En 435 Mata 12ano 2003 2f

Formulário Áreas de figuras planas Losango: \frac{Diagonal\ maior\ x\ Diagonal\ menor}{2} Trapézio: \frac{Base\ maior + Base\ menor}{2} x Altura Polígono regular: Semiperímetro x Apótema Círculo: πr^2\ \ (r\ –\ raio) Áreas de superfícies Área lateral de um cone: π r g\ \ (r\ –\ raio\ da\ base;\ g\ –\ geratriz) Área de uma superfície esférica: 4 π r^2\ \ (r\ –\ raio) Volumes Prisma: Área\ da\ base\ x Altura Cilindro: Área\ da\ base\ x Altura Pirâmide: \frac{1}{3} x Área\ da\ base\ x Altura Cone: \frac{1}{3} x Área\ da\ base\ x Altura Esfera: \frac{4}{3} π r^3\ \ (r\ –\ raio) Trigonometria \sen(a+b) = \sen a.\cos b + \sen b.\cos a \cos(a+b) = \cos a.\cos b – \sen a.\sen b \tg(a+b) = \frac{\tg a + \tg b}{1 - \tg a.\tg b} Complexos (ρ\ cis θ)^n,\ (ρ'\ cis θ')^n = ρ^n cis n(θ + θ') \frac{\rho \ cis \theta}{\rho'\ cis \theta'} = \frac{\rho}{\rho '}\ cis\ (\theta - \theta ') (\rho \ cis \theta)^n = \rho^n\ cis\ (n \theta) \sqrt[n]{\rho \ cis \theta} = \sqrt[n]{\rho}\ cis \frac{\theta + 2k \pi}{n},\ k \in \{0,..., n-1\} Progressões Soma dos n primeiros termos de uma Prog. Aritmética: \frac{u_1+ u_n}{2} x n Prog. Geométrica: u_1 \frac{1-r^n}{1-r} Regras de derivação (u+v)' = u'+v' (uv)' = u'.v + u.v' \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'.v – u.v'}{v^2} (u^n)' = n.u^{n-1}.u'\ \ (n \in \mathbb{R}) (\sen u)' = u'.\cos u (\cos u)' = - u'.\sen u (\tg u)' = \frac{u'}{\cos^2 u} (e^u)' = u'.e^u (a^u)' = u'.a^u.\ln a\ \ (a \in \mathbb{R^+}\ \backslash\{1)\}) (\ln u)' = \frac{u'}{u} (\log_a u)' = \frac{u'}{u. \ln a}\ \ (a \in \mathbb{R^+}\ \backslash\{1\}) Limites notáveis \lim_{x \to 0} \frac{\sen x}{x} = 1 \lim_{x \to 0} \frac{e^x -1}{x} = 1 \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1 \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^p} = + \infty\ \ \ \ \ (p \in \mathbb{R}) 435.V/11 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. • O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. • O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2 Grupo I • As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. • Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que selecionar para responder a cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos, nem justificações. 1. De uma função f, de domínio [-4, 5] e contínua em todo o domínio, sabe-se que: f(-4) = 6; f(2) = -1; f(5) = 1 f é estritamente decrescente no intervalo [-4, 2] f é estritamente crescente no intervalo [2, 5] Quantas soluções tem a equação f(x) = 0? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2. Seja g uma função, de domínio A, definida por g(x) = ln (1 - x²) Qual dos seguintes poderá ser o conjunto A? (A) ]-e + 1, e - 1[ (B) ]-1, 1[ (C) ]0, +∞[ (D) ]-∞, 1[ V.S.F.F. 435.V1/3 3. Seja f uma função de domínio ℝ, e seja g a função definida por g(x) = f(x + 1) A recta de equação y = 2x + 4 é a única assíntota do gráfico de f. Qual das seguintes é uma equação da única assíntota do gráfico de g? (A) y = 2x + 6 (B) y = 2x + 4 (C) y = 2x - 4 (D) y = 2x - 6 4. Na figura está representado um trapézio rectângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento. Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [AB]. Em cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo PDA. Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [PD] divide o trapézio em duas figuras com a mesma área. Qual das equações seguintes traduz este problema? (A) 30^2 * sen x / 2 = 100 (B) 30^2 * tg x / 2 = 100 (C) 30 * x 10 * sen x / 4 = 150 (D) 30 * x 10 * tg x / 4 = 150 5. Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais? (A) \( \frac{1}{\binom{35}{2}} \) (B) \( \frac{35}{\binom{36}{2}} \) (C) \( \frac{1}{\binom{35}{2}} \) (D) \( \frac{18}{\binom{36}{2}} \) 435.V1/4 6. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspecto exterior, mas só um é que tem licor. A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor. Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come». Qual é a distribuição de probabilidades da variável X? (A) \[ \begin{array}{c|ccccc} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X = x_i) & 0,2 & 0,2 & 0,2 & 0,2 & 0,2 \\ \end{array} \] (B) \[ \begin{array}{c|ccccc} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X = x_i) & 0,1 & 0,1 & 0,2 & 0,2 & 0,4 \\ \end{array} \] (C) \[ \begin{array}{c|cccccc} x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X = x_i) & 0,2 & 0,2 & 0,2 & 0,2 & 0,2 \\ \end{array} \] (D) \[ \begin{array}{c|cccccc} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X = x_i) & 0,1 & 0,1 & 0,2 & 0,2 & 0,4 \\ \end{array} \] 7. Na figura estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de cinco números complexos: w, z_1, z_2, z_3 e z_4 Qual é o número complexo que pode ser igual a 1 - w? (A) z_1 (B) z_2 (C) z_3 (D) z_4 V.S.F.F. 435.V1/5 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto. 1. C é o conjunto dos números complexos • i designa a unidade imaginária 1.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raízes quartas do número complexo 1 + \sqrt{3} i, simplificando o mais possível as expressões obtidas. 1.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um ponto A situado no segundo quadrante e pertencente à recta definida pela condição Re(z) = −2. Seja B a imagem geométrica de z, conjugado de z. Seja O a origem do referencial. Represente, no plano complexo, um triângulo [AOB], de acordo com as condições enunciadas. Sabendo que a área do triângulo [AOB] é 8, determine z_a na forma algébrica. 2. Admita que, ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a população do Portugal Continental, em milhões de habitantes, é dada, aproximadamente, por p(t) = 3,5 + \frac{6,8}{1 + 12,8 e^{-0,036t}} (considere que t é medido em anos e que o instante t = 0 corresponde ao início do ano 1864.) 2.1. De acordo com este modelo, qual será a população de Portugal Continental no final do presente ano (2003)? Apresente o resultado em milhões de habitantes, arredondado às décimas. Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 2.2. Sem recorrer à calculadora (a não ser para efectuar eventuais cálculos numéricos), resolva o seguinte problema: De acordo com este modelo, em que ano a população de Portugal Continental foi de 3,7 milhões de habitantes? Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais. 435.V1/6 3. Considere a função f, de domínio \left[- \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right], definida por f(x) = x + \sen x Sem recorrer a calculadora, resolva as três alíneas seguintes. 3.1. Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, calcule f'(0). 3.2. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. 3.3. Determine os valores de x, pertencentes ao intervalo \left[- \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] tais que f'(x) = x + \cos x 4. De um baralho de cartas, seleccionam-se seis cartas do naipe de Espadas: Ás, Rei, Dama, Valete, Dez e Nove. Dispõem-se as seis cartas, em fila, em cima de uma mesa. 4.1. Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que as duas cartas do meio sejam o Ás e o Rei (não necessariamente por esta ordem)? 4.2. Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que o Rei não fique ao lado da Dama? 5. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos possíveis (A \subset S e B \subset S). Sabe-se que: • P(A \cap B) = 0,1 • P(A \cup B) = 0,8 • P(A|B) = 0,25 Prove que \overline{A} e \overline{B} são acontecimentos equiprováveis. (P designa probabilidade, \overline{A} designa o acontecimento contrário de A e P(A|B) designa probabilidade de A, se B). V.S.F.F. 435.V1/7 6. A Rita está a participar num concurso de lançamentos de papagaios de papel. No regulamento do concurso, estão as condições de apuramento para a final, que se reproduzem a seguir. Após um certo instante, indicado pelo júri: • o papagaio não pode permanecer no ar mais do que um minuto; • o papagaio tem de permanecer, pelo menos durante doze segundos seguidos, a uma altura superior a dez metros; • o papagaio tem de ultrapassar os vinte metros de altura. Admita que a distância, em metros, do papagaio da Rita ao solo, t segundos após o instante indicado pelo júri, é dada por d(t) = 9,5 + 7 \sen \left( \frac{t^2}{200} \right) + 5 \cos \left( \frac{t}{4} \right) (os argumentos das funções seno e co-seno estão expressos em radianos). Note-se que, a partir do instante em que o papagaio atinge o solo, a distância do papagaio ao solo deixa de ser dada por esta expressão, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero. Deverá a Rita ser apurada para a final? Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas). FIM 435.V1/8 COTAÇÕES Grupo I ........................................................ 63 Cada resposta certa ............................................ +9 Cada resposta errada .......................................... - 3 Cada questão não respondida ou anulada ................................ 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II ........................................................ 137 1. ............................................................. 21 1.1. ........................................................... 11 1.2. ........................................................... 10 2. ............................................................. 26 2.1. ........................................................... 10 2.2. ........................................................... 16 3. ............................................................. 42 3.1. ........................................................... 14 3.2. ........................................................... 14 3.3. ........................................................... 14 4. ............................................................. 20 4.1. ........................................................... 10 4.2. ........................................................... 10 5. ............................................................. 12 6. ............................................................. 16 TOTAL ............................................................. 200 V.S.F.F. 435.V1/9