En 435 Mata 12ano 2003 2f

PROVA 435/10 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos Duração da prova: 120 minutos 2003 2.ª FASE VERSÃO 1 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 435.V1/1 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2 Grupo I As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que selecionar para responder a cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos, nem justificações. 1. De uma função f, de domínio [-4, 5] e contínua em todo o domínio, sabe-se que: f(-4) = 6; f(2) = -1; f(5) = 1 f é estritamente decrescente no intervalo [-4, 2] f é estritamente crescente no intervalo [2, 5] Quantas soluções tem a equação f(x) = 0? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2. Seja g uma função, de domínio A, definida por g(x) = ln(1-x²) Qual dos seguintes poderá ser o conjunto A? (A) ]-e + 1, e - 1[ (B) ]-1, 1[ (C) ]0, +∞[ (D) ]-∞, 1[ V.S.F.F. 435.V1/3 3. Seja f uma função de domínio R, e seja g a função definida por g(x) = f(x + 1) A recta de equação y = 2x + 4 é a única assíntota do gráfico de f. Qual das seguintes é uma equação da única assíntota do gráfico de g? (A) y = 2x + 6 (B) y = 2x + 4 (C) y = 2x - 4 (D) y = 2x - 6 4. Na figura está representado um trapézio rectângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento. [Figure of a trapezoid] Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [AB]. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo PDA. Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [PD] divide o trapézio em duas figuras com a mesma área. Qual das equações seguintes traduz este problema? (A) 30^2 sen x / 2 = 100 (B) 30^2 tg x / 2 = 100 (C) 30×10 sen x / 4 = 150 (D) 30×10 tg x / 4 = 150 5. Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais? (A) ᵢ₉C₂ / ₃₅C₂ (B) ₃₅C₂ / ₃₆C₂ (C) ₁ / ₃₅C₂ (D) ₁₈ / ₃₆C₂ 435.V1/4 6. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspecto exterior, mas só um é que tem licor. A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor. Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come». Qual é a distribuição de probabilidades da variável X? [A) xᵢ: 0 1 2 3 4 P(X=xᵢ): 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2] (B) xᵢ: 0 1 2 3 4 P(X=xᵢ): 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 (C) xᵢ: 1 2 3 4 5 P(X=xᵢ): 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 (D) xᵢ: 1 2 3 4 5 P(X=xᵢ): 0.1 0.3 0.4 0.2 0.0 7. Na figura estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos: w, z₁, z₂, z₃ e z₄. Qual é o número complexo que pode ser igual a 1 - w? (A) z₁ (B) z₂ (C) z₃ (D) z₄ V.S.F.F. 435.V1/5 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto. 1. C é o conjunto dos números complexos i designa a unidade imaginária 1.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raízes quartas do número complexo 1 + √3i, simplificando o mais possível as expressões obtidas. 1.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A situado no segundo quadrante e pertencente à recta definida pela condição Re(z) = -2. Seja B a imagem geométrica de z̅, conjugado de z. Seja O a origem do referencial. Represente, no plano complexo, um triângulo [AOB], de acordo com as condições enunciadas. Sabendo que a área do triângulo [AOB] é 8, determine zₐ na forma algébrica. 2. Admita que, ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a população de Portugal Continental, em milhões de habitantes, é dada, aproximadamente, por p(t) = 3.5 + 6.8 / 1 + 12.8 e^(-0.038t) (considere que t é medido em anos e que o instante t = 0 corresponde ao início do ano 1864.) 2.1. De acordo com este modelo, qual será a população de Portugal Continental no final do presente ano (2003)? Apresente o resultado em milhões de habitantes, arredondado às décimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 2.2. Sem recorrer à calculadora (a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos), resolva o seguinte problema: De acordo com este modelo, em que ano a população de Portugal Continental foi de 3.7 milhões de habitantes? Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 435.V1/6 3. Considere a funcao f, de dominio \left[ \ -¥ \frac{ \pi}{2} \ , \frac{3\pi}{2} \right] , definida por f (x ) = x + sen x Sem recorrer a calculadora, resolva as três alíneas seguintes. 3.1. Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, calcule \ f '(0). 3.2. Estude a função \ f\ quanto ao sentido das concavidades do seu grafico e quanto a existencia de pontos de inflexao. 3.3. Determine os valores de \ x,\ pertencentes ao intervalo \ [ - ¥ \frac{ \pi}{2} \ , \frac{3\pi}{2} \ ] \ tais que f (x ) = x + cos x 4. De um baralho de cartas, seleccionam-se seis cartas do naipe de Espadas: As, Rei, Dama, Valete, Dez e Nove. Dispõem-se as seis cartas, em fila, em cima de uma mesa. 4.1. Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que as duas cartas do meio sejam o As e o Rei (não necessariamente por esta ordem)? 4.2. Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que o Rei nao fique ao lado da Dama? 5. Seja S o espaco de resultados associado a uma certa experiencia aleatoria. Sejam \ A \ \ e\ \ \ B \ \ dois acontecimentos possiveis \ (A \ C \ S \ e \ B \ C \ S). Sabe-se que: P (A \ n \ B ) = 0,1 P (A \ U \ B ) = 0,8 P (A \ | \ B ) = 0,25 Prove que \ A \ e \ B \ sao acontecimentos equiprovaveis. \ (P \ designa \ probabilidade, \ \ bar{A} designa o acontecimento contrario de \ A\ e \ P \ (A\ | \ B )\ designa \ probabilidade \ de \ A, \ se \ B). V.S.F.F. 435.V1/7 6. A Rita está a participar num concurso de lançamentos de papagaios de papel. No regulamento do concurso, estao as condições de apuramento para a final, que se reproduzem a seguir. Apos um certo instante, indicado pelo júri: * o papagaio não pode permanecer no ar mais do que um minuto; * o papagaio tem de permanecer, pelo menos durante doze segundos seguidos, a uma altura superior a dez metros; * o papagaio tem de ultrapassar os vinte metros de altura. Admitaa que a distância, em metros, do papagaio da Rita ao solo, \ t \ segundos após o instante indicado pelo júri, é dada por d(t) = 9,5 + 7 \sen( \frac{t^{2}}{200}) + 5 \cos ( \frac{t}{4} ) (os argumentos das funções seno e co-seno estao expressos em radianos). Note-se que, a partir do instante em que o papagaio atinge o solo, a distancia do papagaio ao solo deixa de ser dada por esta expressao, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero. Deverá a Rita ser apurada para a final? Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: graficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas). FIM 435.V1/8 COTACOES Grupo I ..........................................................................................................63 Cada resposta certa..................................................... +9 Cada resposta errada.................................................. -3 Cada questao não respondida ou anulada ................. 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II ............................................................................................. 137 1. .................................................................. 21 1.1................................................................11 1.2................................................................10 2. .................................................................. 26 2.1..............................................................10 2.2..............................................................16 3. ................................................................... 42 3.1..............................................................14 3.2..............................................................14 3.3..............................................................14 4. ....................................................................20 4.1..............................................................10 4.2..............................................................10 5. .................................................................... 12 6. ................................................................... 16 TOTAL .......................................................... 200 V.S.F.F. 435.V1/9 Formulário Áreas de figuras planas Losango: \( \frac{\text{Diagonal maior} \times \text{Diagonal menor}}{2} \) Trapézio: \( \frac{\text{Base maior} + \text{Base menor}}{2} \times \text{Altura} \) Polígono regular: \( \text{Semiperímetro} \times \text{Apótema} \) Círculo: \( \pi r^2 \) \( (r-\text{raio}) \) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: \( \pi rg \) \( (r-\text{raio da base}; g-\text{geratriz}) \) Área de uma superfície esférica: \( 4 \pi r^2 \) \( (r-\text{raio}) \) Volumes Prisma: \( \text{Área da base} \times \text{Altura} \) Cilindro: \( \text{Área da base} \times \text{Altura} \) Pirâmide: \( \frac{1}{3} \times \text{Área da base} \times \text{Altura} \) Cone: \( \frac{1}{3} \times \text{Área da base} \times \text{Altura} \) Esfera: \( \frac{4}{3} \pi r^3 \) Trigonometria \( \sen(a+b) = \sen a . \cos b + \sen b . \cos a \) \( \cos(a+b) = \cos a . \cos b - \sen a . \sen b \) \( \tg(a+b) = \frac{\tg a + \tg b}{1-\tg a . \tg b} \) Complexos \( \rho \text{cis} \theta . (\rho' \text{cis} \theta') = \rho \rho' \text{cis} (\theta + \theta') \) \( \frac{\rho \text{cis} \theta}{\rho' \text{cis} \theta'} = \frac{\rho}{\rho'} \text{cis} (\theta - \theta') \) \( (\rho \text{cis} \theta)^n = \rho^n \text{cis} (n \theta) \) \( \sqrt[n]{\rho \text{cis} \theta} = \sqrt[n]{\rho} \text{cis} \left( \frac{\theta + 2k\pi}{n} \right) , k \in \{0, ..., n-1 \} \) Progressões Soma dos \( n \) primeiros termos de uma Prog. Aritmética: \( \frac{u_1 + u_n}{2} \times n \) Prog. Geométrica: \( u_1 \times \frac{1-r^n}{1-r} \) Regras de derivação \( (u+v)' = u' + v' \) \( (u.v)' = u. v' + u'.v \) \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'.v - u.v'}{v^2} \) \( (u^n)' = n.u^{n-1}. u' \) \( (n \in \mathbb{R}) \) \( (\sen u)' = u'. \cos u \) \( (\cos u)' = - u'. \sen u \) \( (\tg u)' = \frac{u'}{\cos^2 u} \) \( (e^u)' = u'.e^u \) \( (a^u)' = u'. a^u. \ln a \) \( (a \in \mathbb{R}^+ \{1\}) \) \( (\ln u)' = \frac{u'}{u} \) \( (\log_a u)' = \frac{u'}{u.\ln a} \) \( (a \in \mathbb{R}^+ \{1\}) \) Limites notáveis \( \lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{x} = 1 \) \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1 \) \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1 \) \( \lim_{x \to + \infty} \frac{x^p}{e^x} = 0 \) \( (p \in \mathbb{R}) \) 435.V1/11