En 435 Mata 12ano 2003 2f

PROVA 435/10 Págs. EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos Duração da prova: 120 minutos 2003 2.ª FASE VERSÃO 1 PROVA ESCRITA DE MATEMÁTICA VERSÃO 1 Na sua folha de respostas, indique claramente a versão da prova. A ausência desta indicação implicará a anulação de todo o GRUPO I. V.S.F.F. 435.V1/1 A prova é constituída por dois Grupos, I e II. • O Grupo I inclui sete questões de escolha múltipla. • O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta, algumas delas subdivididas em alíneas, num total de onze. Na página 11 deste enunciado encontra-se um formulário que, para mais fácil utilização, pode ser destacado do resto da prova, em conjunto com esta folha. 435.V1/2 Grupo I • As sete questões deste grupo são de escolha múltipla. • Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. • Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que selecionar para responder a cada questão. • Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. • Não apresente cálculos, nem justificações. 1. De uma função f, de domínio [-4, 5] e contínua em todo o domínio, sabe-se que: f(-4)=6; f(2)=-1; f(5)=1 f é estritamente decrescente no intervalo [-4,2] f é estritamente crescente no intervalo [2,5] Quantas soluções tem a equação f(x)=0? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 2. Seja g uma função, de domínio A, definida por g(x)=ln(1-x^2) Qual dos seguintes poderá ser o conjunto A? (A) ]-e+1,e-1[ (B) ]-1,1[ (C) ]0,+∞[ (D) ]-∞,1[ V.S.F.F. 435.V1/3 3. Seja f uma função de domínio \mathbb{R}, e seja g a função definida por g(x) = f(x + 1)\newline A recta de equação y = 2x + 4 é a única assíntota do gráfico de f.\newline Qual das seguintes é uma equação da única assíntota do gráfico de g?\newline (A) y = 2x + 6\newline (B) y = 2x + 4\newline (C) y = 2x - 4\newline (D) y = 2x - 6\newline\newline 4. Na figura está representado um trapézio rectângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30\newline unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento.\newline V^ B \newline 10 C\newline P \newline A 30 D\newline\newline Considere que um ponto P se desloca sobre o lado [AB].\newline Em cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo \angle PDA.\newline Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [PD] divide o trapézio\newline em duas figuras com a mesma área.\newline Qual das equações seguintes traduz este problema?\newline (A) \frac{30^2 \sin x}{2} = 100\newline (B) \frac{30^2 \tan x}{2} = 100\newline (C) \frac{30 \times 10 \sin x}{4} = 150\newline (D) \frac{30 \times 10 \tan x}{4} = 150\newline\newline 5. Considere a linha do Triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35.\newline Escolhem-se, ao acaso, dois elementos dessa linha.\newline Qual é a probabilidade de estes dois elementos serem iguais?\newline (A) \frac{1}{\binom{35}{2}}\newline (B) \frac{35}{\binom{36}{2}}\newline (C) \frac{1}{\binom{35}{2}}\newline (D) \frac{18}{\binom{36}{2}}\newline\newline 435.V1/4 6. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspecto exterior, mas só um é\newline que tem licor. A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que\newline tem licor, experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o\newline bombom com licor.\newline\newline Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come».\newline Qual é a distribuição de probabilidades da variável X?\newline\newline (A) \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X = x_i) & 0,2 & 0,2 & 0,2 & 0,2 & 0,2 \\ \hline \end{array}\newline (B) \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline P(X = x_i) & 0,1 & 0,2 & 0,3 & 0,2 & 0,2 \\ \hline \end{array}\newline (C) \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X = x_i) & 0,1 & 0,1 & 0,2 & 0,2 & 0,2 & 0,2 \\ \hline \end{array}\newline (D) \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X = x_i) & 0,1 & 0,1 & 0,2 & 0,2 & 0,3 & 0,1 \\ \hline \end{array}\newline\newline 7. Na figura estão representadas, no\newline plano complexo, as imagens\newline geométricas de cinco números complexos:\newline w, z_1, z_2, z_3 e z_4\newline\newline Qual é o número complexo que\newline pode ser igual a 1 - w?\newline (A) z_1\newline (B) z_2\newline (C) z_3\newline (D) z_4\newline\newline V.S.F.F.\newline\newline 435.V1/5 Grupo II\newline Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os\newline cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.\newline Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, pretende-se sempre o valor exacto.\newline\newline 1. \bullet \ \mathbb{C} é o conjunto dos números complexos\newline \bullet \ i designa a unidade imaginária\newline\newline 1.1. Sem recorrer à calculadora, calcule, na forma trigonométrica, as raízes quartas do\newline número complexo 1 + \sqrt{3}i, simplificando o mais possível as expressões obtidas.\newline\newline 1.2. Seja z um número complexo cuja imagem geométrica, no plano complexo, é um\newline ponto A situado no segundo quadrante e pertencente à recta definida pela\newline condição \Re(z) = -2.\newline Seja \overline{B} a imagem geométrica de \overline{z}, conjugado de z.\newline Seja O a origem do referencial.\newline Represente, no plano complexo, um triângulo [AOB], de acordo com as\newline condições enunciadas.\newline Sabendo que a área do triângulo [AOB] é 8, determine z, na forma algébrica.\newline\newline 2. Admita que, ao longo dos séculos XIX e XX e dos primeiros anos do século XXI, a\newline população de Portugal Continental, em milhões de habitantes, é dada, aproximadamente,\newline por\newline\newline p(t) = 3,5 + \frac{6,8}{1 + 12,8 e^{-0,036 t}}\newline\newline (considere que t é medido em anos e que o instante t = 0 corresponde ao início do ano\newline 1864.)\newline\newline 2.1. De acordo com este modelo, qual será a população de Portugal Continental no final\newline do presente ano (2003)?\newline Apresente o resultado em milhões de habitantes, arredondado às décimas.\newline Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos,\newline conserve, no mínimo, três casas decimais.\newline\newline 2.2. Sem recorrer à calculadora (a não ser para efectuar eventuais cálculos\newline numéricos), resolva o seguinte problema:\newline De acordo com este modelo, em que ano a população de Portugal Continental foi\newline de 3,7 milhões de habitantes?\newline Nota: sempre que, nos cálculos intermédios, proceder a arredondamentos,\newline conserve, no mínimo, três casas decimais.\newline\newline 435.V1/6 3. Considere a função \(f\), de domínio \(\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]\), definida por \[f(x) = x + \sen x \] Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes. 3.1. Utilizando a definição de derivada de uma função num ponto, calcule \(f'(0)\). 3.2. Estude a função \(f\) quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. 3.3. Determine os valores de \(x\), pertencentes ao intervalo \(\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]\), tais que \[f(x) = x + \cos x \] 4. De um baralho de cartas, seleccionam-se seis cartas do naipe de Espadas: Ás, Rei, Dama, Valete, Dez e Nove. Dispõem-se as seis cartas, em fila, em cima de uma mesa. 4.1. Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que as duas cartas do meio sejam o Ás e o Rei (não necessariamente por esta ordem)? 4.2. Quantas disposições diferentes podem ser feitas, de modo que o Rei não fique ao lado da Dama? 5. Seja \(S\) o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam \(A\) e \(B\) dois acontecimentos possíveis \( (A \subseteq S)\) e \( (B \subseteq S)\). Sabe-se que: • \(P(A \cap B) = 0,1 \) • \(P(A \cup B) = 0,8 \) • \(P(A | B) = 0,25 \) Prove que \(A\) e \(\bar{A}\) são acontecimentos equiprováveis. (\(P\) designa probabilidade, \(\bar{A}\) designa o acontecimento contrário de \(A\) e \(P(A | B)\) designa probabilidade de \(A\), se \(B\)). V.S.F.F. 435.VI/7 6. A Rita está a participar num concurso de lançamentos de papagaios de papel. No regulamento do concurso, estão as condições de apuramento para a final, que se reproduzem a seguir. Após um certo instante, indicado pelo júri: • o papagaio não pode permanecer no ar mais do que um minuto; • o papagaio tem de permanecer, pelo menos durante doze segundos seguidos, a uma altura superior a dez metros; • o papagaio tem de ultrapassar os vinte metros de altura. Admita que a distância, em metros, do papagaio da Rita ao solo, \(t\) segundos após o instante indicado pelo júri, é dada por \[d(t) = 9,5 + 7 \sen \left( \frac{t^2}{200} \right) + 5 \cos \left( \frac{t}{4} \right)\] (os argumentos das funções seno e co-seno estão expressos em radianos). Note-se que, a partir do instante em que o papagaio atinge o solo, a distância do papagaio ao solo deixa de ser dada por esta expressão, uma vez que passa a ser (naturalmente) igual a zero. Deverá a Rita ser apurada para a final? Utilize a calculadora para investigar esta questão. Numa pequena composição, com cerca de dez linhas, explicite as conclusões a que chegou, justificando-as devidamente. Inclua, na sua resposta, os elementos recolhidos na utilização da calculadora: gráficos e coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas às décimas). FIM 435.VI/8 COTAÇÕES Grupo I ......................................................................................................... 63 Cada resposta certa ........................................................................................ +9 Cada resposta errada ....................................................................................... -3 Cada questão não respondida ou anulada ................................................... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II ....................................................................................................... 137 1. ..................................................................................................................... 21 1.1 ..................................................................................................................... 11 1.2 ..................................................................................................................... 10 2. ..................................................................................................................... 26 2.1 ..................................................................................................................... 10 2.2 ..................................................................................................................... 16 3. ..................................................................................................................... 42 3.1 ..................................................................................................................... 14 3.2 ..................................................................................................................... 14 3.3 ..................................................................................................................... 14 4. ..................................................................................................................... 20 4.1 ..................................................................................................................... 10 4.2 ..................................................................................................................... 10 5. ..................................................................................................................... 12 6. ..................................................................................................................... 16 TOTAL ....................................................................................................... 200 V.S.F.F. 435.VI/9 Formulário Áreas de figuras planas Áreas de superficies Volumes Trigonometria Complexos Progressões Regas de derivação Limites notáveis Lozango: \frac{Diagonal maior \times Diagonal menor}{2} Trapézio: \frac{Base maior + Base menor}{2} \times Altura Poligono regular: Semiperímetro \times Apótema Círculo: \pi r^2 \quad (r- raio) Área lateral de um cone: \pi r g \quad (r- raio da base; g- geratriz) Área de uma superficie esférica: 4 \pi r^2 \quad (r- raio) Prisma: Área da base \times Altura Cilindro: Área da base \times Altura Piramide: \frac{1}{3} \times Área da base \times Altura Cone: \frac{1}{3} \times Área da base \times Altura Esfera: \frac{4}{3} \times \pi r^3 \quad (r- raio) sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a cos(a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b tg(a + b) = \frac{tg a + tg b}{1 - tg a . tg b} (p cis \theta).(p' cis \theta') = pp' cis(\theta + \theta') \frac{p cis \theta}{p' cis \theta'} = \frac{p}{p'} cis(\theta - \theta') (p cis \theta)^n = p^n cis(n \theta) \sqrt[n]{p cis \theta} = \sqrt[n]{p} cis(\frac{\theta + 2k\pi}{n} , k \in \{0,...,n - 1\}) Soma dos n primeiros termos de uma Prog. Aritmética: \frac{u_1 + u_n}{2} \times n Prog. Geométrica: u_1 \times \frac{1 - r^n}{1 - r} (u + v)' = u' + v' (u.v)' = u.v' + u'.v (\frac{u}{v})' = \frac{v.u'- u.v'}{v^2} (u^n)' = n.u^{n - 1}.u' \quad (n \in \mathbb{R}) (sen u)' = u'.cos u (cos u)' = - u'.sen u (tg u)' = \frac{u'}{cos^2 u} (e^u)' = u'.e^u (a^u)' = u.a^u.ln a \quad (a \in \mathbb{R^+ \setminus \{1\}}) (ln u)' = \frac{u'}{u} (log_a v)' = \frac{v'}{v.ln a} \quad (a \in \mathbb{R^+ \setminus \{1\}}) \lim_{x \to 0} \frac{sen x}{x} = 1 \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \lim_{x \to 0} \frac{ln(x+1)}{x} = 1 \lim_{x \to +\infty} \frac{x^p}{e^x} = 0 \quad (p \in \mathbb{R}) 435.V1/11