En 435 Mata 12ano 2000 Pm

EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO\n12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto)\nCursos Gerais e Cursos Tecnológicos\nDuração da prova: 120 minutos\n2000\nPROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA\nVERSÃO 1\nDeve indicar claramente na sua folha de respostas a versão da prova.\nA ausência desta indicação implicará a anulação de toda a primeira parte da prova.\nV.S.F.F.\n435.V/1 Primeira Parte\n• As sete questões desta primeira parte são de escolha múltipla.\n• Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta.\n• Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionou para responder a cada questão.\n• Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.\n• Não apresente cálculos.\n1. Sejam a, b e c três números reais tais que log_a(b) = c\nQual é o valor de log_a(ab)?\n(A) 1 + c (B) a + c (C) ac (D) a + b + c\n2. Na figura ao lado está representado o gráfico de g'', segunda derivada de uma certa função g.\nQual dos gráficos seguintes pode ser o da função g?\n(A) (B) (C) (D)\n435.V/12 3. De uma função f, contínua em R, sabe-se que:\n• f é estritamente crescente\n• f(0) = 1\n• O eixo Oz e a bissetriz dos quadrantes ímpares são assintotas do gráfico de f\nQual é o contradomínio de f?\n(A) [1, +∞[ (B) [-∞, 1] (C) ]0, +∞[ (D) ]-∞, 0[\n4. Na figura está representado um cubo.\nConsidere que um ponto P se desloca ao longo do trajeto que a figura sugere: P parte de A e percorre sucessivamente as arestas [AB], [BC] e [CD], terminando o percurso em D.\nO ponto P demora um segundo a percorrer cada uma das arestas.\nSeja d(t) a distância do ponto P ao ponto E, t segundos após a partida.\nQual dos gráficos seguintes pode ser o da função d?\n(A) (B) (C) (D)\nV.S.F.F.\n435.V/13 Cada uma de seis pessoas lança um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Qual é a probabilidade de os números saídos serem todos diferentes? (A) 6! / 6^6 (B) 1 / 6^6 (C) 1 / 6! (D) 1 / 6\n\nUma caixa contém cinco bolas brancas e cinco bolas pretas, indistinguíveis ao tacto. Tiram-se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa. Considera os seguintes acontecimentos: B1 - a bola retirada em primeiro lugar é branca; B2 - a bola retirada em segundo lugar é branca. Qual é o valor da probabilidade condicionada P(B2|B1)? (A) 1/2 (B) 4/9 (C) 1/2 x 5/9 (D) 4/9 (E) 5/9\n\nSeja C o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária. Na figura estão representados, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos: w, z1, z2, z3 e z4. Qual é o número complexo que pode ser igual a 2i w? (A) z1 (B) z2 (C) z3 (D) z4 Segunda Parte\n\nNas questões desta segunda parte apresento o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.\n\nAtenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.\n\n1. Seja C o conjunto dos números complexos; i designa a unidade imaginária.\n\n1.1. Considere o polinómico x^3 - 3x^2 + 6x - 4. Determine analiticamente as suas raízes em C, sabendo que uma delas é 1. Apresente-as na forma algébrica, simplificando-as o mais possível.\n\n1.2. Seja z um número complexo de módulo 2 e seu conjugado. No plano complexo, considere os pontos A e B tais que A é a imagem geométrica de z, B a imagem geométrica de z.\n\n1.3. Determine x, apresentando o resultado na forma algébrica.\n\nNa figura está representado, em referencial O.x.y.z, um octaedro regular.\n\n1.4. Sabe-se que:\n\n• a recta ST é paralela ao eixo oz\n• o ponto P pertence ao semieixo positivo O.x\n• o ponto R pertence ao semieixo positivo O.y\n• a aresta do octaedro tem comprimento 1\n\n2.1. Escolhidos ao acaso dois vértices do octaedro, qual é a probabilidade de estes definirem uma recta contida no plano de equação x = y? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.\n\n2.2. Seja A um ponto pertencente à aresta [RS]. Considere a secção produzida no octaedro por um plano que contém A e que é paralelo ao plano O.y.\n\n2.3. Seja d a distância de A a R. Considere a função f que faz corresponder, a cada valor de a, a área da referida secção.\n\nCaracterize a função f, indicando domínio e expressão analítica. Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA = BC. Seja α a amplitude do ângulo ABC. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por BC^2 / 2 x sen α (α ∈ [0, π]).\n\n3.2. Considere agora um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio 1. Utilize o resultado da alínea anterior para mostrar que a área do polígono é dada por An = n/2 sen (2π/n).\n\n3.3. Determine e interprete o valor de lim An.\n\nUm laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico: o AntiDor. A concentração deste medicamento, em decigramas por litro de sangue, t horas após ser administrado a uma pessoa, é dada por C(t) = t^2 e^(-0.6t) (t ≥ 0).\n\n4.1. Reconhecendo exclusivamente a processos analíticos, determine o valor de t para o qual é máxima a concentração de AntiDor no sangue de uma pessoa que o toma.\n\n4.2. Calcule o valor dessa concentração máxima, apresentando o resultado na unidade desejada, considerando aproximações às décimas.\n\nComo se sabendo que, no mesmo laboratório, realizaram uma campanha de promoção deste medicamento, tendo em conta que:\n\n• para a maioria das dores, o AntiDor só produz efeito se a sua concentração for superior a 1 decigrama por litro de sangue;\n• de acordo com uma associação de defesa do consumidor, um analgésico deve começar a produzir efeito, no máximo, meia hora após ser tomado, e a sua ação deve permanecer durante, pelo menos, cinco horas (após ter começado a produzir efeito).\n\nNota: na resolução desta questão, deve utilizar as capacidades gráficas da sua calculadora e enriquecer a sua composição com o traço de um ou mais gráficos.\n\n5. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A e B são, portanto, subconjuntos de S).\n\nProve que P(A) + P(B) + P(A∩B) = 1 + P(A∩B) (P designa a probabilidade e A e B designam os acontecimentos contrários de A e de B). Formulário\nÁreas de figuras planas\nLosango: Diagonal maior × Diagonal menor\n\n2\nTrapézio: Base maior + Base menor × Altura\n\n2\nPolígono regular: Semiperímetro × Apótema\n\nCírculo: π r2 (r = raio)\n\nÁreas de superfícies\nÁrea lateral de um cone: π r g\n(r = raio da base; g = geratriz)\nÁrea da uma superfície esférica: 4 π r2\n(r = raio)\n\nVolumes\nPrisma: Área da base × Altura\nCilindro: Área da base × Altura\nPirâmide: 1/3 Área da base × Altura\nCone: 1/3 Área da base × Altura\nEsfera: 4/3 π r3 (r = raio)\n\nTrigonometria\nsen(a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a\ncos(a + b) = cos a · cos b - sen a · sen b\ntg(a + b) = tg a + tg b\n1 - tg a · tg b\n\nComplexos\n(p cis θ), (p' cis θ') = p p' cis (θ + θ')\n\np cis θ\n p' cis θ'\n\r p' cis(θ - θ')\n\n(p cis θ)m = pm cis(mθ)\n\n√(p cis θ) = √p cis(θ/2) + 2 k π/n\nk ∈ {0, ..., n - 1}\n COTAÇÕES\n\nPrimeira Parte .................................... 63\nCada resposta certa ................................. +9\nCada resposta errada ................................. -3\nCada questão não respondida ou anulada .......... 0\nNota: Um total negativo nesta parte da prova vale 0 (zero) pontos.\n\nSegunda Parte .......................................... 137\n1. ....................................................... 21\n1.1 ....................................................... 11\n1.2 ....................................................... 10\n2. ....................................................... 31\n2.1 ....................................................... 16\n2.2 ....................................................... 15\n3. ....................................................... 41\n3.1 ....................................................... 14\n3.2 ....................................................... 14\n3.3 ....................................................... 13\n4. ....................................................... 29\n4.1 ....................................................... 14\n4.2 ....................................................... 15\n5. ....................................................... 15\n\nTOTAL ...................................................... 200\n