Slide - Exemplos que Não Dão Espaços Vetoriais 2022 2

Espaços Vetoriais Arbitrários (Exemplos que não dão espaços vetoriais) Seção 4.1 - Espaços Vetoriais Reais Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Considere V = Rn + = conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais não negativos. Ou seja, se u є Rn + então u = (u1 , u2 , u3 , ... , un) , de forma que u1 , u2 , u3 , ... , un são números reais não negativos. Considere Rn + com as operações usuais de soma + e multiplicação por escalar ∙ de Rn. (Rn +, +, ∙) é um espaço vetorial? 1º Exemplo Obs. Para mostrarmos que um conjunto munido de operações de soma e multiplicação por escalar é um espaço vetorial, devemos mostrar que os 10 axiomas de espaços vetoriais são verdadeiros para esse conjunto, com demonstrações bem genéricas (sem ser numéricas). No entanto, para mostrarmos que falha, basta encontrarmos apenas um axioma que falha, e isso pode ser feito com um exemplo numérico. Considere V = Rn + = conjunto de todas as n-uplas ordenadas números reais não negativos, sendo n fixo. Ou seja, se u є Rn + então u = (u1 , u2 , u3 , ... , un ) , de forma que u1 , u2 , u3 , ... , un são números reais não negativos. Considere Rn + com as operações usuais de soma + e multiplicação por escalar ∙ de Rn. (Rn +,+,∙) é um espaço vetorial? 1º Exemplo Neste exemplo, facilmente vemos que a multiplicação por escalar não é fechada: seja v = (1, 2, 3, 4, ... , n) є Rn + e considere o escalar k = -1. Observe que k∙v = (-1)∙(1, 2, 3, 4, ... , n) = (-1, -2, -3, -4, ... , -n) que não pertence a Rn + Ou seja, o axioma 6 de espaços vetoriais falhou nesse exemplo. Logo, Rn + com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de Rn não é espaço vetorial. Considere V = R2 com as seguintes operações: Soma normal de R2. Multiplicação por escalar maluquinha: se u = (u1 , u2) є R2 e se m é um escalar, então defina m❊u = (m∙u1 , 0) . (R2, +, ❊) é um espaço vetorial? 2º Exemplo Neste exemplo, facilmente vemos que o axioma 10 de espaços vetoriais falha: Seja u = (-3, 2) є R2. Então, o escalar 1 deveria ser neutro na multiplicação por escalar maluquinha, mas não é, pois 1❊u = 1❊(-3, 2) = (1∙(-3), 0) = (-3, 0) ≠ u = (-3,2). Logo, (R2, +, ❊) não é um espaço vetorial.