaremos regras de cálculo para obtêlos como a Regra de Sarrus e a Regra de Laplace Abordaremos conceitos relacionados aos elementos de uma matriz como o menor complementar e o cofator Estudaremos as propriedades de determinantes e como em pregálas por exemplo para saber se uma matriz possui inversa ou não Apresentaremos o conceito de matriz cofatora matriz adjunta e finalizaremos a unidade com um método para obter a matriz inversa com o uso dos determinantes UNIDADE 3 Caroa estudante em algumas situações podemos obter uma solução de um determinado problema de formas diferentes Por exemplo uma equação de segundo grau cujo gráfico é uma parábola pode ter seu vértice obtido por uma fórmula ou simplesmente pela média aritmética entre suas raízes Porém esta não é a única situação que podemos utilizar métodos distintos para obter um mesmo resultado Você deve se recordar que na unidade anterior nós estudamos um método de cálculo de matriz inversa utilizando as operações elementares sobre as linhas de uma matriz Você acha que essa é a única forma que nós temos para calcular a matriz inversa Pela definição de matriz inversa sabemos que uma matriz multiplicada por sua inversa resulta na matriz identidade isto é AA1I Sabendo disso precisamos utilizar um método para obter uma matriz que satisfaça a condição anterior Uma forma de obter a matriz inversa é utilizando o conceito de determinantes e matriz adjunta O determinante é um número que é associado à matriz por meio de um cálculo específico e de acordo com o valor desse é possível saber se uma matriz terá ou não inversa Por exemplo dada a matriz quadrada A a sua inversa A1 se existir será calculada como sendo A1frac1detA adjA onde adjA denota a matriz adjunta de A Olhando para a definição da matriz inversa com relação ao valor do determinante da matriz A em quais casos a matriz A não possui inversa Considere como exemplo agora a matriz A cujo determinante é det A0 e a matriz B com determinante det B2 O que é possível dizer com relação à matriz inversa das matrizes A e B calculando a inversa por meio da expressão A1frac1detA adjA Elas existem ou não Iniciaremos nossos estudos a respeito dos determinantes de matrizes Curiosamente os determinantes surgiram antes das matrizes cronologicamente De acordo com Sousa Sabino e Sabino 2017 a primeira ideia de determinante surgiu no oriente com o matemático japonês Seki Kowae em 1683 enquanto a primeira noção de matriz surgiu com o inglês James Joseph Sylvester em 1850 No entanto para Sylvester o conceito de matriz era visto como um mero ingrediente para o estudo dos determinantes UNICESUMAR Podemos atribuir a Arthur Cayley a responsabilidade por estudarmos primeiramente as matrizes e em seguida os determinantes pois foi ele quem iniciou a teoria de matrizes salientando que logicamente a noção de matriz deveria anteceder a de determinante Os estudos sobre determinantes estão ligados à resolução de sistemas lineares e às funções Mas afinal o que é o determinante O determinante é um número associado a uma matriz quadrada Aaijm imes n Podemos denotar o determinante de uma matriz A por det A ou A ou det aij EXEMPLO seja a matriz dada por A2 1 0 1 podemos representar o seu determinante como det A ou beginvmatrix 2 1 0 1 endvmatrix ou det beginvmatrix 2 1 0 1 endvmatrix Utilizaremos a notação com as duas barras para indicar o determinante de uma matriz Lembrese de que as barras do determinante não indicam módulo pois A é uma matriz quadrada de ordem 1 o determinante de Aa11 é igual ao seu elemento isto é det Aa11a11 ou seja se A13 temse det A1313 Podemos reparar pela observação anterior que em uma matriz de ordem 1 o determinante é dado pelo próprio elemento da matriz Agora como identificar o determinante de outras matrizes de ordem superior a 1 Para calcular determinantes temos algumas regras que podemos aplicar às matrizes como a Regra de Sarrus e a Regra de Laplace Então começaremos calculando determinantes pela Regra de Sarrus A Regra de Sarrus se aplica para o cálculo do determinante de matrizes de ordem 2 e 3 Primeiramente veja a figura a seguir para recordar o que são as diagonais principal e secundária de uma matriz quadrada Diagonal principal e secundária Dada a matriz A beginmatrix 1 2 9 3 endmatrix calcule o seu determinante det A beginmatrix a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 endmatrix det A beginmatrix 2 1 3 1 3 2 2 2 1 endmatrix Calculando o determinante temos det A 27 x² 2y 178 UNICESUMAR 79 Figura 5 PierreSimon Laplace Caroa estudante a Regra de Sarrus estudada anteriormente possui uma limitação com relação ao cálculo dos determinantes pois ela só pode ser aplicada a matrizes de ordem 2 e 3 Diante deste fato estu daremos outro método de cálculo de determinante para uma matriz de qualquer ordem No entanto antes de definir a Regra de Laplace precisamos definir os conceitos de menor complementar e cofator para podermos aplicála Dada a matriz quadrada An n o menor complementar de um elemento genérico aij da matriz A é o determinante Aij que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A Observe que o menor complementar de uma matriz é um número Resolveremos um exemplo para compreender como ele é obtido A 2 5 0 1 3 1 4 2 1 Caroa estudante existe um tipo de matriz em específico na qual os menores complementares da forma Aij e Aji coincidem Você saberia dizer que tipo de matriz é esta Dica pense em uma matriz onde os elementos da iésima linha coincidem com os elementos da iésima coluna A partir do conceito de menor complementar definimos o conceito de cofactor Dessa forma podemos dizer que dada a matriz quadrada Amxn chamase cofactor de um elemento aij da matriz o valor Cij 1ijAij onde Aij é o menor completador do elemento aij dada a matriz A beginbmatrix 2 5 0 1 3 1 4 2 1 endbmatrix determinaremos os cofatores C13 C22 e C31 Observação pela definição de cofactor podemos notar o seguinte Quando i j é um número par o cofactor é igual ao seu menor complementar isto é Cij Aij e Quando i j é um número ímpar o cofactor é igual ao oposto do seu menor complementar isto é Cij Aij Com os conceitos de menor complementar e cofactor podemos definir a Regra de Laplace para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem n n Regra de Laplace seja A aij uma matriz de ordem n n com n 2 e O determinante de A é o valor det A ai1C1j ai2C2j ainCnj sumj1naijCij que é a expansão pela iésima linha e também det A a1jCj1 a2jCj2 anjCjn sumi1naijCij que é a expansão pela jésima coluna A Regra de Laplace pode ser aplicada a qualquer linha ou coluna da matriz como referência No entanto com a finalidade de reduzir os cálculos é usual escolher uma linha ou a coluna que apresenta a maior quantidade de zeros Vamos calcular os cofatores Cofator C23 C23 123 beginvmatrix 2 5 4 2 endvmatrix 1 cdot 16 16 Cofator C33 C33 133 beginvmatrix 2 5 1 3 endvmatrix 1 cdot 11 11 Logo o determinante da matriz é det A a13C13 a23C23 a33C33 0 cdot C13 1 cdot 16 1 cdot 11 27 Se escolhermos outra coluna ou até mesmo uma linha para aplicar a Regra de Laplace o resultado a ser obtido em qualquer uma das escolhas deve ser o mesmo det A 27 pois o determinante de uma matriz é único Por exemplo aplique a Regra de Laplace à primeira linha da matriz e verifique que o resultado obtido é det A 27 Calcule o determinante da matriz M beginbmatrix 2 5 1 2 3 4 1 1 0 2 0 0 1 0 3 0 endbmatrix Solução como a matriz M é de ordem 4 para calcular seu determinante faremos uso da Regra de Laplace Observando a matriz percebemos que a terceira linha possui a maior quantidade de zeros Então a fim de reduzirmos os cálculos tomemos esta linha para aplicar a Regra de Laplace Assim det A a31C31 a32C32 a33C33 a34C34 Temos a31 0 a33 a34 0 e a32 2 então repare que neste caso não precisamos calcular os cofatores C31 C33 e C34 pois eles estão sendo multiplicados por zero VIII A matriz A é invertível se e somente se det A 0 IX Se a matriz A é invertível então detA1 1det A Solução podemos observar que a terceira linha é múltipla da primeira isto é L3 3L1 Portanto 1 2 1 L3 1 2 1 Como a matriz A possui 0 4 3 L3 13 1 2 1 3 6 3 0 4 3 1 2 1 duas linhas iguais pela Propriedade 1iv temos que det A 0 e pela Propriedade 1viii concluímos também que esta matriz não é invertível considere a matriz A 2 1 2 3 1 1 1 3 0 Calcule det A e detAT A matriz A é invertível Se sim calcule detA1 Solução Vamos calcular det A usando a Regra de Sarrus temos det A 2 1 2 11 3 1 1 1 3 0 Vamos calcular detAT pela Propriedade 1vii temos que det A detAT então detAT 11 Pela Propriedade 1viii temos que A é invertível pois det A 11 0 Então pela Propriedade 1ix temos que detA1 111 Propriedade 2 dada a matriz Txn uma matriz triangular superior ou inferior seu determinante é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal isto é det T a11a22ann dada a matriz A 4 7 0 2 1 0 5 6 5 0 0 0 1 2 1 0 0 0 3 3 0 0 0 0 2 calcule seu determinante Solução a matriz A tem ordem 5 e é uma matriz triangular superior Sendo assim pela Propriedade 2 seu determinante é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal Assim det A a11a22a33a44a55 det A 4 5 1 3 2 det A 120 calcule o determinante da matriz identidade de ordem n Solução a matriz identidade I de ordem n é por definição uma matriz triangular inferior e superior onde os elementos de sua diagonal principal são todos iguais a 1 isto é a11 a22 ann 1 Assim pela Propriedade 2 temos que det I a11a22ann det I 1 1 1 det I 1 Propriedade 3 sejam as matrizes quadradas A e B de mesma ordem temos que detAB det A det B Exemplos dadas as matrizes A 1 2 3 2 e B 5 2 1 1 calcule detAB Solução observe que o produto AB é possível pois a quantidade de colunas da matriz A é igual à quantidade de linhas da matriz B Logo pela Propriedade 3 temos que detAB det A det B Como det A 1 2 3 4 e det B 5 2 1 1 3 segue que detAB 4 3 12 Repare que a Propriedade 3 só pode ser utilizada quando o produto AB for possível de ser efetuado caso contrário não podemos aplicála Exemplos dados os determinantes det A 2 e det B 3 onde a matriz A é de ordem 3 e a matriz B de ordem 2 não podemos aplicar a Propriedade 3 para calcular detAB pois o produto AB não é definido Estudante você deve se recordar que na unidade 2 estudamos como calcular a inversa de uma matriz utilizando as operações elementares Agora veremos outro modo de calcular a inversa de uma matriz com o uso de determinantes e para isso precisaremos definir a matriz adjunta Para que essa seja definida precisamos definir primeiro a matriz dos cofatores Você deve se recordar também que quando estudamos a Regra de Laplace vimos como calcular os cofatores de uma matriz Assim dada uma matriz quadrada Aₙxₙ da forma Aₙxₙ a₁₁ a₁₂ a₁n aₘ₁ aₘ₂ aₘₙ a matriz dos cofatores é dada por cofA C₁₁ C₁₂ C₁n Cₙ₁ Cₙ₂ Cₙn de maneira que Cij é cofator do elemento aij da matriz A 4 Sistemas Lineares Me Elaine Cristina Sturion e Me Nelidy Motizuki Caroa estudante esta unidade é dedicada ao estudo da resolução de sistemas de equações lineares Para poder resolvêlos primeiro preci samos saber o que é uma equação linear por isso começaremos nosso estudo definindoa bem como suas soluções para assim definirmos o conceito de sistemas de equação linear e suas soluções Veremos que podemos classificar um sistema de acordo com a quantidade de soluções que ele possui e também relacionar sistemas que possuem o mesmo conjunto solução Como alguns métodos de solução de sistemas lineares são baseados em matrizes veremos como escrever um sistema linear usando a notação matricial Dentre os métodos de solução estudare mos o método de substituição o método de escalonamento a Regra de Cramer e o método de eliminação de Gauss Cada método possui sua vantagem e desvantagem sendo que o melhor método a ser empregado dependerá das características do sistema UNIDADE 4 100 Volta e meio deparamonos com algumas imagens do tipo a seguir em nossas redes sociais Tais desafios instigam as pessoas a resolverem o problema pois chamam atenção e geram curiosidade devido ao seu formato visual A figura apresenta de forma lúdica um objeto matemático conheci do como sistema de equações lineares Na figura os valores desconhe cidos são os doces a bala azul a bala verde e o pirulito Você deve se re cordar do seu tempo escolar que os valores desconhecidos na Matemática são representados por letras minúsculas do nosso alfabeto geralmente x y z Esses valores desconhecidos são chamados incógnitas Descrição da Imagem a imagem apresenta quatro equações envolvendo doces e operações de soma e de subtração A primeira equação é descrita por uma bala azul mais uma bala azul mais uma bala azul igual a dezoito A segunda equação é descrita por uma bala azul mais uma bala azul mais um pirulito igual a quinze A terceira equação é descrita por uma bala verde mais uma bala azul mais um pirulito igual a dez A quarta equação é descrita por uma bala azul menos uma bala verde mais um pirulito menos uma bala verde igual a uma interrogação Figura 1 Lectati nisit haru UNICESUMAR 127 Caroa estudante nesta unidade você aprendeu algumas formas para resolver um sistema de equações de modo sistematizado Você deve se recordar do sistema apresentado na abertura desta unidade o sistema que envolvia os doces Dentre os métodos estudados qual você julga ser o mais simples para resolvêlo Aplique o método escolhido e veri fique se a solução que você obteve inicialmente é a mesma obtida pelo método que você escolheu Gauss o príncipe dos matemáticos Caroa estudante nesta unidade estudamos o mé todo de eliminação de Gauss para a resolução de um sistema de equações lineares Gauss é um mate mático alemão considerado o príncipe dos matemá ticos por ser uma criança prodígio Está curiosoa para saber o porquê deste título Aperte o play e des cubra 5 Aplicações de Álgebra Linear Me Elaine Cristina Sturion e Me Nelidy Motizuki Caroa estudante chegamos a nossa reta final mas lembrese de que esse é só o início da sua caminhada de sucesso nos estudos em Álgebra Nesta unidade você entenderá o motivo de estudar tanto sobre matrizes e sistemas lineares Aqui você poderá conferir algumas aplicações da Álgebra Linear para a análise de modelos econômicos problemas de redes de fluxo representação de informações por meio de grafos e modelagem de problemas usando as cadeias de Markov e o método de mínimos quadrados Esperamos que com essa disciplina além de aprimorar os seus co nhecimentos sobre Álgebra Linear também refine o seu raciocínio lógico e que você compreenda que com as técnicas aprendidas existe vasta possibilidade de aplicações em muitas outras áreas da ciência UNIDADE 5 134 Você estudou até aqui vários conceitos de Álgebra Linear como por exemplo vetores matrizes determinantes e sistemas de equações linea res No entanto é de praxe todo estudante perguntar ao professor de Matemática onde é que eu vou usar isso na minha vida e provavel mente você pode estar se fazendo essa pergunta também Por exemplo podemos encontrar conceitos matemáticos em um campeonato de futebol Observe a tabela do Grupo A referente ao cam peonato da Libertadores do ano de 2020 Classificação P J V E D 1 Flamengo 15 16 5 0 1 2 Independiente Del Valle 12 6 4 0 2 3 Junior de Barranquilla 6 6 2 0 4 4 BarcelonaEQU 3 6 1 0 5 Tabela 1 Grupo A da Libertadores de 2020 Fonte Minha Torcida 2020 online De acordo com o que nós já estudamos sobre Álgebra Linear tabelas são uma forma de organização de dados as quais podemos fazer corres ponder a uma matriz No entanto esta não é a única matriz que temos associada às informações da tabela Veja os resultados das rodadas do Grupo A da Libertadores de 2020 de acordo com Minha Torcida 2020 online Rodada 1 BarcelonaEQU 0x3 Independiente Del Valle Junior de Barranquilla 1x2 Flamengo Rodada 2 Flamengo 3x0 BarcelonaEQU Independiente Del Valle 3x0 Junior de Barranquilla Rodada 3 Independiente Del Valle 5x0 Flamengo BarcelonaEQU 1x2 Junior de Barranquilla Rodada 4 BarcelonaEQU 1x2 Flamengo Junior de Barranquilla 4x1 Independiente Del Valle UNICESUMAR 135 Rodada 5 Flamengo 4x0 Independiente Del Valle Junior de Barranquilla 0x2 BarcelonaEQU Rodada 6 Independiente Del Valle 2x0 BarcelonaEQU Flamengo 3x1 Junior de Barranquilla Os resultados de vitórias em cada rodada podem ser representados graficamente como na figura a seguir consideraremos as seguintes abreviações Flamengo FLA Independiente Del Valle IDV Junior de Barranquilla JUN BarcelonaEQU BGU FLA IDV BGU JUN Descrição da Imagem a imagem mostra o grafo orientado dos times FLA tem uma seta orientada para IDV BGU e JUN IDV tem três setas uma orientada para FLA outra para BGU e outra para JUN o vértice JUN possui uma seta orientada para BGU e por fim o vértice BGU tem uma seta orientada para JUN Esta representação é denominada grafo orientado e todo grafo pode ser associado a uma matriz Figura 1 Grafo orientado do grupo A Fonte as autoras UNIDADE 5 140 Como nosso objetivo é apenas dar uma noção de aplicações dos conceitos estudados nas unidades anteriores sugerimos que oa es tudante interessado em mais detalhes deste tema consulte as obras de Poole 2016 e Kolman 2018 Agora trabalharemos com outro assunto em que podemos aplicar a Álgebra Linear denominado análise de redes Podemos encontrar esse tema em muitos aspectos do nosso cotidiano pois as redes aparecem por exemplo nas redes de comunicações redes de transporte ou até mesmo redes econômicas Podemos pensar que o conceito de rede é um conjunto de ramos dos quais flui algum meio de acordo com Anton 2012 Podemos também imaginar que uma rede é feita de um número finito de nós ou vértices conectados por um conjunto de segmentos os quais são chamados arcos ou ramos Você pode pensar em carros viajando ao longo de uma rede de ruas ou na logística de uma empresa com o seu fluxo de mercadorias segundo Poole 2016 Em uma rede cada ramo é rotulado com um fluxo que possui a quantidade de alguma mercadoria ou substâncias que podem fluir ao longo de um ramo na direção indicada A regra da conservação de fluxo nos diz que em cada nó o fluxo de entrada é igual ao fluxo de saída Veja como o exemplo a seguir trabalha com essa regra dado o fluxo de um nó como na figura a seguir determine a quantidade de saída em unidades desse nó 03 EXEMPLO 10 15 f f 1 2 Descrição da Imagem a imagem apresenta um nó recebendo os valores 10 e 15 Saindo desse nó temos f1 e f2 Figura 2 Fluxo em um nó Fonte as autoras UNICESUMAR 143 Caroa estudante trabalharemos várias aplicações com a intenção de mostrar que a Álgebra Linear pode ser útil em diversas áreas e você como cientista de dados verá algumas formas de organizar e trabalhar com a informação de um determinado problema Como vimos inicialmente na unidade os grafos são utilizados para modelar um conjunto de objetos que se relacionam entre si Essa teo ria surge a partir da indagação de moradores sobre um problema das pontes de Königsburg uma cidade que atualmente é conhecida como Kaliningrado na Rússia Existiam sete pontes nessa cidade que ligavam quatro pedaços de terras divididos pelo Rio Pregel Os moradores da cidade se perguntavam se era possível caminhar pela cidade de maneira contínua cruzando as sete pontes sem passar duas vezes por qualquer uma dessas pontes ROSENHOUSE TAALMAN 2011 UNIDADE 5 144 Atualmente os grafos podem ser utilizados na modelagem de rotas aé reas conexões de telecomunicações relações de ecossistemas ou ainda relações de domínio em um esporte entre outras várias aplicações Um grafo pode ser definido como um conjunto de pontos finitos denomi nados vértices os quais são ligados por arestas de maneira que elas ligam dois vértices não necessariamente distintos Dizemos que dois vértices são adjacentes se dois pontos estão ligados por uma mesma aresta Veja na figura a seguir que não temos uma única forma de re presentar o mesmo grafo Descrição da Imagem a imagem mostra o mapa da região de Königsburg em que a cidade é cortada por um rio e de maneira que as regiões dessa cidade são ligadas por sete pontes que cruzam o rio Figura 4 Pontes de Königsburg Fonte Rosenhouse e Taalman 2011 p 6 UNIDADE 5 158 dores a marca B terá 3675 e as outras marcas terão 2428 O assunto sobre cadeias de Markov apresenta extensões que não são foco deste material pois nosso objetivo é apenas dar uma noção de aplicações dos conceitos estudados nas unidades anteriores Para um aprofundamento maior do tema em relação aos aspectos algébricos oa estudante interessado pode consultar as obra de Poole 2016 e Kolman 2018 As aplicações porém não acabam por aqui Por exemplo em mui tos experimentos científicos de coleta de dados geralmente tentamos relacionar uma regra matemática entre as variáveis que estão sendo estudadas É possível estudar o crescimento p de uma população de bactérias em relação ao tempo t em um laboratório ou ainda pensando na parte econômica estudar o custo total c e o número n de produtos fabricados Note que nos exemplos citados sempre trabalhamos com duas medidas uma variável independente e outra variável dependente assim temos sempre um conjunto de pares ordenados x y e a pro cura pela melhor função matemática que se aproxime desses dados UNICESUMAR 163 Agora que você sabe calcular curvas que se aproximam dos pontos de sejados também podemos usar os mínimos quadrados para estimar um crescimento de maneira exponencial de uma população Uma maneira de verificar esse crescimento é pela função p t cekt dado que p t é o tamanho da população t é o tempo c e k são constantes Veja um exemplo a seguir que trabalha com o crescimento de forma exponencial 3 2 1 C B A 1 0 1 2 C 3 2 1 Descrição da Imagem a imagem mostra uma parábola com a concavidade voltada para cima e três pontos bem próximos a esse gráfico Figura 12 Aproximações por meio da parábola Fonte as autoras Logaritmos e suas Propriedades Você se lembra de logaritmos e suas propriedades Se sua resposta é não venha assistir a esse vídeo para relembrar pois utilizarnosemos no próximo exemplo UNICESUMAR 167 Caroa estudante chegamos ao final da nossa unidade Aqui estuda mos algumas aplicações dos conceitos apresentados nas unidades an teriores Você conheceu várias aplicações das matrizes em particular a matriz de adjacência que é a matriz associada a um grafo Agora que você possui este conhecimento mais refinado volte ao início dessa uni dade e verifique se a matriz que você elaborou para o grafo do Grupo A está correta O sistema de pesquisa do Google Caroa estudante nesta unidade apresentamos algu mas aplicações da Álgebra Linear No entanto neste podcast vamos lhe apresentar mais uma o sistema de pesquisa do Google O algoritmo por trás desse siste ma é chamado Page Rank e usa os conceitos de grafos e cadeias de Markov Aperte o play para saber mais NOVAS DESCOBERTAS Isto é Matemática Como nesta unidade apresentamos algumas aplicações da Álgebra Linear gostaríamos de expandir os conceitos e deixar aqui uma playlist onde você poderá assistir a vídeos que mostram a aplicação da Matemática em nos so cotidiano de forma mais abrangente O programa Isto é Matemática é promovido pela Sociedade Portuguesa de Matemática e pela Fundação Vo dafone Portugal No link a seguir você pode assistir à primeira temporada do programa disponível no YouTube Um vídeo interessante dessa playlist é o vídeo Como é que o Google goo gla pois este assunto está relacionado ao assunto do nosso podcast 169 3 Em uma pesquisa sobre assinatura de um jornal existem apenas dois estados a pessoa é assinante do jornal ou não A probabilidade de uma pessoa ser assi nante e continuar assinando o jornal é de 70 enquanto a probabilidade de uma pessoa não ser assinante e assinar o jornal é de 20 Supondo que no começo da pesquisa 120 pessoas assinavam o jornal e 80 não quantas pessoas serão assinantes do jornal após dois meses 4 Os mínimos quadrados é uma maneira de descrever o comportamento de dados coletados por meio de uma função matemática Suponha que um biólogo deseja estudar o crescimento de uma planta e pede seu auxílio para tentar descobrir a função que melhor descreve esse crescimento A seguir seguem os dados coletados por esse biólogo Tempo semanas Altura centímetros Semana 0 0 Semana 1 5 Semana 2 8 Semana 3 14 Tabela 1 Crescimento da planta estudada Fonte as autoras Sabendo que este crescimento é linear encontre a função da reta que melhor des creve os dados e calcule a altura da planta na semana 11 187 UNIDADE 1 A NOTÍCIA REGIONAL Tabela de números de casos registrados 8 jun 2020 Disponível em httpswwwanoticiaregionalcombrnoticiaphpid13807 Acesso em 3 maio 2021 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 BOLDRINI J L et al Álgebra Linear 2 ed São Paulo Harbra 1980 FERNANDES L F D Álgebra linear 2 ed Curitiba Intersaberes 2017 FRANCO N B Álgebra Linear São Paulo Pearson 2016 GONÇALVES E M CRUZ L F da CHUEIRI V M M Introdução ao estudo da Álgebra Linear São Paulo Cultura Acadêmica Unesp PróReitoria de Graduação 2012 INEP Exame Nacional do Ensino Médio Prova de Redação e de Linguagens Códigos e suas Tecnologias Prova de Matemática e suas Tecnologias Brasília Inep 2012 KOLMAN B HILL D R Introdução à Álgebra Linear com aplicações Rio de Janeiro LTC 2018 LUIZ R Matriz Brasil Escola 2020 Disponível em httpsbrasilescolauolcombrmatemati camatrizhtm Acesso em 3 maio 2021 NADAI N O que é uma igualdade Khan Academy 2020 Disponível em httpsptkhanaca demyorgmathpt3anoalgebra3anocompreendendoaideiadeigualdadeaoqueumai gualdade Acesso em 3 maio 2021 NUNES D M A abordagem histórica dos tópicos matriz determinante e sistemas lineares pre sentes nos livros didáticos In ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 12 2016 São Paulo 2016 Anais São Paulo ENEM 2016 Disponível em httpwwwsbemcombr enem2016anaispdf70653067IDpdf Acesso em 3 maio 2021 POOLE D Álgebra Linear uma introdução moderna 2 ed São Paulo Cengage Learning 2016 WINTERLE P STEINBRUCH A Geometria Analítica 2 ed São Paulo Makroon Books 2006 188 UNIDADE 2 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 BOLDRINI J L et al Álgebra Linear 2 ed São Paulo Harbra 1980 FERNANDES L F D Álgebra linear 2 ed Curitiba Intersaberes 2017 FRANCO N B Álgebra Linear São Paulo Pearson 2016 KOLMAN B HILL D R Introdução à Álgebra Linear com aplicações Rio de Janeiro LTC 2018 POOLE D Álgebra Linear uma introdução moderna 2 ed São Paulo Cengage Learning 2016 STEINBRUCH A WINTERLE P Álgebra Linear 2 ed São Paulo Pearson Makroon Books 1987 UNIDADE 3 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 BOLDRINI J L et al Álgebra Linear 2 ed São Paulo Harbra 1980 FRANCO N B Álgebra Linear São Paulo Pearson 2016 KOLMAN B HILL D R Introdução à Álgebra Linear com aplicações Rio de Janeiro LTC 2018 SOUSA F B SABINO E R SABINO E R Abordagem histórica e conceitual sobre os sistemas de equações lineares e sua relação com matrizes e determinantes III Jornada de Estudos em Matemática Marabá PA 2017 UNIDADE 4 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 FRANCO N B Álgebra Linear São Paulo Pearson 2016 BOLDRINI J L et al Álgebra Linear 2 ed São Paulo Harbra 1980 POOLE D Álgebra Linear uma introdução moderna 2 ed São Paulo Cengage Learning 2016 189 UNIDADE 5 ANTON H RORRES C Álgebra Linear com Aplicações 10 ed Porto Alegre Bookman 2012 BOLDRINI J L et al Álgebra Linear 2 edSão Paulo Harbra 1980 COMPLEX Sobre a Covid19 2021 Disponível em httpcomplexpfiuembrcovid Acesso em 14 maio 2021 KOLMAN B HILL D R Introdução à Álgebra Linear com aplicações Rio de Janeiro LTC 2018 MINHA TORCIDA Libertadores Tabelas e resultados 2020 Disponível em httpswwwmi nhatorcidacombrtabelalibertadores2020 Acesso em 13 maio 2021 POOLE D Álgebra Linear uma introdução moderna 2 ed São Paulo Cengage Learning 2016 ROSENHOUSE J TAALMAN L Taking Sudoku Seriously The math behind the worlds most popular pencil puzzle New York Oxford University Press 2011